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专
题
四
导 数 及
其
应
用
／
４３
专题四 导数及其应用
４．１ 导数的概念及运算
§
续表
原函数 导函数
考点 导数的概念及运算 ｆ ｘ ａｘ ａ 且ａ ｆ′ ｘ ａｘ ａ
（ ）＝ （ ＞０， ≠１） （ ）＝⑤ ｌｎ
ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
１．导数的概念 称函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处的瞬时变化率 Δ （ ）＝ｅ （ ）＝ｅ
ｆ （ ｘ ０＋Δ ｘ ）－ ｆ （
：
ｘ ０）为函
（
数
）
ｆ ｘ
＝
在
０
ｘ ｘ 处的导数
Δ ｌｉｘ → ｍ
记
０Δ
作
ｘ
（ ａ
ｆ
＞ （ ０
ｘ
， ） 且 ＝ｌｏ ａ ｇ ≠ ａ
ｘ
１） ｆ′ （ ｘ ）＝ｘ ｌｎ １ ａ
＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ ｘ （ ） ＝ ０ ，
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ １
ｆ ′ ｘ 或ｙ′ 即ｆ ′ ｘ （ ０＋Δ ）－（ ０）． （ ）＝ｌｎ （ ）＝⑥ ｘ
（
２
０）
．导数的
｜ｘ
几
＝ ｘ ０，
何意义
（
：
函
０）
数
＝ Δ ｌ
ｙ
ｉｘ → ｍ
＝
０
ｆ
（
ｘ
）
在点
Δ ｘ
ｘ
０
处的导数ｆ ′
（
ｘ
０）
就
４．导数的运算法则
是曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 Ｐ ｘ ｙ 处的切线的斜率 即 ｋ 运算 法则
＝ （ ） （ ０， ０） ， ＝
ｆ ′（ｘ ） ．相应地 切线方程为 ｙ ｆ（ｘ ） ｆ ′（ｘ ）（ｘ ｘ ） ．
① ３．导 ０ 数 的物理意 ， 义 函数ｓ ② ｓ ｔ － 在点 ０ ｔ ＝ 处的 ０ 导数 － ｓ′ ０ ｔ 是 加减 ［ ｆ （ ｘ ）± ｇ （ ｘ ）］ ′ ＝ ｆ′ （ ｘ ）± ｇ′ （ ｘ ）
物体的运动方程ｓ ｓ ｔ ： 在ｔ 时 ＝ 刻 （ 的 ） 瞬时速度 ０ ｖ 即ｖ ｓ′ ｔ （ ０） ｖ 积 ［ ｆ （ ｘ ）· ｇ （ ｘ ）］ ′ ＝⑦ ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ） ＋ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）
＝ （ ） ０ ， ＝ （ ０）； ＝
ｖ ｔ 在点ｔ 处的导数ｖ′ ｔ 是物体的运动方程ｖ ｖ ｔ 在ｔ 时刻 [ｆ ｘ ] ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ） ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）
的 （ 瞬 ） 时加速 ０ 度ａ 即ａ ｖ （ ′ ０ ｔ ） ． ＝ （ ） ０ 商 ｇ （ ｘ ） ′ ＝⑧ ［ｇ（ｘ － ）］２ （ｇ（ｘ） ≠０ ）
， ＝ （ ０） （ ）
３．基本初等函数的导数公式 ５．复合函数的导数
原函数 导函数 复合函数ｙ ＝ ｆ ［ ｇ （ ｘ ）］ 的导数和函数ｙ ＝ ｆ （ ｕ ）， ｕ ＝ ｇ （ ｘ ） 的导
数间的关系为ｙ′ ｙ′ ｕ′ 即ｙ对ｘ的导数等于ｙ对ｕ的导数与
ｆ ｘ Ｃ Ｃ为常数 ｆ′ ｘ
ｘ＝ ｕ· ｘ，
（ ）＝ （ ） （ ）＝０ ｕ对ｘ的导数的乘积．
ｆ ｘ ｘｎ ｎ Ｑ∗ ｆ′ ｘ ｎｘｎ－１
（ ）＝ （ ∈ ） （ ）＝③
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ （ ）＝ｃｏｓ
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
（ ）＝ｃｏｓ （ ）＝④ －ｓｉｎ
ｍ ， 切点坐标为（ ， ）， ｂ， ｂ ．
∴ ＝１ ∴ １ ２ ∴２＝ｌｎ１＋ ∴ ＝２
（ ）设ｇ（ｘ） ｆ（ｘ） ａ ｘ ｘ （ａ ）ｘ２ ａｘ， 函数ｇ（ｘ）为
２ ＝ － ＝ ｃｏｓ ＋ －１ ＋ ∵
奇函数， ｇ（ｘ） ｇ（ ｘ） ｘ ｘ （ａ ）ｘ２ ａｘ ［ ｘ· ｘ （ａ
考法 求曲线的切线方程及参数的方法 ∴ ＋ － ＝ ｃｏｓ ＋ －１ ＋ ＋ － ｃｏｓ ＋ －
）ｘ２ ａｘ］ （ａ ）ｘ２ ， ａ ， ｆ（ｘ） ｘ ｘ ｘ ， ｆ ′（ｘ）
１ － ＝２ －１ ＝０ ∴ ＝１ ∴ ＝ ｃｏｓ ＋ ＋１ ∴
例 （１） 若曲线ｙ ＝ｅ ｘ 在ｘ ＝０ 处的切线也是曲线ｙ ＝ｌｎ ｘ ＝ｃｏｓ ｘ － ｘ ｓｉｎ ｘ ＋１ ， ∴ ｆ ′（ ０ ） ＝２ ，又ｆ（ ０ ） ＝１ ， ∴ 所求切线方程为ｙ －
ｂ的切线 则ｂ （ｘ ），即 ｘ ｙ ．故选
＋ ， ＝ （ ） １＝２ －０ ２ － ＋１＝０ Ｂ．
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．ｅ 答案 （ ）Ｃ （ ）Ｂ
已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ２ ａｘ ａ 若函数ｙ ｆ ｘ ａ １ ２
（２） （ ）＝ ｃｏｓ ＋（ －１） ＋ ＋ ， ＝ （ ）－ 方法总结 １．过切点的切线方程的求法
是奇函数 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程是
， ＝ （ ） （０， （０）） （ ） Ｃ Ａ ． ． ２ ｘ ｘ － ＋ ｙ ｙ ＋ － １ １ ＝ ＝ ０ ０ Ｄ Ｂ． ． ２ ｘ ｘ － － ２ ｙ ｙ ＋ ＋ １ ２ ＝ ＝ ０ ０ 线方 由 程 导 已 数 知 的 切 几 线 何 方 意 程 义 求 知 切 ｋ 点 切 时 ＝ ｆ ′ 常 （ ｘ 利 ０） 用 ， 利 {ｋ 用 切＝ 点 ｆ 斜 ′ （ ｘ 式 ０） 即 ，求 可 解 求 ． 得切
解析 （ ）令ｙ ｆ（ｘ） ｘ，ｙ ｇ（ｘ） ｘ ｂ， ｆ ′（ｘ） ｘ， ， ， ａｘ ｂｙ ｃ １ ＝ ＝ｅ ＝ ＝ｌｎ ＋ ∴ ＝ｅ ０＋ ０＋ ＝０
ｆ ′（ ） ， ｆ（ ） ， 曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线方程 ２．过非切点的切线的求法
∴ ０ ＝１ ∵ ０ ＝１ ∴ ＝ｅ ＝０
为ｙ ｘ ．设切线ｙ ｘ 与曲线ｙ ｇ（ｘ） ｘ ｂ的切点坐标为（ｍ，ｍ 设出切点坐标为 ｘ ｆ ｘ 先求出在 ｘ ｘ 处的切线方
＝ ＋１ ＝ ＋１ ＝ ＝ｌｎ ＋ （ ０， （ ０））， ＝ ０
程 然后把所过点的坐标代入即可求出ｘ 从而得出切线方程．
）， ｇ′（ｘ） １ ， ｇ′（ｍ） １ ， ， ０， ＋１ ∵ ＝ ｘ ∴ ＝ ｍ ＝１ ３．由曲线的切线求参数的方法
A
版
高
考
数
学
／
４４
已知曲线在某点处的切线求参数问题主要用 方程思想 来
“ ”
破解 先求出函数的导数 从而求出在某点处的导数值 再根据
， ， ；
导数的几何意义与已知条件 建立关于参数的方程 组 通过解
， （ ）， 解析 由ｙ ｘ ｘ得ｙ′ ｘ ，设切点为（ｘ ，ｙ ），则ｋ
方程 （ 组 ） 求出参数的值． ＝ ｌｎ ＝ｌｎ ＋１ ０ ０ ＝ｌｎ
经典例题教师用书 ｘ ， 切点（ｘ ，ｙ ）既在曲线ｙ ｘ ｘ上，又在直线ｙ ｋｘ 上，
０＋１ ∵ ０ ０ ＝ ｌｎ ＝ －２
例 （２０１８广东广州第一次调研，８）已知直线ｙ ＝ ｋｘ －２ 与 {ｙ ０＝ ｋｘ ０－２ ， ｋｘ ｘ ｘ ， ｋ ｘ ２ ， ｘ ２
曲线ｙ ｘ ｘ相切 则实数ｋ的值为 ∴ ｙ ｘ ｘ ，∴ ０－２＝ ０ｌｎ ０ ∴ ＝ｌｎ ０＋ｘ ∴ ｌｎ ０＋ｘ ＝ｌｎ
＝ ｌｎ ， （ ） ０＝ ０ｌｎ ０ ０ ０
ｘ ， ｘ ， ｋ ，故选 ．
Ａ．ｌｎ２ Ｂ．１ Ｃ．１－ｌｎ２ Ｄ．１＋ｌｎ２ ０＋１ ∴ ０＝２ ∴ ＝ｌｎ２＋１ Ｄ
解题导引 答案 Ｄ
