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单元测试卷
一、选择题
1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（ ）
A.三角形的形状不变，三边的比变大
B.三角形的形状变，三边的比变大
C.三角形的形状变，三边的比不变
D.三角形的形状不变，三边的比不变
2. 中， ， ， ，和它相似的三角形的最短边是 ，则最长边是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，五边形 和五边形 是位似图形，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能使
的条件的个数为（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，以点 为位似中心，作 的一个位似三角形 ， ， ， 的对应点分别为 ，
， ， 与 的比值为 ，若两个三角形的顶点及点 均在如图所示的格点上，则 的值和
点 的坐标分别为（ ）
第1页（共14页）A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.以 为斜边作等腰直角 ，再以 为斜边在 外侧作等腰直角 ，如此继续，
得到 个等腰直角三角形（如图），则图中 与 的面积比值是（ ）
A. B. C. D.
7.下列说法不正确的是（ ）
A.含 角的直角三角形与含 角的直角三角形是相似的
B.所有的矩形是相似的
C.所有边数相等的正多边形是相似的
D.所有的等边三角形都是相似的
8.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 米的竹竿的影长为
米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学
楼的第一级台阶上，测得此影子长为 米，一级台阶高为 米，如图所示，若此时落在地面
上的影长为 米，则树高为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
第2页（共14页）9.如图，小明在 时测得某树的影长为 ， 时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线
互相垂直，则树的高度为 ．
A. B. C. D.
10.如图，已知 ， ， ， 为 边上一点，且 ，为 边上一点（不与 、
重合），若 与 相似，则
A.
B. C. 或 D. 或
二、填空题
11.在 中， ， ，在 中，已知 ， ，要使 与 相
似，需添加的一个条件是________．
12.若 ，且相似比 ，当 时，则 ________ ．
13.在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， ，则
________．
14.四边形 与四边形 位似， 为位似中心，若 ，那么
________．
第3页（共14页）15.在相同时刻物高与影长成比例．如果高为 的测杆的影长为 ，那么影长为 的旗
杆的高是________ ．
16.如图， ， ， ，则当 ________ 时，
．
17.如图，在边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 和 （顶
点是网格线的交点）．点 、 坐标为 ， ．
观察图形填空： 是由 绕________点顺时针旋转________度得到的；
把 中的图形作为一个新的”基本图形“，将新的基本图形绕 点顺时针旋转 度，
请作出旋转后的图形，其中，、 、 、 的对应点分别为 、 、 、 ．依次连接 、 、 、
，则四边形 的形状为________；
以 点为位似中心，位似比为 （原图与新图对应边的比为 ），作出四边形 的
位似图形．
18.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角
第4页（共14页）形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把 （图乙）第一次顺次连接各边中点
所进行的分割，称为 阶分割（如图 ）；把 阶分割得出的 个三角形再分别顺次连接它的各
边中点所进行的分割，称为 阶分割（如图 ）…，依此规则操作下去． 阶分割后得到的每一
个小三角形都是全等三角形（ 为正整数），设此时小三角形的面积为 ．请写出一个反映
， ， 之间关系的等式________．
19.我们把长与宽之比为 的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一
次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸 ， ， ，那么把它
第 次对开后所得标准纸的周长是________．
三、解答题
20.已知 和 中， ， 、 分别是两个三角形斜边上的高，
且 ，求证： ．
21.如图，正方形网格上有 和 ．（每一个小正方形的边长为 ）
第5页（共14页）求证： ；
请你在正方形网格中画一个以点 为位似中心的三角形并将 放大 倍．
22.如图，在 中， 是角平分线，点 在 上，且 ．
求证： ：
已知 ， ，求 长．
23.梯形 中， ， ， 于点 ，点 在边 上，且 ．
求证： ；
若点 为 中点，求证： ．
第6页（共14页）24.如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速
度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后
和 相似？
25.如图所示，在距树 米的地面上平放一面镜子 ，人退后到距镜子 米的 处，在镜子里
恰巧看见树顶，若人眼 距地面 米．
求树高；
和 是位似图形吗？若是，请指出位似中心；若不是，请说明理由．
26.一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数
学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的
方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在 中， ．
第7页（共14页）若 是锐角，请探索在直线 上有多少个点 ，能保证 （不包括全等）？
请对 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 上能保证 （不包括
全等）的点 的个数？
第8页（共14页）答案解析
1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.D
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. 正方形
18.
19.
20.证明：∵ 、 分别是两个三角形斜边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ’ ，
第9页（共14页）∴ ．
21. 证明：∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ； 解：如图所示：
．
22. 证明：∵ 是角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ； 解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第10页（共14页）∴ ，
∴ ，
∴ ．
23.证明： ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ． ∵在梯形 中， ， 为 中点，
∴ 为 的中点，
第11页（共14页）∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ．
24.解：设经过 秒后 和 相似．
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ．
第12页（共14页）综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似．
25.树高为 米； 和 不是位似图形．理由如下：
∵点 的对应点为 ， 点的对应点为 ， 点的对应点为 ，
而 不经过点 ，
∴ 和 不是位似图形．
26.解： ① 如图 ，若点 在线段 上，由于 ，可以作一个点 满足
，使得 ；
②如图 ，若点 在线段 的延长线上，则 ，与条件矛盾，因此，这样
的点 不存在；
③如图 ，若点 在线段 的反向延长线上，由于 是锐角，则 ，不
可能有 ，因此，这样的点 不存在．
综上所述，这样的点 有一个．
注：③中用“ 是钝角， 中只可能 是钝角，则 ”说明不存在点
亦可．
若 为锐角，由 知，这样的点 有一个（如图 ）；
若 为直角，这样的点 有两个（如图 ）；
若 为钝角，这样的点 有 个（如图 ）．
第13页（共14页）第14页（共14页）
