文档内容
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................7
【考点一】导数的几何意义与计算..................................................................................................7
【考点二】利用导数研究函数的单调性.........................................................................................12
【考点三】单调性的简单应用.......................................................................................................17
【专题精练】...............................................................................................................................22
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.
2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式
考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
4．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是 .
7．（2022·全国·高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 A C C D B
1．A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得
其面积.
【详解】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.
2．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
3．C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
4．D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
5．B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据f'(x)即可解出．
【详解】因为函数 定义域为(0,+∞)，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
6．
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司7．
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
8．
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
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学科网（北京）股份有限公司切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
考点突破
【考点一】导数的几何意义与计算
核心梳理：
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′·u′.
u x
一、单选题
1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数 在 处的导数为1，则
（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·二模）已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的定义域为 B． 的图像在 处的切线斜率为
C． D． 有两个零点 ，且
4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数 有极小值点 ，则下列说法中正
确的有（ ）
A．
B．函数 有三个零点
C．函数 的对称中心为
D．过 可以作两条直线与 的图象相切
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数 的图象如图所示，
令 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．
B．函数 图象的对称轴方程为
C．若函数 的两个不同零点分别为 ，则 的最小值为
D．函数 的图象上存在点 ，使得在 点处的切线斜率为
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C BCD ACD BC AC
1．D
【分析】根据导数的定义可知， ，即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
根据导数的定义可知， ，
即 ，
所以 .
故选：D.
2．C
【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【详解】由 ，则 ，即直线 的斜率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据倾斜角与斜率关系及其范围知： 的倾斜角为 .
故选：C
3．BCD
【分析】根据题意直接求出 的范围即可判断 ；求出导函数，进而求得 即可判断B；求得 即
可判断C；易知 的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意， ，
对于选项A，易知 且 ，故选项A错误，
对于选项B，因为 ，则 ，故选项B正确，
对于选项C，因为 ，所以 ，故选项C正确，
对于选项D，由选项 可知 ，易知 在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，
因为 ，
，
所以 ，使得 ，
又因为 ，则 ，结合选项C，得 ，
即 也是 的零点，则 ， ，故 ，故选项D正确，
故选：BCD.
4．ACD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可得 ，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出
即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点 求出
切点，即可判断D.
【详解】 ，
因为函数 有极小值点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又
所以函数 仅有 个在区间 上的零点，故A正确，故B错误；
对于C，由 ，
得 ，
所以函数 的图象关于 对称，故C正确；
对于D，设切点为 ，则 ，
故切线方程为 ，
又过点 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，即 ，
解得 或 ，
所以过 可以作两条直线与 的图象相切，故D正确.
故选：ACD.
5．BC
【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.
【详解】选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极值点，故选项
A错误.
选项B: 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确，
选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确，
选项D：令 ，即 ，
令 ，则令 ，
则
当 则当切线斜率为 切点为 则切线方程为： 与
不相等，
当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误.
故选：BC.
6．AC
【分析】根据图象可求出函数 ，即可得 ，计算可知A正确，整
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学科网（北京）股份有限公司体代入可得函数 图象的对称轴方程为 ，即B错误；分别求的两零点 的表达式
可得 的最小值为 ，即C正确；利用导数的几何意义可知D错误.
【详解】由图象可知 ，
设 的最小正周期为 ，又 ，解得 ；
由图可得 ，又 ，所以 ，即 ；
因此 ，所以 ；
即可得 ，故A正确；
令 ，解得 ，所以函数 图象的对称轴方程为 ，
即B错误；
令 ，即可得 ，解得 ；
可得 ，当 时， 的最小值为 ，即C正确；
易知 ，而 ，
因此不存在点 ，使得在 点处的切线斜率为 ，即D错误；
故选：AC
规律方法：
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定
是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
【考点二】利用导数研究函数的单调性
核心梳理：
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知 ，则 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·一模）设 ，且 ，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为 上的单调函数，则
B．若 时， 在 上有最小值，无最大值
C．若 为奇函数，则
D．当 时， 在 处的切线方程为
三、填空题
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知 ，若 有四个不同的零点，
则t的取值范围是 ．
6．（23-24高二下·上海·期中）函数 的严格递减区间是 .
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学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D AC BCD
1．D
【分析】构造函数 ，由 得 ，进而判断函数 的单调性，判断各选
项不等式.
【详解】依题意令 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；
又 ，即 ，即 ，故C错误；
因为 ，即 ，即 ，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数 ，利用导数说明函数的单调性，
即可比较函数值的大小.
2．D
【分析】设 ，利用导数可得 在 上单调递增，在 上单调递减，从而可得
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学科网（北京）股份有限公司最大，再根据对数的运算性质比较 的大小即可.
【详解】解：因为 ， ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ， ，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即
可解答问题.
3．AC
【分析】首先求出 ，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.
【详解】由于 ，知 ，及其 ，则 ，解得 ，
对AB， ，设函数 ， ，
故 在 上单调递减，则 1，即 ，故A对B错；
对C，由于 ，设 ， ，
故 在 上单调递减， ，故 ，
若 ，故C对；
对D， ，设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，则 ， ，则 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减， ，故 ，即
，故D错误.
故选：AC.
4．BCD
【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇
函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.
【详解】A：若 为 上的单调函数，则 ， ，则 ，故A错；
B：当 时， ，令 ，得 ， ，则
在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取最小值，无最大值，故B对；
C：由于 ，则 为奇函数时，
，故C对；
D：当 时， ， ，则 ，切点为 ，切线方程为 ，故D对；
故选：BCD．
5．
【分析】结合导数，分析 的单调性后画出函数图象， 有四个不同的零点，即
有四个不同的解，令 ，转换为 有两个不同解，结合图
象判断即可得.
【详解】当 时， ，则 对 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ．令 ；
令 ，∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
由题意 有四个不同的解，
令 ，则 有两个不同解 ，显然 ，
如下图，不妨设 ，故 ，
∴ ，故 ．
故答案为： .
6． .
【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令f'(x)<0，则 且 ，即 的严格递减区间为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
规律方法：
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
【考点三】单调性的简单应用
核心梳理：
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
一、单选题
1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数 在R上单调，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式 恒
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数 及其导函数 的定义域均为 ，
与 均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是奇函数 B．若f(x)为增函数，则
C．当 时，函数f(x)恰有两个零点 D．当 时，函数f(x)恰有1个极值点
三、填空题
5．（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 ．
6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数 ，若不等式 对
恒成立，则实数a的取值范围为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D BD AB
1．C
【分析】利用导数分别求解 和 时的单调性，再结合 在 上递增，可得 ，即可求解.
【详解】由题意，函数 在 上单调递增，当 时， ，依题需使
恒成立，则 ；
当 时，由 在 上递增，需使 在 上恒成立，则
，即 ；
又由 在 上递增，可得 ，解得 .
综上可得， 的取值范围是 .
故选：C.
2．D
【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构
造函数，利用导数求其最值，可得答案.
【详解】 当 时，不等式 恒成立，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即函数 在 上单调递增，则 ，
整理可得 ，令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， .
故选：D.
3．BD
【分析】由题意结合赋值法可得函数 与 的对称性及周期性，结合性质逐项分析计算即可得.
【详解】由 与 均为偶函数，
故 ， ，
即有 ， ，
故 关于 对称， 关于 对称，
又 ，故 ，
即 ，故 关于 对称，
由 ，可得 ，
即有 ， 为常数，
即 关于 对称，故 ，故A错误；
即对 有 、 ，
则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ，
即 ，故B正确；
对 有 ， ，
关于 对称且 关于 对称， ，
有 ，即 ，
故 ，即 ，
故 为周期为 的周期函数，
有 ，即 ，
故 关于 对称，不能得到 ，故C错误；
由 关于 对称，故 ， ，
由 为周期为 的周期函数，且 关于 对称，
故 关于 对称，故 ，
由 关于 对称，关于 对称，故 关于 对称，
故 ， ，
故 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 关于直线 轴对称，则 ，若函数 关于点 中心对
称，则 ，反之也成立；
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学科网（北京）股份有限公司（2）关于周期：若 ，或 ，或 ，可知函数 的周期为
.
4．AB
【分析】A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究 恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D
利用零点存在性定理判断 异号零点的个数即可判断.
【详解】 且定义域为 ，即 为奇函数，A正
确；
若 为增函数， 恒成立，
令 ，则 ，即 递增；
又 ，故 上 ， 上 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 恒成立，可得 ，B正确；
由B知： 时f(x)为增函数，不可能存在两个零点，C错误；
时 ，由B分析知： ， ， ，故
在 、 上各有一个异号零点，则f(x)有2个极值点，D错误；
故选：AB
【点睛】关键点点睛：构造中间函数研究 恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断
f(x)的零点个数.
5．
【分析】函数 在区间 上单调递增，转化为 在 上恒成立，即
恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 时， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，
故答案为： .
6．
【分析】将不等式等价转化，构造函数 ，并探讨其性质，再利用导数分类讨论
的值域即可求解作答.
【详解】 ，
令 ，则 ， ，设 ，则 ，
当 时, ，且等号不同时成立，则 恒成立，
当 时， ，则 恒成立，则 在 上单调递增，
又因为 ，因此存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时, ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递减，在 , 上单调递增,
又 ，作出函数 的图像如下：
函数 定义域为 ，求导得 ，
①当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，
当 时， 的取值集合为 ，而 取值集合为 ，
因此函数 在 上的值域包含 ，
当 时， 的取值集合为 ，而 取值集合为 ，
因此函数 在 上无最小值，从而函数 的值域为R，即 ， ，不合题意，
②当 时，由 得 ，由 得 ，函数 在 上单调递增，在 上单
调递减，
，当 时， 的取值集合为 ，
而 取值集合为 ，因此函数 在 上的值域包含 ，
此时函数 的值域为 ，即 ，
当 时，即当 时， 恒成立，符合题意，
当 时，即当 时， ，结合图象可知， ，不合题意，
所以实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨
函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
规律方法：
利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究
函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以
的速度向该容器内注入溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，
如图2所示，忽略容器的厚度，则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A．-2 B．1 C． D．
3．（2024·河南开封·二模）已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A．-2 B． C．1 D．2
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学科网（北京）股份有限公司5．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的方程不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖南永州·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）设 ，曲线 在点 处切线的斜率为 ，与x轴的交点为 ，
与y轴的交点为 ，则（ ）
A．
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．
D．
10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函
数，当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 为周期函数
C．函数 为 上的偶函数 D．
11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数 是 的导函数，则
（ ）
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
三、填空题
12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数 ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
13．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司．
14．（2024·北京石景山·一模）设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)对 ， 恒成立，求a的取值范围.
16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)试讨论函数 的单调性．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B D C D BC AB
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】由图设溶液高度 和液面半径 ，用 表示液体体积得到方程，求出 ，依题，对其求导，
赋值即得 时液体高度的瞬时变化率.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司设注入溶液的时间为 （单位： ）时，溶液的高为 ，液面半径为 ，如图可得，
,则 ，即 ，
则由 ，解得 .
由 ，当 时， ，
即 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 .
故选：A.
2．A
【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程 ，再设与曲线 相切
的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 的值，
进而得到 的值.
【详解】由曲线 ，得 ，
在 处的切线斜率为 ，当 时， ，
曲线 在 处的 ，即 ，
曲线 ，导数为 ，
设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上，
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学科网（北京）股份有限公司即有 ，得 .
故选：A.
3．D
【分析】求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
故选：D
4．D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知 ，求出切点，代入切线即可求出 .
【详解】设切点为
因为切线 ，
所以 ，
解得 （舍去）
代入曲线 得 ，
所以切点为
代入切线方程可得 ，解得 .
故选：D.
5．B
【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】令 ，得 ，代入曲线 ，
所以 的最小值即为点 到直线 的距离 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司6．D
【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解 以及 ，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，
即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，
由导数的几何意义可得，曲线 在点 处的切线的斜率 .
对于A、B项，由 可得， ，解得 .
当 时，切点为 ，此时切线方程为 ，
整理可得，切线方程为 ，故B项正确.
当 时，切点为 ，此时切线方程为 ，
整理可得，切线方程为 ，故A项正确；
对于C、D项，由 可得， ，解得 ，切点为 ，
此时切线方程为 ，整理可得，切线方程为 ，故C项正确，D项错误.
故选：D.
7．C
【分析】求导后结合基本不等式可得 在 上单调递增，令g ，从而可得 在 上单调
递增，且 为奇函数，从而可化为 ，求解即可.
【详解】 ，
在 上单调递增.
令 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以 为奇函数，
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学科网（北京）股份有限公司则 化为
所以 ，解得 ，
.
故选：C
8．D
【分析】由命题 为假命题，得到 为真命题.方法一：参数分离
，并构造函数 ，通过导数求函数单调性求解；方法二：将
转化为直线 与曲线 没有交点，通过导数求切斜方程即可.
【详解】法一：由题可得 为真命题，
易知 满足 ，符合题意，此时 ；
当 时， 可变形为 ，
令 ，则 ，
当 时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，
当 时， 单调递减，且 ；当x∈(0,1)时， 单调递减；当x∈(1,+∞)时，
单调递增，
所以当 时， ，
作出函数 的图象如图①所示，
由题可知直线 与函数 的图象没有交点，数形结合可得 .
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学科网（北京）股份有限公司法二：由题可得 为真命题，
即直线 与曲线 没有交点.
设直线 与曲线 切于点 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
所以直线 与曲线 相切，
若直线 与曲线 没有交点，如图②所示，则 .
故选：D.
9．BC
【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D．
【详解】由于 ，所以 ，切线方程为 ，从而 ， ．
，A错误；
，B正确；
，C正确；
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学科网（北京）股份有限公司， ，D错误．
故选：BC.
10．AB
【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，
利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式
和单调性判断D.
【详解】因为 为偶函数，
，故函数图象关于直线 对称，
f (2x+1)为奇函数， 1），函数图象关于(1,0)对称，
对于B， ，故2是函数的周期，函数为周期函数，故
B正确；
对于A， ，令 ，故f (1)=0，
又 ，故A正确；
对于C， ，当 时，f'(x)>0，即函数在 上递增，
函数图象关于(1,0)对称，故函数在 上递减，故函数在 上递增，
所以 ，故函数不是偶函数，故C错误；
对于D， ，故D错误，
故选：AB.
【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；
11．ACD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的
关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数 的单调性，进而求得
的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合 ，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当 时，函数 ，则满足 ，
所以 为奇函数，所以充分性成立；
若 为奇函数，则 ，
则 恒成立，所以 ，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当 时， ，可得 ，所以 为增函数；
由 ，当 为增函数时， ，所以“ ”是“ 为增函数”
的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由 ，若不等式 的解集为 且 ，
则 在 上先增后减再增，则 ，解得 ，
故 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
当 内， ， 单调递增；
当 内， ， 单调递减；
当 内， ， 单调递增，
所以 的极小值为 ，所以C正确．
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学科网（北京）股份有限公司对于D中，由 ，因为 是方程 的两个不同的根，
所以 ，即 ，且 ，
由 ，可得 ，所以 ，即 ，
联立方程组，可得 ，解得 或 ，所以D正确．
故选：ACD．
12． /0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】 ，
假设两曲线在同一点 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 ，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，
所以 的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13．
【分析】求出函数 的导数，再利用给定的区间的单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得.
【详解】函数 ，求导得 ，由 在 上单调递减，
得 ， ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
14． （ 内的值都可以） 或
【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；
②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.
【详解】①函数 在 上单调递增， ，
所以函数 在区间 上无零点，
则函数 在 上有2个零点，
即 ， ，则 ，或 或 ， ，
则 ，解得： ，
所以 的一个值是 ；
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学科网（北京）股份有限公司②函数 在 上单调递增，
则在 上， 也单调递增，且 ，
若函数在 在区间 单调递增，
则 ，即 在区间 上恒成立，
即 ，即 ，
不等式 ，解得： 或 ，
综上可知， 或 .
故答案为： （ 内的值都可以）； 或
15．(1)递增区间为 ；
(2) .
【分析】（1）把 代入，利用导数求出函数的单调区间即得.
（2）取特值判断 ，再借助（1）中信息及不等式性质可得 ，然后利用导数探讨 的情况即
得.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ， ，当且仅当 时取等号，
所以函数 在 上单调递增，即函数 的递增区间为 .
（2）依题意， ，则 ，
由（1）知，当 时， 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，
则 ，因此 ；
当 时，求导得 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，
则函数 ，即 在 上单调递减，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以a的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函
数值正负即可作答.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可知： 在 上恒成立，结合二次函数分析求解；
（2）分 和 两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可得： ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
且 ，则 ，
且 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ，
可得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围 .
（2）由（1）可得： ，且 ，
当 ，即 时，则 ，
所以 在 上单调递增；
当 ，即 时，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 内单调递减；
综上所述：当 时，所以 在 上单调递增；
当 时，所以 在 ， 上单调递增，在 内单调递减.
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