北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题四 导数及其应用
4.2 导数的应用
应用创新题组
1.(2021安徽宣城调研,12 探索创新情境)若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x,x,则f(x)+f(x)
1 2 1 2
的取值范围是( )
A.(-∞,18) B.(-∞,18]
C.(-∞,16] D.(-∞,16)
答案 D 由f(x)=x3-3ax2+12x(a>0),得f '(x)=3x2-6ax+12,因为函数f(x)存在两个极值点x,x,所以方程3x2-
1 2
6ax+12=0的根的判别式Δ=36a2-4×3×12>0,即a>2(舍负),则x
1
+x
2
=2a,x
1
x
2
=4,f(x
1
)+f(x
2
)=
x3
-3a
x2
+12x
1
+(
x3
-3a
1 1 2
+12x)=(x+x)( -xx+ )-3a[(x+x)2-2xx]+12(x+x)=(x+x)[(x+x)2-3xx]-3a[(x+x)2-
x2 2 1 2 x2 1 2 x2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2
2xx]+12(x+x)=2a·(4a2-12)-3a·(4a2-8)+24a=-4a3+24a,
1 2 1 2
设g(a)=-4a3+24a,则g'(a)=-12a2+24=-12(a2-2),当a>2时,g'(a)<0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减.所以g(a)<g(2)=16,
所以f(x)+f(x)的取值范围是(-∞,16),故选D.
1 2
2.(2018江苏,11,5分 探索创新情境)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在
[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .
答案 -3
解析 ∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又
f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.
a
当0<x< 时, f '(x)<0, f(x)为减函数;
3
a
当x> 时, f '(x)>0, f(x)为增函数,
3
∴x>0时,
f(x)有极小值,为f(a)=-a3
+1.
3 27
∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
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∴f(a)=0,∴a=3.
3
∴f(x)=2x3-3x2+1,则f '(x)=6x(x-1).
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f '(x) + -
f(x) -4 增 1 减 0
∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.
3.(2022届安徽淮南一中月考三,22 探索创新情境)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的不动点.设
0 0 0
f(x)=x3+ax2+bx+3.
(1)当a=0时,
(i)求f(x)的极值点;
(ii)若存在x 既是f(x)的极值点,也是f(x)的不动点,求b的值;
0
(2)是否存在实数a,b,使得f(x)有两个极值点,且这两个极值点均为f(x)的不动点?判断并说明理由.
解析 (1)当a=0时, f(x)=x3+bx+3, f '(x)=3x2+b,
(i)当b≥0时, f '(x)≥0, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值点.
√ b √ b √ b √ b √ b √ b
当b<0时,由f '(x)=0得x= - 或x=- - ,当x<- - 或x> - 时, f '(x)>0;当- - <x< - 时, f
3 3 3 3 3 3
'(x)<0.故f(x)在( √ b),(√ b )上单调递增,在( √ b √ b)上单调递减,所以x=-
-∞,- - - ,+∞ - - , -
3 3 3 3
√ b是f(x)的极大值点,x=√ b是f(x)的极小值点.
- -
3 3
{f '(x )=0, { 3x2+b=0,
(ii)由题意得 0 即 0 其中b<0,消去b得2x3+x
0
-3=0,即(x
0
-1)(2x2
f (x )=x , x3+bx +3=x , 0 0
0 0 0 0 0
+2x
0
+3)=0,而2
x2
+2x
0
+3=2(
x +
1) 2 +5>0恒成立,
0 0 2 2
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则x=1,则b=-3.
0
(2)不存在.理由如下:
假设存在满足题设的a,b,令x,x 为f(x)的两个极值点且为f(x)的不动点,不妨令x<x.
1 2 1 2
因为f '(x)=3x2+2ax+b,
则x,x 为方程3x2+2ax+b=0的两个根,
1 2
易知当x∈(x
1
,x
2
)时, f '(x)<0,
则f(x)在(x,x)上单调递减,
1 2
则f(x)>f(x),又x,x 为f(x)的不动点,
1 2 1 2
则f(x)=x<x=f(x),
1 1 2 2
即f(x)<f(x),与f(x)>f(x)矛盾,所以不存在满足题设的a,b,使得f(x)有两个极值点,且这两个极值点均为f(x)
1 2 1 2
的不动点.
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