人教数学九上24.2.2切线的概念、切线的判定和性质[仲老师]市一等奖优质课_初中7-9年级全科优质公开课_初中数学优质公开课_初中数学9年级上册优质课视频含课件教案

教学目标
(1)探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
(2)理解并掌握切线的判定定理与性质定理,会利用判定定理与性质定理解决简单问题。
2学情分析
学生在学习完直线和圆的位置关系后,能够说出如果d=ró直线和圆相切,但是如
果直接得出切线的判定定理对多数学生而言是个挑战,困难在于如何用简练而准确的语言叙
述判定定理,此时可以先从教材中的“思考”入手,逐步引导学生自己说出定理内容,教师适
时给予补充和纠正,还可以让学生自己动手画图,感受定理中两个条件缺一不可。另外,判定定
理和性质定理中的题设和结论较为隐蔽,教师也要适时做以引导。
在利用判定定理和性质定理解题时,常常需要添加辅助线,学生也常常对此感到
困惑。因此,教师可以举出实例,帮助学生总结证明一条直线是圆的切线有两种辅助线的作法:
(1)有公共点时,连半径,证垂直;(2)无公共点时,作垂直,证半径。在运用性质定理解题时,可以连
半径,得垂直。
3重点难点
教学重点:切线的判定定理与性质定理。
教学难点:引导学生得出切线的判定定理,掌握添加辅助线的方法。
4教学过程
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】复习直线和圆的三种位置关系
问题1: 图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系?如何判断这三种位置关
系?
师生活动:学生回顾上节课所学,教师提问:
(1) 图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系?(相离、相切、相交)(2) 如何判断这三种位置关系?(可以从公共点的个数和圆心到直线的距离d和
半径r的关系两个方面去判断。)
设计意图:复习旧知,为接下来学习切线的判定定理和性质定理做准备。
活动2【活动】探索切线的判定定理
问题2: 根据之前学过的知识,如何画出圆的一条切线?
师生活动:学生动手操作,可能无从下手,教师要进行引导,可以添加一条半径,降
低难度。(学生回答:如果添加一条半径,可以画一条直线与这条半径垂直。)
教师追问:如果只满足“垂直于半径”这一个条件可以吗?(学生回答:还要过半
径外端。)
教师追问:如果只有“过半径外端”呢?(学生回答:还要垂直于半径。)
师生活动:如果只满足“垂直于半径”这个条件,演示图1中的动画。如果只满
足“过半径外端”,演示图2中的动画。在这个过程中,可能有些同学画的直线
经过半径的外端但不一定与半径垂直,或者虽然垂直半径但不一定经过半径的
外端。这些问题教师都需及时关注并给予指导纠正。
设计意图:学生通过动手画图,感受直线变成切线,两个条件缺一不可。
活动3【活动】你能不能总结出切线的判定定理？
师生活动:学生根据两个条件,即“经过半径的外端”且“垂直于半径”总结
出切线的判定定理,即经过半径的外端并且垂直半径的直线是圆的切线。
教师追问:判定定理中的题设和结论分别是什么?(学生回答:题设是一条直线经
过半径的外端并且垂直于半径,结论是这条直线是圆的切线。)
教师追问:分清了题设和结论,能不能把判定定理用几何语言表示出来?(学生回
答:∵ OA是半径,OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线)
设计意图:通过一系列的问题串,使学生自主说出切线的判定定理。分清定理的
题设和结论,写出定理的几何表示也是应用定理解决问题的关键。活动4【活动】判断直线与圆相切有多少种方法？
师生活动:学生回答,三种方法。分别是(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.(3)经过半径外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线.
教师补充,需要和学生说明的是,判定定理是为了便于应用直线和圆相
切的定义而改写的一种形式。
设计意图:联系新知与旧知,总结概括出判断直线与圆相切的三种方法,为解决
实际问题提供思路。
活动5【练习】运用判定定理解决实际问题
例1:如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT是⊙O的切线.
师生活动:教师引导从求证出发,要想证明直线是圆的切线需要满足两个条件,
题目已知过半径外端,只需证明AT与半径垂直即可。
设计意图:通过例1,巩固判定定理中的两个重要条件。
例2:如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O
的切线。
变式: 如图,OA=OB=5,AB=8, ⊙O的直径为6. 求证:直线AB是⊙O的切线.
师生活动:通过教师引导,学生独立完成例2和变式,体会两种证法的不同之处。
帮助学生总结不同题目条件下所添加辅助线的不同方法。即“有公共点时,连
半径,证垂直”,“无公共点时,作垂直,证半径”。
设计意图:教师给出两个相似的图形,对比得出不同条件下添加辅助线的不同
方法。再次强化判定定理中的两个必要条件,缺一不可。
活动6【活动】能不能写出判定定理的逆命题？
师生活动:学生回答,如果一条直线是圆的切线,那么这条直线垂直于半径。教师
追问:垂直于任何一条半径吗?(学生回答:垂直于过切点的半径。)教师帮助总结性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
教师追问:如何证明这个结论?
教师引导学生发现要证明的情况只是垂直一种,如果不能从已知出发
得到结论,可以考虑用反证法。如果学生不能顺利说出证明过程,教师可以进行
引导:假设OA与直线l不垂直,过点O作OM⊥l,根据垂线段最短的性质,又
OM<OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l就与圆相交,而
这与直线l是⊙O的切线矛盾。因此,OA与直线l垂直。从而得到切线的性质定
理:圆的切线垂直于过切点的半径。
教师追问:定理的题设和结论是什么?(学生回答:题设是一条直线是圆的切线,
结论是这条直线垂直于过切点的半径)
设计意图:利用反证法引导学生得出切线的性质定理,并体会反证法的作用,但
对于这个证明只需让学生知道即可,部分学有余力的同学可以要求口头表述。
活动7【练习】运用定理解决实际问题
例3: 如图,AB是⊙O的直径,直线l1,l2是⊙O的切线,A、B是切点,l1,l2有怎样的
位置关系?证明你的结论。
师生活动:教师引导,题目条件中有l1,l2是⊙O的切线,直接通过性质定理得出
l1⊥AB,l2⊥AB。
教师追问:如何得出l1,l2的位置关系?(学生回答:l1//l2。)
教师追问:你的根据是什么?(学生回答:在同一平面内,垂直于同一条直线的两
条直线平行。)
设计意图:通过例3,巩固切线的性质定理。
例4:已知:△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.
求证: AC 是⊙O 的切线.
师生活动:教师提问:
(1) 证明切线有几种方法?最易于操作的是哪种?(切线的判定定理)(2) 用切线的判定定理需要满足几个条件?(两个)这两个条件已知中有吗?(没
有)
题目中既没有半径又没有垂直,就需要由O点作AC的垂线段OE,证明OE是
⊙O的半径,这样两个条件均满足,即可证明AC是⊙O的切线。
(3) 充分挖掘已知条件,尤其是已知中的AB与⊙O相切,你能得到什么结论?(连
接OD,OD是半径且OD⊥AB)
要想证明OE是半径,只需证明OE=OD即可。老师点拨后,学生先分组讨论,然后
独立完成解题过程,在解题时遇到的困难教师给予指导。最后通过展台,由一位
学生展示解题过程。学生讲解后,教师进行升华总结,得到两条经验:如果直线与
圆的公共点没有确定,需要过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于
半径。这样的添辅助线的方法叫做“作垂直,证半径”。如果已知直线是圆的切
线,只要连接半径,得出直线垂直于半径即可,即“连半径,得垂直”。
设计意图:这道题结合了切线的性质定理和判定定理,是一道比较综合的题目。
并且通过运用性质定理解决问题,得到“连半径,得垂直”的辅助线添加方法。
活动8【活动】小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1) 切线的判定定理和性质定理是什么?它们有怎样的联系?
(2) 在应用性质定理解题时,需要反馈什么结论?在应用判定定理解题时,需要
如何添加辅助线?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,掌握本节课的核心——切线
的判定定理和性质定理,明确两定理的题设和结论,并应用定理解决简单问题。
活动9【作业】布置作业
教材102页10、12题。
活动10【测试】目标检测设计1.如图,AB是⊙O直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于D,∠C=20。,求
∠CDA的度数
设计意图:考查学生对切线性质定理的掌握。
2. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作
⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
设计意图:考查学生对切线判定定理的掌握。