八年级下册第九单元 中心对称图形——平行四边形
第一课时 图形的旋转
一、基础练习
1.下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降
2.如图，点A的位置用数对表示是（1，5），线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°，
点A的对应点A′的位置用数对表示是（ ）
A．（5，5） B．（5，1） C．（4，1） D．（6，1）
3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第2题 第3题 第4题
4. 如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△M'P'N'，
其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互
相重合，则n的最小值为 ．
6. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转80°后得到△ADE，点B与点D是对应点，
点C与点E是对应点．如果∠EAB＝35°，那么∠DAC＝ °．
第5题 第6题 第7题 第8题
7. 如图，如果三角形BCD旋转后能与等边三角形ABC重合，那么图形所在的平
面内可以作为旋转中心的点共有 个．
8. 如图，在△ABC中，∠C＝65°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′
C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为 .9. 如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△BEA
旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）若AE＝5cm，求四边形ABCD的面积．
10. 如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，
以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△ABC，画出△
1 1 1
ABC，并直接写出A的坐标 ；
1 1 1 1
（2）将△ABC绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△ABC，画出△ABC；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
（3）观察图形发现，△ABC是由△ABC绕点 顺时针旋转
2 2 2
度得到的．
二、拓展提升
11. 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正
三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．在网
格中画出旋转后的△A′B′C′；12. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ （0°＜ ＜60°），将线段BC绕点B逆时
针旋转60°，得到线段BD．
α α
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小：∠ABD＝ （用
含 的式子表示）
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明．
α
13. 如图，点O是等边△ABC 内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，将CO绕
点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
α
（1）当 ＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
α
（3）请你探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
α三、综合实践
14.问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活
动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°．将△ABC从图1的位置开始绕
点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α
（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点
O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同
学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直
角三角形时旋转角α的度数．第二课时 中心对称与中心对称图形
一、基础练习
1. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
3． 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，
那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
第2题 第3题 第6题
4． 如果甲、乙两图关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一块是（ ）
A B C D
甲 乙
5. 中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是 ．
6．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ，AE＝3，∠D＝90°，
则AC＝ ． = 5
7．给出下列4种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既
是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标
号即可）
8．图1和图2中所有的小正方形都全等，若将图1的正
方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个
小正方形组成的图形是中心对称图形，则应该放到的这
个位置的序号是 ．9.按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC的中点O为对称中心；
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E
中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对
称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
二、拓展提升
11． 如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心
对称图形，又成轴对称图形．12． △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△ABC。
1 1 1
（2）将△ABC 向右平移4个单位，作出平移后的△ABC。
1 1 1 2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PC 的值最小，并写出点P的坐标__________.
1 2
13．对正多边形进行如下操作：
绕其一个顶点，每次旋转一个内角的度数，经过一定次数的旋转后，得到关于
该顶点的中心对称图形．例如图：对正三角形，每次旋转60°，经过3次旋转，
即可得到该正三角形关于顶点的中心对称图形．
依据上述规则：
（1）对正四边形，每次应旋转 °，至少旋转 次，可以得到
其关于顶点的中心对称图形；
（2）正十二边形至少旋转 次，可以得到其关于顶点的中心对称图形．三、综合实践
14.数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，
求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转
180°得到△EBD）．把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可
得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对
称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角
形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
第三课时 平行四边形（1）
一、基础练习
1.在□ABCD中，∠B=60°，那么下列等式中不能成立的是 ( )
A.∠D=60° B.∠A=120° C.∠C+∠D =180° D.∠C+∠A =180°
2.下列性质中，平行四边形不一定具备的是 （ ）
A.对角互补 B.邻角互补 C.对角相等 D.对边相等
3.如图所示，□ABCD中，EF过对角线AC、BD的交点O，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，
那么四边形EFCD的周长为 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
E
A D
O
B F C
第3题 第4题 第5题
4.如图□ABCD中，若∠A＝120º，则∠B＝__________，∠C＝__________.
5. 如图，在□ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE的度数为_________
6.如图，□ABCD中，E、F是BD上两点，若BE=DF，则图中全等的三角形有_ _对.
A
D
E F
B
C
第6题 第7题
7.如图，□ABCD中，AC=21cm，BE⊥AC于E，且BE=5cm，AD=7cm，则两平行线AD
与BC间的距离是 .
8.已知□ABCD的周长是30cm，AB：BC=3：2，则AB= cm,BC= cm.
9.如图，在□ABCD中， AB=10，AD=6，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长，及平行
四边形ABCD面积。
A
D
O
B C10.如图，在□ABCD中，已知∠B=40°，AB=6，周长为32．
（1）求其他各个内角的度数；
（2）求其余三边的长．
二、拓展提升
11.如图，口ABCD的对角线相交于点O，EF过点O，且与AB,CD分别相交于点E,F，
求证：OE=OF.
12.已知：如图，在□ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，BE、DF分别交AD、
BC于点E、F.求证：BE//DF.13.如图,点E在口ABCD内部,AF//BE,DF//CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设口ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T ,求S:T
的值
三、综合实践
14.如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，直线EF
过点O,分别交AD,BC于点E，F。
（1）求证：AE=CF;
（2）试说明S S 。
四边形AEFB 四边形CFED
（3）如图②，若四边形ABCD是老张家的一块平行四边形田地，P为水井，现要
把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井
P相邻。请你帮老张家设计一下。画出图形并说明理由。第四课时 平行四边形（2）
一、基础练习
1.四边形ABCD中，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③
AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 ( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.下列条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.∠A=30°,∠B=150°,∠C=30°,∠D=150°
B.∠A=60°,∠B=60°,∠C=120°,∠D=120°
C.∠A=60°,∠B=90°,∠C=60°,∠D=150°
D.∠A=60°, ∠B=70 , ∠C=110°, ∠D=120°
3.如图，过口ABCD的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与
GH ，那么图中的口AEMG的面积S 与口HCFM的面积S 的大小关系是 （ ）
1 2
A. S > S B. S < S
1 2 1 2
C. S = S D. 2S = S
1 2 1 2
4. 不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
5.下列两个图形，一定可以组成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B. 两个直角三角形
C. 两个锐角三角形 D. 两个全等三角形
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P、Q同时分别从A、C出发，P
以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动， 秒
后四边形ABQP是平行四边形。7．对于四边形ABCD，从条件①AB∥CD;②AD=BC;③∠A=∠C;④AD∥BC中选出2个，
能说明四边形ABCD是平行四边形的组合有_______ __
8.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个条件 ，
使四边形BFDE是平行四边形。
9.平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AD的中点，分别延长CB和AD到G和
H，使BG=DH，连结GF、EH. 求证：四边形GFHE是平行四边形.
A F D
H
G B E C
10. 如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，且AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求
证：（1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形．
D C
E
F
A B
二、拓展提升
11．在平行四边形ABCD中，BE DF求证：四边形AECF是平行四边形.12.如图，在□ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，求证：四边形
AECF是平行四边形．
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点P是BC上任意一点,PE∥AC,PF∥AB,分别交AB,AC于
点E、F.线段PE、PF、AB之间有什么关系?试证明你的结论.
三、综合实践
14.如图▱ABCD中，若DE=BF，BM=DN，请从图中点A、B、C、D、E、F、M、N中选出
4个点作为顶点画平行四边形，你能画出哪几种？第五课时 平行四边形（3）
一、基础练习
1.下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AO=CO，BO=DO D．AB=AD，CB=CD
2.要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°”，首先假设这个三角
形中（ ）
A. 有一个内角大于60° B. 有一个内角小于60°
C. 每一个内角都大于60° D. 每一个内角都小于60°
3.根据下列条件得不到四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四
边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD ，AD∥BC B．AB DC，ADBC
C．AB∥CD，ADBC D．OAOC，OBOD
第4题 第5题 第6题
5.如图，在四边形ABCD中，O为AC中点，请你再添加一个条件使它成为一个平行
四边形，添加的条件可以是________________________.
6.如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，
判断的依据是 ．
7.已知平面上有三个点，点A(2，0)，B（5，2）C，（3，4），以点A、点B、点C
为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为 ．
8.下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角
线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边
形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ．
9.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
10.在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF．求证：AC、EF互相平
分．
二、拓展提升
11.如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、
F，G、H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．12.已知：如图，在□ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
且AE=CG，BF=DH．求证：EG与FH互相平分．
13.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
三、综合实践
14.如图，已知平行四边形ABCD，以AD、BC为边分别向外作等边△ADE和等边△
BCF，求证：四边形DEBF是平行四边形．第六课时 矩形 菱形 正方形（1）
一、基础练习
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A. 是轴对称图形 B. 对角线互相垂直
C. 四个角都相等 D. 两组对边平行且相等
2. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点
C′重合，若AB=2，则C′D的长（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. 矩形ABCD 的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则 ABO
的周长（ ）
△
A.12 B.16 C.20 D.24
4. 下列矩形纸片中，沿虚线剪开两部分，由这两部分既能拼成平行四边形，又
能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若矩形的面积为48，一条边长为6，则矩形的对角线长为 ．
6. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（5，12），则AC的长为 ．
第6题 第7题 第8题
7． 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 的直线分别交
AD、BC于点E、F.若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 ．
8．如图，矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD.若矩形的周长是48cm，
则矩形ABCD的面积为 ．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，AC=4，试
说明△AOB是等边三角形.10. 已知：如图，在矩形ABCD 中，点E、F在BC 边上，且BE=CF，AF、DE
交于点M．
求证：AM=DM．
二、拓展提升
11. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.
（1）△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论.
（2）AB=1，∠ABE=45°，求BC的长.
12. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且CE∥DB，
交AB的延长线于点E.
求证：AC=EC．13. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，
连接DE．
（1）求证： ABE≌△DFA；
（2）如果∠DAE=40°，试求∠EDF的度数．
△
三、综合实践
14.在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于
点F，求BF的长；
（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．第七课时 矩形 菱形 正方形（2）
一、基础练习
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2.若要使 ABCD为
矩形，则OB的长应该为（ ）
▱ ▱
A．4 B．3
C．2 D．1
2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检
测一个窗框是否是矩形.他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩
形，你认为最有说服力的是（ ）
A. 甲量得窗框两组对边分别相等
B. 乙量得窗框对角线相等
C. 丙量得窗框的一组邻边相等
D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
3. 用两块能完全重合的含有30°角的直角三角板拼成的图形不可能是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
4. 在 ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，则它的面积是 ．
5．如图，AB//CD， ABC的面积是8，则 ABD的面积是 ．
▱
6. 如图，矩形ABCD△ 和矩形AEFC的面积分 △ 别为S、S′，则二者的大小关系是：
S S′.
第5题 第6题 第7题 第8题
7. 如图，在 ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F、G在边BC上，且
DF∥EG．△只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以
是 ．（写出一个即可）
8. 如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AB=6，M为边BC上的一个
动点，ME⊥AB△，MF⊥AC，则EF的最小值为 ．9. 如图，在 ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE
是平行四边形．
△
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求四边形ADBE的面积．
10. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF.
（1）求证： BOE ≌ DOF;
▱
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，请说明理由.[来源:
△ △
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二、拓展提升
11. 利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
12. 如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，EO的延
长线交AD于点F.四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论.
▱13. 如图，在 ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O点作直线MN∥BC，
设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
△
（1）求证：OE=OF
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理
由.
三、综合实践
14. 已知：线段AB、BC，∠ABC＝90°.用直尺和圆规作矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；（2）以点A为圆心，BC长为
半径画弧；（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即
为所求（如图1）．
乙：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；（2）连接BM
并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD、CD，四边形ABCD
即为所求（如图2）．
图1 图2
图1 图2
请你当个小老师，判断甲、乙两同学的作业是否正确，并说明理由.第八课时 矩形 菱形 正方形（3）
一、基础练习
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角线互相垂直
2.如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3.如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4，则点P
到BC的距离等于（ ）
A．4 B． 6 C．8 D．10
第2题 第3题 第6题 第7题
4．若菱形的周长是16，则它的边长是 .
5．若菱形的面积是40，一条对角线长是10，则另一条对角线长为 .
6. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐
标为（0，2），则点C的坐标为 .
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E.若AC=6cm，
BD=8cm，则AE为________cm．
8. 菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍.若菱形的面积为16，则它的边长
为 .
9. 已知：如图，在菱形ABCD中，CE=CF.
求证：AE=AF.10. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H
分别是菱形ABCD各边的中点，
求证：OE=OF=OG=OH.
二、拓展提升
11. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10.
（1）求∠DAB的度数；（2）求对角线的长.
12. 如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于
点E，连接OE.求证：OE=BC.13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，AE⊥BC交CB延长
线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若BD=10，AD=13，求线段OE的长.
三、综合实践
14.如图，在菱形ABCD中 ，∠A=72°.请设计三种不同的分割方案，将菱形ABCD
分成4个等腰三角形，并标出所得的4个等腰三角形各内角的度数.第九课时 矩形、菱形、正方形(4)
一、基础练习
1. 下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线互相垂直 B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分 D．两对角线互相垂直平分
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件不能判定
□ABCD是菱形的是（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2
第2题 第3题 第4题
3. 如图，用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得
到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，BE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是 （ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
5. 一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，
将①展开后得到的平面图形是 ．
第5题 第6题
6. 如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE
为菱形，还需添加的一个条件是_______________________（只需写出一个即
可，图中不能再添加别的“点”和“线”）．
7. 如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，
以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形
△CDEB为菱形．
第7题 第8题
8. 如图，将三角形纸片 ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且
1
DE∥BC，下列结论：△①△BDF是等腰三角形； ②DE= BC；③四边形ADFE
2
是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．其中，一定正确的是 .（填序号）
9. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H
分别为AO、BO、CO、DO的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
10. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF.
求证：四边形BEDF为菱形.二、拓展提升
11. 如图，在 ABCD中，AD＞AB．
（1）作∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1 ▱）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC
于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
12. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，
连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：四边形ODFC是菱形．
13. 用直尺和圆规作一个菱形，并说明你作图的道理.三、综合实践
14. 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存
在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．第十课时 矩形、菱形、正方形(5)
一、基础练习
1. 下列对于正方形性质的描述：①对边平行；②四条边都相等；③四个角都是
直角；④对角线相等且互相垂直.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列命题是假命题的为（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
3. 如图，点P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD，
正方形PBEF，设∠CBE=a，则∠AFP的度数为（ ）
1
A.2a B.90°﹣a C.45°+a D.90°﹣ a
2
第3题 第4题 第5题
4. 在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且
BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A.BC=AC B.BD=DF C.AC=BF D.CF⊥BF
5. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长
为 ．
6. 如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD
交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．若AM=3，则EF= ．
第6题 第7题 第8题
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC=8，P、Q分别是AB、
AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点，当AP= 时，四边形
APDQ是正方形.
8. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
9. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，
求BE的长．
10. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC ， P是BD上
一点，过点P作PM⊥AD 、PN⊥CD ，垂足分别为M、N.
(1) 求证：∠ADB=∠CDB；
(2) 若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.
二、拓展提升
11. 如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，点H在AB上，且
不与A、B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E.
（1）若BP=CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP=5，求线段BE的长.12. 已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC、BD于
点F、G，点H为EF的中点．
求证：（1）∠DAG=∠DCG；（2）GC⊥CH．
13. 如图，四边形ABCD是正方形，E、F是AD、DC上的点，且∠EBF=45°，则
EF与CF+AE相等吗？说明理由.三、综合实践
14. 顺次连接任意四边形ABCD的各边中点所组成的四边形称为中点四边形，如图
1，它一定是平行四边形.这个结论是法国数学家皮埃尔·瓦里格农（PierreVarignon，
1654年—1722年）发现的，并且他还发现中点四边形的面积是原四边形面积的一
半.但遗憾的是，他所发现的结论直到他逝世后的1731年才被作为定理发表，人们
为了纪念这位杰出的数学家和力学家， 把中点四边形称为瓦里格农平行四边形.
（1）利用图1，证明瓦里格农的发现；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH分别为矩形、菱形、正方形？
请画出图形，说明理由.
图1第十一课时 三角形中位线(1)
一、基础练习
1.如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（ ）
A. 2cm B. 1.5cm C. 1.2cm D. 1cm
第1题 第2题 第3题 第4题
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度
数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
3.某地需要开辟一条笔直隧道,隧道AB的长度无法直接测量.如图所示,在地面上
取一点C,使C到A,B两点均可直接到达,测量找到AC和BC的中点D,E,测得DE的
长为1100m,则隧道AB的长度为 （ ）
A. 3300 m B. 2200 m C. 1100 m D. 550 m
4.如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论
正确（ ）
A. EF=CF B. EF=DE C. CF<BD D. EF>DE
5. 如图，在△ABC中，DE是中位线.
（1）若∠B=60°，则∠ADE= °；
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
6.如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取
OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是______m．
第5题 第6题 第7题 第8题
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=8，E是CD的中点，则
OE=________.
1
8.如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD（点
2
F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF，若AB=8，则DF的长为______________.
9.如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA,CB分别取CA,CB的中点D,E，测得DE=36 m，求AB的长？
1
10.已知，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，
2
连接CD和EF．求证：DE＝CF．
二、拓展提升
11.如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，点F是边AB上一点，FG∥AD，
交ED的延长线于点G，若DE＝4，BF＝5，求DG的长．
12.已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，求证：
CE=DF.
13.如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，AF与DE有怎样的关系？证明
你的结论.三、综合实践
14. 数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于
第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且 ．
【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的
辅助线：
甲：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中
位线性质定理；
【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
【定理应用】如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量
员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中
点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．第十二课时 三角形中位线(2)
一、基础练习
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位线，延
长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，
则AB的长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
第1题 第2题 第3题 第4题
3.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是
（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 10
4.如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）
1
A. DE＝DF B. EF＝ AB C. S ＝S D. AD平分∠BAC
2 △ABD △ACD
5.如图，在△ABC 中，AC=8,AB=6,BC=10，则连接各边中点所成三角形的周长为
_________.
6.如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm.
第5题 第6题 第7题 第8题
7.如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，
取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．8.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,只要添加条件 ,就能
保证四边形EFGH是菱形.
9.已知，如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
试说明四边形EFGH是平行四边形.
10.已知，如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中
点，连接AF，CE，AG，CH，交于点M，N，试说明四边形AMCN是平行四边形.
二、拓展提升
11.已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是边BC上的高．那
么，图中的∠DHF与∠DEF相等吗？为什么？12.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论.
13.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
1
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝ （AC﹣AB）；
2
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．三、综合实践
14.如图，P是直线外一点，只用刻度尺过点P画直线PQ，使得PQ∥AB，并说明理
由.第十三课时 综合实践
请用等腰三角形，平行四边形，圆等图形设计对称图案.如：第十四课时 小结思考（1）
一、基础练习
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，
且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）．
A．60° B．75° C．85° D．90°
第2题 第3题 第7题 第8题
3.如图，在平行四边形ABCD中，由尺规作图的痕迹，AB=8，CE=3，则AD= （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4. 正方形具备而矩形不一定具备的性质是 ( )
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C.对角线相等 D．对角线互相垂直
5.在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2:1，则∠C＝ °．
6.菱形的两对角线长分别为10cm和24cm，面积为 cm2.
7.如图，折叠矩形纸片ABCD，使AB边与对角线BD重合，点A落在点F处，折痕为BE．若
AD=8，AE=3，则AB的长为 .
8.如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在边AB、BC上，AE=3，CF=1，点P
是对角线AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是_______．
9.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标
系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，-5），B（5，-5），C（2，-2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△ABC，
1 1 1
直接写出点A 的坐标 ；
1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△ABC．
2 2 210.如图，C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
（1）求证:四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证:四边形ACED是矩形.
二、拓展提升
11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD,BE∥AC，OE=AB．
求证：四边形ABCD是菱形．
12.如图，在四边形ABEC中，∠ACB=90°，CE∥AB，D为AB边上的一点，DE⊥BC
于点F，连接CD.
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，则当∠A= 时，四边形BECD是正方形.13.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交
DE于点F ，交CD于点G，证明：DE=AG，G为DC中点.
三、综合实践
14.如图，四边形ABCD是平行四边形.
（1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点Q，使得四边形AECQ为平行四边形；
（2）如图②，DE=DC，只用无刻度直尺作∠A的平分线AM.
②第十五课时 小结思考（2）
一、基础练习
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论一定成立的是 （ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝AD
2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 （ ）
A．当AB＝AD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
第1题 第3题 第4题
3.如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝
DE，则下列结论不一定正确的是 （ ）
A.∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
4.如图,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶
点D的坐标是 ( )
A.(-4，1) B.(4，-2) C.(4，1) D.(2，1)
5.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC=6cm，则线段DE= cm．
6.在△ABC中，AB=3，AC=5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF
的周长为 .
7.如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，
以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是 ．
8.如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从
点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运
动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时
间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四
边形是平行四边形．
第7题 第8题9.如图，在 的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点 和点 都在格
点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
．．．．．．．．
10×10
(1)图1中，以 为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图2中，以 为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
10.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，
再分别以点B，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并
1
延长交BC于点E，连接EF． 2BF
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF＝4，求AE的长和∠C
的度数．
二、拓展提升
11.如图，四边形 是正方形，点E、F分别在边 、 上，点G在边 的延
长线上，且 ．
(1)求证：① ；② ；
= =
(2)尺规作图：以线段 、 为边作出正方形 （保留作图痕迹不写作法和证
= ⊥
明）；
(3)连接（2）中的 ，猜想四边形 的形状，
并证明你的猜想.
12.如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在对角线AC上，且
AE＝CF，AG＝CH．
（1）求证：四边形FGEH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝2，BC＝4，求线段AE的长．
13.已知，如图□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= 5，对角线AC．BD交于O点，将
直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC．AD于点E、F．
（1）当旋转角为 时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，
说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．三、综合实践
14.在 中， ， ．
▱ =6 =8
(1)如图①，将 沿直线BE折叠，使点A的对应点F落在BC边上，求证：四
边形ABFE是菱形．
▱
(2)如图②，若 是矩形，
①按（1）中操作进行，求证：四边形ABFE是正方形．
▱
②在矩形ABCD中折叠出一个菱形，并使菱形的各个顶点都在矩形的边上，则菱形
面积的最大值为______，最小值为______．八年级下册第九单元 中心对称图形——平行四边形
第一课时 图形的旋转 答案
一、基础练习
1.B
2.B
3.C
4.B
5. 72°
6.125°
7.3
8.50°
9. 解：（1）由图可知，点A为旋转中心；
（2）∠EAF为旋转角，
在正方形AECF中，∠EAF＝90°，
所以，旋转了90°或270°；
（3）∵△BEA旋转后能与△DFA重合，
∴△BEA≌△DFA，
∴S
△BEA
＝S
△DFA
，
∴四边形ABCD的面积＝正方形AECF的面积，
∵AE＝5cm，
∴四边形ABCD的面积＝52＝25（cm2）．
10. 解：（1）△A1B1C1 如图所示，A1 （﹣3，4）；
（2）△A2B2C2 如图所示；
（3）如图，△A2B2C2 是由△ABC绕点（2，﹣4）顺时针旋转90度得到
的．
故答案为：（1）（﹣3，4）；（3）（2，﹣4），90．二、拓展提升
11. △A′B′C′即为所求。
12. （1）解：∵AB＝AC，∠A＝ ，
α
∴∠ABC＝∠ACB （180°﹣∠A）＝90° ，
1 1
∵∠ABD＝∠ABC =﹣2∠DBC，∠DBC＝60°，− 2 α
即∠ABD＝30° ；
1
（2）△ABE是等−边2 α三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°
得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30° ，且△BCD为等边三角形，
1
在△ABD与△ACD中 − 2 α
，
=
=
= ∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD ∠BAC ，
1 1
∵∠BCE＝150°，=
2
=
2
α
∴∠BEC＝180°﹣（30° ）﹣150° ＝∠BAD，
1 1
在△ABD和△EBC中， − 2 α = 2 α
∠ ∠
，
=
∠ =∠
∴ △ A=B D ≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形．
13. （1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；
（2）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣110°﹣6α0°﹣ ＝190°﹣ ，
α α由（1）知：△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠ADO＝ ﹣60°，α
△ADO中，α∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（ ﹣60°）﹣（190°
﹣ ）＝50°； α
（α3）解：分三种情况：
①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣ ＝360°﹣110°﹣60°﹣ ＝190°﹣ ，
∠ADO＝ ﹣60°， α α α
∴190°﹣α ＝ ﹣60°，
∴ ＝125°α；α
②α当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣ ，∠ADO＝ ﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（α ∠AOD+∠αADO）＝50°，
∴ ﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③α当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣ ＝50°，
∴ ＝140°α，
综上α 所述：当 的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
三、综合实践
α
14. 解：（1）根据题意，得∠BAD＝a
∵∠B＝40°，∠AMB＝90°，
∴BAD＝a＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°；（2）∵△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE，
∴∠BAM＝a＝∠CAN，AB＝AD＝AC＝AE，∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
∴△ABM≌△AEN，
∴AM＝AN；
（3）①当OM＝MD时，如图：
∵OM＝MD，∠B＝∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝∠DOM＝40°，AB∥DO，
∴∠BAD＝∠D＝40°；
当DM＝DO时，如图，
∴OD＝MD，∠B＝∠D＝40°，
∴∠DMO＝∠DOM＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣40＝70°当OM＝OD时，如图：
∵OD＝MO，∠B＝∠D＝40°，
∴∠DMO＝∠BMA＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
∵0°＜a＜100°
故旋转角为40°或70°；
180
②设旋转角为α，则∠BDA= ，∠ADE＝40°
2
180 1
∠EDP＝180 4050 ，
2 2
180 1
∠DEP= 4050 ,
2 2
1 1
∠DPE=180（50 ）（50 ）=80
2 2
当∠EDP=90°时，旋转角为80°；
1
当∠DEP= 50 <50°，所以∠DEP不可能为直角；
2
因∠DPE=80°，所以所以∠EDP不可能为直角；综上，旋转角为80°；第二课时 中心对称与中心对称图形 答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5. 180°
6.1
7. ①③④．
8. ③
9.(1)C以顶点A为对称中心：
(2) 以BC的中点O为对称中心:
10.(1) 中点，E，等腰；
(2) ∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
∠ ∠
，
=
=
∴ ∠ △ A DE= ≌ ∠ △ F CE（ASA），
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
二、拓展提升
11. 解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．
12. （1）如图所示。
（2）如图所示。
8
（3）如图所示，点 的坐标为（ ，0）。
3
13. 解：（1）90；2；
（2）6．
三、综合实践
14. （1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
第三课时 平行四边形（1）答案
1. D
2. A
3. C
4. 60°，120°
5. 20°
6. 3
7. 15
8. 9,6
9.解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝10，OA＝OC＝ AC，
∵AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝ ＝8，
∴OA＝4；
∴ ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．
答：▱BC＝6，CD＝10，AC＝8，OA＝4， ABCD的面积是48．
10.
▱
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠D=∠B=40°
AB∥CD,AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∠C+∠B=180°
∴∠A=140°，∠C=140°
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=6，AD=BC
又□ABCD周长为32
∴AB+BC+CD+DA=32
∴AD=BC=10
11.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．12.证明：∵四边形ABCD式平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CBE，∠CDF＝∠ADF，∠CFD＝∠ADF，
∴∠ABE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．
13.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵ ，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在 ABCD内部，
∴S △BEC+S △AED ＝ S ▱ ABCD ，
▱
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S
△BCE
＝S
△ADF
，
∴S 四边形AEDF ＝S △ADF+S △AED ＝S △BEC+S △AED ＝ S ABCD ，
▱∵ ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
▱
∴ ＝ ＝2．
14.（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，OA=OC
∴∠OAE＝∠OCF,∠OEA＝∠OFC
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵△OAE≌△OCF
∴S S
△OAE △OCF
又∵在平行四边形ABCD中，
∴S S ，
△ABC △ACD
∴S S
四边形AEFB 四边形CFED
(3)
第四课时 平行四边形（2）答案
答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.27.4
8.AE=CF
9.∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵E是BC的中点，F是AD的中点
∴FD= AD，BE= BC
1 1
∴FD=B2E 2
又BG=DH
∴FH=GE
又AD∥BC
∴四边形GFHE是平行四边形
10.证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
11.证明：连接OA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
13.解：猜想：PE+PF＝AB．
理由：AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠BPE＝∠C，
∴AE＝PF，∠B＝∠BPE，
∴BE＝PE，∴PE+PF＝AE+BE＝AB．
14.略
第五课时 平行四边形（3）答案
1. C
2. C
3. C
4. C
5. BO=DO
6. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7. （0,2）或（6,6）或（4，-2）
8. ①③
9. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴OE＝ AO，OF＝ BO，OG＝ CO，OH＝ DO
∴OE＝GO，OF＝HO，
∴四边形EFGH是平行四边形．
10.证明：连接AE、CF，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC、EF互相平分．11.证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，AD＝BC且AD∥BC．
∴∠ADO＝∠CBO．
又∵∠FOD＝∠EOB，
在△FOD和△EOB中
∴△FOD≌△EOB（ASA）．
∴FO＝EO．
又∵G、H分别为OB、OD的中点，
∴GO＝HO．
∴四边形GEHF是平行四边形．
12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝CG，BF＝DH，
∴AH＝CF，BE＝DG，
在△AEH和△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，
同理：GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EG与FH互相平分．
13.证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，
∵AB DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴OB＝OE，OA＝OD，
∵AF＝DC，
∴OF＝OC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠DCB，
∵以AD、BC为边分别向外作等边△ADE和等边△BCF，
∴AD＝DE＝AE，BF＝BC，
∴AE＝CF，
∵∠EAB＝∠DAB+∠DAE，∠DCF＝∠DCB+∠BCF，∴∠EAB＝∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE＝FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
第六课时 矩形、菱形、正方形(1)答案：
1.B
2.B
3.A
4.D
5.10
6.13
7.3
8.128
9. 证明：∵在矩形ABCD中，AC=4，
∴BO=AO=2.
又∵AB=2，
∴AB=BO=AO，
∴△AOB是等边三角形.
10. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∠BAD＝∠B=∠C=∠ADC＝90°.
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE.
∴△ABF≌ DCE（SAS），
∴∠BAF=∠CDE，
△
∴∠DAF=∠ADE，∴AM=DM.
11. （1） BEC是等腰三角形，
证明如下：∵四边形ABCD是矩形，
△
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠BED，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
即 BEC是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
△
∴∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=1，
由勾股定理得：BE= 2，
即BC=BE= 2．
12.证明：∵在矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD∥BC，
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD=EC．
∴AC=CE．
13. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB=∠DAE.
又∵AE=BC，
∴AE=AD.
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B.
∵∠AFD=∠B，∠AEB=∠DAE，AE=AD，
∴ ABE≌△DFA（AAS）.
（2）由（1知：） ABE≌△DFA，
△
∴AB=DF.
△∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC＝∠C＝90°,
∴DF=CD.
又∵∠C＝∠DFE＝90°，
1
∴∠EDF=∠EDC= （∠ADC－∠ADF）=20°.
2
14. （1）设BF=x.
由题意，得∠FDB=∠ADB=∠DBF.
于是DF=BF，FC=BC-BF=8－x.
在Rt△DFC中，由勾股定理得62 8x 2 x2，
25
解之得：x .
4
（2）连接BD交GH于点O.
由题意，得BD=10，GH垂直平分BD，HD=HB.
于是，在Rt△DHC中，由勾股定理得62 8DH 2 DH2，
25
解之得：DH .
4
25 15 15
在Rt△BOH中，OB=5，HB ，由勾股定理得OH ，GH 2OH .
4 4 2
第七课时 矩形、菱形、正方形(2)答案：
1.C
2.D
3.C
4.48
5.8
6.=
7. 如DF⊥BC
8. 27
9.（1）证明：∵AB＝AC ，AD是BC上的中线，
∴AD⊥BD.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形.
（2）∵AB＝AC ，AD是BC上的中线，1
∴BD= BC=3，AD⊥BD ，
2
∴由勾股定理得AD=4，
所以矩形ADBE的面积=3×4=12.
10.(1)∵在 ABCD 中，
∴BO=DO▱，AO=CO.
∵AE=CF，
∴EO=FO，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴ BOE ≌ DOF（SAS）；
(2)△四边形△EBFD是矩形.
由（1）得EO=FO，BO=DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形.
11. 已知：如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，BO是中线.
1
求证：BO= AC. △
2
证明：延长BO到点D，使DO=BO，连接AD、CD.
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
1 1
∴▱AC=BD，BO= BD= AC（矩形的对角线相等）.
2 2
12. 证明：四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD平行四边形，
∴AO=OC， AF//CE，
∴∠OAF=∠OCE.
∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形.
∵AE⊥EC ，
∴四边形AECF为矩形.
13. （1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠3，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF.
（2）∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= CE2 CF2 = 14425=13，
1 13
∴OC= EF= .
2 2
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
当点O为AC中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴ AECF是矩形.
14.甲、乙都对.
▱第八课时 矩形、菱形、正方形(3)答案：
1.D
2.D
3.A
4.4
5.8
6. （4,4）
24
7.
5
8. 20
9.证明：∵ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠D=∠B，
又CE=CF，
∴FD=EB，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴AE=AF．
10. 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，
1 1 1 1
∴OE= AB，OF= BC，OG= CD，OH= AD，
2 2 2 2
∴OE=OF=OG=0H．
11. （1）∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=AD=BC，BD⊥AC，
1
∴∠ABD= ∠ABC=60°，
2
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°；
（2）∵△ABD是等边三角形，AB=10，
∴BD=AB=10,
1
∴OB= BD=5，
2
∴AO= AB2 OB2 = 75，∴AC=2AO=2 75.
12. 证明：∵DE ∥ AC，CE ∥ BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，CD=BC，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=CD，
∴OE=BC.
13. （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC.
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形
（2）∵在菱形ABCD中，
1
∴OB=OD= BD=5，OA=OC，OA⊥BD.
2
∴OA= AD2 OD2 =12.
∴AC=2OA=24.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
1
∴OE= AC=12.
2
14. 设计图案主要根据∠D=108°，由此得到∠A=72°，而108=3×36，72=2×36
然后利用菱形的性质即可设计图案．第九课时 矩形、菱形、正方形(4)答案：
1.D
2.C
3.B
4.C
5. 菱形
6.如 CE=BF等
7
7.
5
8. ①②④
9. 证明：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，
∵E、F、G、H分别为AO、BO、CO、DO的中点，
1 1 1 1
∴EF= AB，FG= BC，GH= CD，HE= AD，
2 2 2 2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
10. 证明：连接BD，BD交AC于点O.
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形.
11. （1）
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EAF.
∵ ABCD，
∴AD∥BC，
▱∴∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
∵AO⊥BE，
∴BO=EO.
∵在 ABO和 FBO中，∠ABO=∠FBO ，BO=EO，∠AOB=∠FOB，
∴△ △ABO≌△F△BO（ASA）.
∴AO=FO.
∴∴四边形ABFE为平行四边形，
∵AF⊥BE，
∴平行四边形ABFE为菱形.
12. 证明：∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
又∵∠DEO＝∠CEF，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
又∵矩形ABCD中，
∴OC=OD，
∴平行四边形ODFC是菱形．
13.本题有多种解答.例如：作AC、BD相互垂直平分，连接AB、BC、CD、DA得
到菱形ABCD.
14. （1）证明：分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵AD ∥ BC，DC ∥ AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=DF，
又∵ ABCD的面积=AE×BC=DF×AB，
∴BC=AB，
▱
∴ ABCD是菱形；
（2）菱形ABCD的周长存在最小值和最大值．
▱①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；
②当AC为矩形纸片的对角线时，如图：
设AB=x．在Rt BCG中，BC2 BG2 CG2 ，
△
即x2 8x 2 22，
17 17
x ∴周长最大值为 417.
4 4
第十课时 矩形、菱形、正方形(5)答案：
1.D
2.C
3.B
4.C
5.16
6.3
7.4
8.10
9. ∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
又∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFB.∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE.
又∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE=EF.
又易知 EFC为等腰直角三角形
∴EF=FC，
△
∴BE=CF.
∵在Rt△ABC中， AC= AB2 BC2 = 2，
∴CF=AC-AF= 21.
∵BE=EF=CF，
∴BE= 21.
10. 证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在 ABD和 CBD中，
AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
△ △
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠PMD=∠PND=90°，PM=PN，
∵∠ADC=90°，
∴∠PMD=∠PND=∠ADC=90°
∴四边形MPND是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形MPND是正方形.
11. （1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴在Rt△PAB与Rt△HBC中，AB=BC，BP=CH，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB=∠BHC.
∵∠APB+∠PBA=90°，
∴∠BHC+∠PBA=90°.
∴∠BEH=90°，
∴BP⊥CH.（2）由（1）知Rt△PAB≌Rt△HBC，
∴BH=AP=5，
∴在Rt△HBC中，CH= BH2 BC2 =13.
1 1
∵Rt△HBC的面积= HB×BC= CH×BE，
2 2
60
∴BE= .
13
12. 证明：（1）∵ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
又DG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；
（2）∵ABCD为正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，
又∵∠DAG=∠DCG，
∴∠E=∠DCG，
∵H为Rt△CEF斜边EF边的中点，
1
∴CH=HE= EF，
2
∴∠HCE=∠E，
∴∠DCG=∠HCE，
又∵∠FCH+∠HCE=90°，
∴∠FCH+∠DCG=90°，
即∠GCH=90°，
∴GC⊥CH．
13.EF=CF+AE，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠C=90°，
如图，把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠FBE，
∴△FBG≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
而FG=FC+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE.
14. （1）连接AC、BD.
∵E、H是AB、AD的中点，
1
∴EH∥BD，EH= BD.
2
1
同理：FG∥BD，FG= BD.
2
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵ E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点，
∴ 根据中位线定理，很容易得到: AEH∽△ABD，相似比 k=1： 2 ，
1
∴ S AEH= S ABD ． △
4
△ △1 1 1
同理可得，S BEF= S ABC，S CFG= S CBD，S DGH= S DAC ．
4 4 4
△ △ △ 1△ △1 1△
∴ S AEH + S BEF + S CFG + S DGH = S ABD + S ABC + S CBD
4 4 4
△ △ △ △ △ △ △1 1
+ S DAC= S四边形ABCD，
4 2
△ 1
∴ S□EFGH= S四边形ABCD ．
2
（2）当AC=BD时，四边形EFGH是菱形；
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；
当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形.
第十一课时 三角形中位线(1)答案：
1.B
2.C
3.B
4.B
5.60°，4；
6.40
7.4
8.4
9.∵D、E分别是AC、BC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴AB=2DE
∵DE=36
∴AB=72
10.证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
1
∴DE= BC
2
1
∵CF= BC
2
∴DE=CF
11.解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点
∴DE∥AB，AB＝2DE＝8
∴AF＝AB﹣BF＝3
∵DE∥AB，FG∥AD
∴四边形AFGD是平行四边形
∴DG＝AF＝312.证明：∵在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点
1
∴CE= AB
2
∵D、F分别是AC、BC的中点
∴DF是△ABC的中位线
1
∴DF= AB
2
∴DF=CE
13.AF与DE互相平分，理由如下：
∵AF是△ABC的中线，DE是中位线
∴D、E、F分别是AB、AC、BC的中点
∴DF∥AE,EF∥AD
∴四边形ADFE是平行四边形
∴AF与DE互相平分
14. 定理证明：∵E是AC的中点
∴AE＝EC
∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△CEF（SAS）
∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF
∴BD∥CF
∵D是AB的中点
∴AD＝DB
∴BD＝CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE
【合作交流】D
【定理应用】（2b﹣a）第十二课时 三角形的中位线（2）答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.12；
6.16
7.16
8.AC=BD
9.详见书本例题
10.在平行四边形ABCD中，CD∥AB,CD=AB
∵E、G分别是AB、CD的中点
1 1
∴AE= AB,CG= CD
2 2
∴AE=CG
∵AE∥CG,AE=CG
∴四边形AECG是平行四边形
∴AN∥CM
同理：AM∥CN
∵AN∥CM，AM∥CN
∴四边形AMCN是平行四边形
11.解：∠DHF=∠DEF，理由如下：
如图，∵AH⊥BC于H
又∵D为AB的中点
1
∴DH= AB=AD
2
∴∠1=∠2
同理可证：∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠DHF=∠DAF
∵E、F分别为BC、AC的中点1
∴EF∥AB且EF= AB
2
即EF∥AD且EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∴∠DAF=∠DEF
∴∠DHF=∠DEF
11. 四边形EGFH是菱形，理由如下：
∵E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点
∴GE，FH,EH是中位线
1
∴GE∥AB,GE= AB
2
1 1
同理：FH∥AB,FH= AB,EH= CD
2 2
∴GE∥FH,GE=FH
∴四边形EGFH是平行四边形
1 1
∵GE= AB,EH= CD，AB=CD
2 2
∴GE=EH
∴平行四边形EGFH是菱形
13.（1）证明：∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE
∵BF＝FC
∴EF＝ DC＝ ＝ （AC﹣AB）
（2）EF＝ （AB﹣AC）
14.方法不唯一，本课建议用中位线的思路作图第十三课时 数学活动答案
设计对称图形，略；
第十四课时 小结与思考（1）答案
1.D
2.C
3.B
4.D
5.120；
6.120
7.6
8. 58
9.（3,5）
10.（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD∥BC，且 AD=BC
∵点 C 是 BE 的中点
∴BC=CE
∴AD=CE
∵AD∥CE
∴四边形 ACED 是平行四边形
（2）证明：∵AB=AE,C 是 BE 的中点
∴AC⊥BE
∴∠ACE=90°
又∵四边形 ACED 是平行四边形
∴四边形 ACED 是矩形
11.证明：∵AE∥BD，BE∥AC
∴四边形 AEBO 是平行四边形
∵OE=AB
∴平行四边形 AEBO 是矩形∴∠BOA=90°
∴AC⊥BD
∴平行四边形 ABCD 是菱形
12.（1）证明：∵DE⊥BC
∴∠DFB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE
∵CE∥AB，即 CE∥AD
∴四边形 ADEC 是平行四边形
∴CE=AD
（2）∠A=45°
13.证明△ADG与△DCE全等
14.
第十五课时 小结与思考（2）答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.3；
6.8
7. （-2，0） ，（2，10）
20
8. 8或
39.（1）
（2）
10.（1）由尺规作图的过程可知，∠FAE＝∠BAE
∴AF＝AB，EF＝EB
∵AD∥BC
∴∠FAE＝∠AEB
∴∠AEB＝∠BAE
∴BA＝BE
∴BA＝BE＝AF＝FE
∴四边形ABEF是菱形
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD＝∠C
∵菱形ABEF的周长为16
∴AF＝AB＝4，又BF＝4
∴△ABF是等边三角形
∴∠ABF＝60°，AO＝ AB＝2
3
∴∠C＝60°，AE＝4 2 3
11.（1）证明：①∵四3边形 是正方形
∴ ，∠ ∠
又 ∵ = = =90°
∴ =
∴△ ≌△
② 由 = ，得∠ ∠
又∵∠△ ≌△∠ =
∴∠ ∠+ =90°
∴∠ + =90°
∴ =90°
（ 2） 如⊥图 ：
（3）四边形 为平行四边形，理由如下：
∵四边形 和 四边形 都是正方形
∴ ，
∵ ∥ ∥
∴ =
∴ 四 边=形 = 是 平行四边形
∴ ，
∵ = = ∥
∴ ∥
∴ 四 边∥形 为平行四边形
12.（1）证 明 ：∵矩形ABCD中，AB∥CD
∴∠FCH＝∠EAG
又∵AE＝CF，AG＝CH
∴△AEG≌△CFH（SAS）
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE∴∠FHG＝∠EGH
∴FH∥GE
∴四边形EGFH是平行四边形
（2）解：如图，连接EF，CE，AC与EF交于点O
∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形
∴四边形GFHE为菱形
∴EF垂直平分GH
又∵AG＝CH
∴EF垂直平分AC
∴AE＝CE
设AE＝x，则CE＝x，DE＝4﹣x
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2
∴22+（4﹣x）2＝x2
解得x＝2.5
∴AE＝2.5
13.（1）90°，（2）45°
14.（1）由折叠可知： ≌
∴ ， ，△∠ △∠
∵ 四 边=形 ABCD 是=平 行 四边形 =
∴ ∥
∴∠ ∠
∴∠ =∠
∴ =
∴ =
∴ 四 边=形 AB=FE 是 菱=形 （2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠
由（ 1） 可=知9，0°四边形ABFE是菱形
∴四边形ABFE是正方形
②如图1，以BD为对角线的菱形面积最大
设DE=BE=x，则AE=8-x
在Rt 中，
2 2 2
∴ △ + =
2 2 2
6 +(8− ) =
解得：
25
= 4
∴
25
= 4
∴
25 75
如 图 = 2， 以 ⋅ 矩 形 = AB4CD × 各 6= 边中2 点为菱形的顶点时，面积最小
取矩形ABCD各边中点E，F，G，H，
则 ．
菱形 矩形
1
= −4 △ =6×8−4×2×3×4=24
