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24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 教学设计
课题 24.2.2 直线和圆的位置关 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
系（第三课时）
学习 1. 掌握切线长的定义及切线长定理；
目标 2. 运用切线长定理进行计算与证明；
3. 掌握三角形的内切圆和内心.
重点 运用切线长定理进行计算与证明。
难点 掌握三角形的内切圆和内心。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习：切线的性质定理和判定定理？ 复习回顾，学 为学习切线长
切线的性质定理： 习新知. 定理奠定基础.
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
讲授新课 环节一：探究切线长定理 通过探究，发 鼓励学生通过自
问题：过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 现切线长定 学探究得出结论.
两条 理，并进行总
A 结.
P
O
切线长： B
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点
到圆的切线长．
思考：切线长与切线的区别？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为
A、B，沿着直线OP把圆对折，PA与PB，∠OPA
与∠OPB有什么关系?
A
P
O
BPA=PB，∠OPA=∠OPB
你能证明此结论吗？
证明：连接OA、OB
∵PA、PB为⊙O两条切线
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∵OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
探究：已知PA、PB为⊙O两条切线，切点分别为
A、B，沿着直线OP把圆对折，还有其他结论成
立吗?
OP垂直平分AB
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
几何语言：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.
为证明线段相等、角相等提供新的方法.
环节三：探究内切圆
思考：如何在三角形内部画一个圆，使它与已知 通过探究，发 理解并掌握内心
三角形的三边都相切？ 现三角形的内 的定义.
分析：(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相 切圆定义及内
切,那么圆心I应满足什么条件？ 心定义.
(2)在△ABC 的内部,如何找到满足条件的圆心 I
呢？
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切
圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交
点，叫做三角形的内心.
A
I
B C☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内
心，△ABC是☉I的外切三角形.
环节三：合作探究
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB
运用切线长定
分别相切于点 D、E、F，且 AB=9，BC=14，
理和内心解决
CA=13，求AF、BD、CE的长.
问题 熟练掌握知识的
运用
解：设AF=x，则AE=x，
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF =AB -AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得x=4.
∴AF=4，BD=5，CE=9．
小结：运用切线长定理，将相等线段转化集
中到某条边上，从而建立方程.
环节四：课堂练习
1.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=6.
学生练习，师
（1）若AP=8，则OP=10；
生互评订正.
（2）若∠BPA=60 °,则OP=12.
学以致用，培养
A 学生运用知识解
决问题的能力.
P
O
2. 如图，△ABCB中,∠B=43º,∠C=61º,点I是△ABC
的内心，则∠BIC的度数为 128 º . A
I
3. 已知，如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别
B C是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切
线，交 PA、PB于E、F 点，已知 PA=12cm，则
△PEF的周长为24cm.
A
E
O
Q
P
F B
4.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上
一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于
E，与AC相切于点D. 求证：DE∥OC.
证明：连接OD
∵ AC为⊙O的切线 ，
∴OD⊥AC
∴∠ODC=∠B=90°
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴ Rt△ODC≌Rt△OBC
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC．
5.如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处
建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.
已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离
相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 请你帮助
计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有
多远？证明：过点M作MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB
由题意知MD=ME=MF
∵AC⊥CB
∴∠C＝90°
在Rt△ABC中，根据勾股定理的
∴MD=ME=MF=10（米）
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
切线长定义
本节课的知识 识点.
切线长定理
切线长定理 点.
直
线
和
圆
的
定义
位 内切圆
置
关 内心
系
板书 24.2.2 直线和圆的位置关系 教师展示本节 展示本节课的内
切线长定理： 内切圆： 课的内容. 容.
例2 练习
