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中考模拟卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．5a﹣2a=3 B．（x+2y）2=x2+4y2 C．x8÷x4=x2 D．（2a）3=8a3
3．（4分）据统计，中国水资源总量约为 27500亿立方米，居世界第六位，其
中数据27500亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.75×108 B．2.75×1012 C．27.5×1013 D．0.275×1013
4．（4分）如图，将一个小球摆放在圆柱上底面的正中间，则该几何体的俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体
育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m） 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55
次数 1 1 2 5 1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5 D．方差是0.48
6．（4分）某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为
（ ）
A．3米 B． 米 C．2 米 D． 米
7．（4分）某广场绿化工程中有一块长 2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道
（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，
设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1
C． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2
8．（4 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E、F、G、H 分别是
AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条
件是（ ）
A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD
9．（4分）设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x满足的反比例函数
关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x+y的值为（ ）
A．4 B．5 C．5或3 D．4或3
10．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无
实数根；③a﹣b+c≥0； ④ 的最小值为3．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣6ax+9a= ．
12．（5分）如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC=30°，则∠ABE的度数为
．
13．（5分）如图1，一张纸条上依次写有10个数，如图2，一卡片每次可以盖
住纸条上的3个数，那么随机地用卡片盖住的3个数中有且只有一个是负数的概
率 ．
14．（5分）已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于
D，OD交AC的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有 ．
①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③ = ；④tan B= ．
三、（本大题共2小题，每题8分，共16分）15．（8分）计算： +（﹣ ）﹣2﹣（ ﹣1）0﹣2sin60°．
16．（8分）解方程：x2+4x﹣2=0．
四．（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，
△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的
△A B C ，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点
1 1 1
M的对应点M 的坐标；
1
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A B C 与△ABC对
2 2 2
应边的比为1：2．请在网格内画出在第三象限内的△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2
18．（8分）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款 2000元．已知乙公司比甲公
司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的 ，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？
五．（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点
（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．
20．（10分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数
学兴趣小组测量了旗杆的长度．如图 2，在某一时刻，光线与水平面的夹角为
72°，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上
的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，若1米的
竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆AB的长度．（结果精确到0.1
米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）．六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）为加强公路的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行
阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为两个阶梯，一、二阶梯用水的单价之比等
于1：2，如图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y（元）与用水量x（m3）之间
的函数关系，其中射线AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．
（1）写出点B的实际意义；
（2）求射线AB所在直线的表达式．
七、（本大题共12分）
22．（12分）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y =x2﹣3x+1和y =ax2+bx+c，若y ﹣y 与y 互为“对
1 2 1 2 1
称二次函数”，求函数y 的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y 的最大值．
2 2
八．（本大题共14分）
23．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形 ADEF是正方形，D、F
分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成
立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD= 时，求线段BG的长．参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．5a﹣2a=3 B．（x+2y）2=x2+4y2C．x8÷x4=x2D．（2a）3=8a3
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方，即可解
答．
【解答】解：A、5a﹣2a=3a，故错误；
B、（x+2y）2=x2+4xy+4y2，故错误；
C、x8÷x4=x4，故错误；
D、正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方，
解决本题的关键是熟记合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方．
3．（4分）据统计，中国水资源总量约为 27500亿立方米，居世界第六位，其
中数据27500亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.75×108 B．2.75×1012 C．27.5×1013 D．0.275×1013
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，将一个小球摆放在圆柱上底面的正中间，则该几何体的俯视
图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个实线的同心圆，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体
育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m） 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55
次数 1 1 2 5 1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5D．方差是0.48
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：A、如图表所示：众数是2.5，故此选项错误；
B、平均数是： （2.35+2.4+2.45×2+2.5×5+2.55）=2.47（m），故此选项错误；
C、中位数是： =2.5，故此选项正确；D、方差为： [（2.35﹣2.225）2+（2.4﹣2.225）2+…+（2.55﹣2.225）2]
= （0.015625+0.030625+0.050625+0.378125+0.105625）
=0.0580625，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关
定义是解题关键．
6．（4分）某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为
（ ）
A．3米B． 米 C．2 米 D． 米
【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得
tan∠A= ，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．
【解答】解：由题意得，BC：AC=1：2．
∴BC：AB=1： ．
∵AB=6m，
∴BC= m．
故选B．
【点评】本题主要考查坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使
问题具体化．
7．（4分））某广场绿化工程中有一块长 2千米，宽1千米的矩形空地，计划
在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的 ，
设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 C． （2﹣3x）（1
﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2
【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地
面积的 ，即矩形绿地的面积= 矩形空地面积，可列方程．
【解答】解：设人行通道的宽度为x千米，
则矩形绿地的长为： （2﹣3x），宽为（1﹣2x），
由题意可列方程：2× （2﹣3x）（1﹣2x）= ×2×1，
即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，分析题意准确抓住相等关系
是解方程的关键．
8．（4 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E、F、G、H 分别是
AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条
件是（ ）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD
【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
根 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质 ， 可 得 EF=GH= AB ， EH=FG= CD ， 又 由 当
EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的
中点，
∴EF=GH= AB，EH=FG= CD，
∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（4分）设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x满足的反比例函数
关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x+y的值为（ ）
A．4 B．5 C．5或3 D．4或3
【分析】根据图象得出xy=4，进而利用等腰直角三角形的性质得出 x，y的值即
可得出答案．
【解答】解：由反比例函数的图象得xy=4，当等腰直角△ABC的斜边为底时，该
底边上的高为这个底的一半，
即x=2y，2y2=4，
解得：y= ，则x=2 ，
∴x+y=3 ；
当等腰直角△ABC的一条直角边为底时，该底边上的高为另一条直角边，
即x=y，y2=4，
解得：y=2，
则x=2，
∴x+y=4，
综上知x+y的值为4或3 ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象，正确分类讨论得出x，y的值是解题
关键．
10．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以
下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无
实数根；③a﹣b+c≥0； ④ 的最小值为3．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】利用抛物线的对称轴方程x=﹣ ＜0可对①进行判断；抛物线与x轴最
多有一个交点且抛物线开口向上，则y≥0，则可对②③进行判断；当x=﹣2时，
y=4a﹣2b+c≥0，变形得到 a+b+c≥3（b﹣a），则利用 b＞a＞0 得到
≥3，则可对D进行判断．
【解答】解：∵b＞a＞0，
∴抛物线的对称轴x=﹣ ＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
而抛物线开口向上，
∴关于x的方程ax2+bx+c=﹣2无实数根，所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0，
∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；所以③正确；
当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c≥0，
∴a+b+c≥3b﹣3a，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b＞a＞0，
∴ ≥3，所以④正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c
是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查
了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）分解因式：ax2﹣6ax+9a= a （ x﹣3 ） 2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2．
【解答】解：ax2﹣6ax+9a
=a（x2﹣6x+9）﹣﹣（提取公因式）
=a（x﹣3）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方
公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．（5 分）如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC=30°，则∠ABE 的度数为
120° ．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线
的性质进行计算即可．
【解答】解：过点E作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
所以∠GEB=90°﹣30°=60°，
因为EG∥AB，
所以∠ABE=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平
行，同旁内角互补．
13．（5分）如图1，一张纸条上依次写有10个数，如图2，一卡片每次可以盖
住纸条上的3个数，那么随机地用卡片盖住的3个数中有且只有一个是负数的概
率 ．
【分析】从盖住开始三个数开始到最后三个数共有8种等可能的结果，再找出盖
住的3个数中有且只有一个是负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：用卡片随机地盖住纸条上的3个数，共有8个等可能结果．其中有
且只有一个是负数的结果有4个，
所以所求的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．（5分）已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于
D，OD交AC的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有 ①③④ ．
①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③ = ；④tan B= ．
【分析】①依据同角的余角相等即可得出结论；②依据△ECD∽△EDA，求得
CE= ≠ AE，即可得出点C不是AE的中点；③由△ECD∽△EDA，得 =
，根据△ACD∽△BAD，可得 = ，进而得出 = ；④根据tanB= =
= ，即可得出结论．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠B=∠CAD，故①正确；
∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ = ，
∵OA=1，AE=3，∴OE= ，ED= ﹣1，
∴ = ，
∴CE= ≠ AE，
即点C不是AE的中点，故②不正确；
由△ECD∽△EDA，得 = ，
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴△ACD∽△BAD，
∴ = ，
∴ = ，故③正确；
tanB= = = = ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理以及解直角三角
形的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边
等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作
平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
三、（本大题共2小题，每题8分，共16分）
15．（8分）计算： +（﹣ ）﹣2﹣（ ﹣1）0﹣2sin60°．【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的
三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2 +4﹣1﹣2× = +3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）（2012•遂宁）解方程：x2+4x﹣2=0．
【分析】先移项，得x2+4x=2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原
方程．
【解答】解：移项，得x2+4x=2，
两边同加上22，得x2+4x+22=2+22，
即（x+2）2=6，
利用开平方法，得 或 ，
∴原方程的根是 ， ．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确
应用，难度适中．
四．（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，
△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的
△A B C ，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点
1 1 1
M的对应点M 的坐标；
1
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A B C 与△ABC对
2 2 2
应边的比为1：2．请在网格内画出在第三象限内的△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2【分析】（1）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平
移的规律即可写出点M平移后的坐标；
（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．
【解答】解：（1）所画图形如下所示，其中△A B C 即为所求，根据平移规律：
1 1 1
左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M 的坐标（a﹣7，b﹣3）；
1
（2）所画图形如下所示，其中△A B C 即为所求，点 A 的坐标为（﹣1，﹣
2 2 2 2
4）．
【点评】本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要
求找出变换后的对应点．
18．（8分）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款 2000元．已知乙公司比甲公
司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的 ，问甲、乙两公司人均捐
款各多少元？
【分析】首先根据题意，设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，然后根据：甲公司的人数× =乙公司的人数，列出方程，求出 x的值，即可求
出甲、乙两公司人均捐款各多少元．
【解答】解：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，
× =
解得：x=80，
经检验，x=80为原方程的根，
80+20=100（元）
答：甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，要熟练掌握，列分式方程解应用题的
一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这 5步进行做题，规范解题步骤，
另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
五．（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19．（10分）（2013•太原）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直
径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．
【分析】（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB
得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB= =
= ，可计算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB= = ，
可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB= = = ，
而BP=6，AP=1，
∴BC= ，
在Rt△BPQ中，cosB= = ，∴BQ= =10，
∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ．
【点评】本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．
也考查圆周角定理的推论以及解直角三角形．
20．（10分）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数
学兴趣小组测量了旗杆的长度．如图 2，在某一时刻，光线与水平面的夹角为
72°，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上
的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，若1米的
竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆AB的长度．（结果精确到0.1
米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）．
【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据 = ，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°= ，求出AN即可解决问题．
【解答】解：如图，作CM∥AB交AD于点M，MN⊥AB于点N．
由题意 = ，即 = ，
∴CM=（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4米，∠AMN=72°，
∴tan 72°= ，
∴AN=MN•tan 72°≈4×3.08≈12.3（米）．
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=米，
∴AB=AN+BN=13.8米．
【点评】本题考查解直角三角形、三角函数，影长等知识，解题的关键是正确添
加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）为加强公路的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行
阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为两个阶梯，一、二阶梯用水的单价之比等
于1：2，如图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y（元）与用水量x（m3）之间
的函数关系，其中射线AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．
（1）写出点B的实际意义；
（2）求射线AB所在直线的表达式．【分析】（1）根据图象的信息得出即可；
（2）首先设第一阶梯用水的单价为x元/m3，则第二阶梯用水单价为2x元/m3，
设A（a，30）结合图象可得方程组 ，解方程组可得a、x的值，
再设出解析式，利用待定系数法求出即可．
【解答】解：（1）图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为70元；
（2）设第一阶梯用水的单价为x元/m3，则第二阶梯用水单价为2x元/m3，
设A（a，30），则 ，
解得， ，
∴A（15，30），B（25，70）
设线段AB所在直线的表达式为y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴线段AB所在直线的表达式为y=4x﹣30．
【点评】此题主要考查了一次函数应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据题意求出直线AB是解此题的关键．
七、（本大题共12分）
22．（12分）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相
反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y =x2﹣3x+1和y =ax2+bx+c，若y ﹣y 与y 互为“对
1 2 1 2 1
称二次函数”，求函数y 的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y 的最大值．
2 2
【分析】（1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据y ﹣y 与y 互为“对称二次函数”，求出函数y 的表达式，然后将函
1 2 1 2
数y 的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
2
【解答】解：（1）二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”是y=﹣2（x﹣
2）2+1；
（2）∵y =x2﹣3x+1，y =ax2+bx+c，
1 2
∴ y ﹣y = （ 1﹣a ） x2﹣ （ 3+b ） x+1﹣c= （ 1﹣a ） • [x﹣ ]2+
1 2
．
又y ﹣y 与y 互为“对称二次函数”，y =x2﹣3x+1=（x﹣ ）2﹣ ，
1 2 1 1
∴ ，解得 ，
∴y =2x2﹣6x+ ，
2
∴y =2（x﹣ ）2，
2∴y 的对称轴为直线x= ，
2
∵2＞0，且﹣3≤x≤3，
∴当x=﹣3时，y =2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+ = ．
2最大值
【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间的相互
转化，考查了二次函数的性质，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是
解题的关键．
八．（本大题共14分）
23．（14分）（2012•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是
正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成
立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD= 时，求线段BG的长．
【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，易证得
△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得
△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证
得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得 AM= AB= ，然后利用
△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
【解答】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，
∴AE= =2，
∴AN=FN= AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ．
∴AM= AB= ．
∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ，BM= = = ．
∵△BMA∽△CMG，
∴ ．
∴ ．
∴CG= ．
∴在Rt△BGC中，BG= = ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰
直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很
强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
