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期末数学试卷
一．选择题
1．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y＝1 B．x2+1＝2xy C．x2+ ＝3 D．x2＝2x﹣3
2．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将
此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（ ）
A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0
4．sin60°+tan45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．已知 P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与 P的位置关
系是⊙（ ） ⊙
A．点Q在 P外 B．点Q在 P上 C．点Q在 P内 D．不能确定
6．已知，在R⊙t△ABC中，∠C＝90°⊙，AB＝5，BC＝3，则s⊙inA的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（
）
A．90 B．180 C．270 D．3600
8．一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．如图，AB是 O的直径，∠BOD＝120°，点C为 的中点，AC交OD于点E，OB＝2，则
AE的长为（⊙ ）
第1页（共16页）A． B． C． D．
10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
①b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
②若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立
④其中正确的是（ ）
A．只有 B．只有 C．只有 D．只有
11．如图，在①等腰②△③ABC中，AB＝A①C，③tan④C＝2，BD⊥AC于①点②D，③点④G是底边BC上①一④点，过点
G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（ ）
A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35
12．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作 A、 B、 C，且半径都是0.5cm，则图中三个
阴影部分面积之和等于（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
二．填空题
13．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（ ﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
14．已知 O的半径为3cm，点A、B、C是直线l上的三个点，点A、B、C到圆心O的距离分别
为2cm⊙，3cm，5cm，则直线l与 O的位置是 ．
15．一个等边三角形边长的数值是⊙方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为
．
16．两个相似三角形的相似比为2：3，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为 ．
第2页（共16页）17．如图，等边三角形ABC的外接圆 O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为
． ⊙
三．解答题
18．计算
（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；
（2） tan245°+sin230°﹣3cos230°
19．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0
（2）5x2+2x﹣1＝0．
20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
第3页（共16页）21．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ ．求：（1）BC的长；（2）∠ADC
的正弦值．
22．如图， O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交
BC的延⊙长线于点E，点F是ME上的一点，且EF＝CF．
（1）求证：直线CF是 O的切线；
（2）若∠B＝2∠A，AB⊙＝8，且AC＝CE，求BM的长．
23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x 、x 满足（x +1）（x +1）＝8，求m的值．
1 2 1 2
第4页（共16页）24．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距
离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，
小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是？
25．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1
米，底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB＝60°，点 H 在支架 AF 上，篮板底部支架
EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长 米，HF长 米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
第5页（共16页）26．如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与
O的另一个交点⊙为E，连结AC，CE⊙．
（1⊙）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
27．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之
乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源
和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万
元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
第6页（共16页）参考答案
一．选择题
1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．解：3m×2m＝6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m2，
故选：C．
3．解：（x+3）（x﹣5）＝2，
去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2，
移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0，
合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0，
故选：D．
4．解：sin60°+tan45°
＝ +1
＝ ．
故选：B．
5．解：∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），
∴QP＝ ＝ ＞5，
∴点Q与 P的位置关系是：点Q在圆 P外．
⊙ ⊙
第7页（共16页）故选：A．
6．解：sinA＝ ＝ ，
故选：A．
7．解：∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为15，5，
∴两三角形的相似比为3：1，
∴其面积比为32：12＝9：1，
∴设两相似三角形的面积分别为9x和x，
根据题意列方程得，9x﹣x＝80，
x＝10．
则较大正六边形的面积为90，
故选：A．
8．解：∵△＝62﹣4×1×9＝0，
∴一元二次方程x2+6x+9＝有两个相等的实数根．
故选：A．
9．解：连接OC．
∵ ＝ ，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴ ＝ ，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∴AE＝AO•sin60°＝ ，
故选：A．
10．解：若方程两根为﹣1和2，则 ＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故 正确；
①
第8页（共16页）若b＞a+c，设a＝4，b＝10，c＝5，则△＜0，一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，故 错
误； ②
若b＝2a+3c，则△＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的
实数根，故 正确．
若m是方程ax2 ③+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），
而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2
＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2
＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2
＝b2﹣4ac．故 正确；
故选：B． ④
11．解：连接AG，
∵S△CGA +S△BGA ＝S△ABC ，
∴ + ＝ ×AC×BD，
∵AC＝AB，
∴GE+GF＝BD，
∵BD＝4，GE＝1.5，
∴GF＝2.5，
∵tanC＝2＝ ，BD＝4，
∴CD＝2，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝2 ，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴EG∥BD，
∴△CEG∽△CDB，
∴ ＝ ，
第9页（共16页）∴ ＝ ，
解得：BG＝ ，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝BF2+GF2，
（ ）2＝BF2+2.52，
解得：BF＝1.25（负数舍去），
故选：C．
12．解：∵ A、 B、 C的半径都是0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，
∴阴影部分⊙扇形的⊙圆心⊙角度数为180°，
∴S阴影 ＝ ＝ ．
故选：B．
二．填空题
13．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝ ，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
14．解：因为 O的半径为3cm，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，
2cm＜3cm， ⊙
所以直线l与 O的位置是相交；
故答案为：相⊙交．
15．解：x2﹣3x﹣10＝0，
（x﹣5）（x+2）＝0，
即x﹣5＝0或x+2＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣2．
1 2
因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，
所以等边三角形的边长为5．
所以该三角形的周长为：5×3＝15．
故答案为：15．
第10页（共16页）16．解：设较大三角形的周长是3x，较小三角形的周长是2x，则3x﹣2x＝30，
解得x＝30，那么较大三角形的周长是3x＝90，
故答案为：90．
17．解：过点O作OH⊥AB与点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝ OA＝1，
故答案为：1
三．解答题
18．解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°
＝2× ﹣ +1
＝2﹣ ；
（2） tan245°+sin230°﹣3cos230°
＝ ×12+（ ）2﹣3×（ ）2
＝ + ﹣
＝﹣ ．
19．解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0，
∴（x﹣2）2＝16，
∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，
解得：x ＝﹣2，x ＝6；
1 2
第11页（共16页）（2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，
∴△＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
则x＝ ＝ ，
即x ＝ ，x ＝ ．
1 2
20．解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴ ＝ ，
解得：x＝2 ，
∴AE＝2 ．
21．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC＝ ＝ ，AC＝ ，
∴CH＝1，AH＝ ＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝ ＝ ，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
第12页（共16页）∴CD＝3，DH＝2，AD＝ ＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝ ＝ ．
∴∠ADC的正弦值为 ．
22．（1）证明：如图，连接OC，设EM交AC于H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵FE＝FC，
∴∠E＝∠FCE，
∴∠E+∠CHE＝90°，∠FCE+∠FCH＝90°，
∴∠FCH＝∠FHC，
∵∠A+∠AHM＝90°，∠AHM＝∠FHC＝∠FCH，
∴∠FCH+∠A＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠FCH+∠OCA＝90°，
∴∠FCO＝90°，
∴FC⊥OC，
∴CF是 O的切线．
⊙
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠B＝2∠A
∴∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝4，AC＝ BC＝4 ，
第13页（共16页）∵AC＝CE，
∴CE＝4 ，
∴BE＝BC+CE＝4+4 ，
在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°
∴BM＝ BE＝2+2 ．
23．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得：m≥ ．
（2）∵x 、x 为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝2（m+1），x x ＝m2+2．
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝8，
1 2
∴x x +（x +x ）+1＝8，
1 2 1 2
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m ＝﹣3（不合题意，舍去），m ＝1，
1 2
∴m的值为1．
24．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴ ＝ ，
即： ＝ ，
解得：PD＝9.6（米）．
答：该古城墙的高度是9.6m．
25．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝ ＝ ，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
第14页（共16页）则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝ ，
∴AB＝BCtan60°＝1× ＝ ，
∴GM＝AB＝ ，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝ × ＝ ，
∴EM＝EG+GM＝ + ，
答：篮板底部点E到地面的距离是（ + ）米．
26．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2 ，
第15页（共16页）连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴 ＝S扇形OBC ﹣S△OBC ＝ ﹣ × × ×2＝ ﹣ ．
27．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20
（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，
根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，
解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．
第16页（共16页）
