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期中检测卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．3 C． D．±
2．（4分）在南陵县第十七届人民代表大会第一次会议上，徐晓明县长在政府
工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大幅跃升，地区生产总值增加到205.5
亿元．其中205.5亿用科学记数法表示为（ ）
A．205.5×104 B．2.055×102 C．2.055×1010 D．2.055×1011
3．（4分）与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（4 分）如图，已知直线 AB∥CD，∠BEG 的平分线 EF 交 CD 于点 F，若
∠1=42°，则∠2等于（ ）
A．159° B．148° C．142° D．138°
5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体
育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m） 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55
次数 1 1 2 5 1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
1A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5D．方差是0.48
6．（4分）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在
其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道
（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的
，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1
C． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2
7．（4分）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：
一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是 P ，P ，则下列结论正确的
1 2
是（ ）
A．P =P B．P ＞P C．P ＜P D．P ≤P
1 2 1 2 1 2 1 2
8．（4分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当
线段AB最短时，点B的坐标是（ ）
A．（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣
）
9．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，延长 AB 至点 E，使得 BE=1，
EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（ ）
2A．2 B．3 C． D．
10．（4分）如图，在平行四边形 ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，
点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，
点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止
运动．设运动时间为 x秒，P、Q经过的路径与线段 PQ围成的图形的面积为 y
（cm2），则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）若使式子 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5 分）如图，在⊙O 中，∠AOB+∠COD=70°，AD 与 BC 交于点 E，则
∠AEB的度数为 ．
13．（5分）因式分解：﹣ x2+ x﹣ = ．
14．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD
3的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几
个结论：
①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；
②AE的长度为 ；
③BD的长度为 ；
④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，则S=AE•BD．
其中正确的结论是 （将正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（ ﹣1）0+（﹣1）2015+（ ）﹣1﹣2sin30°．
16．（8分）解不等式组： ．
4四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC是格点三角形（三角形顶点在小方格
顶点上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A B C ，作出平移后的△A B C ．
1 1 1 1 1 1
（2）将△A B C 经过适当方式进行图形变换后得到△A B C ，使得△A B C 与
1 1 1 2 2 2 2 2 2
△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A B C ，并说出你是如何将△A B C 进
2 2 2 1 1 1
行图形变换后得到△A B C 的．
2 2 2
18．（8分）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，
同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的
正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点 C的距离．（注：
里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
5五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分为两个空间．三个
盒子分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一样物品）；
（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；
（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多
少？
20．（10分）如图，AB∥CD，点 E，F分别是 AB，CD上，连结 EF，∠AEF，
∠CEF的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．
（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，
分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP是菱形．
（2）在（1）的条件下，联结GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．
6六、解答题（本大题满分12分）
21．（12分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为 1的⊙B经过
点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点A的坐标为（﹣ ，0），AC的延长线
与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．
七、解答题（本大题满分12分）
22．（12分）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之
间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个
为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄
金分割线．
7（1）求这个顶点对应角的度数；
（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD的长；
（3）试求sin72°的值．
八、解答题（本大题满分14分）
23．（14分）已知抛物线 l ：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点 A、B（点A在点B左
1
边），与 y 轴交于点 C，抛物线 l 经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（4，
2
0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线l 的解析式；
2
（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛
物线l 于点M，交抛物线l 于点N．
1 2
①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；
②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．
8参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B．3 C． D．±
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个
数互为倒数．
2．（4分）2017年2月27日在南陵县第十七届人民代表大会第一次会议上，
徐晓明县长在政府工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大幅跃升，地区生
产总值增加到205.5亿元．其中205.5亿用科学记数法表示为（ ）
A．205.5×104 B．2.055×102 C．2.055×1010 D．2.055×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：其中205.5亿用科学记数法表示为2.055×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
9A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到
的图形．
【解答】解：从正视图可以排除C，故C选项错误；
从左视图可以排除A，故A选项错误；
从左视图可以排除D，故D选项错误；
符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及
对立体图形的认知能力，可通过排除法进行解答．
4．（4 分）如图，已知直线 AB∥CD，∠BEG 的平分线 EF 交 CD 于点 F，若
∠1=42°，则∠2等于（ ）
A．159°B．148°C．142°D．138°
【分析】根据平行线的性质可得∠GEB=∠1=42°，然后根据EF为∠GEB的平分
线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB=∠1=40°，
∵EF为∠GEB的平分线，
∴∠FEB= ∠GEB=21°，
∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．
故选A．
10【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两
直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
5．（4分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体
育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m） 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55
次数 1 1 2 5 1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
A．众数是2.45 B．平均数是2.45 C．中位数是2.5D．方差是0.48
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：A、如图表所示：众数是2.5，故此选项错误；
B、平均数是： （2.35+2.4+2.45×2+2.5×5+2.55）=2.47（m），故此选项错
误；
C、中位数是： =2.5，故此选项正确；
D、方差为： [（2.35﹣2.225）2+（2.4﹣2.225）2+…+（2.55﹣2.225）2]
= （0.015625+0.030625+0.050625+0.378125+0.105625）
=0.0580625，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相
关定义是解题关键．
6．（4分）某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在
其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道
（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的
，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ）
11A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B． （2﹣3x）（1﹣2x）=1 C． （2﹣3x）（1
﹣2x）=1 D． （2﹣3x）（1﹣2x）=2
【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空
地面积的 ，即矩形绿地的面积= 矩形空地面积，可列方程．
【解答】解：设人行通道的宽度为x千米，
则矩形绿地的长为： （2﹣3x），宽为（1﹣2x），
由题意可列方程：2× （2﹣3x）（1﹣2x）= ×2×1，
即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，分析题意准确抓住相等关
系是解方程的关键．
7．（4分）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：
一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是 P ，P ，则下列结论正确的
1 2
是（ ）
A．P =P B．P ＞P C．P ＜P D．P ≤P
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据题意画出相应的树状图，找出小红、小明获胜的情况数，进而求
出P ，P 的值，比较即可．
1 2
【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：
12所有等可能的情况数有6种，其中小红获胜的情况有2种，小明获胜的情况有2
种，
则P =P = = ，
1 2
故选A
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（4分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当
线段AB最短时，点B的坐标是（ ）
A．（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）
【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短，得到AB垂直于直线y=2x﹣4时最
短，过 A 作 AB⊥直线 y=2x﹣4，垂足为 B，过 B 作 BD⊥x 轴，设 B（a，2a﹣
4），根据三角形ABD与三角形BCD相似，由相似得比例列出关于a的方程，求
出方程的解得到a的值，即可确定出B坐标．
【解答】解：过A作AB⊥直线y=2x﹣4，垂足为B，过B作BD⊥x轴，
令y=0，得到x=2，即C（2，0），
设B（a，2a﹣4）（a＞0），即BD=|2a﹣4|，|OD|=a，
∵∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠BDC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2=AD•DC，即（2a﹣4）2=（a+1）（2﹣a），
整理得：5a2﹣17a+14=0，即（5a﹣7）（2﹣a）=0，
13解得：a= 或a=2（不合题意，舍去），
则B（ ，﹣ ）．
故选D
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三
角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，以及解一元二次方程，解题的
关键是利用垂线段最短确定出B的位置．
9．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，延长 AB 至点 E，使得 BE=1，
EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】连接AC，易得△ACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得
出结论．
【解答】解：连接AC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°．
∵EF⊥AE，EF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠CAF=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC= =2 ．
∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，
14∴AF= =3 ，
∴CF= = = ．
∵M为CF的中点，
∴AM= CF= ．
故选D．
【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角
形是解答此题的关键．
10．（4分）如图，在平行四边形 ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，
点P、Q同时从 顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，
点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止
运动．设运动时间为 x秒，P、Q经过的路径与线段 PQ围成的图形的面积为 y
（cm2），则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】当点P在AB上时，易得S 的关系式；当点P在BC上时，高不变，
△APQ
但底边在增大，所以P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一
个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断
15出相应的图象即可．
【解答】解：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围
成的图形的面积= x× = ；
当点P在BC上时，即3≤x≤9时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面
积= ×3× + （2x﹣6+x﹣3） = ﹣9 ，y随x的增大而增大；
当点P在CD上时，即9≤x≤12时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的
面积=12× ﹣ （12﹣x）（﹣ +12 ）= +12 x﹣36 ；
综上，图象A符合题意．
故选A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，考查了学生从图象中读取信息
的能力，正确列出表达式，是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）若使式子 有意义，则x的取值范围是 x ≤ 且 x ≠ 0 ．
【分析】根据当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达
式是二次根式时，被开方数非负，可得答案．．
【解答】解：使式子 有意义，得
．
解得x≤ 且x≠0，
故答案为：x≤ 且x≠0．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方
面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式
时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
1612．（5 分）如图，在⊙O 中，∠AOB+∠COD=70°，AD 与 BC 交于点 E，则
∠AEB的度数为 35 ° ．
【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB= AOB，∠CBD= COD，然
后由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BD，∵∠ADB= AOB，∠CBD= COD，
∵∠AEB=∠CBD+∠ADB= （∠AOB+∠COD），
∴∠AEB= ×70°=35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理
是解题的关键．
13．（5分）因式分解：﹣ x2+ x﹣ = ﹣ （ x﹣1 ） 2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=﹣ （x2﹣2x+1）=﹣ （x﹣1）2，
故答案为：﹣ （x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．
1714．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD
的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几
个结论：
①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；
②AE的长度为 ；
③BD的长度为 ；
④若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，则S=AE•BD．
其中正确的结论是 ②③④ （将正确结论的序号都填上）
【分析】由中线的定义，可得到 AB=AC，但AB=AC时未必有AC=BC，可判断①；
△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好
是三角形ABC周长的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可
求出AE的长，可判断②③；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可
判断④；则可得出答案．
【解答】解：
当AD是BC边中线时，则BD=CD，
∵△ABD与△ACD的周长相等，
∴AB=AC，
但此时，不能得出AC=BC，即不能得出CE是AB的中线，
故①不正确；
∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD+AD=AC+CD+AD，
∴AB+BD=AC+CD，
∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，
18∴AB+BD=AC+CD= ．
∴BD= ﹣c= ，
同理AE= ，
故②③都正确；
当∠BAC=90°时，则b2+c2=a2，
∴AE•BE= × = [a﹣（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]= [a2﹣（c﹣b）2]=
[a2﹣（c2+b2﹣2bc）]= ×2bc= bc=S，
故④正确；
综上可知正确的结论②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及
三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（ ﹣1）0+（﹣1）2015+（ ）﹣1﹣2sin30°．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第
三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到
结果．
【解答】解：原式=1﹣1+3﹣2× =1﹣1+3﹣1=2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）解不等式组： ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
19【解答】解： ，
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜3，
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口
诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小找不到（无解）．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC是格点三角形（三角形顶点在小方格
顶点上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A B C ，作出平移后的△A B C ．
1 1 1 1 1 1
（2）将△A B C 经过适当方式进行图形变换后得到△A B C ，使得△A B C 与
1 1 1 2 2 2 2 2 2
△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A B C ，并说出你是如何将△A B C 进
2 2 2 1 1 1
行图形变换后得到△A B C 的．
2 2 2
【分析】（1）将三角形的三个顶点向下平移3个单位得到其对应点，顺次连接
即可得；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ，结合图形可先旋转、
2 2 2
再平移得到．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
20（2）如图所示，现将△A B C 绕点B 顺时针旋转180°，再向左平移8个单位、
1 1 1 1
向下平移3个单位即可得到△A B C ．
2 2 2
【点评】本题主要考查了图象的平移与旋转．掌握平移与旋转关键是先确定对
应点坐标，再连成图形便可．
18．（8分）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，
同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的
正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点 C的距离．（注：
里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
【分析】作BG⊥AC于G，在图中标注方向角，根据等腰三角形的性质和正弦、
余弦的概念求出AC、BC即可．
【解答】解：作BG⊥AC于G，
∵点C在A的南偏东60°，
∴∠A=90°﹣60°=30°，
∵C在B的南偏东30°，
∴∠ABC=120°，
21∴∠C=30°，
∴BC=AB=100里，
∴BG=BC•sin30°=50里，
CG=BC•cos30°=50 里，
∴AC=2CG=100 里．
答：A船到达事发地点C的距离是100 里，B船到达事发地点C的距离是100
里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、
熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分为两个空间．三个
盒子分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一样物品）；
（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；
（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多
少？
【分析】（1）共有6个空间，随机打开一个有种可能结果，列举即可；
（2）列表表示出所有可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）将三个箱子里的物品用字母分别表示为笔记 B ，S ，B 、
1 1 2
22B 、S 、S ，
3 2 3
随机抽取一个盒子打开一个空间，共有 B ，S ，B 、B 、S 、S 这6种等可能结
1 1 2 3 2 3
果；
（2）列表如下：
首次打开一个空间 再打开另一个空间
B S
1 1
S B
1 1
B B
2 3
B B
3 2
S S
2 3
S S
3 2
随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是 = ．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率P
（A）= ．
20．（10分）如图，AB∥CD，点 E，F分别是 AB，CD上，连结 EF，∠AEF，
∠CEF的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H．
（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，
分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP是菱形．
（2）在（1）的条件下，联结GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．
【分析】（1）首先证明四边形EGFH是矩形，再证明四边形MGKE是菱形，利
用可证四边形 EKHP，四边形 KFQH，四边形 KFNG 都是菱形，即可推出
MN=NQ=PQ=PM，推出四边形MNQP是菱形；
23（2）四边形MEKG是菱形．只要证明KE=KG，四边形MEKG是平行四边形即可；
【解答】（1）证明：∵GE平分∠AEF，HE平分∠BEF，
∴∠GEH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠GEF= ∠AEF，∠GFE= ∠CFE，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
同理∠EHF=90°，
∴四边形EGFH是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE是菱形，
同理可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG都是菱形，
∴MG=GN=NF=FQ=QH=HP=PE=EM，
∴MN=NQ=PQ=PM，
∴四边形MNQP是菱形．
（2）四边形MEKG是菱形．
理由：∵四边形EGFH是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE是菱形．
24【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（本大题满分12分）
21．（12分）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为 1的⊙B经过
点O，且与x，y轴分别交于点A，C，点A的坐标为（﹣ ，0），AC的延长线
与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．
【分析】（1）根据圆周角定理AC是⊙B的直径，得到根据勾股定理求出OC，
根据正弦的概念求出∠CAO的度数；
（2）根据三角形的外角的性质求出∠DOE=60°，求出点D的坐标，代入计算即
可．
【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径，
∴AC=2，
∵点A的坐标为（﹣ ，0），
25∴OA= ，
∴OC= =1，
则OC= AB，
∴∠CAO=30°；
（2）连接OB，作DE⊥x轴于E，
∵BA=BO，
∴∠ODA=∠CAO=30°，
∴∠DOE=∠CAO+∠ODA=60°，OD=OA= ，
∵OD为⊙B的切线，
∴OB⊥OD，
∴OE= OD= ，DE= OD= ，
则点D的坐标为：（ ， ），
× = ，
∴过D点的反比例函数的表达式为：y= ．
【点评】本题考查的是切线的性质、反比例函数解析式的确定、勾股定理的应
用以及锐角三角函数的概念，掌握切线的性质定理、正确求出点 D的坐标是解
题的关键．
26七、解答题（本大题满分12分）
22．（12分）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之
间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个
为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄
金分割线．
（1）求这个顶点对应角的度数；
（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD的长；
（3）试求sin72°的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，运用三角形内角和定理，即可得到顶点对应
角的度数；
（2）根据△CBD∽△ABC，得到 = ，再设BD=x，则 = ，即x2+x+1=0，
即可解得x= ，进而得到BD= ；
（3）过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 于点 E，根据等腰三角形的性质可得 BE= BD=
，在 Rt△BCE 中，根据勾股定理可得 CE= = ，最后在
Rt△BCE中，求得sin72°= = ．
【解答】解：（1）符合条件的三角形可画出如下三种：
27如图①，△BCD∽△BAC，△ACD是等腰三角形，
设∠A=∠ACD=α，则∠BDC=∠B=2α，∠BCD=α，
∵△BCD的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠ACB=72°；
如图②，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，
设∠C=∠CAD=α，则∠ADB=∠DAB=2α，∠B=α，
∵△ADB的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠CAB=3α=108°；
如图③，△CAD∽△CBA，△BAD是等腰三角形，
设∠C=∠B=∠CAD=α，则∠ADB=2α，∠DAB=α，
∵△ADB的内角和等于180°，
∴4α=180°，即α=45°，
∴∠BAD=2α=90°，
综上所述，这个顶点对应角的度数分别为72°，108°，90°；
（2）由题意知，△CBD∽△ABC，
∴ = ，
设BD=x，则
28= ，即x2+x+1=0，
解得x= ，
∴BD= ；
（3）如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，
则BE= BD= ，
∴Rt△BCE中，CE= = = ，
∴Rt△BCE中，sin72°= = ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，黄金分割以
及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关
键是画出图形，依据等腰三角形和相似三角形的性质进行求解．
八、解答题（本大题满分14分）
23．（14分）已知抛物线 l ：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点 A、B（点A在点B左
1
边），与 y 轴交于点 C，抛物线 l 经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（4，
2
0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线l 的解析式；
2
（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛
物线l 于点M，交抛物线l 于点N．
1 2
①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；
②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．
29【分析】（1）令抛物线l ：y=0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l
1 2
的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到
抛物线的解析式；
（2）①由点 A 和点 B 的坐标可求得 AB 的长，设 P（x，0），则 M（x，﹣
x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．然后依据S = AB•MN列出S与x的函数
AMBN
关系，从而可得到当S有最大值时，x的值，于是可得到点P的坐标；②CM与
DN 不平行时，可证明四边形 CDNM 为等腰梯形，然后可证明 GM=HN，设 P
（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．从而可列出关于 x
的方程，于是可求得点 P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．
故此DC=MN=5，从而得到关于x的方程，从而可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x =﹣1，x =3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
设抛物线l 的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
2
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，
∴a= ．
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2；
（2）①如图1所示：
30∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．
∵MN⊥AB，
∴S = AB•MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．
AMBN
∴当x= 时，S 有最大值．
AMBN
∴此时P的坐标为（ ，0）．
②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM=DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中 ，
∴△CGM≌△DNH．
∴MG=HN．
31∴PM﹣PN=1．
设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．
∴（﹣x2+2x+3）+（ x2﹣ x﹣2）=1，解得：x =0（舍去），x =1．
1 2
∴P（1，0）．
当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC=MN．=5
∴﹣x2+2x+3﹣（ x2﹣ x﹣2）=5，
∴x =0（舍去），x = ，
1 2
∴P（ ，0）．
总上所述P点坐标为（1，0），或（ ，0）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数的解析式、等腰梯形的性质、全等三角形的性质、平行四边形
的性质和判定，依MN=DC=5、PM﹣PN=1列出关于P的横坐标x的方程是解题
的关键．
32
