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第十七章卷（3）
一、选择题
1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，
2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 ．其中能构成直角三角形的有（ ）组．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）
A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1
3．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（
）
A． B．3 C． +2 D．
4．如果梯子的底端离建筑物 5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（
）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
5．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小
红和小颖行走的速度都是 40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，
小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
6．如图所示，要在离地面 5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60°角，
若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的 l =5.2m、l =6.2m、
1 2
l =7.8m、l =10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
3 4
第1页（共26页）A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
7．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线 AB
左边阴影部分面积为S ，右边阴影部分面积为S ，则（ ）
1 2
A．S =S B．S ＜S C．S ＞S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
8．在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三
角形三边长分别是（ ）
A．5，4，3B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，10
9．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）
A．1 B． C． D．2
10．直角三角形有一条直角边长为 13，另外两条边长为连续自然数，则周长为
（ ）
A．182 B．183 C．184 D．185
第2页（共26页）二、填空题
11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm，宽为60cm，对角
线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．
12．如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为 S ，S ，S ，且
1 2 3
S =4，S =12，则S = ．
1 2 3
13．将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米
则梯子的底端到墙的底端的距离为 ．
14．如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边
的长度是 ．
15．若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为
度．
16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为 6cm，8cm，那么这个直角三角
形斜边上的高为 cm．
17．命题：“同角的余角相等”的逆命题是 ．
18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 25dm、3dm、
3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口
的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．（结果保留根号）
第3页（共26页）19．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，
顶部距底部有 m．
20．一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另
一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距 海
里．
三、解答题
21．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少
米（先画出示意图，然后再求解）．
22．三个半圆的面积分别为S =4.5π，S =8π，S =12.5π，把三个半圆拼成如图所
1 2 3
示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由．
第4页（共26页）23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，
经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要
200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
24．如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西
8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事
情所走的最短路程是多少？
25．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．
26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时
40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台
风影响的区域．
第5页（共26页）(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
27．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（ ）2+1=2，S =
1
（ ）2+1=3，S =
2
（ ）2+1=4，S =
3
(1)请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
10
(3)求出S 2+S 2+S 2+…+S 2的值．
1 2 2 10
第6页（共26页）答案
1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，
2，3 ④9，40，41 ⑤3 ，4 ，5 ．其中能构成直角三角形的有（ ）组．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平
方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的
逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认
真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大
边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）
A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出
它们的边的比．
【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴c=2a，b= a，
第7页（共26页）∴三条边的比是1： ：2．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算
特殊三角形边的比．
3．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（
）
A． B．3 C． +2 D．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【专题】选择题．
【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】解：如图所示，
Rt△ABC中，∠B=60°，AB=1，
则∠A=90°﹣60°=30°，故BC= AB= ×1= ，AC= = = ，
故此三角形的周长是 ．
故选D．
【点评】考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：
直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理．
4．如果梯子的底端离建筑物 5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（
）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【考点】勾股定理的应用．
第8页（共26页）【专题】选择题．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图所示，AB=13 米，BC=5 米，根据勾股定理 AC= =
=12米．
故选A．
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．
5．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小
红和小颖行走的速度都是 40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，
小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
【考点】勾股定理的应用．
【专题】选择题．
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校
的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据题意得：如图：
OA=40×20=800m．
OB=40×15=600m．
在直角△OAB中，AB= =1000米．
故选C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角
三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
第9页（共26页）6．如图所示，要在离地面 5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60°角，
若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的 l =5.2m、l =6.2m、
1 2
l =7.8m、l =10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
3 4
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【考点】勾股定理的应用．
【专题】选择题．
【分析】根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正
弦函数等于对边比斜边即可解答．
【解答】解：方法1：∠ACD=90°﹣60°=30°，
设拉线AC=x，则AD= x，则．
x2=（ x）2+52，
AC=x= ≈5.77，AC=x=﹣ （不合题意舍去）．
方法2：如图CD=5米，∠A=60°
∴AC= = = ≈5.77米
所以最好选用l
2
故选B．
【点评】此题主要考查三角函数的运用能力．
7．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线 AB
左边阴影部分面积为S ，右边阴影部分面积为S ，则（ ）
1 2
第10页（共26页）A．S =S B．S ＜S C．S ＞S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】因为是直角三角形，所以可以直接运用勾股定理，然后运用圆的面积
公式来求解．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2
又∵
∴S = π = π• ， = （ ）=
1
π• =S
1
∴S =S ，
1 2
故选A．
【点评】此题考查的是勾股定理的运用，三角形的直角边之和等于第三边，而
且圆的面积公式中R2正好与勾股定理中的平方有联系，因此可将二者结合起来
看．
8．在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三
角形三边长分别是（ ）
A．5，4，3B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，10
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
第11页（共26页）【分析】由斜边与一直角边比是13：5，设斜边是13k，则直角边是5k．根据勾
股定理，得另一条直角边是12k．根据题意，求得三边的长即可．
【解答】解：设斜边是13k，直角边是5k，
根据勾股定理，得另一条直角边是12k．
根据题意，得：13k+5k+12k=60
解得：k=2．则三边分别是26，24，10．
故选D．
【点评】用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可．熟练运用勾股
定理．
9．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC= = = ；
AD= = = ；
AE= = =2．
故选D．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直
角边的平方和等于斜边的平方．
第12页（共26页）10．直角三角形有一条直角边长为 13，另外两条边长为连续自然数，则周长为
（ ）
A．182 B．183 C．184 D．185
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】设出另一直角边和斜边，根据勾股定理列出方程，再根据边长都是自
然数这一特点，写出二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得
x2+132=y2，即（y+x）（y﹣x）=169×1
因为x、y都是连续自然数，
可得 ，
∴周长为13+84+85=182；
故选A．
【点评】本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，解这类题的关键是利用
勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm，宽为60cm，对角
线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可
得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩
形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：∵802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
∴∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
第13页（共26页）故答案为：合格．
【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关
键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三
角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角
形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
12．如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为 S ，S ，S ，且
1 2 3
S =4，S =12，则S = ．
1 2 3
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】由正方形的面积公式可知S =BC2，S =AC2，S =AB2，在Rt△ABC中，由
1 2 3
勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S +S =S ，由此可求S ．
1 2 3 3
【解答】解：∵S =4，∴BC2=4，
1
∵S =12，∴AC2=12，
2
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=4+12=16，
∴S =AB2=16．
3
故答案为：16．
【点评】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角
三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．
13．将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米
第14页（共26页）则梯子的底端到墙的底端的距离为 ．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出BC的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2，
∵AB=10m，AC=6m，
∴BC= =8m，即梯子的底端到墙的底端的距离为8m．
故答案为：8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角
三角形中的表达式．
14．如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边
的长度是 ．
【考点】勾股定理；三角形内角和定理．
【专题】填空题．
【分析】根据三角形的三个内角之比是 1：2：3，求出各角的度数，再根据直
角三角形的性质解答即可．
【解答】解：设一份是x，则三个角分别是x，2x，3x．
再根据三角形的内角和定理，得：
x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，则2x=60°，3x=90°．
故此三角形是有一个30°角的直角三角形．
根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，
得，最长边的长度是16．
【点评】此题要首先根据三角形的内角和定理求得三个角的度数，再根据直角
三角形的性质求得最长边的长度即可．
第15页（共26页）15．若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为
度．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】填空题．
【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形
是直角三角形，依此可得这个三角形中最大的角的度数．
【解答】解：设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则
（5x）2+（12x）2=（13x）2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
则这个三角形中最大的角为90度．
故答案为：90．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知
三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为 6cm，8cm，那么这个直角三角
形斜边上的高为 cm．
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程
直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为 =10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为 ×6×8= ×10h，h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段
常见的题目，需同学们认真掌握．
第16页（共26页）17．命题：“同角的余角相等”的逆命题是 ．
【考点】互逆命题．
【专题】填空题．
【分析】先把同角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和
结论即可得到逆命题．
【解答】解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个
角是同一个角的余角”．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
【点评】本题考查了命题与定理，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．
18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 25dm、3dm、
3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口
的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 ．（结果保留根号）
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 25dm，宽为（3+3）
×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=252+[（3+3）×3]2=949，
解得x= ．
故答案为 dm．
第17页（共26页）【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，
只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
19．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，
顶部距底部有 m．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果．
【解答】解：由图形及题意可知，AB2+BC2=AC2
设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2=52，
得x=4，
故答案为4．
【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握，解题的关键是从实际问
题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理．
20．一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另
一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距 海
里．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
第18页（共26页）【分析】正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与 10：
00时，两船之间的连线正好构成直角三角形．根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在直角△OAB中，OB=2×8=16海里．
OA=12海里，
根据勾股定理：AB= = =20海里．
故答案为：20．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数
学的关键．
21．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少
米（先画出示意图，然后再求解）．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB=13，CD=8
又∵BE=CD，DE=BC
∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12
第19页（共26页）∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169
∴AD=13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数
学的关键．
22．三个半圆的面积分别为S =4.5π，S =8π，S =12.5π，把三个半圆拼成如图所
1 2 3
示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】解答题．
【分析】根据S 、S 、S ，可得出AC2，BC2及AB2，根据勾股定理的逆定理可得
1 2 3
出三角形是直角三角形．
【解答】解：∵S = π（ ）2=4.5π，S = π（ ）2=8π，S = π（ ）
1 2 3
2=12.5π，
∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC一定是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，关键是根据面积表示出 AC2，
BC2及AB2，要求熟练掌握勾股定理的逆定理．
第20页（共26页）23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，
经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要
200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】解答题．
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接 BD，在直
角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为
一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，
则容易求解．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S =S +S = •AD•AB+ DB•BC，
四边形ABCD △BAD △DBC
= ×4×3+ ×12×5=36．
所以需费用36×200=7200（元）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明
直角三角形，这样解题较为简单．
第21页（共26页）24．如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西
8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事
情所走的最短路程是多少？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理
即可得出答案．
【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则A′B就是最短路线，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA = =17km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联
系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
25．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
第22页（共26页）能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，
设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．
【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，
根据勾股定理得：
在Rt△ABC中，有：
x2+s2=（x+0.5）2，
在Rt△ADC中，有：
0.52+s2=22，
由以上两式解得：x=3.5，
即湖水深3.5尺．
【点评】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行
求解．
26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时
40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台
风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
第23页（共26页）【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】(1)点到直线的线段中垂线段最短，故应由 A点向BF作垂线，垂足为
C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为 D、G，则△ADG是等
腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影
响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
(2)设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有
AG=200千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，CD= = =120千米，
第24页（共26页）则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．
【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及
速度与时间的关系等，较为复杂．
27．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（ ）2+1=2，S =
1
（ ）2+1=3，S =
2
（ ）2+1=4，S =
3
(1)请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
10
(3)求出S 2+S 2+S 2+…+S 2的值．
1 2 2 10
【考点】勾股定理．
【专题】解答题．
【分析】此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个
图形的一直角边就是 ，然后利用面积公式可得．
由同述OA = ，0A = …可知OA = ．
2 3 10
S 2+S 2+S 2+…+S 2的值就是把面积的平方相加就可．
1 2 3 10
【解答】解：(1) （1分）
（n是正整数）（2分）
第25页（共26页）(2)∵
∴ （3分）
(3)S 2+S 2+S 2+…+S 2
1 2 3 10
= （5分）
=
= ．（6分）
【点评】此题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计
算．千万不可盲目计算．
第26页（共26页）
