2.3 力的合成与分解
【学习目标】
1、会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2、能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
【学习重难点】
力的合成与分解在实际问题中的灵活应用！
考点一、共点力的合成
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点,或它们的作用线相交于一点,这几个力叫作共点力.
2.合力和分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个
力的合力，那几个力叫作这个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
二、力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻
边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示，F1、
F2为分力，F 为合力。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点
的有向线段为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F 为合力。
【典例分析】
例1、某物体受到一个大小为32N 的力，方向水平向右，还受到另一个大小为44N 的力，
方向竖直向上。通过作图求出这两个力的合力的大小和方向。
【参考答案】解：选择某一标度，例如用1.0cm 长的线段表示10N 的力。根据题意，作出
二力合成的平行四边形。表示F1的有向线段长3.2cm,表示F2的有向线段长4.4cm。用刻度
尺测量后得知，表示合力F 的对角线长为5.4cm，则
F=5.4 cm × 10 N/cm=54N
用量角器测得合力F 与力F1的夹角为54°。
即：合力的大小为54N，方向与力F1的夹角为54°。
变式1、两个力互成30°角，大小分别为90N 和120N。通过作图求出合力的大小和方向。
如果这两个力的大小不变，两个力之间的夹角变为150°，通过作图求出合力的大小和方
向。
例2、已知两个共点力F1和F2互相垂直，如图所示，求两个力的合力F 及夹角θ 的正切值？
变式1、已知两个共点力F1和F2等大且夹角为θ，如图所示，
（1）求合力F？
（2）若夹角θ=60°，求合力F 的大小？
（3）若夹角θ=120°，求合力F 的大小？
例3、有两个力，一个是10N，一个是2N，它们的合力有可能等于5N，10N，15N 吗？合
力的最大值是多少？最小值是多少？
变式2、已知两个共点力F1和F2，其夹角为θ，当θ 从0°变到180°的过程中，
（1）F1和F2的合力F 如何变化？
（2）合力F 总比力F1和F2中的任何一个都大吗？
（3）若θ 角不变，力F1大小不变，F2增大，则合力F 如何变化？
变式3、已知三个共点力F1、F2、F3，
（1）若三个力的大小分别为3N、6N、8N，求这三个力的合力的最大值与最小值？
（2）若三个力的大小分别为3N、6N、10N，求这三个力的合力的最大值与最小值？
（3）归纳总结，三个共点力合力的最大值与最小值？
【参考答案】
最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，
即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，
即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【做题感悟】
考点二、力的分解
1.定义:求一个已知力的
分力
的过程.
2.运算法则:
平行四边形
定则或
三角形
定则.
3.两种分解方法:正交分解法和效果分解法.
【典例分析】
例4、如图3.4-10，倾角为15°的斜面上放着一个木箱，用100N 的拉力F 斜向上拉着木
箱， F 与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x 轴和y 轴建立直
角坐标系，把F 分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy，并计算它们的
大小。
变式4、如图所示,两拖船P、Q 拉着无动力货船S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,
两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°.假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff,
方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为( )
A.
❑√3
3
Ff
B.
❑√21
3
Ff
C.2Ff
D.3Ff
【参考答案】B [解析] 对货船S 受力分析如图甲所示,其中FT为绳的拉力,根据正交分
解法可得2FTcos 30°=Ff,对拖船P 受力分析如图乙所示,其中F 为发动机提供的动力,有
(FT'sin 30°)2+(Ff+FT'cos 30°)2=F2,根据牛顿第三定律可知FT'=FT,联立解得F=
❑√21
3 Ff,故
B 正确.
例5、如图3.4-11，把一个物体放在倾角为θ 的斜面上，物体受重力G(物体还受到其他力
的作用，图中没有画出)。现在需要沿平行于斜面方向和垂
直于斜面方向对物体的运动分别进行研究，把重力G 沿平
行于斜面和垂直于斜面方向分解，求两个分力的大小。
变式5、如图甲所示是用刀具切硬物的情景,将刀刃放在硬物上,右手握住刀柄控制右侧刀面
始终保持竖直,左手用力按压刀背使刀刃缓慢竖直切入硬物,刀刃切入硬物的横截面如图乙所
示.下列说法正确的是( )
A.刀具左侧对硬物的压力小于右侧对硬物的压力
B.刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力
C.刀具对硬物的作用力小于硬物对刀具的作用力
D.刀具对硬物的作用力大于硬物对刀具的作用力
【参考答案】B [解析] 把F 分解,如图所示,可知刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬
物的压力,故A 错误,B 正确;由牛顿第三定律可知刀具对硬物的作用力等于硬物对刀具
的作用力,故C、D 错误.
例6、力的分解中的多解问题
（1）已知合力与两个分力的方向，如图所示，则两分力有几种情况？
【参考答案】
有唯一解
（2）已知合力与两个分力的大小，如图所示，则两分力有几种情况？
【参考答案】
在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
（3）已知合力与一个分力的大小和方向，如图所示，则两分力有几种情况？
【参考答案】
有唯一解
（4）已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向，如图所示，则两分力有几种情况？
【参考答案】
(1)在0<θ<90°时有三种情况:①当F1=Fsin θ 或F1≥F 时,有一组解;②当F1<Fsin θ 时,无解;③
当Fsin θ<F1<F 时,有两组解.
(2)若90°<θ<180°,仅F1>F 时有一组解,其余情况无解
【做题感悟】力的分解中的多解问题
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个
分力的方向
有唯一解
已知合力与两个
分力的大小
在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或
F>F1+F2时无解)
已知合力与一个
分力的大小和方
向
有唯一解
已知合力与一个
分力的大小及另
一个分力的方向
(1)在0<θ<90°时有三种情况:①当F1=Fsin θ 或
F1≥F 时,有一组解;②当F1<Fsin θ 时,无解;③当
Fsin θ<F1<F 时,有两组解.
(2)若90°<θ<180°,仅F1>F 时有一组解,其余情况
无解
变式6、已知两个共点力的合力为50 N,分力F1的方向与合力F 的方向成30°角,分力F2的
大小为30 N.则
( )
A.F1的大小是唯一的
B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向D.F2可取任意方向
【参考答案】C [解析] 已知分力F1有确定的方向,与合力F 的方向成30°角,可知另一
个分力的最小值为F2min=Fsin 30°=25 N,依题意25 N<F2<50 N,根据三角形定则,画出矢量
三角形,如图所示,易知F2有两个可能的方向,F1的大小有两种可能,故C 正确,A、B、D
错误.
【辨别明理】
1.几个力的共同作用效果可以用一个力来替代.( )
2.一个力只能分解为一对分力.
( )
3.两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们的夹角的增大而减小.
( )
4.互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形.( )
【参考答案】1.√ 2.× 3.√ 4.√
【巩固练习】
1、一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用,三力的矢量关系如图所示(小方格边长相
等),则下列说法正确的是
( )
A.三力的合力有最大值F1+F2+F3,方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3,方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3,方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
【参考答案】B [解析] 先以力F1和F2为邻边作平行四边形,其合力与F3共线,大小
F12=2F3,如图所示,F12再与第三个力F3合成求合力F 合,可得F 合=3F3,故选B.
2、矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用.若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均
为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为( )
A.2Fsinα
2
B.2Fcosα
2
C.Fsin α
D.Fcos α
【参考答案】B [解析] 根据平行四边形定则可知,该牙所受两牵引力的合力大小为F 合
=2Fcosα
2
,故选B.
3、当汽车陷入泥潭时,需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离,如图为其俯视图.救援人员发现在
受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用,根据你所学过的知识判断,下列情况中,救援车辆
用同样的力拖拽,受困车辆受到的拉力最大的方案为
( )
A
B
C
D
【参考答案】B [解析] A 图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉力为救援车辆拖拽力
的两倍;B 图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉力等效为分力,救援车辆的拖拽力等
效为合力,因初始时刻两分力夹角接近180°,合力远小于分力;C 图中,缆绳与树桩构成定
滑轮系统,仅改变力的方向,未改变力的大小;D 图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉
力救援车辆拖拽力的1
2;综上所述B 图最省力.故选B.
4、将一重为G 的圆柱形工件放在“V”形槽中,如图所示,槽的两侧面与水平面的夹角相同,
“V”形槽两侧面的夹角为120°.当槽的棱与水平面的夹角为30°时,工件恰好能够匀速下滑,
则
( )
A.工件对槽每个侧面的压力均为
❑√3
2
G
B.工件对槽每个侧面的压力均为
❑√3
3
G
C.工件与槽间的动摩擦因数为1
2
D.工件与槽间的动摩擦因数为
❑√3
2
【参考答案】C [解析] 工件的重力可以分解为沿槽棱方向向下的分力Gsin 30°与垂直
于槽棱方向的分力Gcos 30°,如图甲,垂直于槽棱方向的分力Gcos 30°又进一步分解为两
个挤压斜面的压力,如图乙,由几何关系可知2F1cos 30°=Gcos 30°,解得F1=F2=1
2G,故A、
B 错误;此时沿槽棱方向的分力Gsin 30°与工件和槽之间的摩擦力大小相等,有
Ff=2μF1=Gsin 30°,解得μ=1
2,故C 正确,D 错误.
5、如图3-4，用一根轻质细绳将一幅重力为10N 的画框对
称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。已知
细绳能承受的最大拉力为10N，要使细绳不会被拉断，细绳最短要多长?
