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九年级上册第 24 章 圆
第 1 课时 《与圆有关的性质（1）》
一、基础练习
1．下列命题中，正确的是【 】
A．直径不是弦
B．半径是弦
C．矩形的四个顶点一定能在同一个圆上
D．一条弦所对的弧，不是优弧就是劣弧
2．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的最大距离3，最小距离为1，则此圆的半径为
【 】
A．2或1 B．2或4 C．2 D．1
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝【 】
A．66° B．33° C．24° D．30°
4．如图，在扇形AOB中，D为弧AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，
若CD＝OA，∠O＝69°，则∠A的度数为【 】
A．35° B．52．5° C．70° D．74°
（第3题图） （第4题图） （第6题图）
5．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 ．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为D，CD＝4，OD＝3，则
DB为 ．
7．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，
若OM的长为整数，则这样的点M有 个．
（第7题图） （第8题图）
⌒
8．如图，⊙O 中，P 为优弧AB上一个动点（不与 A，B 两点重合），PQ⊥AB，垂足为 Q，
D是BP的中点，连接DQ．若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是 ．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，BC＝6cm，D为AC的中点，求OD的长．（第9题图）
10．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，
垂足分别为E、F，求EF的长．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，
求证：∠AOC＝∠BOD．
（第11题图）
12．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO
＝3，OF＝1，求BD的长．
（第12题图）
13．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP
⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
（第13题图）三、综合实践
14．如何在操场上画一个半径为3m的圆？
第 2 课时 《与圆有关的性质（2）》
一、基础练习
1．下列命题中，正确的是【 】
A．弦的垂线平分弦所对的弧
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．平分弦的直径垂直于这条弦
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为【 】
25 25
A．5 B．10 C． D．
3 6
4．往直径为 60cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB＝48cm，
则水的最大深度为【 】
A．10cm B．11cm C．20cm D．12cm
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
5．在⊙O中，直径为26cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 ．
6．如图，已知⊙O 的半径为 7，AB是⊙O 的弦，点P 在弦 AB 上．若 PA＝4，PB＝6，则
OP的长为 ．
7．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石
拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
8．如图，⊙O 的弦 AB 垂直于 CD，E 为垂足，AE＝3，BE＝7，且 AB＝CD，则圆心O 到CD的距离是 ．
9．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
（第9题图）
10．已知，如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，
求AB的长．
(第10题图)
二、拓展提升
11．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，∠DEB＝30°，AE＝2，EB＝6，求CD的长．
（第11题图）
︵
12．如图，⊙O的直径是4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2 3cm，求∠APC
的度数．
（第12题图）
13．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点
E．若DE＝3，⊙O的半径长为 13，求BC的长．（第13题图）
三、综合实践
14．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m．
（1）请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
（2）当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施．若某次洪水中，水面离拱顶只
有2m，即PN＝2m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
（第14题图）
第 3 课时 《与圆有关的性质（3）》
一、基础练习
1．下列语句中，正确的有【 】
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC的度数是【 】
A．80° B．100° C．120° D．140°
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
︵
3．如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB的度数是【 】A．45° B．80° C．85° D．90°
︵ ︵
4．如图，在⊙O中，若AB＝2CD，则AB与2CD的大小关系为【 】
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
5．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数是 ．
︵ ︵
6． 如图，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 ．
（第6题图） （第7题图） (第8题图)
7．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE
＝1，则AE的长为 ．
︵
8．如图，在半径为 3 的⊙O中，AB是直径，AC 是弦，D 是AC的中点，AC 与 BD交于点
E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
9．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，连结AC、BD，且AC＝BD．
求证：AB＝CD．
（第9题图）
︵
10．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB＝8，OD＝3，求⊙O
的半径．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，在⊙O中，弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝6，求⊙O的
半径．（第11题图）
︵
12．如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为AB的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求
证：MC＝NC．
（第12题图）
︵
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，
连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
（第13题图）
三、综合实践
14．我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距
之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆
心角的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量
也相等．（弦心距指从圆心到弦的距离（如图（1）中的OC、OC'），弦心距也可以说成圆
心到弦的垂线段的长度．）
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题．
如图（2），O 是∠EPF 的平分线上一点，以点 O 为圆心的圆与角的两边分别交于点 A、B、
C、D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请
加以证明．（第14题图）
第 4 课时 《与圆有关的性质（4）》
一、基础练习
1．下列图形中的∠ABC是圆周角的是【 】
A. B. C. D.
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45° ，⊙O 的半径为2，则AB的长等于【 】
A．2 B．4 C． 2 2 D． 2 3
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，点A，B，C是⊙O上的点．∠AOC＝90°，∠BAC＝35°，则∠AOB等于【 】
A． 10° B． 20° C．35° D．40°
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠BCD＝110°，则∠AED等于
【 】
A．30° B． 10° C． 15° D．20°
⌒
5．如图，在⊙O中，点M是AB的中点，连结MO并延长，交⊙O于点N，连结BN．若
∠AOB＝140°，则∠N的度数为 ．
6．如图，在⊙O中，点C在劣弧AB上，D是优弧AB的中点，∠BOD＝114°，则∠ACD
等于 ．
7．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示
的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
8．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的
坐标为(－2,0)，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝ ．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点
D，求OD的长．
（第9题图）
10．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，
求弦AD的长．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点
M、N分别是AC、BC的中点，求MN的最大值．
（第11题图）
12．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD⊥AC，OD与AC交于
点E．
(1)若∠CAB＝20°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝8，AC＝6，求DE的长．
（第12题图）
⌒
13．如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6， AC＝8，则⊙O的半径和CE的长．
（第13题图）
三、综合实践
14．请认真自学课本 87 页“多边形的外接圆”，探究如何找出多边形的外接圆的圆心，并利
用圆如何探究出多边形的内角和？写一写你的认识（200字左右，可结合图形或案例阐释）．
第 5 课时 《与圆有关的性质（5）》
一、基础练习
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为【 】
A．138° B．121° C．118° D．112°
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝【 】
A． 15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数【 】
A． 80° B． 100° C． 140° D．160°
4．如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F
⌒
是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为【 】
A．115° B．118° C． 120° D．125°
（第4题图）
（第5题图）
5．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD＝68°，AO//DC，则∠B的度数为
【 】
A．40° B．60° C．56° D．68°
⌒
6．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是AB上任意一
点，则∠ADB度数为 ．
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D
经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 ．
8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA
＝ ．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB ，∠FBC ，∠GCD的度数之比
为1 :2 :4，求∠D的度数．（第9题图）
10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于
G．
(1)求证：∠FGC＝∠ACD；
(2)若AE＝CD＝8，试求⊙O的半径．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB，交CB的延长线于点E．若BA平分∠
DBE，AD＝7，CE＝ 13，求AE的长度．
（第11题图）
12．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的
面积是30cm2，求AC的长度．
（第12题图）
13．如图①，在△ABC中， CA＝CB， D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B
作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
（第13题图）
三、综合实践
14．通过本节课的学习，大家都知道“圆内接四边形的对角互补”，同学们能不能自我探究“对
角互补的四边形一定内接于一个圆吗？”写一写你的认识（200 字左右，可结合图形或
案例阐释）．
第 6 课时《点与圆的位置关系（1）》
一、基础练习
1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在【 】
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P
与⊙O的位置关系是【 】
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外
3．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足【 】
A．0＜r＜6 B．0＜r≤6 C．r＞6 D．r≥6
4．矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P
为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【 】
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内（第4题图）
（第5题图）
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10cm，若弦CD＝8cm，则点A、B到直线CD的距离之
和为 ．
6．已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在⊙O ．
7．已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ．
8．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3，以C为圆心，r为半径作⊙C，如果点B在
圆内，而点A在圆外，那么r的取值范围是 ．
9．设AB＝4cm，作出满足下列要求的图形
（1）到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；
（2）到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；
（3）到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，AC＝10cm，CD为中线，以点C为
5
圆心，以 5cm为半径作圆，则点A，B，D与⊙C的位置关系如何．
2
（第10题图）
二、拓展提升
11．已知矩形ABCD的边AB＝5，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O．
（1）以点A为圆心，12为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点
在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
（3）试猜想：矩形的四个顶点能在同一个圆上吗？如果在同一个圆上，是在怎样的一个
圆上？12．如图，△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形，
求证：（1）点A，D，B，C在同一个圆上；
（2）点A，E，D，B在同一个圆上．
（第12题图）
13．如图，在平面直角坐标系中有A（8，0），B（0，6），C（1，7）三点，且⊙M经过原点
O及A，B两点，AB为⊙M的直径．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
（第13题图）
三、综合实践
14．学习了点与圆的位置关系，请你从数和形的角度谈谈你对点与圆的位置关系的认识．
第 7 课时《点与圆的位置关系（2）》
一、基础练习
1．下列语句中，正确的是【 】
A．经过三点一定可以作圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三角形各边距离相等
2．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的【 】
A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高的交点
3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点
上，则△ABC的外心是【 】A．点D B．点E C．点F D．点G
（第3题图） （第5题图）
4．如图，锐角三角形ABC中，点O为AB中点．甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△
ABP的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是【 】
甲的作法 乙的作法
过点B作与AC垂直的直线， 以O为圆心，OA长为半径画弧，
交AC于点P，则P即为所求 交AC于点P，则P即为所求
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
5．如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆
心的坐标是 ．
7．△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3，以C为圆心，r为半径作⊙C，如果点B在圆
内，而点A在圆外，那么r的取值范围是 ．
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
3
8．如图，已知直线y＝ x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，
4
1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是 ．
9．如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰
富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km，如果渔船始终
保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？（第9题图）
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点
在以O为圆心的圆上．
（第10题图）
二、拓展提升
11．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，
使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）．
（第11题图）
12．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
（第12题图）
13．如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，∠ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于
点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，求证：
（1）∠CAD＝∠ABD；
（2）点P是线段AF的中点．（第13题图）
三、综合实践
14．我们知道确定一个圆需要知道圆的两个元素：圆心和半径，请你结合这个知识谈谈过三
点能否作出一个圆．
第 8 课时《直线与圆的位置关系（1）》
一、基础练习
1．已知⊙O 的半径为 6cm，点 O 到直线 l 的距离为 7cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是
【 】
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系
是【 】
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3．在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C
与AB的位置关系是【 】
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
（第3题图）
（第4题图）
4．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点
P，则∠P的度数是【 】
A．24° B．25° C．28° D．31°
5．已知⊙O 的半径为 5，直线 AB 与⊙O 相交，则圆心 O 到直线 AB 距离 d 的取值范围
是 ．
6．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的
半径为 ．（第6题图）
（第8题图）
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝
3时，⊙B与AC的位置关系是 ．
8．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上
运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 ．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙
C与AB的位置关系：
（1）r＝2cm；（2）r＝2．4cm；（3）r＝3cm．
10．在平面直角坐标系中，有两点A（5，2），B（2，5），以点A为圆心、AB的长为半径作
圆，试判断⊙A与x轴、y轴的位置关系．
二、拓展提升
11．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－2 2
x+m－1＝0有实数根，试判断直线l与⊙O的位置关系．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点M为AB的中点．
（1）试判断半径为3的⊙A和直线BC、CM的位置关系；
（2）试判断半径为1．5的⊙M和直线AB、AC、BC的位置关系．
（第12题图）13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10 3cm，点O是起初与点A重合，此
时⊙O的半径为 1cm，当点 O以每秒 3cm 的速度向终点 B运动时，同时⊙O 的半径以
每秒 1cm 的速度增加，设运动时间为 t 秒，请分别求出当 t 在什么范围内取值时，直线
BC与⊙O相离？相切？相交？
（第13题图）
三、综合实践
14．我们知道点与圆的位置关系有3种，请你结合这个知识及它的探究方法谈谈你对直线与
圆的位置关系的认识．
第 9 课时《直线与圆的位置关系（2）》
一、基础练习
1．下列四个选项中的表述，正确的是【 】
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2．⊙O的半径长为4，一条弦AB长为4 3，以点O为圆心，2为半径的圆与AB的位置关
系是【 】
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝35°，则∠OCB的
度数为【 】
A．42．5° B．55．5° C．62．5° D．75°
（第3题图） （第4题图）1
4．如图，AB与⊙O相切于点B，连接并延长AO交⊙O于点C，连接BC，若OC＝ OA，
2
则∠C等于【 】
A．15° B．22．5° C．30° D．45°
5．已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y＝kx+2（k≠0）
与⊙A的位置关系是 （相切、相交或相离）．
6．直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范
围是 ．
⌒ ⌒
7．如图，⊙O中，BC＝AB，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D．若∠ABC
＝50°，则∠ADC的度数是 ．
（第7题图） （第8题图）
8．如图，AB是⊙O 的直径，AC 是弦，AD垂直于过点 C 的切线，垂足为点 D．若∠CAD
＝37°，则∠CAB的大小为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC，以 AB 为直径的⊙O 与AC 交于点 D，过D作 DF⊥BC，
交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．
（第9题图）
⌒
10．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB
的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
（第10题图）
二、拓展提升11．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝90°，连接 BD，DB 恰好是∠ADC 的平分线，以 AD
为直径作⊙O，⊙O经过点B，CD的延长线交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，DE＝8，求⊙O的半径．
（第11题图）
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠
BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
（第12题图）
13．如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半
径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
（第13题图）
三、综合实践
14．根据你对切线的认识，谈谈图中P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的一条切线．（第14题图）
第 10 课时《直线与圆的位置关系（3）》
一、基础练习
1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、
PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为【 】
A．8 B．6 C．12 D．10
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝【 】
A．125° B．115° C．100° D．130°
3．如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，点C在优弧AB上，若∠P＝68°，
则∠ACB等于【 】
A．22° B．34° C．56° D．68°
4．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OP交⊙O于点C，交弦AB
于点D．下列结论中错误的是【 】
A．PA＝PB B．OP⊥AB
⌒ ⌒
C．AC＝BC D．△APB是等边三角形
（第4题图） （第5题图） （第6题图）5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠
P＝50°，则∠ACB的度数为 ．
6．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的
度数为 ．
7．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝8，则⊙O的半
径等于 ．
（第7题图） （第8题图）
8．如图，△ABC中，若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则△ABC的内切圆半径R＝ ．
9．如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点
E，F，求△BEF的周长．
（第9题图）
10．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点且与BC边交于点E，
D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，DF＝2 10，求⊙O的半径．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧
BC于点P．
（1）证明：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．（第11题图）
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别
与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．
（第12题图）
13．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，
且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
（第13题图）
三、综合实践
14．请认真阅读人教版教材九年级上册99页探究的相关内容，结合图形谈谈你对这个基本
图形的认识．第 11 课时 《正多边形和圆（1）》
一、基础练习
1．内角为108°的正多边形是【 】
A. B. C. D.
2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是【 】
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
3．已知一个正方形外接圆的半径为R，边心距为r，则r∶R等于【 】
A．1：2 B． 2：2 C． 3：2 D． 3：2
4．半径为r的圆的内接正三角形的边长是【 】
3r
A．2r B． 3r C． 2r D．2
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为⊙O上的一点（点P不与点C、点D重合），
则∠CPD的度数为【 】
A．30° B．36° C．144° D．36°或144°
（第5题图） （第8题图）
6．一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为 ．
7．AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠
BAC的度数是 ．
8．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于3 3，则⊙O
的面积等于 ．
9．如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，求⊙O的内接正六边形弦心距．
（第9题图）10．如图，A、B、C是⊙O上顺次三点，若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的
一边，求∠BAC的度数．
（第10题图）
二、拓展提升
11．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，探求
3
出下列关系．(1) h＝R+r (2) R＝2r (3) R＝ 3 a
（第11题图）
⌒
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为CD的中点，连接AM，BM．
⌒ ⌒
(1)求证：AM＝BM；
⌒
(2)求AM所对的圆心角的度数．
（第12题图）
13．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、
正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（第13题图）
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
三、综合实践
14．活动实践：正多边形与圆到底有什么样的关系呢?（以正五边形为例）回答下列的问题
我们就会知道答案：
①如图所示：如何将圆等分为5份？
②如图，已经将圆等分，并做出五边形，你能证明它一定是正五边形吗？
对正多边形与圆关系写一写你的认识（200字左右，可结合图形或案例阐释）．
（第14题图）
第 12 课时 《正多边形和圆（2）》
一、基础练习
1．正方形的外接圆半径与内切圆半径之比是【 】
A． 2∶1 B． 2∶1 C． 1∶ 2 D． 1∶2
2．圆内接正六边形的边长与边心距之比为【 】
A． 2∶1 B． 3∶2 C． 3∶2 D． 2 3∶3
3．正六边形的两条平行边间的距离为2，则它的边长为【 】
3 2 3 3 3
A． B． C． D．
2 3 2 3
4．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的【 】
A．3倍 B．5倍 C． 4倍 D．2倍5． 已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y与x的函数关系式是【 】
2 2 1 2
A． y＝ x B． y＝ x C． y＝ x D． y＝ x
4 8 2 2
6．正十二边形的每一个外角为 °，每一个内角是 °，该图形绕其中心至少旋转 °
和本身重合．
7．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为 cm．
8．有一个边长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形
纸片的半径最小是 cm．
9．作边长为 3cm的正六边形．
10． 已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D′分别是⊙O的内接正方形和
外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S ∶S ．
内 外
（第10题图）
二、拓展提升
11．用尺规作圆内接正八边形．
12． 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出它的对角线，画出一个五角形．
13． 如图，已知AB，AC分别是⊙O的内接正六边形和正十边形的一边．求证：BC是⊙O
的正十五边形的一边．（第13题图）
三、综合实践
14．请认真自学课本 “活动 图案设计”，设计一个与圆、圆弧有关的图案，对圆中的弦、
圆弧关系写一写你的认识（200字左右，可结合图形或案例阐释）．
第 13 课时 《弧长和扇形面积（1）》
一、基础练习
1． 半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为【 】
3 3 1
A．2π B． π C． π D． π
2 4 2
2. 已知圆弧的度数为120°，弧长为12π cm，则圆的半径为【 】
A．2 B．6 C．8 D．18
3. 已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是【 】
3
A． π B．3π C．5π D．15π
2
⌒
4. 如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2 3 ，则AC
的长为【 】
3π 5π 4π 4 3π
A． B． C． D．
2 3 3 3
5．用一块弧长8𝜋cm的扇形铁片，做一个高为3cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），
那么这个圆锥的母线长为 cm．
6．若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 ．
7．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不
计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留𝜋）
（第4题图） （第7题图）
（第8题图）8．如图，在长方形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AB，CD长为半径画弧，两弧均交
对角线AC于点O．若BC＝2 3，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
9．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝
45°．
(1)求∠EBC的大小；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（第9题图）
10．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延
长线上，连接AD．
(1)求证：BC∥AD；
(2)若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
（第11题图）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，5），B
（－2，1），C（－1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A B C ，已知点C 的坐标为（4，0），画出图形并直接写
1 1 1 1
出顶点A 的坐标_______；
1
（2）将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A B C ，请画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）在第（2）题中，请求出点C转到C 位置时所经过的路径长_______．
2（第12题图）
⌒
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE．过点A作AG⊥
AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD．
（2）若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．
（第13题图）
三、综合实践
14．如何在扇形中剪出最大的正方形？请结合本节课内容，写出你的方法并说明理由．
第 14 课时《弧长和扇形面积（2）》
一、基础练习
1．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为【 】
A．30π B．15π C．20π D．6π
2．如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知一个三角形的三边长分别为 3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一
周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为【 】
A．12π B．15π C．20π D．24π
4．如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片
EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆
锥的表面积为【 】A．4π cm2 B．5π cm2 C．6π cm2 D．8π cm2
5．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8 cm，扇形的
圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为________ cm．
（第4题图） （第5题图） （第8题图）
6．圆锥的高为2 2，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是
度，该圆锥的侧面积是 ．（结果用含π的式子表示）
7．若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°．
8．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥
侧面运动一周后到达母线PA的中点B处，则蚂蚁爬行的最短路程为________．(结果保留根
号)
9．如图，是一个圆锥形粮仓顶盖，底面半径为5m，圆锥的高为5 3m，要用铁皮制作这个
粮仓顶盖，需要多少平方米铁皮？
（第9题图）
︵
10．如图，在扇形OAB中，C是AB上一点，延长AC到点D，且∠BCD＝75°．
(1)求∠AOB的度数；
(2)扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，若OA＝12，求该圆锥的底面半径．
（第10题图）
二、拓展提升
11．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕AC边所在的直线旋转
一周得到一个圆锥，求该圆锥的全面积．12．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
（2）如果 A 是底面圆周上一点，从点 A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到 A 点，求这
根绳子的最短长度．
（第12题图）
13．如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，与正六边形ABCDEF
重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，求该圆锥的底面半径与母线长的比．
（第13题图）
三、综合实践
14．【问题】如图1、2是底面半径为1cm，母线长为2cm的圆柱体和圆锥体模型．现要用
长为2πcm，宽为4cm的长方形彩纸（如图3）装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱
和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些纸最多能装饰多少套模型呢？
【对话】老师：“长方形纸可以怎么裁剪呢？”
学生甲：“可按图4方式裁剪出2张长方形．”
学生乙：“可按图5方式裁剪出6个小圆．”
学生丙：“可按图6方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”
老师：尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学的裁剪方法！
【解决】（1）计算：圆柱的侧面积是 cm2，圆锥的侧面积是 cm2．
（2）1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆锥模型；5 张长方形彩纸剪拼后最多能
装饰 个圆柱体模型．
（3）求用122张彩纸对多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．第 15 课时《单元复习（2 课时）》
一、基础练习
1．下列说法中，正确的是【 】
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
2．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是【 】
A．80° B．100° C．120° D．130°
3． 如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＞AB，以A为圆心裁出一扇形ABE（E在AD上），
将扇形ABE围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面圆半径是【 】
A．4 B．8 C．4 2 D．16
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
4．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11
点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为【 】
2 3 2 4 4
A． π－ B． π－ 3 C． π－2 3 D． π－ 3
3 2 3 3 3
5．如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，
则⊙O的直径AD为 ．
6．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一
个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角
形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦
长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角
三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：“步”为长度单位）．
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
7． 如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦
AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为 ．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为 °．
9．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
（第9题图）
10．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD；
（2）求证：BD＝ID．
（第10题图）
二、拓展提升
11．如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下
水面宽度EF为3m，请通过计算说明是否要禁止通行．
（第11题图）
12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，
AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y
轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，－1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．（第12题图）
13．如图，已知A（－5，0）、B（－3，0），点C在 y 轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥
AB，∠CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运
动，运动时间t s．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的
边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
（第13题图）
三、综合实践
14．回顾本单元作业，看一看下面的问题你解决了吗？请你选择一个完成，并写下自己的学
习感想．
（1）还记得“直线和圆的位置关系（2）”中的“综合实践”吗？
谈谈你有几种方法过点P作⊙O的一条切线？有兴趣的同学可以继续探究，和同学们
交流一下探究的结果吧!
（2）在本单元解决问题的活动中，选择一个最具有挑战性的问题，写下解决它的过程，包
括遇到的困难、克服困难的方法与过程及所获得的体会．
