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专题 05 一元函数的导数及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x 处的导数定义
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝
0 0 0
x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 ， 可以表示
成 的函数，那么称这个函数为 和 的复合函数，记作 .
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数 的导数和函数 ， 的导数间
的关系为 ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
（3）求复合函数导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
知识点3 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；
如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内 （ ）是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数 在 上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 （ ）
且 在 上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
f x
（1）确定函数 的定义域；
fx
（2）求 （通分合并、因式分解）；fx0
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
fx0
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上
单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极
大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。
重难点01 根据切线情况求参数
已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
【典例1】（23-24高三上·广东·月考）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
．
【答案】【解析】 ,依题意得 ，即 ，
又因为 ，所以 .
【典例2】（22-23高三下·湖南长沙·月考）设直线 是曲线 的一条切线，则
．
【答案】
【解析】设切点为 ，
，则 ，所以 ，所以切点为 ，
又切线为 ，所以 ，解得 .
【典例3】（23-24高三上·广西南宁·月考）已知曲线 与 的公切线为 ，
则实数 .
【答案】
【解析】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得 ，则切线方程为 ，
即 ，与公切线 重合，可得 ，
可得 ，所以切线方程为 ，
对于函数 ，可得 ，设切点为 ，则
则 ，解得 .
重难点02 含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（23-24高三下·江西·月考）已知函数 .（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程;
（2）若 ，讨论 的单调性.
【答案】（1） ；（2）增区间为 ， ，减区间为
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，得到 ，
因为 ，又 ，所以 ，即 有两根，
由求根公式知两根为 ， ，且 ，
所以，当 或 时， ，
当 ， ，
故 的增区间为 ， ，减区间为 .
【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 （ 为 的导函数），讨论 的单调性.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）当 时， ，求导得 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 ，求导得 ，则 ，其定义域为 ，求导得 ，
①若 ，则 ，函数 在 上单调递减；
②若 ，则当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
重难点03 构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
f(x)g(x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f(x)g(x) f(x)g(x)
（1） 构造
xf '(x) f(x)0 [xf(x)]' xf'(x) f(x)
（2） 构造
f '(x) f(x)0 [ex f(x)]' ex[f '(x) f(x)]
（3） 构造
xf '(x)nf(x)0 [xnf(x)]' xnf '(x)nxn1f(x) xn1[xf'(x)nf(x)] x
（4） 构造 （注意 的符号）
f(x)f(x) [f(x)ex] f(x)ex f(x)ex ex[f(x)f(x)]
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
f(x) f(x)g(x) f(x)g(x)
[ ]
f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) [g(x)]2
（6） 构造
f(x) xf '(x) f(x)
[ ]'
（7） xf '(x) f(x)0 构造 x x2
f(x) f'(x)ex f(x)ex f '(x) f(x)
[ ]'
f '(x) f(x)0 ex (ex)2 ex
（8） 构造
f(x) xnf'(x)nxn1f(x) xf '(x)nf(x)
[ ]'
xf '(x)nf(x)0 xn (xn)2 xn1 x
（9） 构造 （注意 的符号）
f(x) f(x)ex f(x)ex f(x)f(x)
[ ]
f(x)f(x) ex [ex]2 ex
（10） 构造
【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数 的定义域为 ，导数为 ，若当 时，
，且对于任意的实数 ，则不等式 的解集为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
设 ，
则 ，即 为 上的偶函数，
又当 时， ，
则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，即 ，解得 .故选：B
【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
恒成立， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 ．故选：A
【典例3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）若定义在 上的函数 满足 ，且 ，
则不等式 的解集为
【答案】
【解析】构造 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，不等式 可化为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
重难点04 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
m f x m f x
xD
1、 ， min
m f x m f x
xD
2、 ， max
m f x m f x
xD
3、 ， max
m f x m f x
xD
4、 ， min
【典例1】（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】显然首先 ，
，
令 ，则 ，所以 在定义域内严格单调递增，
所以若有 成立，则必有 ，
即 对于任意的 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
从而 ，所以 的取值范围是 ，即实数 的最大值为 .故选：B.【典例2】（2024·陕西·二模） ，有 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，有 恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，得 ，当 时， ，故 在 上单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .故选：C．
重难点 05 双变量不等式与等式
一般地，已知函数y f x,xa,b ，ygx,xc,d
（1）若x a,b ，x c,d ，总有 f x gx 成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max min
（2）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx 成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max max
（3）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx 成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 min min
（4）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx 成立，故 f x gx ．
1 2 1 2 min max
【典例1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）对于 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【解析】（1）由题设 且 ，当 时 在 上递减；
当 时，令 ，
当 时 在区间 上递减；
当 时 在 上递增．
所以当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
（2）由题设知 对 恒成立．
当 时，此时 ，不合题设，舍去．
当 时， 在 上递增，只需 符合．
综上： ．
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数 ， ．
（1）若曲线 在 处的切线过点 ，求 的值；
（2）设 若对 ， ，使得 成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ．
又 ，即切点为 ，
∴ ，解得 ．
（2）“对 ， ，使得 成立”，即“在 上， ”．∵ ， ，
∴ 在 上单调递增，∴ ．
令 ，得 或 ．
①当 时， 在 上恒成立， 单调递增，
，解得 ；
②当 时， 在 上恒成立， 单调递减，
在 上恒成立， 单调递增，
或 ，
∴ 或 ．
解得： 或 ，∴ ；
③当 时， 在 上恒成立， 单调递减，
，解得 ，∴ ．
综上所述： 或 ，即 的取值范围为
重难点 06 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，则函数 与函数 的图象有两个交点；设 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
函数 与函数 的图象如图所示：
切线 与 在 轴上的截距分别为 ,
当 时， 与函数 的图象有一个交点，
故实数 的取值范围为 .故选：A
【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函数 在区间 内有唯一极值点 ，其
中 为自然对数的底数.
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： 在区间 内有唯一零点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ，当 时， ，
①当 时， 在 上单调递减，没有极值点，不合题意；
②当 时， 与 在 上分别单调递增，显然 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，得 ，此时 在 内有唯一零点 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 内有唯一极小值点 ，符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
（2）证明：由（1）知 ，当 时， ， ，
∴在 上 ，
∴ 在 上单调递增，
∵当 时， 单调递增，
∴当 时， 单调递减,当 时， 单调递增，
∵当 时， ，∴ ，
又∵ ，∴ 在 内有唯一零点，
即 在 内有唯一零点.
重难点07 隐零点问题的应用
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下
原则：①在含有 的函数中，通常选取 ，特别地，选当 时， 来试探；②在含有 的函
数中，通常选取 ，特别地，选取当 时， 来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导
函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
2、“虚设和代换”法：当导函数 的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚
设为 ，接下来通常有两个方向：①由 得到一个关于 的方程，再将这个关于 的方程的整
体或局部代入 ，从而求得 ，然后解决相关的问题；②根据导函数 的单调性，得出 两
侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函数 ， .（1）求函数 的单调区间；
（2）记函数 的导函数为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
①当 时，对任意的 ， ，
此时函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 .
（2）若不等式 恒成立，则有 ，
设函数 ， ， ，
令 得 ，即 ，所以存在 ，使得 成立，
所以 ①，且 ，即 ②，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
代入①②，可得 ，
要使得 恒成立，则 即可，所以 .
【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函数 ；
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2） 在 恒成立，求整数 的最大值.【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ；（2）2
【解析】（1）当 时， ， ，
当 单调递减；
当 或 单调递增；
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和
（2）因为 ，所以 ，即 ，
故 ， 在 恒成立，
即 ，则 在 恒成立，
设 ，
则 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以方程 有且只有一个实根 ，且 ， ，
所以在 上， ， 单调递减；
在 , 上， ， 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，从而 ，
又 为整数，所以 的最大值为：2．
重难点 08 极值点偏移问题
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，
注意将 和 化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 为
实数.（1）讨论函数 的极值；
（2）若存在 满足 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意知 ，定义域为 ，
，
因为 ，所以 恒成立.
①当 时， ，函数 为 上的增函数，所以函数 无极值.
②当 时，令 ，得 ，
当 时 单调递减，
当 时 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值 ，函数 无极大值.
综上，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，
所以欲证 ，只需证明 ，
由（1）知若存在 满足 ，则 ，
不妨设 ，则 ，
设 ，
则
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，故 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 .
【典例2】（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
（1）若 ，求 的取值范围;
（2）若 、 是 的零点，且 ，证明: .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由已知得 的定义域为 ，
且
，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
所以 在 处取得极小值即最小值，
，
，
，即 的取值范围为 .
（2）由（1）知， 的定义域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 是 的极小值点.
、 是 的零点，且 ，
、 分别在 、 上，不妨设 ，
设 ，
则
当 时， ，即 在 上单调递减.
， ，即 ，， ，
， ，
又 ， 在 上单调递增， ，即 .
一、导数定义中极限的计算
瞬时变化率的变形形式
f (x +∆x)−f(x ) f (x −∆x)−f (x ) f (x +n∆x)−f(x ) f (x +∆x)−f(x −∆x)
lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 =f '(x )
∆x −∆x n∆x 2∆x 0
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算 值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】依题意，令函数 ，求导得 ，
所以 .故选：B
【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知 ，当 时， .
【答案】1
【解析】由导数的定义知， ，
由 ，得 ，所以 .
二、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
x , f x f(x )
第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0
y f(x ) f(x )(xx )
第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
Q x , f x
第一步：设切点为 0 0 ；
y f(x) x f(x )
第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ；
f(x )k x f(x )
第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ；
y f(x ) f(x )(xx )
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ．
【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线 过原点的切线方程为 .
【答案】
【解析】由 得
设切点为 ，则切线方程为
由于切线经过原点，所以 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x
在区间D上单调增（单减）
f(x)（0 0）
在区间D上恒成立；
（2）函数
f x
在区间D上存在单调增（单减）区间
f(x)（0 0）
在区间D上能成立；
f x f(x)
（3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
f x f(x)
（4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点
【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题设 在区间 上单调递增，所以 恒成立，所以 上 恒成立，即 恒成立，
而 在 上递增，故 .
所以A符合要求.故选：A
【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，得 ，
因为 在区间 上不单调，
所以 ，解得： 故选：B.
四、利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·月考）函数 的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
即极小值点为 ，极大值点为 .故选：D
【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函数 在 处的切线平行于直线
.
（1）求 的值；
（2）求 的极值.
【答案】（1） ；（2） 的极大值为 ，极小值为
【解析】（1）由已知可得 ，
而直线 的斜率为 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故极大值为 ，极小值为 .
五、根据函数的极值求参数
根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出 ，然后分析的根的个数：①分类
讨论法分析 的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析 的根的个数并求解参数范
围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.
【典例1】（23-24高三上·山西临汾·月考）已知曲线 在点 处的切线斜率为3，且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【答案】
【解析】由题设 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ，
当 ， ，则 上 递增；
当 ， ，则 上 递减；
所以 、 都是 的极值点，故另一个极值点为 .
【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得， ，故 ，
因为函数 在 上无极值，
所以 在R上恒成立，
当 时， ，
设 ，则 ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，故 ，
当 时， ，则 .
综上， .故选：D.【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数 既有极大值也有极
小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意 在 内有两个不相等的实数根，
即方程 在 内有两个不相等的实数根，
不妨设两根分别为 ，
所以 ，即 异号、 同号，从而 异号.故选：ACD.
六、利用导数研究函数的最值
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ， 单调递增，则 ，
当 时， ，求导得 ， 单调递减，
因此 ，
所以 的最小值为 .故选：B【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知函数 .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时， ，则 ，所以 ，
则 在 处的切线方程为 ，即 ，
所以当 时，函数 在 处的切线方程为 ．
（2）函数 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
当 时，函数在 上单调递减，故函数的最小值 ；
当 时，函数在 上单调递增，故函数的最小值 ；
当 时，函数的最小值 ．
综上可得 .
易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数 的导数是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 .【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，则
【答案】
【解析】依题意，函数 ，
所以 .
易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0的点，而没有对这些点左右两
侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导
数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条
件是 两侧异号。
【典例1】（23-24高三上·黑龙江·月考）如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的
是（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点
C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
【答案】C
【解析】由图象可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 是函数 的极小值点， 无极大值.故选：C
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A． 有两个极值点 B． 为函数的极大值
C． 有两个极小值 D． 为 的极小值
【答案】BC
【解析】根据 的图象，可得当 时， ，可得 ，即 单调递
减，
当 时， ，可得 ，即 单调递增，
当 时， ，可得 ，即 单调递减，
当 时， ，可得 ，即 单调递增，
因此 在 和 处取得极小值，
在 处取得极大值，共3个极值点，可得A错误，C正确；
选项B， 为函数的极大值，即B正确； 不为函数的极小值，D错误.故选：BC
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于
0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此
区间上单调增（减）的充分条件。
【典例1】（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
．
【答案】
【解析】函数 ，求导得 ，由 在 上单调递减，
得 ， ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
【典例2】（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 时， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 .
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函
数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·月考） 的图象如图所示，则 的图象最有可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当 或 时， ；当 时， .
所以，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ，
所以，函数 的图象为C选项中的图象.故选：C.
【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在 和 上 ，在 和 上 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知， 在 的左侧大于 、右侧小于 ，
所以函数 在 处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D.
