人教数学九上24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、内心[周老师]市一等奖优质课_初中7-9年级全科优质公开课_初中数学优质公开课_初中数学9年级上册优质课视频含课件教案

教学目标
1. 知道三角形内切圆、内心的概念,理解切线长定理,并会用其解决有关问题;
2.经历探究切线长定理的过程,体会应用内切圆相关知识解决问题,渗透转化想
2学情分析
圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上,继续对切线的
性质的研究,是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.在切线长定理的探究过程中,学
生经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程,体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明
的有机结合.
3重点难点
1.重点:切线长定理及其运用.
2.难点与关键:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
4教学过程
4.1 第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】切线长定义
问题、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?这样的切线有几条?
师生共同画出切线,得出结论:过圆外一点可以作出圆的两条切线。
切线长定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这
点到圆的切线长
切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢?
切线和切线长是两个不同的概念:
1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量;
2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量。
活动2【导入】二、探究并证明切线长定 理思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,猜想PA和PB 有什么关系?∠APO 和
∠BPO有什么关系?
学生小组讨论验证的方法,并记录数据。教师请学生回答测量数据,验证猜想。
问题:还有其它方法验证猜想吗?
学生将手中的同学沿着直线PO将纸对折,圆上点A与点B重合,利用图形的轴
对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?
我们很容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO.
从上面的操作几何我们可以得到:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心
的连线平分两条切线的夹角.
下面,我们给予逻辑证明.
例1.如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线.
求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB.
证明:∵PA、PB是⊙O的两条切线.
∴OA⊥AP,OB⊥BP
又OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB因此,我们得到切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平
分两条切线的夹角.
活动3【导入】切线长定理的简单应用
1、如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,若PA=5,则PB= ;
若APB=45°,则∠1= ;若∠2=32°,则∠ APB= 。
活动4【导入】切线长定理的拓展
追问1:若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?
追问2:若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?
学生叙述证明过程。
反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。
常见的添加辅助线的方法:
(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点(3)连结圆心和圆外一点
活动5【导入】三、三角形的内切圆，内心及其应 用
一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可
能大呢?
学生讨论后得出结论:圆形与三角形各边相切时得到的圆是最大的。
师:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的内心:三角形的内切圆的圆心。
师追问:三角形的内心,到三角形三条边的距离是什么关系?由此你能说出三角
形的内心是如何得到的吗?
结论:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形的内心的性质:
1、三角形的内心与顶点的连线平分三个内角。
2、三角形的内心到三角形三边的距离相等。
师:下面,我们来对比一下三角形的内心与三角形的外心
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点;三角形的内心是三角形三个内
角平分线的交点。三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的内心到三角形三边的距
离相等。
活动6【导入】学以致用
如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切与D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13.
求AF,BD,CE的长.
师生共同分析,师留给学生课下完成。
解: 设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.
解得: x=4.
因此,AF=4,BD=5,CE=9
活动7【导入】小结与作业
本节课应掌握:
1.圆的切线长概念;
2.切线长定理;
3.三角形的内切圆及内心的概念和性质.
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌
握并能灵活应用。五、布置作业:课本100页练习题2题;103页14题。