专题05一元函数的导数及其应用（4知识点+8重难点+6技巧+4易错）（原卷版）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习知识清单_知识必备·夯基础

专题 05 一元函数的导数及其应用 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x 处的导数定义 0 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝ 0 0 0 x，即f′(x)＝lim＝lim． 0 0 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是 0 0 0 0 位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)． 0 0 0 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ a f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示 成 的函数，那么称这个函数为 和 的复合函数，记作 . （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数 的导数和函数 ， 的导数间 的关系为 ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 （3）求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 知识点3 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内 （ ）是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数 在 上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 （ ） 且 在 上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 f x （1）确定函数 的定义域； fx （2）求 （通分合并、因式分解）；fx0 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； fx0 （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 知识点4 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ 0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝ f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ 0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝ f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上 单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极 大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。 （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。 重难点01 根据切线情况求参数 已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率 ； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： . 第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解； 【典例1】（23-24高三上·广东·月考）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ． 【典例2】（22-23高三下·湖南长沙·月考）设直线 是曲线 的一条切线，则 ．【典例3】（23-24高三上·广西南宁·月考）已知曲线 与 的公切线为 ， 则实数 . 重难点02 含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 【典例1】（23-24高三下·江西·月考）已知函数 . （1）若 ，求曲线 在 处的切线方程; （2）若 ，讨论 的单调性. 【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 （ 为 的导函数），讨论 的单调性. 重难点03 构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： f(x)g(x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f(x)g(x) f(x)g(x) （1） 构造 xf '(x) f(x)0 [xf(x)]'  xf'(x) f(x) （2） 构造 f '(x) f(x)0 [ex f(x)]' ex[f '(x) f(x)] （3） 构造 xf '(x)nf(x)0 [xnf(x)]'  xnf '(x)nxn1f(x) xn1[xf'(x)nf(x)] x （4） 构造 （注意 的符号） f(x)f(x) [f(x)ex] f(x)ex f(x)ex ex[f(x)f(x)] （5） 构造 关系式为“减”型构造： f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) [ ] f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) [g(x)]2 （6） 构造f(x) xf '(x) f(x) [ ]'  （7） xf '(x) f(x)0 构造 x x2 f(x) f'(x)ex  f(x)ex f '(x) f(x) [ ]'   f '(x) f(x)0 ex (ex)2 ex （8） 构造 f(x) xnf'(x)nxn1f(x) xf '(x)nf(x) [ ]'   xf '(x)nf(x)0 xn (xn)2 xn1 x （9） 构造 （注意 的符号） f(x) f(x)ex f(x)ex f(x)f(x) [ ]  f(x)f(x) ex [ex]2 ex （10） 构造 【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时， ，且对于任意的实数 ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 恒成立， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）若定义在 上的函数 满足 ，且 ， 则不等式 的解集为 重难点04 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： m f x m f x xD 1、 ， min m f x m f x xD 2、 ， max m f x m f x xD 3、 ， max m f x m f x xD 4、 ， min 【典例1】（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为 （ ） A． B． C．1 D．【典例2】（2024·陕西·二模） ，有 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 重难点 05 双变量不等式与等式 一般地，已知函数y f x,xa,b ，ygx,xc,d （1）若x a,b ，x c,d ，总有 f x gx  成立，故 f x gx ； 1 2 1 2 max min （2）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ； 1 2 1 2 max max （3）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ； 1 2 1 2 min min （4）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ． 1 2 1 2 min max 【典例1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）对于 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数 ， ． （1）若曲线 在 处的切线过点 ，求 的值； （2）设 若对 ， ，使得 成立，求 的取值范围． 重难点 06 导数与函数零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题 （画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、 极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函数 在区间 内有唯一极值点 ，其 中 为自然对数的底数. （1）求实数 的取值范围； （2）证明： 在区间 内有唯一零点. 重难点07 隐零点问题的应用 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下 原则：①在含有 的函数中，通常选取 ，特别地，选当 时， 来试探；②在含有 的函 数中，通常选取 ，特别地，选取当 时， 来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导 函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决. 2、“虚设和代换”法：当导函数 的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚 设为 ，接下来通常有两个方向：①由 得到一个关于 的方程，再将这个关于 的方程的整 体或局部代入 ，从而求得 ，然后解决相关的问题；②根据导函数 的单调性，得出 两 侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。 【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）记函数 的导函数为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函数 ；（1）当 时，讨论函数 的单调性； （2） 在 恒成立，求整数 的最大值. 重难点 08 极值点偏移问题 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数， 注意将 和 化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 为 实数. （1）讨论函数 的极值； （2）若存在 满足 ，求证： . 【典例2】（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 . （1）若 ，求 的取值范围; （2）若 、 是 的零点，且 ，证明: . 一、导数定义中极限的计算 瞬时变化率的变形形式 f (x +∆x)−f(x ) f (x −∆x)−f (x ) f (x +n∆x)−f(x ) f (x +∆x)−f(x −∆x) lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 =f '(x ) ∆x −∆x n∆x 2∆x 0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算 值为（ ）A．1 B． C．0 D．2 【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知 ，当 时， . 二、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤  x , f x  f(x ) 第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0 y f(x ) f(x )(xx ) 第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 Q  x , f x  第一步：设切点为 0 0 ； y  f(x) x f(x ) 第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ； f(x )k x f(x ) 第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ； y f(x ) f(x )(xx ) 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ． 【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲线 在点 处的切线方程为 ． 【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线 过原点的切线方程为 . 三、已知函数的单调性求参数 （1）函数 f x 在区间D上单调增（单减） f(x)（0 0） 在区间D上恒成立； （2）函数 f x 在区间D上存在单调增（单减）区间 f(x)（0 0） 在区间D上能成立； f x f(x) （3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点 f x f(x) （4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点 【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值范 围为（ ）A． B． C． D．m>1 四、利用导数求函数的极值或极值点 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数 ； （2）求方程 的所有实数根； （3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化． 0 ①如果 的符号由正变负，则 是极大值； ②如果由负变正，则 是极小值． ③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点． 0 【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·月考）函数 的极小值点为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函数 在 处的切线平行于直线 . （1）求 的值； （2）求 的极值. 五、根据函数的极值求参数 根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出 ，然后分析的根的个数：①分类 讨论法分析 的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析 的根的个数并求解参数范 围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围. 【典例1】（23-24高三上·山西临汾·月考）已知曲线 在点 处的切线斜率为 3，且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为 . 【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是 （ ）A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数 既有极大值也有极 小值，则（ ） A． B． C． D． 六、利用导数研究函数的最值 函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为： （1）求函数 在区间 上的极值； （2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知函数 . （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）讨论 在区间 上的最小值. 易错点1 复合函数求导错误 点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 。 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数 的导数是 ． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，则易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0的点，而没有对这些点左右两 侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导 数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条 件是 两侧异号。 【典例1】（23-24高三上·黑龙江·月考）如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的 是（ ） A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点 C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A． 有两个极值点 B． 为函数的极大值 C． 有两个极小值 D． 为 的极小值 易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此 区间上单调增（减）的充分条件。【典例1】（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ． 【典例2】（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围 为 ． 易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函 数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。 【典例1】（23-24高三上·广东湛江·月考） 的图象如图所示，则 的图象最有可能是 （ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）A． B． C． D．