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24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时） 分层作业
基础训练
1．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分别相切于点 ， ，不倒翁的鼻
尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C
2．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的
长是（ ）A． B． C．5 D．5
【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴AB=PA=5．
故选：C．
3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为
（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
4．如图， 的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知 的周长为36． ，
，则AF的长为（ ）A．4 B．5 C．9 D．13
【详解】解： 的周长为36． ， ，
∴ ,
由切线长定理可得，
，
设 ， ，
解得：
∴ ；
故选：A．
5．如图，已知 是 的两条切线，A，B为切点，线段 交 于点M．给出下列四种说法：①
；② ；③四边形 有外接圆；④M是 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】如图， 是 的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是 的两条切线，取 的中点 ，连接 ，
则
所以：以 为圆心， 为半径作圆，则 共圆，故③正确，
M是 外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是 个，
故选C．
6．如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分
C． D．
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
7．如图，已知 、 是 的两条切线， 、 为切点，连接 交 于 ，交 于 ，连接 、
，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
8．如图，在Rt 中， ， 是 的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若
则 的面积是（ ）
A．60 B．13 C．13 D．30
【详解】∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
设 ，
在Rt 中， ，
故 ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴ ，
故选：D．
9．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B． C． D． —1
【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2 ，
∴它的内切圆半径为：R= （2 +2 -4）=2 -2．
故选：B．
10．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按
照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心
O为点）是（ ）A．2m B．3m C．6m D．9m
【详解】设内切圆半径为r，
由勾股定理可得斜边= ，
则利用面积法可得： ，
解得 ．
∴管道为 （m），
故选：C．
11．如图，三条公路两两相交，现计划在 中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路
的距离都相等，则探照灯位置是 （ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
【详解】△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是三条角平分线的
交点．
故选：D．
12．如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（ ）度
A．70 B．135 C．55 D．125
【详解】解： 在 中， ， 是外心，，
，
，
为 的内心，
， ，
，
，
故选：D．
13．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，
则PA= cm．
【详解】如图，设DC与⊙O的切点为E，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴PA=PB，
同理，可得：DE=DA，CE=CB，
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm），
∴PA=PB=5cm，
故答案为：5．
14．已知 的三边a、b、c满足 ，则 的内切圆半径= ．
【详解】解：则 =0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴ 的内切圆半径= =1．
故答案为1．
15．如图，四边形 为 的内接四边形， 是 的内心，点 与点 关于直线 对称，则
的度数是 ．
【详解】解：连接OB、OD、BI、DI，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴OB=BI，OD=DI，
∵OB=OD，
∴OB=BI=OD=DI，
∴四边形OBID是菱形，
∴∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，
∵∠BOD=2∠A，∠BID=180°-（∠IBD+∠IDB），
∵∠IBD+∠IDB= ， ,
∴ ∠IBD+∠IDB= ，∴∠BID=180°- ，
∴2∠A=180°- ，
解得∠A= ，
故答案为： ．
16．如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB
的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
【详解】解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
117．已知 的三边长分别为 ，Ⅰ为 的内心，且Ⅰ在 的边
上的射影分别为 ．（1）若 ，求 内切圆半径r；
（2）求证： ．
【详解】解：（1）∵ ，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为 ，由△ABC的面积可得：
= ，
即 = ，
解得：r=1，
∴△ABC的内切圆半径为1；
（2）∵I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC，AC，AB上的射影分别为D，E，F，
∴D、E、F分别是⊙I的三边切点，
∴AF=AE，BF=BD，CD=EC，
设AE=AF=x，则EC=b-x，BF=c-x，
故BC=a=b-x+c-x，
整理得出：x= ，
即AE=AF= ．
能力提升
1．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图， ，内切圆O的半径为 ，切点为 ，则过点A作 于D，设 ，则
由勾股定理得：
则 ，即
解得 ，即
又
即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．
2．如图，在 中， ， 于 ， 为 的内切圆，设 的半径为 ，
的长为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【详解】解：如图所示： 为 中 、 、 的角平分线交点，过点 分别作垂线交
、 、 于点 、 、 ，
，
，
，
的长为 ，
，
，
，
，
故选：A．
3．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如
图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①， ②，
，
③，
，
解得 或 （舍去），
大正方形的面积为 ，
故答案为： ．
4．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为 ，⊙M是 的内切圆，点
N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则 的最小值是 ．
【详解】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN=PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC= =5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S AOC= （3r+4r+5r）= ×3×4，
△
解得r=1，
∴ME=MN=1，
∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4，
∴MB′=5，
∴PB′+PN=5-1=4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
5．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为 ．
【详解】解：如图：∵三角形的三边长为BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm
∴三角形为直角三角形
∴直角三角形的外心是斜边的中点，即AD=BD= AB=5
由直角三角形内切圆半径公式： 即OE=2
∵OF⊥BC，OG⊥AC
∴CF=CG=OF=OG=2，∴BE=FB=4，BD=5
∴DE=BD-BE=1
在Rt△ODE中，DE=1，OE=2
∴OD= ．
故答案为 ．
拔高拓展
1．探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切 于点A、B、C，猜想 的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的
结论．
(2)如果图1的条件不变，且 ， 的周长为16cm，求 的半径．
(3)如图2，点E是 的边PM上的点， 于点F， 与边EF及射线PM、射线PN都相切．若
， ，求 的半径．
【详解】（1）解： 的周长 ，
证明： 、 分别切 于 、 ，
，与 为 的切线，
，
同理得到 ，
的周长
；
（2）解：如图1所示，连接 ， ，
是 的切线，
，
，
的周长为 ，
，
，
的半径为 ；
（3）解：如图2所示，设 与射线 、射线 相切于 ， ，与 相切于 ，
则 ，
连接 ， ， ，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
设 的半径为 ，
，
， ，
，
，
，
即 ，
．
如图3所示， ，
，
解得 ．
的半径为2或1．
