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第三章 一元函数的导数及其应用（中档卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））函数 在 处的切线的斜率为（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
，故 ，
故曲线 在 处的切线的斜率为2，
故选：A.
2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ，则 等于
（ ）
A．-4 B．2 C．1 D．-2
【答案】B
，令 得： ，
解得： ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）若函数 在区间 内单调递减，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C∵ ，∴ ，
∵x∈ 时， ，
∴若 在 内单调递减，则 在 上恒成立，
即得 在 恒成立，∴ .
故选：C.
4．（2022·四川·成都七中高二期中（理））各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进
制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数 表示在x进制下表达 个数字的效
率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是（ ）
A．四进制 B．三进制 C．八进制 D．七进制
【答案】B
设 ，则 ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，
由于 中 ，下面比较 和 的大小即得．
，所以 ，
所以 最大．
故选：B．
5．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））若函数 = 有大于零的极值点，则 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A原命题等价于 有大于零的零点，显然 在 上单调递增，又因为 时，
，所以 ，所以
故选：A.
6．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b， ，e为自然对数的底数，且 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：由 ， ， 得 ， ， ，
构造函数 ，求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 在 上单调递减，所以 .
故选：A．
7．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知函数 ，函数 与 的图象关
于直线 对称，若 无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题知 ， ，设 ，当 时， ，
此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，所以 ， 的图象如下，由图可知，当 时， 与 无交点，即 无零点.
故选：D.
8．（2022·湖北恩施·高二期中）已知 ， ， ， 均为 的解，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于A，令 ，因为 ，所以 在 上单调递增，与x轴有唯一交点，由零点存在性
定理，得 ， ，则 ，故A错误.
对于B，C，D，当 时，两边同时取对数，并分离参数得到 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
如图所示，当 时， 与 的图象有两个交点，
，解得 ，故B正确；
，由A选项知 ， ，故C错误；
由极值点偏移知识，此时函数 的极值点左移，则有 ，故D错误.
故选：B.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·黑龙江·高二期中）若函数 的图象上，不存在互相垂直的切线，则 的
值可以是（ ）
A．-1 B．3 C．1 D．2
【答案】AC
解：因为函数 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为函数 的图象上，不存在互相垂直的切线，
所以 ，即 ，
解得 ，
故选：AC10．（2022·江苏·高二期末）【多选题】已知函数 ，则（ ）
A． 时， 的图象位于 轴下方
B． 有且仅有一个极值点
C． 有且仅有两个极值点
D． 在区间 上有最大值
【答案】AB
由题，函数 满足 ，故函数的定义域为
由 当 时 ，
所以 则 的图象都在轴的下方，所以A正确；
又 ，
再令 则 ，故
故 单调递增，
当 时，
由 ，
故 存在唯一的 ，使得 ，
此时当 , ， 单调递减，
当 ， 单调递增.
又当 时， ，故此时 恒成立，即 单调递减，
综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又
所以函数在 先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.
11．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：
在点 处的切线为 ，如图所示，易知除切点 外， 图象上其余所有的点均在 的
上方，故有 ．该结论可构造函数 并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不
同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（ ）
A． ， B． ， ，
C． ， D． ，
【答案】ABD
对于A，当 时，由 得： ，即 ；
，A正确；
对于B，由 得： ，即 ， ，B正确；
对于C，由 得： ；当 时， ，此时 ，
则 ，即 不成立，C错误；
对于D，令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， ， ，使得 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
由 得： ， ， ，
，即 ， ，D正确.
故选：ABD.
12．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ，使
C．函数 的值域为
D．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】CD
解：对于A，因为 ，所以 是函数 的零点，故A错误；对于C，当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又当 时， ， ，
故当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上递增，
故 ，
故当 时， ，
综上所述，函数 的值域为 ，故C正确；
对于B，由C可知，函数 在 上递增，在 上递增，
则 ，
所以不存在 ，使 ，故B错误；
对于D，关于x的方程 有两个不相等的实数根，
即关于x的方程 有两个不相等的实数根，
所以 或 ，
由C知，方程 只有一个实数根，所以方程 也只有一个实数根，
即函数 与函数 的图象只有一个交点，
如图，画出函数 的简图，
则 或 ，
所以 或 ，
所以实数a的取值范围是 ，故D正确.
故选：CD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知直线 与曲线 相切，则 ______．
【答案】
设切点为 ，则 ，且 ，
因为函数 的导函数为 ，所以 ，则 ，所以
，得 ，故答案为： .
14．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，写出一个同时满足下列两个条件的 ：
___________.①在 上单调递减；②曲线 存在斜率为 的切线.
【答案】 （答案不唯一）
若 同时满足所给的两个条件，则 对 恒成立，解得： ，即
，
且 在 上有解，即 在 上有解，由函数的单调性可解得：
.
所以 .
则 （答案不唯一，只要 满足 （ 即可）
故答案为：
15．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知 对任意不相等的两个数 、 都有
恒成立，则实数 的取值范围为______．
【答案】
不妨设 ，可得 ，则 ，
令 ，则 ，所以，函数 在 上为增函数，即对任意的 ， 恒成立，
所以， ，令 ，其中 ， .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，所以， ，
所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
16．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）若函数 有两个不同的零点 和 ，则a的取值
范围为________；若 ，则a的最小值为__________．
【答案】
，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故 ，当x －时，g(x) －，当x +时，g(x) 0，
→ → → →
则g(x)如图：故函数 有两个不同的零点 和 ，则y=g(x)与y=a图像有两个交点，则 ；
若 ，则 ，
则
故 ．
故答案为： ； ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求证：函数 有唯一的零点，并求出此零点；
(2)求曲线 过点 的切线方程．
【答案】(1)证明见解析，零点为0(2)
(1)函数 的定义域为 ， ，
令 ，而 ，
故 在 上单调递减，在 单调递增．
所以， ，即 ．
故 在 上是单调递增的．
又因为 ，因此，函数 有唯一的零点，零点为0．(2)（2）显然，点 不在函数 图像上，不妨设切点坐标为 ．
又 ，即 ，消去 得，
由（1）知 ，则 ， ，
故所求的切线方程为： ．
18．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数 在 处有极值 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
【答案】(1) (2)2
(1)因为函数 在 处有极值 ，且 ，
所以 ，解得 .
(2)由（1）得： ，
，
令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的最大值是 或 ，
而 ，
故函数 的最大值是2．
19．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 的最大值．【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．(2)
(1) ，
当 时， 当 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
(2)依题意得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，故 的最大值为 ．
20．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)若 在 单调，求 的取值范围.
(2)若 的图像恒在 轴上方，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .
(1)由题意得 ， .
在 上单调，即 在 上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令 ，则 ，当 时， .
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴由题意得 ，或 ，
解得 或 ，
∴ 的取值范围是 .
(2) 的图象恒在 轴上方，也即当 时， 恒成立.
也即 在 上恒成立.
令 ， ，
令 ，则 ，由 得 ，当 时 ，当 时， ，即
时， 有极大值，也是最大值，所以 ，
所以 （当 时取等号），再由 可得： ，
列表如下：
1
0
0由上表知 为极大值，所以 .
∴ 的取值范围是 .
21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 .
(1)设 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 在 ， 上单调递增，在 上单调递减(2)
(1) ，则
令 ，则 或
在 ， 上单调递增，在 上单调递减
(2)
构建 ，则
∵ 在 单调递增，则
即 当 时恒成立
当 时， 当 时恒成立，则 在 单调递减
∴ ，则
∴
当 时，令 ，则
在 单调递减，在 单调递增∴ ，则
∴
综上所述：
22．（2022·云南临沧·高二期中）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析
(1)解：由题可知， ， ．
若 ， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，令 ，解得 或 （舍），
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，当 ，即 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，在 上单调递增；
(2)证明：若 ，要证 ，即证 ，即证 ．
令函数 ，则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，令函数 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ，从而 得证．
