北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念和运算
考点 导数的概念和运算
{-lnx,0<x<1,
1.(2016四川理,9,5分)设直线l,l 分别是函数f(x)= 图象上点P,P 处的切线,l 与l 垂直相
1 2 lnx,x>1 1 2 1 2
交于点P,且l,l 分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
1 2
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l 是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P(x,y),l 是y=ln x(x>1)的切线,切点P(x,y),
1 1 1 1 2 2 2 2
1
l:y-y=- (x-x),①
1 1 x 1
1
1
l:y-y= (x-x),②
2 2 x 2
2
y - y +2
1 2
①-②得x= ,
P 1 1
+
x x
1 2
易知A(0,y+1),B(0,y-1),
1 2
1 1
∵l⊥l,∴- · =-1,∴xx=1,
1 2 x x 1 2
1 2
|y - y +2|
1 2
1 1
∴S = |AB|·|x|= |y-y+2|·
△PAB P 1 2 |1 1|
2 2 +
x x
1 2
(y - y +2) 2
=
1
·
1
x +
2
x =
1 ·(-ln x
1
-ln x
2
+2) 2
2 1 2 2 x +x
x x 1 2
1 2
=1·[-ln(x x )+2] 2 =1· 4 = 2 ,
1 2
2 x +x 2 x +x x +x
1 2 1 2 1 2
又∵0<x<1,x>1,xx=1,
1 2 1 2
∴x+x>2 =2,
1 2 √x x
1 2
∴0<S <1.故选A.
△PAB
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思路分析 设出点P,P 的坐标,进而根据已知表示出l,l,然后求出点A、B的坐标及x,最后利用点在曲线
1 2 1 2 P
上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
2.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1
答案 D y'=a- ,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
x+1
x
3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
答案 x+2y-2=0
解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的
几何意义的理解和掌握程度.
x 1 1 1 1
∵y=cos x- ,∴y'=-sin x- ,∴y'| =- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,∴切线方程为y-1=- (x-0),即
x=0
2 2 2 2 2
x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处
导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
4.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
2
因为y'= ,所以y'| =2,又(0,0)为切点,
x+1 x=0
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
5.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
答案 2x-y-2=0
解析 本题主要考查导数的几何性质.
2
由y=2ln x得y'= .因为k=y'| =2,点(1,0)为切点,
x=1
x
所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
6.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
答案 -3
解析 本题考查导数的综合应用.
设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3.
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1
7.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .
x
答案 x-y+1=0
解析 本题考查导数的几何意义.
1 1
∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'| =2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
x x2 x=1
8.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距
为 .
答案 1
解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.
1
由题意可知f '(x)=a- ,所以f '(1)=a-1,
x
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.
9.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=
.
答案 1-ln 2
1
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x,y),B(x,y),由y=ln x+2得y'= ,
1 1 2 2
x
由y=ln(x+1)得y'= 1 ,∴k= 1 = 1 ,∴x
1
=1,x
2
=1-1,∴y
1
=-ln k+2,y
2
=-ln k.即A(1
,-lnk+2
),B
x+1 x x +1 k k k
1 2
(1 ),
-1,-lnk
k
1
{ 2-lnk=k· +b,
∵A、B在直线y=kx+b上,∴
k ⇒{b=1-ln2,
(1 ) k=2.
-lnk=k· -1 +b
k
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.
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10.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
答案 1
解析 由题意可得f '(x)=3ax2+1,∴f '(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
11.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
.
答案 8
1
解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+ , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
x
y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x,y),则y' =2ax+a+2=2,得
0 0 | 0
x=x
0
1 1
a(2x+1)=0,∴a=0或x=- ,又ax2+(a+2)x+1=2x-1,即ax2+ax+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x=- ,此
0 0 2 0 0 0 0 0 0 2
时a=8.
评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.
1
12.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为
x
.
答案 (1,1)
解析 ∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=e0=1.
1
1 1
设P(x,y)(x>0),∵函数y= 的导函数为y'=- ,
0 0 0 x x2
∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k=- 1 ,
2
x x2
0
1
则有k
1
k
2
=-1,即1·(- )=-1,解得 x2=1,又x
0
>0,
x2 0
0
1
∴x=1.又∵点P在曲线y= (x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).
0 0
x
13.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
答案 y=4x-3
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3
解析 y'=3ln x+1+x· =3ln x+4,k=y'| =4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
x=1
x
评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
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