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期末数学试卷
一．选择题
1．若方程2xn﹣1﹣5x+3＝0是关于x的一元二次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
2．下列说法错误的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．直径是圆中最长的弦
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
3．已知关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，其中
m是实数，则m可取的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．若 O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与 O的位置关系
是（ ）
⊙ ⊙
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
5．已知 O的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与 O的位置关系
是（ ）
⊙ ⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，156，151，152，159，则这组
数据的中位数是（ ）
A．147 B．151 C．152 D．156
7．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：
抽到“K”； 抽到“黑桃”； 抽到“大王”； 抽到“黑色的，其中，发生
可能性最大的事件是（ ）
① ② ③ ④
A． B． C． D．
8．抛掷一枚质地均匀、六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的方体骰子一
① ② ③ ④
次，则向上一面的数字小于3的概率是m（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根的是（
第1页（共13页））
A．a＝0 B．c＝0 C．a＞0 D．c＞0
10．如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图
形，则这个圆形纸片的最小半径是（ ）
A．4cm B．8cm C．2 cm D．4 cm
11．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这
组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
12．如图，在半圆O中，AB为直径，CD是一条弦，若△COD的最大面积是12.5，
则弦CD的值为（ ）
A． B．5 C．5 D．12.5
二．填空题
13．某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动成绩占学期成绩
的20%，理论测试占30%，体育技能测试占50%，一名同学上述的三项成绩依
次为90、70、80，则该同学这学期的体育成绩为 ．
14．从 、 、 、 、0. 中，任取一个数，取到无理数的概率是 ．
15．如图，在 O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠BOC＝50°，则∠C＝
度．
⊙
第2页（共13页）16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°30′，OA＝20，将扇形OAB沿着过点B
的直线折叠，点O恰好落在弧AB的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长
为 （结果保留 ）．
π
17．已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0的一个根是2+ ，则它的另一根为 ．
三．解答题
18．解方程：
（1） ＝
（2）x2﹣4x+1＝0
19．已知一个纸箱中放有大小相同的10个白球和若干个黄球．从箱中随机地取出
一个是白球的概率是 ，再往箱中放进20个白球，求随机地取出一个黄球的概
率．
20．如图，一个可以自由转动的转盘被均匀的分成了20个扇形区域，其中一部分
被阴影覆盖．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率是多少？
（2）试再选一部分扇形涂上阴影，使得转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部
分的概率变为 ．
21．在小明、小红两名同学中选拔一人参加2018年张家界市“经典诗词朗诵”大
赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
小明：80，85，82，85，83
第3页（共13页）小红：88，79，90，81，72．
回答下列问题：
（1）求小明和小红测试的平均成绩；
（2）求小明和小红五次测试成绩的方差．
22．如图，AB为半 O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD
的中点，连接CE．
⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求 O的半径．
⊙
⊙
23．如图所示，PA，PB是 O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交 O于点D，
交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个
⊙ ⊙
结论给予证明．
24．△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，点P从点A开始沿边AB向点B以
1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度
移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，
问：
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）
（2）经过几秒，PQ的长为6 cm？
（3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
第4页（共13页）第5页（共13页）参考答案
一．选择题
1．【解答】解：∵方程2xn﹣1﹣5x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴n﹣1＝2，
解得：n＝3．
故选：D．
2．【解答】解：A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；
B、直径是圆中最长的弦，正确；
C、面积相等的两个圆是等圆，正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：A．
3．【解答】解： 当m2﹣3m+2≠0时，即m≠1和m≠2时，
由原方程，得
①
[（m﹣1）x+m][（m﹣2）x﹣（m+1）]＝0
解得，x＝﹣1﹣ 或 x＝1+ ，
∵关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，
∴m＝0.5，m＝1.5，m＝1.25；
当m2﹣3m+2＝0时，
m＝1，m＝2，
②
分别可得x＝0，x＝2，
因此m＝1，m＝2也可以；
综上所述，满足条件的m值共有5个．
故选：C．
4．【解答】解：∵OA＝3cm＜4cm，
∴点A在 O内．
故选：A．
⊙
5．【解答】解：∵圆半径r＝3，圆心到直线的距离d＝4．
故r＝3＜d＝4，
第6页（共13页）∴直线与圆的位置关系是相离．
故选：C．
6．【解答】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为147，151，152，156，159，发
现152处在第3位．所以这组数据的中位数是152，
故选：C．
7．【解答】解：∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果，
∴ 抽到“K”的概率为 ＝ ；
①
抽到“黑桃”的概率为 ；
②
抽到“大王”的概率为 ；
③
抽到“黑色”的概率为 ＝ ，
④
故选：D．
8．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而向
上一面的数字小于3的有1、2两种，
所以向上一面的数字小于3的概率是 ＝ ；
故选：B．
9．【解答】解：当a＝0时，方程ax2﹣5x+c＝0不是一元二次方程，故选项A错误；
当a＞0，ac＞ 时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项C错误；
当c＞0，ac＞ 时，方程ax2﹣5x+c＝0没有实数根，故选项D错误；
当c＝0时，△＝b2﹣4ac
＝（﹣5）2＝25＞0
一元二次方程ax2﹣5x+c＝0一定有实数根．
故选：B．
10．【解答】解：∵正六边形的边长是4cm，
∴正六边形的半径是4cm，
∴这个圆形纸片的最小半径是4cm．
第7页（共13页）故选：A．
11．【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为 ＝3，方差为 ×[（0﹣3）
2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
故选：B．
12．【解答】解：如图，作DH⊥CO交CO的延长线于H．
∵S ＝ •OC•DH，
△COD
∵DH≤OD，
∴当DH＝OD时，△COD的面积最大，此时△COD是等腰直角三角形，∠COD
＝90°，
∴CD＝ OC，
∵ •OC2＝12.5，
∴OC＝5，
∴CD＝5 ．
故选：C．
二．填空题
13．【解答】解：该同学这学期的体育成绩为90×20%+70×30%+80×50%＝79，
故答案为：79．
14．【解答】解：无理数有 、 、
所以取到无理数的概率是 ，
故答案为： ．
15．【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠BOC＝2∠A＝2×25°＝50°．
⊙
第8页（共13页）∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
故答案为：25．
16．【解答】解：连结OD，
∵△BCD是由△BCO翻折得到，
∴∠CBD＝∠CBO，∠BOD＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝2∠DBC，
∵∠ODB+∠DBC＝90°，
∴∠ODB＝60°，
∵OD＝OB
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠AOB＝100.5°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝40.5°．
∴弧AD的长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
π
17．【解答】解：设方程的另一个根为x ，
2
则x +2+ ＝4，
2
解得：x ＝2﹣ ，
2
故答案为：2﹣ ．
三．解答题
18．【解答】解：（1） ＝ ，
第9页（共13页）方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得，
2（x﹣1）＝x+1，
解整式方程得，x＝3，
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠1，
∴x＝3是原方程的解；
（2）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝± ，
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
19．【解答】解：设黄球有x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝15，
则再往箱中放进20个白球，随机地取出一个黄球的概率为 ＝ ．
20．【解答】解：（1）指针落在阴影部分的概率是 ；
（2）当转盘停止时，指针落在阴影部分的概率变为 ．如图所示：
21．【解答】解：（1）小明成绩的平均数为 ×（80+85+82+85+83）＝83（分），
小红成绩的平均数为 ×（88+79+90+81+72）＝82（分）；
（2）S 2＝ ×[（80﹣83）2+2×（85﹣83）2+（82﹣83）2+（83﹣83）2]＝ ，
小明
第10页（共13页）S 2＝ ×[（88﹣82）2+（79﹣82）2+（90﹣82）2+（81﹣82）2+（72﹣82）2]＝42．
小红
22．【解答】（1）证明：连接CO、EO、BC，
∵BD是 O的切线，
∴∠ABD＝90°，
⊙
∵AB是直径，
∴∠BCA＝∠BCD＝90°，
∵Rt△BCD中，E是BD的中点，
∴CE＝BE＝ED，
∵OC＝OB，OE＝OE，
则△EBO≌△ECO（SSS），
∴∠ECO＝∠EBO＝90°，
∵点C在圆上，
∴CE是 O的切线；
（2）解：Rt△ACF中，∵AC＝5，CF＝3，
⊙
∴AF＝4，
设BF＝x，
由勾股定理得：BC2＝x2+32，
BC2+AC2＝AB2，
x2+32+52＝（x+4）2，
x＝ ，
则r＝ ＝ ，
则 O的半径为 ．
⊙
第11页（共13页）23．【解答】解：如图所示，结论： ∠3＝∠4；或∠7＝∠8；或∠1＝∠5；或∠2＝
∠6；
①
OP⊥AB； AC＝BC．
证明 ：∵PA、PB是 O的切线，
② ③
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
② ⊙
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵ ，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA＝PB，∠3＝∠4，
∴OP⊥AB．
24．【解答】解：（1）根据题意得：BQ＝2t，PB＝9﹣t．
故答案为：2t；9﹣t．
（2）根据题意得：（9﹣t）2+（2t）2＝72，
解得：t ＝ ，t ＝3，
1 2
∴经过 秒或3秒，PQ的长为6 cm．
（3）根据题意得： ×（9﹣t）×2t＝8，
第12页（共13页）解得：t ＝8，t ＝1．
1 2
∵0≤t≤6，
∴t＝1．
答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2．
第13页（共13页）
