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第十七章 勾股定理（压轴题专练）
目录
【考点一 巧妙割补求面积】..............................................................................................................................1
【考点二 “勾股树”及其拓展类型求面积】..................................................................................................5
【考点三 勾股定理及逆定理与网格问题】....................................................................................................11
【考点四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】....................................................15
【考点五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】....................................................22
【考点六 实际问题中的方程思想】................................................................................................................25
【考点七 勾股定理逆定理的拓展问题】........................................................................................................31
【考点一 巧妙割补求面积】
例题：如图，一块四边形花圃 中，已知∠B=90°， ， ， ， .
(1)求四边形花圃 的面积；
(2)求 到 的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，勾股定理求出 ，利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，且
，再根据面积公式四边形花圃 的面积 计算即可；
（2）过点C作 于E，利用面积法求出 即可．
【详解】（1）解：连接 ，∵∠B=90°， ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形花圃 的面积
∴四边形花圃 的面积是 ；
（2）过点C作 于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 到 的距离是 ．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确掌握勾股定理及其逆定理是
解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．
【答案】144
【解析】
【分析】
连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出 BCD是直角三角形，分别求出 ABD和
BCD的面积，即可得出答案． △ △
△【详解】
解：连接BD，
在 ABD中，
∵∠△A=90°，AB=6，AD=8，
∴BD= =10，
S ABD= AB•AD= ×6×8=24，
△
在 BCD中，
∵C△D=26，BC=24，BD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，∴S BCD= BC•BD= ×10×24=120．
△
∴四边形ABCD的面积=S ABD+S BCD=24+120=144．
【点睛】 △ △
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出 ABD和 BCD的面积，注意：
如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直△角三角形△．
2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1
（1）线段BC＝ ，线段CD＝ ；
（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）
【答案】（1） ， ；（2）14.5
【解析】
【分析】
（1）在网格中利用勾股定理进行求解即可；
（2）如图所示， 由此求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）如图所示，
．【点睛】
本题主要考查了勾股定理，以及四边形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；
（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；
（3）根据三角形的面积公式计算．
【详解】
解：（1） ，
，
；
（2）△ABC的面积 ；（3）点C到AB边的距离为h，
则 ，即 ，
解得， ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，
斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【考点二 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D
的面积之和为__________．
【答案】49
【解析】
【分析】
根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．
【详解】
如图对所给图形进行标注：
因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积 ，正方形B的面积 ，正方形C的面积 ，正方形D的面积 ．因为 ， ，
所以正方形A，B，C，D的面积和 ．
故答案为：49．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式训练】
1．如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且 ，则 ___________；
以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则 三者之间的关系为___________．
【答案】 12； s+s=s
1 2 3
【解析】
【分析】
首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC
的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S 的值；第二空同理根据正三角形面积
3
公式与勾股定理，得到S，S，S 三者之间的关系，完成解答．
1 2 3
【详解】
解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，
∴S=AC2，S=BC2，S=AB2，
1 2 3
又∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S=4+8=12，
3
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S，S，S，
1 2 3
∴S= = ×AC2，
1同理可得：S= ×BC2，S= ×AB2，
2 3
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S+S =S ．
1 2 3
故答案是：12，S+S=S．
1 2 3
【点睛】
本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．
2．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为 ．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
【答案】(1)
(2)正方形 ， ， ， 的面积分别为： ， ， ，
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为 ， ，
由勾股定理可得： 正方形的面积 正方形的面积 正方形的面积， 正方形的面积 正方形的面积
正方形的面积； 正方形的面积 正方形的面积 正方形的面积，
， ， ， 四个正方形的面积之和 正方形的面积 ，
答： ， ， ， 四个正方形的面积之和为 ；（2）解： 每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为 ，
设中间的直角三角形的较短的直角边为 ，斜边为 ，由题意得： ，解得 ，
较短的直角边为 ，另一直角边为 ，
设 的边长为 ， 的边长为 ，则 ，解得： ，
的面积是： ； 的面积是： ，
同理：
设 的边长为 ， 的边长为 ，则 ，解得： ，
的面积是； ； 的面积是： ，
答：正方形 ， ， ， 的面积分别为： ， ， ， ．
【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．
3．如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、
D三点在同一条直线上，
(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）
(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有_______个．
(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部
分的面积为_______．
【答案】(1)
(2)3
(3)7.5
【解析】
【分析】
（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得： ；
（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足 的有3个；
（3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论： ，进而求解．
(1)
解：
四边形ABED的面积可以表示为：
，
也可以表示为 ，
所以 ，整理得 ；
(2)
设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则 ，
图③，∵ ，
∴ ，
图④，∵
∴ ，图⑤，∵
∴ ，
故答案为：3．
(3)
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．
【考点三 勾股定理及逆定理与网格问题】
例题：如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到 ， ， 的长度，继而可得出 的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：， ，
，即 ，
是等腰直角三角形．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断 是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．
【变式训练】
1．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 到点 ，使得 ，连接 ，根据勾股定理的逆定理可得 为等腰直角三角形，
即可求解．
【详解】解：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如下图：
由勾股定理得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正
方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高的长度是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理求得 ，由割补法求得 ，设 中 边上的高的长度是 ，利用
三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
设 中 边上的高的长度是 ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的
思想解决问题是解题关键．
3．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都
在格点上，则下列结论错误的是（ ）A． 的面积为10 B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【答案】A
【分析】求出 ，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股
定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解： ， ， ，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点 到直线 的距离是 ，
，
，
，
点 到直线 的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【答案】(1) ， ，
(2)直角
(3)
【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．
（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现
即可判定三角形的形状．
（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．
【详解】（1）由题可知， ；
；
．
（2）解：∵ ， ， ；
∴ ；
∴ 为直角三角形．
（3）如下图，过点 作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
∵ 是直角三角形；∴ ；
∴ ；
∴ ．
【考点四 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据 求出x得到CD的长，利用面积求出答
案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∴ ，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵ ，
∴ ，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，三角形纸片 中， ， ， ． 是 边上一点，连接 ，把 沿
翻折，点 恰好落在 延长线上的点 处，则 的长为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利
用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC= =4，
由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
在△B′CD中， ，
即 ，
解得：x= ，
即CD= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．
2．长方形纸片 中， ， ，点E是 边上一动点，连接 ，把∠B沿 折叠，使点B
落在点F处，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为______．
【答案】 或3
【分析】当 为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接 ，
先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而当 为直角三角形时，只能
得到 ，所以点A、F、C共线，即 沿 折叠，使点B落在对角线 上的点F处，则
， ，可计算出 ，设 ，则 ，然后在 中运用勾
股定理可计算出x．②当点F落在 边上时，如答图2所示．此时 为正方形．
【详解】解：当 为直角三角形时，有两种情况：
当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在 中， ，
∴ ，
∵∠B沿 折叠，使点B落在点F处，
∴ ，
当 为直角三角形时，只能得到 ，
∴点A、F、C共线，即 沿 折叠，使点B落在对角线 上的点F处，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴
解得： ；
②当点F落在 边上时，如答图2所示．
此时 为正方形，
∴ ．
故答案为： 或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性
质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
3．如图，在 中， ，把 沿直线 折叠，使 与 重合．
(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)当 ， 的面积为 时， 的周长为 （用含 的代数式表示）；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠可得 ，根据三角形内角和定理可以计算出 ，进而得
到 ；
（2）根据 的面积可得 ，进而得到 ，再在Rt 中，
，再把左边配成完全平方可得 ，进而得到 的周长．
（3）根据折叠可得 ，设 ，则 ，再在Rt B中利用勾股定理可得
，再解方程可得 的值，进而得到 的长；
【详解】（1）解：由折叠的性质可知： ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 的面积为 ，∴ ，
∴ ，
∵在Rt 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的周长为 ，
故答案为：
（3）解：把 沿直线 折叠，使 与 重合，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt 中， ，
即 ，
解得 ．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换、勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后
哪些是对应角和对应线段．
4．在 中，点 是 上一点，将 沿 翻折后得到 ，边 交线段 于点 ．
(1)如图1，当 ， 时．
和 有怎样的位置关系，为什么？
若 ， ，求线段 的长．(2)如图2，若 ，折叠后要使 和 ，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是
等腰三角形．求此时 的度数．
【答案】(1) ，见解析；
(2) 的值为
【分析】（1） 由折叠可知， ，由平行可知， ，根据三角形内角和得到
，再由 ，利用等量代换可求 ，即可求解；
设 ，则 ，在Rt 中， ，解得： ，设 ，由折叠可知，
，则 ，在Rt 中， ，解得： ，即可求解；
（2）设 ，则 ，当 时， ；当 时，当 时，
，不符合题意，舍去；当 时， ， ；当 时，
， ；当 时此时 ， ，不成立；当 时，
此时不成立；当 时，此时不成立；当 时，当 时，此时不成立；当
时， ；当 时，此时不成立．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由折叠可知， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设 ，则 ，
由折叠可知， ，
在Rt 中， ，，解得： ，
，
设 ，由折叠可知， ，则 ，
在Rt 中， ，
，解得： ，
即 ；
（2）解： ，
设 ，则 ，
由折叠可知， ，
当 时， 是直角三角形则 是等腰三角形，
，
；
当 时， 是直角三角形，则 是等腰三角形，
，
，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去；
当 时， ，此时 ，所以 ；
当 时， ，此时 ，所以 ；
当 时此时 ， ，不成立；
当 时， 是直角三角形，此时 不能是等腰三角形，否则 与 边没有交点；
当 时， 是直角三角形，则 是等腰三角形，所以 ，所以 ；此时
，与题意不符合，不成立；
当 时， 是直角三角形，则 是等腰三角形，所以 ，所以
，
当 时， ，此时 ，不成立；
当 时， ，此时 ，所以 ；
当 时， ，此时 ，不成立．
综上所述， 的值为 ．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
【考点五 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
作 交 的延长于点 ，在 中， ，在 中, ，根
据 列出方程即可求解．
【详解】
如图，作 交 的延长于点 ，
则 即为BC边上的高，
在 中， ，
在 中, ，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得 ，故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在等腰 中， ， ，垂足为 ，已知 ， ．
(1)求 与 的长；
(2)点 是线段 上的一动点，当 为何值时， 为等腰三角形．
【答案】(1) ，
(2)当 或3或3.6时， 为等腰三角形
【分析】（1）由勾股定理直接求得 ，设 ，由勾股定理列出 的方程，即可求得 ；
（2）分三种情况： ， ， ，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得， ，
设 ，则 ，
在Rt 中，由勾股定理得， ，
解得 ，
；
（2）解：当 时， 为等腰三角形，
当 时，如图，，
，
，
，
，
当 时，如图，过 作 于点 ，
，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得 ，
，
综上，当 或3或3.6时， 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【考点六 实际问题中的方程思想】
例题：如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先
拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B
刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．【答案】风筝距离地面的高度OA为8米
【分析】设OA=x米，则AB=（x+2）米，依据勾股定理即可得到方程 ，进而得出风筝距离
地面的高度OA．
【详解】解：设OA=x米，则AB=（x+2）米，
由图可得， ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
答：风筝距离地面的高度OA为8米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解
决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
【变式训练】
1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛
AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【解析】【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭
赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝ 米），这段
话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦
苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水
的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为 米
【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米， 米，
答：水池里水的深度是4米，芦苇长为 米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断（ ）；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次
大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面3m处折断
(2)距离旗杆底部周围 m的范围内有被砸伤的风险
【分析】（1）设 长为 ，则 长 ，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先画好图形，再求解 ， ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：由题意，知 ．
因为 ，
设 长为 ，则 长 ，
则 ，
解得 ．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面 ，
所以 ，
所以 ，
所以距离旗杆底部周围 m的范围内有被砸伤的风险．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
4．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原由C
到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），
并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析；
(2)原来的路线AC的长为1.25千米．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可．
(1)
解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)
设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
5．如图，地面上放着一个小凳子，点 距离墙面 ，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木
杆靠在点 处， ．在图②中，木杆的一端与点 重合，另一端靠在墙上点 处．（1）求小凳子的高度；
（2）若 ，木杆的长度比 长 ，求木杆的长度和小凳子坐板的宽 ．
【答案】（1）30cm；（2）木杆长100cm，AB=40 cm．
【分析】（1）如图①，过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，由 ，利用勾股定理
在 中， 即可；
（2）如图②，延长 交墙面于点 ，可得 ，利用勾股定理在 中，
构造方程 求解即可．
【详解】解：（1）如图①，过 作 垂直于墙面，垂足于点 ，
根据题意可得： ，
在 中，
，
即凳子的高度为 ；
（2）如图②，延长 交墙面于点 ，可得 ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
，
，
．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解
题关键．
【考点七 勾股定理逆定理的拓展问题】
例题：定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB
为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．
（1）
是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）
设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
【变式训练】
1．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边
长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若 ，
则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分
别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴ ，
∴ ，
若△ABC是锐角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ 或 ；
若△ABC是直角三角形，
则 或 ，
则 或 ；
若△ABC是钝角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
2．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组： ， ， ； 第二组： ， ， ；
第三组： ， ， ； 第四组： ， ， ；
（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图， ， ， ，若 ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且
， ，求 的长．【答案】（1） ， ， ；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出 ， ， ，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组： ， ， ；
第二组： ， ， ；
第三组： ， ， ；
第四组： ， ， ；
，
∴第 组： ， ， ．
（2）直角三角形；
证明： 为正整数，
．
以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形．
（3） ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列： ， ， ，
即 ， ， ．
，
．， ，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
