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单元测试卷
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b B．3a=2b C． D．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线l ∥l ∥l ，一等腰直角三角形 ABC的三个顶点A，B，C分别在
1 2 3
l ，l ，l 上，∠ACB=90°，AC交l 于点D，已知l 与l 的距离为1，l 与l 的距离
1 2 3 2 1 2 2 3
为3，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
6．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，
使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）A． B． C． D．2
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，
在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不
正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接
DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中
心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为
（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
二．填空题
13．如果 = = =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点 G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么
的值等于 ．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件
，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使
B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取 AD=BC，连接
BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为
E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．
19．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=﹣x+3与x轴交于点 C，与直线
AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），
当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC
上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF来测量操场旗
杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF与地面保持平行，并使边DE
与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的
距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍
摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是 2m的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变，
则相机的焦距应调整为多少？答案解析
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b B．3a=2b C． D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b a：b=2：3，故选项正确；
⇒
⇒
C、 = b：a=2：3，故选项错误；
⇒
D、 = a：b=4：3，故选项错误．
故选B． ⇒
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2．若x：y=1：3，2y=3z，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即
可得解．
【解答】解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴ = =﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计
算更加简便．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，∴ = = ，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的
关键，属于基础定义或定理，难度不大．
4．（2016•淄博）如图，直线 l ∥l ∥l ，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点
1 2 3
A，B，C分别在l ，l ，l 上，∠ACB=90°，AC交l 于点D，已知l 与l 的距离为
1 2 3 2 1 2
1，l 与l 的距离为3，则 的值为（ ）
2 3
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先作出作 BF⊥l ，AE⊥l ，再判断△ACE≌△CBF，求出 CE=BF=3，
3 3
CF=AE=4，然后由l ∥l ，求出DG，即可．
2 3
【解答】解：如图，作BF⊥l ，AE⊥l ，
3 3
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l 与l 的距离为1，l 与l 的距离为3，
1 2 2 3
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB= =5 ，
∵l ∥l ，
2 3
∴ =
∴DG= CE= ，
∴BD=BG﹣DG=7﹣ = ，
∴ = ．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判
定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，
就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 =1：2．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B
点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即
可．
【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ = ，
= ，
解得x = ，x = （负值舍去），
1 2
经检验x = 是原方程的解．
1
故选B．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根
据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，
在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角
形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握
相似三角形的判定方法是解题关键．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不
正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项
错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当 = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接
DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF= AB=AD=BD=5 且
∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，
由EF=DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF= AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，即 ，解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运
用其判定与性质是解题的关键．
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比
是解决问题的关键．
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网
格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】网格型．
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，
再利用tan∠QMB=tan∠P= ，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB=∠P，
∵PB′=2 ，PQ=2 ，B′Q=4 ，
∴PB′2+PB′2=B′Q2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB=tan∠P= = =2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是
直角三角形是解题关键．
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中
心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为
（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
【考点】平面直角坐标系中的位似变换．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是 ，根据已知数
据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是 ，
∴ = ，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，
注意位似比与相似比的关系的应用．
二．填空题
13．如果 = = =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k= = =3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质： = = =k k= = ．
⇒
14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，
GD=1，DF=5，那么 的值等于 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式
即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
故答案为： ．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键
是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件
∠ ACD = ∠ ABC （答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相
似的三种判定方法，本题答案不唯一．
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边
的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ = ， = ，
解得x = ，x = （不合题意舍去），
1 2
经检验x = 是原方程的解．
1
故答案为 ．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键
是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
三．解答题（共52分）
17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取
AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可
得到AD2与AC•CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角
形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，
然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC•CD=1× = ．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三
角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为
E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意
的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵ ，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方
法是解题关键．
19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于
点C，与直线AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），
当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（ ， ），D
（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线 AD 与 x 轴的交点为（﹣2，0），得到 OB=2，由点 D 的坐标为
（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到 或
，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（ ， ），D（0，1）代入得： ，
解得： ．
故直线AD的解析式为：y= x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴ 或 ，
∴ = = 或 ，
∴BE=2 ，CE= ，或CE= ，
∵BC•EF=BE•CE，
∴EF=2，CF= =1，
∴E（2，2），或（3， ）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的
作出图形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC
上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而
得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得 ，求出 AF 的长，再由（1）的结论：
AF=FG=BE，即可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，∴FG=BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，
∴ ，即 ，
∴AF=3.6，
∵BE=AF，
∴BE=3.6．
【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF来测量操场旗
杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF与地面保持平行，并使边DE
与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的
距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
【考点】利用标杆测量物体的高度．
【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC
的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 = ，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴ = ，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍
摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是 2m的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变，
则相机的焦距应调整为多少？
【考点】利用镜子测量物体的高度．
【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；
（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的
焦距即可．
【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴ ．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴ ，
解得：LD=7，
∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴ ，
解得：LC=70，
∴相机的焦距应调整为70mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角
形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
