文档文本内容
第四章 一元函数的导数及其应用
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
新 高 考 利用导数研究函 逻辑思维 数学运算
２０２２ 比较大小 数学推理学习 综合性
ꎬ 数的单调性 运算求解 逻辑推理
Ⅰ ７
新 高 考 利用导数研究函 逻辑思维 数学运算
２０２２ 求值 数学概念建构 创新性
ꎬ 数的极值、最值 运算求解 逻辑推理
Ⅰ ２２
新 高 考 利用导数研究函 由不等式恒成立 逻辑思维 数学运算
２０２２ 数学推理学习 综合性
ꎬ 数的单调性 求取值范围 运算求解 逻辑推理
Ⅱ ２２
新 高 考 利用导数研究函 研究极值点、零点 运算求解 数学运算
２０２２ 数学运算学习 综合性
ꎬ 数的极值、最值 个数 逻辑思维 逻辑推理
Ⅰ １０
新 高 考 导 数 的 概 念 和 由切线条数求取
２０２２ 数学概念建构 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 运算 值范围
Ⅰ １５
新 高 考 导 数 的 概 念 和
２０２１ 比较大小 数学运算学习 运算求解 创新性 数学运算
ꎬ 运算
Ⅰ ７
新 高 考 利用导数研究函 利用导数求函数 数学运算
２０２１ 数学推理学习 运算求解 综合性
ꎬ 数的极值、最值 的最值 数学抽象
Ⅰ １５
求解函数的单调 数学运算
新 高 考 利用导数证明不 数学原理习得
２０２１ 性、极值点的偏移 逻辑推理 综合性 直观想象
ꎬ 等式 数学推理学习
Ⅰ ２２ 问题 逻辑推理
数学运算
新 高 考 利用导数证明不 曲线的切线、面积 数学原理习得
２０２０ 数学推理 综合性 逻辑推理
ꎬ 等式 问题、恒成立问题 数学推理学习
Ⅰ ２１ 数学抽象
2
命题规律与备考策略
本章内容为高考必考内容 多集中于考查利用导数 复习时 重点把握导数的应用 加强导数与函数
ꎬ ꎬ ꎬ
研究函数的单调性 极值与最值 不等式的证明等问题 的单调性 导数与函数的极值 导数与函数的最值的
、 、 ꎬ 、 ꎬ
常结合函数的零点 最值等问题综合考查 诸如含参函 认知 理解化归与转化思想 分类讨论思想 函数与
、 ꎬ ꎬ 、 、
数单调性问题 恒成立问题等. 方程思想的应用.
、4.1 导数的概念和运算
考点清单
学生用书P23 知识结构化 考点清单化
考点 导数的概念和运算 续表
ｙ 原函数 导函数
１.导数的概念 称函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处的瞬时变化率 Δ
: ( ) ＝ ０ Δ ｌｉｘ → ｍ ０Δ ｘ＝
ｆ ( ｘ ０＋Δ ｘ )－ ｆ ( ｘ ０)为函数 ｆ ｘ 在 ｘ ｘ 处的导数 记作 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ(ａ >０ ꎬ且ａ ≠１ ) ｆ′(ｘ) ＝ ａｘ ｌｎ ａ
Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ ｘ ( ) ＝ ０ ꎬ ｆ(ｘ) ｘ ｆ′(ｘ) ｘ
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ＝ｅ ＝ｅ
ｆ ′ ｘ 或ｙ′ 即ｆ ′ ｘ ( ０＋Δ )－( ０).
( ０) ｜ｘ ＝ ｘ ０ꎬ ( ０)＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ ｘ
２.导数的几何意义 ｆ(ｘ)
＝ｌｏｇａ
ｘ(ａ
>０
ꎬ且ａ
≠１
) ｆ′(ｘ)
＝ｘ
１
ａ
函数ｙ ｆ ｘ 在点ｘ 处的导数ｆ ′ ｘ 就是曲线ｙ ｆ ｘ 在点Ｐ ｌｎ
＝ ( ) ０ ( ０) ＝ ( )
ｘ ｙ 处的切线的斜率 即ｋ ｆ ′ ｘ .相应地 切线方程为ｙ
( ０ꎬ ０) ꎬ ＝ ( ０) ꎬ － ｆ(ｘ) ｘ ｆ′(ｘ) １
ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ . ＝ｌｎ ＝ ｘ
( ０)＝ ( ０)( － ０)
３.基本初等函数的导数公式 ４.导数的运算法则
原函数 导函数 运算 法则
加减 [ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)]′ ｆ′(ｘ) ｇ′(ｘ)
ｆ(ｘ) Ｃ(Ｃ为常数) ｆ′(ｘ) ± ＝ ±
＝ ＝０
积 [ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)]′ ｆ′(ｘ)ｇ(ｘ) ｆ(ｘ)ｇ′(ｘ)
ｆ(ｘ) ｘα(α Ｑꎬα ) ｆ′(ｘ) αｘα－１ ＝ ＋
＝ ∈ ≠０ ＝
[ｆ(ｘ)] ｆ′(ｘ)ｇ(ｘ) ｆ(ｘ)ｇ′(ｘ)
ｆ(ｘ) ＝ｓｉｎ ｘ ｆ′(ｘ) ＝ｃｏｓ ｘ 商 ｇ(ｘ) ′ ＝ [ｇ(ｘ － )]２ (ｇ(ｘ) ≠０ )
ｆ(ｘ) ＝ｃｏｓ ｘ ｆ′(ｘ) ＝－ｓｉｎ ｘ ５.复合函数的导数
复合函数ｙ ｆ ｇ ｘ 的导数和函数ｙ ｆ ｕ ｕ ｇ ｘ 的导数间
＝ ( ( )) ＝ ( )ꎬ ＝ ( )
的关系为ｙ′ ｙ′ ｕ′ 即ｙ对ｘ的导数等于ｙ对ｕ的导数与ｕ
ｘ＝ ｕ ｘꎬ
对ｘ的导数的乘积.
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
４６
题型方法
学生用书P23 题型经典 方法实用
利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数 方程为 .
１.若已知曲线ｙ ｆ ｘ 过点Ｐ ｘ ｙ 求曲线过点Ｐ的切线方
＝ ( ) ( ０ꎬ ０)ꎬ 若曲线ｙ ３ ｘ２ ｘ １ 的某一切线与直线ｙ ｘ 平行 则
程 则需分点Ｐ ｘ ｙ 是切点和不是切点两种情况求解. (３) ＝ ＋ － ＝４ ＋３ ꎬ
ꎬ ( ０ꎬ ０) ２ ２
当点 Ｐ ｘ ｙ 是切点时 切线方程为 ｙ ｙ ｆ ′ ｘ 切点坐标为 切线方程为 .
(１) ( ０ꎬ ０) ꎬ － ０＝ ( ０) ꎬ
ｘ ｘ . 解析 令ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ
( － ０) (１) ＝ ( )＝ｅ ꎬ∴ ( )＝ｅ ꎬ
当点Ｐ ｘ ｙ 不是切点时 可分以下几步完成 ｆ ′ ｆ 曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线方程为
(２) ( ０ꎬ ０) ꎬ : ∴ (０)＝１ꎬ∵ (０)＝１ꎬ∴ ＝ｅ ＝０
第一步 设切点坐标为Ｐ′ ｘ ｆ ｘ ｙ ｘ .
: ( １ꎬ ( １))ꎻ ＝ ＋１
第二步 写出在点 Ｐ′ ｘ ｆ ｘ 处的切线方程为 ｙ ｆ ｘ 设切线ｙ ｘ 与曲线ｙ ｘ ｂ的切点坐标为 ｍ ｍ ｙ′
: ( １ꎬ ( １)) － ( １) ＝ ＋１ ＝ｌｎ ＋ ( ꎬ ＋１)ꎬ∵
ｆ ′ ｘ ｘ ｘ
＝ ( １)( － １)ꎻ １ ｙ′ １
第三步 将点Ｐ ｘ ｙ 代入切线方程求出ｘ ＝ ｘ ꎬ∴ ｜ｘ ＝ ｍ＝ ｍ ＝１ꎬ
: ( ０ꎬ ０) １ꎻ
第四步 将ｘ 的值代入方程ｙ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ 可得过 ｍ 切点坐标为
: １ － ( １)＝ ( １)( － １)ꎬ ∴ ＝１ꎬ∴ (１ꎬ２)ꎬ
点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程. ｂ ｂ . ( ０ꎬ ０) ∴２＝ｌｎ１＋ ꎬ∴ ＝２
２.已知切线方程求参数
ｆ ｘ １ ｘ３ ４ ｆ ′ ｘ ｘ２.
当曲线的切线方程是已知条件时 常合理选择以下三个条件的 (２)∵ ( )＝ ＋ ꎬ∴ ( )＝
ꎬ ３ ３
表达式解题 易知点Ｐ 在曲线ｙ ｆ ｘ 上.
: (２ꎬ４) ＝ ( )
切点在切线上 当Ｐ 为切点时 切线斜率为ｆ ′
(１) ꎻ (２ꎬ４) ꎬ (２)＝４ꎬ
切点在曲线上 则切线方程为ｙ ｘ 即 ｘ ｙ .
(２) ꎻ －４＝４( －２)ꎬ ４ － －４＝０
在切点横坐标处的导数等于切线的斜率. ( )
(３) 当Ｐ 不是切点时 设切点为 ｘ １ ｘ３ ４ 则切线斜率
例 若曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线也是曲线ｙ ｘ ｂ的切 (２ꎬ４) ꎬ ０ꎬ ０＋ ꎬ
(１) ＝ｅ ＝０ ＝ｌｎ ＋ ３ ３
线 则ｂ 为ｆ ′ ｘ ｘ２
ꎬ ＝ ( ) ( ０)＝ ０ꎬ
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.ｅ 则切线方程为ｙ １ ｘ３ ４ ｘ２ ｘ ｘ 把 Ｐ 代入得
－ ０－ ＝ ０( － ０)ꎬ (２ꎬ４) ４－
设函数ｆ ｘ １ ｘ３ ４ 则曲线ｙ ｆ ｘ 过Ｐ 的切线 ３ ３
(２) ( )＝ ＋ ꎬ ＝ ( ) (２ꎬ４)
３ ３
ｘ 已知直线ｙ ｘ 的斜率为ｋ 由 ｘ 解得ｘ
１ ｘ３ ４ ｘ２ ｘ ｘ ｘ ２ ３ ＋１ꎬ ＝４ ＋３ ＝４ꎬ ３ ０＋１＝４ꎬ ０＝
０－ ＝ ０(２－ ０)ꎬ( ０＋１)( ０－２) ＝０ꎬ 所以ｙ 即切点坐标为 所以切线方程为ｙ ｘ
３ ３ １ꎬ ０＝２ꎬ (１ꎬ２)ꎬ －２＝４(
解得ｘ 或ｘ 舍 则切点坐标为 则切线方程 即ｙ ｘ .
０＝－１ ０＝２( )ꎬ (－１ꎬ１)ꎬ －１)ꎬ ＝４ －２
为ｙ ｘ 即ｘ ｙ . 答案 Ｃ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｙ
－１＝ ＋１ꎬ － ＋２＝０ (１) (２) － ＋２＝０ ４ － －４＝０ (３)(１ꎬ２)ꎻ ＝
综上 切线方程为ｘ ｙ 或 ｘ ｙ . ｘ
ꎬ － ＋２＝０ ４ － －４＝０ ４ －２
设切点为 ｘ ｙ .易知函数ｙ ３ ｘ２ ｘ １ 的导函数为ｙ′
(３) ( ０ꎬ ０) ＝ ＋ － ＝
２ ２
第
四
章
一
元
函
数
的
导
数
及
其
应
用
４７
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 导数的概念和运算 切线的斜率为 则该切线的方程为 .
学生用书P150 ２ꎬ
１.(２０２０课标 理ꎬ６ꎬ５分ꎬ基础性)函数ｆ ｘ ｘ４ ｘ３ 的图象 答案 ｙ ＝２ ｘ
Ⅰ ( )＝ －２ １１.(２０１９江苏ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点
在点 ｆ 处的切线方程为 ꎬ
(１ꎬ (１)) ( )
Ａ在曲线ｙ ｘ上 且该曲线在点Ａ处的切线经过点
ｙ ｘ ｙ ｘ ＝ｌｎ ꎬ (－ｅꎬ－１)
Ａ. ＝－２ －１ Ｂ. ＝－２ ＋１
为自然对数的底数 则点Ａ的坐标是 .
ｙ ｘ ｙ ｘ (ｅ )ꎬ
Ｃ. ＝２ －３ Ｄ. ＝２ ＋１ 答案 ( ꎬ )
答案 Ｂ ｅ １
２.(２０１９ 课标 文ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ基础性)曲线ｙ ｘ ｘ在点 １２.(２０２１新高考 Ⅱ ꎬ１６ꎬ５分ꎬ应用性)已知函数ｆ ( ｘ )＝ ｜ｅ ｘ －１｜ꎬ
Ⅱ ＝２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
ｘ ｘ 函数 ｆ ｘ 的图象在点 Ａ ｘ ｆ ｘ 和点 Ｂ ｘ
处的切线方程为
(πꎬ－１) ( )
１<０ꎬ ２>０ꎬ ( ) ( １ꎬ ( １)) ( ２ꎬ
ｆ ｘ 处的两条切线互相垂直 且分别交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 则
Ａ. ｘ － ｙ －π－１＝０ Ｂ.２ ｘ － ｙ －２π－１＝０ ( ２)) ꎬ ꎬ ꎬ
ＡＭ
Ｃ.２ ｘ ＋ ｙ －２π＋１＝０ Ｄ. ｘ ＋ ｙ －π＋１＝０ ｜ ＢＮ ｜的取值范围是 .
答案 Ｃ ｜ ｜
３.(２０１９ 课标 ꎬ文 ７ꎬ理 ５ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知曲线 ｙ ａ ｘ 答案 ( ０ ꎬ １ )
Ⅲ ＝ ｅ ＋ ｘ
ｘ ｘ在点 ａ 处的切线方程为ｙ ｘ ｂ 则 １３.(２０２０ 课标 文ꎬ１５ꎬ５ 分ꎬ基础性)设函数ｆ ｘ ｅ .若
ｌｎ (１ꎬ ｅ) ＝２ ＋ ꎬ ( ) Ⅲ ( )＝ ｘ ａ
ａ ｂ ａ ｂ ＋
Ａ. ＝ｅꎬ ＝－１ Ｂ. ＝ｅꎬ ＝１
ａ －１ ｂ ａ －１ ｂ ｆ ′ ｅ 则ａ .
Ｃ. ＝ｅ ꎬ ＝１ Ｄ. ＝ｅ ꎬ ＝－１ (１)＝ ꎬ ＝
答案 Ｄ ４
答案
４.(２０１８课标 理ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ２ １
Ⅰ ( )＝ ＋( －１) ＋ １４.(２０１８天津文ꎬ１０ꎬ５分)已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ 为
ａｘ.若ｆ ｘ 为奇函数 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 处的切线方程为 ( )＝ｅ ｌｎ ꎬ ( )
( ) ꎬ ＝ ( ) (０ꎬ０) ｆ ｘ 的导函数 则ｆ ′ 的值为 .
( ) ꎬ (１)
( ) 答案
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｅ
Ａ. ＝－２ Ｂ. ＝－ Ｃ. ＝２ Ｄ. ＝ １５.(２０１３江西ꎬ１３ꎬ５分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ 在 内可
答案 Ｄ ( ) (０ꎬ＋∞)
导 且ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ′ .
５.(２０２１新高考 ꎬ７ꎬ５分ꎬ创新性)若过点 ａ ｂ 可以作曲线ｙ ꎬ (ｅ )＝ ＋ｅ ꎬ (１)＝
Ⅰ ( ꎬ ) 答案
ｘ 的两条切线 则 ２
＝ｅ ꎬ ( ) １６.(２０２２全国甲文ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ
ｂ ａ ａ ｂ ( )＝ － ꎬ
Ａ.ｅ < Ｂ.ｅ < ｇ ｘ ｘ２ ａ 曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｘ ｆ ｘ 处的切线也是曲线
ａ ｂ ｂ ａ ( )＝ ＋ ꎬ ＝ ( ) ( １ꎬ ( １))
Ｃ.０< <ｅ Ｄ.０< <ｅ ｙ ｇ ｘ 的切线.
答案 Ｄ ＝ ( )
若ｘ 求ａ
６.(２０１０江西ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)等比数列 ａ 中 ａ ａ 函 (１) １＝－１ꎬ ꎻ
{ ｎ} ꎬ １＝２ꎬ ８＝４ꎬ 求ａ的取值范围.
数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ａ 则ｆ ′ (２)
(
６
)＝ ( － １)( －
９
２)( － ８)ꎬ
１２
(０)＝
１５
( ) 解析 解法一:由题意可知ｆ′(ｘ)
＝３
ｘ２
－１
ꎬｆ(ｘ
１
)
＝
ｘ３
１－
ｘ
１
ꎬ则
Ａ.２ Ｂ.２ Ｃ.２ Ｄ.２ 曲线ｙ ｆ(ｘ)在点(ｘ ꎬ ｆ(ｘ ))处的切线方程为 ｙ (ｘ３ ｘ )
答案 Ｃ ＝ １ １ － １－ １ ＝
( ｘ２ )(ｘ ｘ )ꎬ即ｙ ( ｘ２ )ｘ ｘ３ .
７.(２０２２新高考 ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)若曲线ｙ ｘ ａ ｘ 有两 ３ １－１ － １ ＝ ３ １－１ －２ １①
Ⅰ ＝( ＋ )ｅ 因为曲线ｙ ｆ(ｘ)在点(ｘ ꎬ ｆ(ｘ ))处的切线也是曲线ｙ ｇ(ｘ)
条过坐标原点的切线 则ａ的取值范围是 . ＝ １ １ ＝
ꎬ {ｙ ( ｘ２ )ｘ ｘ３ꎬ
答案 ( ꎬ ) ( ꎬ ) 的切线ꎬ所以 ＝ ３ １－１ －２ １ 有且仅有一组解ꎬ
８.(２０２２ 新高
－∞
考
－
ꎬ
４
１４ꎬ
∪
５分
０
ꎬ基
＋∞
础性)曲线ｙ ｘ 过坐标原点的两 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ａ
条切线的方程为
Ⅱ
ꎬ
.
＝ｌｎ｜ ｜ 即方程ｘ２
－
(
３
ｘ２
１－１
)ｘ
＋２
ｘ３
１＋
ａ
＝０
有两个相等的实数根ꎬ
从而Δ (ｘ２)２(ｘ３ ａ)ａｘ４ｘ３ｘ２ .
答案 ｙ １ ｘꎻｙ １ ｘ(不分先后) ＝ ３ １－１ －４ ２ １＋ ＝０⇔４ ＝９ １－８ １－６ １＋１ ＝ ＝－ ( )若ｘ ꎬ则 ａ ａ .
ｅ ｅ １ １＝－１ ４ ＝１２⇔ ＝３
ｘ ( ) ａ ｘ４ ｘ３ ｘ２ ꎬ
９.(２０２１ 全国甲理ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ基础性)曲线 ｙ ２ －１在点 ２ ４ ＝９ １－８ １－６ １＋１
＝ ｘ
＋２
令ｈ(ｘ)
＝９
ｘ４
－８
ｘ３
－６
ｘ２
＋１
ꎬ则ｈ′(ｘ)
＝３６
ｘ３
－２４
ｘ２
－１２
ｘ
＝１２
ｘ(ｘ
－
处的切线方程为 . )( ｘ )ꎬ
(－１ꎬ－３) １ ３ ＋１
答案 ｙ ｘ
＝５ ＋２ 令ｈ′(ｘ) ꎬ得 １ ｘ 或ｘ ꎬ令ｈ′(ｘ) ꎬ得ｘ １ 或 ｘ
１０.(２０２０课标 文ꎬ１５ꎬ５分ꎬ基础性)曲线ｙ ｘ ｘ 的一条 >０ － < <０ >１ <０ <－ ０<
Ⅰ ＝ｌｎ ＋ ＋１ ３ ３
( ) 设公切线与曲线ｙ ｇ(ｘ)的切点为(ｘ ꎬｘ２ ａ)ꎬ
ꎬ所以 ｈ(ｘ) 在 １ ꎬ 和( ꎬ ) 上单调递增ꎬ在 ＝ ２ ２＋
<１ － ０ １ ＋∞ 又ｇ′(ｘ ) ｘ ꎬ
( ) ３ ２ ＝２ ２
－∞ ꎬ － ３ １ 和( ０ ꎬ １ )上单调递减ꎬ
则切线可表示为ｙ
－
(ｘ２
２＋
ａ)
＝２
ｘ
２
(ｘ
{ －
ｘ
ｘ ２ ２
)ꎬ即ｙ
ｘ ＝２ ꎬ
ｘ
２
ｘ
－
ｘ２
２＋
ａ
②
ꎬ
( ) 因为 表示同一直线方程ꎬ所以 ３ １－１＝２ ２
又ｈ( ) ꎬｈ １ ２０ꎬ所以ｈ(ｘ) ꎬ ①② ｘ３ ｘ２ ａꎬ
１ ＝－４ － ＝ ≥－４ －２ １＝－ ２＋
所以ａ .
３ ２７ 则(
３
ｘ２
１－１
)２
－８
ｘ３
１＝４
ａ
⇔４
ａ
＝９
ｘ４
１－８
ｘ３
１－６
ｘ２
１＋１
.
≥－１ 下面同解法一.
解法二:由题意可知ｆ ′(ｘ) ｘ２ ꎬ ｆ(ｘ ) ｘ３ ｘ ꎬ则曲线ｙ
＝３ －１ １ ＝ １－ １ ＝ 易错警示 不能认为两曲线的公切线切点相同.
ｆ(ｘ)在点(ｘ ꎬ ｆ(ｘ ))处的切线方程为ｙ (ｘ３ ｘ ) ( ｘ２ )(ｘ
１ １ － １－ １ ＝ ３ １－１
ｘ )ꎬ即ｙ ( ｘ２ )ｘ ｘ３ ꎬ
－ １ ＝ ３ １－１ －２ １①
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
４８
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P151
考点 导数的概念和运算 ｘ２ ｘ在ｘ 处的导数为 则曲线ｆ ｘ 在点 ｆ 处
＋ －３ ＝－１ －２ꎬ ( ) (１ꎬ (１))
１.(２０２２长沙长郡中学阶段考试ꎬ２)一个质点做直线运动 其 的切线方程为 .
ꎬ
位移ｓ ( 单位 : 米 ) 与时间 ｔ ( 单位 : 秒 ) 满足关系式 ｓ ＝ ｔ４ ＋(３ ｔ － 答案 ２ ｘ － ｙ －３＝０
１) ３ ꎬ 则当ｔ ＝１ 秒时 ꎬ 该质点的瞬时速度为 ( ) ６.(２０２２广东揭阳、梅州丰顺３ 月联考ꎬ１４)函数ｆ ( ｘ )＝ ｘ ＋ｘ ２
米/秒 米/秒 ＋１
Ａ.１６ Ｂ.４０ 的图象在ｘ 处的切线方程为 .
米/秒 米/秒 ＝１
Ｃ.９ Ｄ.３６ 答案 ｘ ｙ
答案 Ｂ －２ ＋３＝０
７.(２０２２河北邯郸一模ꎬ１３)函数 ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ 的图象在点
( )＝ －３
２.(２０２２重庆八中月考)已知函数ｆ ( ｘ )＝ ２ ｘｆ ′ (３)－ ２ ｘ２ ＋ｌｎ ｘ (－１ꎬ ｆ (－１)) 处的切线方程为 .
９
( ｆ ′ ( ｘ ) 是ｆ ( ｘ ) 的导函数 )ꎬ 则ｆ (１)＝ ( ) 答案 ９ ｘ － ｙ ＋５＝０
８.(２０２２湖北八市联考ꎬ１３)已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则曲线ｙ
( )＝２ｌｎ ＋ ꎬ
２０ １１ ７ １６
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ. ｆ ｘ 在ｘ 处的切线方程为 .
９ ９ ９ ９ ＝ ( ) ＝１
答案 Ｄ 答案 ｘ ｙ
３ － －２＝０
３.(２０２２广州一模ꎬ４)曲线ｙ
＝
ｘ３
＋１
在点
(－１ꎬ
ａ
)
处的切线方 ９.(２０２２山东临沂一模ꎬ１３)函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ
ｌｎ(－
ｘ
)ꎬ
则曲线 ｙ
＝
程为 ｆ ｘ 在ｘ 处的切线方程为 .
( ) ( ) ＝－ｅ
ｙ ｘ ｙ ｘ 答案 ｘ ｙ
Ａ. ＝３ ＋３ Ｂ. ＝３ ＋１ ２ － ＋ｅ＝０
ｙ ｘ ｙ ｘ １０.(２０２１湖南衡阳联考(一)ꎬ１４)定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足
Ｃ. ＝－３ －１ Ｄ. ＝－３ －３ ( )
答案 Ａ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的导函数为 ｆ ′ ｘ 则 ｆ ′
( )＋(２－ )＝１ꎬ ( ) ( )ꎬ (－２ ０１９)－
４.(２０２２福建莆田二模ꎬ５)下列直线中 既不是曲线 Ｃ ｙ ｘ ｆ ′ .
ꎬ １: ＝ｅ (２０２１)＝
的切线 也不是曲线Ｃ ｙ ｘ的切线的是 答案
ｙ ｘ
ꎬ ２: ＝ｌｎ
ｙ ｘ
( )
１１.(２０２ １
０
百校大联考(六)ꎬ１４)函数ｙ ｘ ２ ｘ的图象在点 ｍ
Ａ. ＝ ＋１ Ｂ. ＝ －１ ＝ ｅ (１ꎬ )
ｙ ｘ ｙ ｘ 处的切线方程为 .
Ｃ. ＝ｅ Ｄ. ＝ｅ( －２)
答案 Ｄ 答案 ２ｘ ｙ ２
３ｅ － －２ｅ ＝０
５.(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ１３)函数ｆ ｘ ａｘ３
( )＝
B组 综合应用题组 学生用书P152
25分钟 35分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２０分) 答案 Ｃ
１.(２０２２广东３月联考ꎬ６)吹气球时 气球的体积Ｖ 单位 ３.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ８)设函数ｆ ｘ ｓｉｎ α －１ｘ２
ꎬ ( :Ｌ) ( )＝ ２ ＋
－ｓｉｎ α ｘ α Ｒ 的图象在点 ｆ 处的切线为 ｌ 则 ｌ
与半径ｒ 单位 之间的关系是 Ｖ ４ ｒ３.当 Ｖ ４π 时 (２ －３) ( ∈ ) (１ꎬ (１)) ꎬ
( :ｄｍ) ＝ π ＝ Ｌ ꎬ 的倾斜角θ的最小值是
３ ３ ( )
气球的瞬时膨胀率为
( ) π π ５π ３π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１ １ ４ ３ ６ ４
Ａ. ｄｍ /Ｌ Ｂ. ｄｍ /Ｌ 答案 Ｄ
４π ３
４.(２０２２重庆八中联考)以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理
Ｃ.３ Ｌ /ｄｍ Ｄ.４π Ｌ /ｄｍ 、 、
答案 Ａ 柯西中值定理为主体的 中值定理 反映了函数与导数之间的
“ ”
２.(２０２２湖南衡阳一模ꎬ２)若曲线 ｙ ｘ －１ ｘ在点 处 重要联系 是微积分学重要的理论基础 其中拉格朗日中值定
＝ｅ ＋ｌｎ (１ꎬ１) ꎬ ꎬ
的切线与直线ａｘ ｙ 平行 则ａ 理是 中值定理 的核心内容.其定理如下 如果函数ｆ ｘ 在闭 ＋ ＝０ ꎬ ＝ ( ) “ ” : ( )
区间 ａ ｂ 上的图象不间断 在开区间 ａ ｂ 内可导 则在区间
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－２ Ｄ.２ [ ꎬ ] ꎬ ( ꎬ ) ꎬ
ａ ｂ 内至少存在一个点ξ ａ ｂ 使得ｆ ｂ ｆ ａ ｆ ′ ξ 答案 ＡＣＤ
( ꎬ ) ∈( ꎬ )ꎬ ( )－ ( )＝ ( )
ｂ ａ ξ称为函数ｙ ｆ ｘ 在闭区间 ａ ｂ 上的中值点.则函 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
( － )ꎬ ＝ ( ) [ ꎬ ]
[ ] ６.(２０２２江苏苏州昆山中学２月阶段性调研ꎬ１６)若曲线Ｃ ｙ
数ｆ ｘ ｘ在区间 π π 上的中值点的个数为 １:
( )＝ｔａｎ － ꎬ ( )
４ ４ １ ｘ 在点Ｐ处的切线与曲线Ｃ ｙ ３ ｘ 交于点
＝－ ｘ ( <０) ２: ＝ ｘ ( >０)
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
答案 Ｂ ＰＱ
Ｑ 直线ＰＱ与ｙ轴交于点Ｒ 则 .
二、多项选择题(共５分) ꎬ ꎬ ＰＲ＝
５.(２０２２山东烟台二中期末ꎬ１１)若函数ｙ ｆ ｘ 的图象上存在 答案
＝ ( ) ２
两点 使得ｆ ｘ 的图象在这两点处的切线互相垂直 则称ｙ ７.(２０２２海南学业水平诊断(三)ꎬ１６)已知函数ｆ ｘ ｘ ｂ和
ꎬ ( ) ꎬ ＝ ( )＝ｅ －
ｆ ｘ 具有Ｔ性质.下列函数中具有Ｔ性质的是 ｇ ｘ ｘ ａ ｂ３ 其中ａ ｂ为常数且ｂ .若存在斜率为 的
( ) ( ) ( )＝ｌｎ( ＋ )－ ꎬ ꎬ >０ １
Ａ.
ｙ
＝ｓｉｎ
２ｘ
直线与曲线 ｙ ｆ ｘ ｙ ｇ ｘ 都相切 则
ａ
的最小值
ｙ ｘ ＝ ( )ꎬ ＝ ( ) ꎬ ｂ
Ｂ. ＝ｔａｎ
ｘ 为 .
ｙ －１ ｘ
Ｃ. ＝ ｘ ꎬ ∈(－２ꎬ＋∞) 答案
＋２ ２
ｙ ｘ ｘ
Ｄ. ＝ｅ －ｌｎ
第
四
章
一
元
函
数
的
导
数
及
其
应
用
４９
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P153
１.(２０２２ ５３ 原创题)设函数 ｆ ｘ 存在导函数 且满足 ２.(２０２２ ５３原创题)若ｆ ｘ ｘ２ １－ ｍｘ ｍｘ 曲线ｙ ｆ ｘ 在点
( ) ꎬ ( )＝ ｅ ＋ ꎬ ＝ ( )
ｆ ｆ ｘ
(２)－(２－Δ ) 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切 ｆ 处的切线与直线ｙ １ ｘ垂直 则ｍ
ｌｉｘｍ ｘ ＝－１ꎬ ＝ ( ) (２ꎬ (２)) (１ꎬ (１)) ＝－ ꎬ ＝ ( )
Δ→０ ２Δ ２
线斜率为 或 或
( ) Ａ.１ Ｂ.２ １ Ｃ.－１ ２ Ｄ.２
答案 Ｂ
Ａ.２ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.－２
答案 Ｄ
