曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第四章 一元函数的导数及其应用
4.1 导数的概念和运算
三年模拟
一、选择题
1.(2022广西桂林、崇左、贺州3月联考,4)设函数f(x)在R上存在导函数f '(x),f(x)的图
1
象在点M(1,f(1))处的切线方程为y= x+2,那么f '(1)=( )
2
1 1
A.2 B.1 C. D.
2 3
1 1
答案 C 在点M(1, f(1))处的切线方程为y= x+2,所以f '(1)= .故选C.
2 2
2.(2022昆明一模,5)已知直线y=2x与曲线y=ex+a相切,则a的值为( )
A.2 B.2(ln 2+1)
C.ln 2+1 D.2(ln 2-1)
答案 D 设切点为(x ,2x ),∵y'=ex ,∴y' = =2,故x =ln 2,又2x = +a,∴a=2ln 2-2,
0 0 |
x=x
ex
0
0 0 ex
0
0
故选D.
3.(2022四川绵阳三模,6)已知曲线y=x3-x2+x+2在x=1处的切线为l,若l与☉C:x2+y2-
2ax+a2-5=0相切,则实数a=( )
A.2或-3 B.-2或3
C.2 D.3
答案 A 当x=1时,y=3,又y'=3x2-2x+1,所以y'| =2,曲线y=x3-x2+x+2在x=1处的切线
x=1
方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0,又☉C:(x-a)2+y2=5,所以圆心C(a,0),半径r=√5,因为直线l
与☉C相切,所以圆心到直线l的距离d=
|2a+1|
=√5
,解得a=2或a=-3.故选A.
√22+(-1)2
4.(2022河南顶级名校4月联考,5)以下曲线与直线y=ex-e相切的是( )
A.C :x2+y2=1 B.C :y=ex
1 2
1
C.C :y=exln x D.C :y= ex2
3 4
2
答案 C 直线y=ex-e的斜率为e,且经过点(1,0).选项A,点(1,0)在曲线C 上,但曲线C
1 1
在点(1,0)处的切线的斜率不存在,故不符合题意.选项B,由y=ex,得y'=ex,设切点为(x
0
,ex 0),
则e=
ex 0,则x0=1,所以切点为(1,e),显然点(1,e)不在直线y=ex-e上,故不符合题意.选项C,y'=ex (1 +lnx ) ,当x=1时,y'=e,且点(1,0)在该曲线上,故符合题意.选项D,由y= 1 ex2,得y'=ex,设切点为 ( x , 1 ex2)
x 2 1 2 1
,则e=ex ,
1
则x 1 =1,所以切点为( 1, e) ,显然点 ( 1, e)不在直线y=ex-e上,故不符合题意.故选C.
2 2
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3
5.(2022安徽宣城期末,10)函数f(x)=2x3+ ,其导函数记为f '(x),则f(2 022)+f '(2
1+ex
022)+f(-2 022)-f '(-2 022)的值是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 A f(-x)+f(x)=-2x3+
3 3 3ex 3 3(1+ex) 3ex 3ex 3
+2x3+ = + = =3, f '(x)=6x2- =6x2- =6x2-
1+e-x 1+ex ex(1+e-x) 1+ex 1+ex (1+ex)2 e2x+1+2ex ex+e-x+2
,
3 3
f '(-x)=6(-x)2- =6x2- =f '(x),
e-x+ex+2 e-x+ex+2
因此, f(2 022)+f '(2 022)+f(-2 022)-f '(-2 022)=3.故选A.
6.(2022长春质检,8)已知函数f(x)=ax+a+cos x(a∈R),则在曲线y=f(x)上一点(0,2)处的切线
方程为( )
A.x-y+2=0 B.x+y-2=0
C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0
答案 A 由f(0)=a+1=2得a=1,由f '(x)=1-sin x得f '(0)=1,所以切线方程为x-y+2=0,故
选A.
7.(2022四川宜春模拟,6)已知f(x)=2cos
( π) (3π (3π))处的切线的斜率为(
x- +f '(0)cos x,则曲线y=f(x)在点 , f
2 4 4
)
A.√2B.-√2C.2√2D.-2√2
答案 D f(x)=2cos( π)+f '(0)cos x=2sin x+f '(0)·cos x,则f '(x)=2cos x-f '(0)sin x,
x-
2
所以f '(0)=2,
所以f(x)=2sin x+2cos x,所以f '(x)=2cos x-2sin x,
所以f '(3π) 3π 3π .故选D.
=2cos -2sin =-2√2
4 4 4
8.(2022河南天一联考(五),8)已知过点P(a,1)可以作曲线y=ln x的两条切线,则实数a的
取值范围是( )
A.(-∞,e) B.(0,e)
C.[0,e) D.(0,e-1)
答案 B 设切点为(b,ln b),且b>0,由y'=(ln x)'=
1 1 lnb-1 1 lnb-1
得切线的斜率k= ,又切线过点P(a,1),所以k= ,所以 = ,即
x b b-a b b-a
a=2b-bln b(b>0).
由题意知:直线y=a与g(b)=2b-bln b的图象有两个不同交点.g'(b)=1-ln b,令g'(b)=0,得
b=e,
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所以当b∈(0,e)时,g'(b)>0,g(b)单调递增;
当b∈(e,+∞)时,g'(b)<0,g(b)单调递减.
所以g(b) =g(e)=e.
极大值
当0<b<1时,ln b<0,g(b)=b(2-ln b)>0,当b→+∞时,g(b)→-∞,所以0<a<e,故选B.
9.(2021黑龙江顶级名校二模,6)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=x2-ln(-x),则曲线
y=f(x)在x=1处的切线方程为( )
A.x-y=0 B.x-y-2=0
C.x+y-2=0 D.3x-y-2=0
答案 A 解法一:当x>0时,-x<0,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=(-x)2-ln x=x2-ln x(x>0),∴f
1
'(x)=2x- (x>0),∴f '(1)=1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-
x
y=0,故选A.
1 1
解法二:当x<0时, f '(x)=2x- ,∴f '(-1)=2×(-1)- =-1.又f(x)为偶函数,∴f '(x)
x -1
为奇函数,∴f '(1)=-f '(-1)=1.又f(-1)=(-1)2-ln 1=1,∴f(1)=f(-1)=1,∴曲线y=f(x)在x=1处
的切线方程为y=x,故选A.
10.(2022内蒙古通辽期末,12)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点
处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列四个函数中,具有T性质的所有函数的序
号为( )
①y=sin2x,②y=tan x,③y=|x-1|,x∈(-2,+∞),④y=ex-ln x.
x+2
A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④
1-cos2x 1 1
答案 C y=sin2x= = - cos 2x,则y'=sin 2x∈[-1,1],其导函数上存在两点的
2 2 2
导函数值乘积为-1,即这两点处的切线互相垂直,具有T性质;
1
y=tan x,则y'= >0恒成立,不具有T性质;
cos2x
y=|x-1|,x∈(-2,+∞),
x+2
-3
{ ,x∈(-2,1),
(x+2)2
则y'=
0,x=1,
其导函数上存在两点的导函数值乘积为-1,即这两点处
3
,x∈(1,+∞),
(x+2)2
的切线互相垂直,具有T性质;
y=ex-ln x,则y'=ex- 1 ,函数y'=ex- 1 在(0,+∞)上单调递增,且y' | 1 =√3 e -3<-1,y'|
x x x=
3
=e-1>1,其导函数上存在两点的导函数值的乘积为-1,即这两点处的切线互相垂直,具有
x=1
T性质.故选C.
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11.(多选)(2021济南一模,10)已知函数f(x)=x3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下
列说法正确的是( )
A.a=3
B. f(x)在x=-1处取得极大值
C.当x∈(-2,1]时, f(x)∈(-1,3]
D. f(x)的图象关于点(0,1)中心对称
答案 ABD 对于A, f '(x)=3x2-a,由题意得f '(2)=12-a=9,得a=3,A中说法正确;对于B, f
'(x)=3(x-1)(x+1),由f '(x)=0得x=-1或1,易知在(-∞,-1),(1,+∞)上f '(x)>0, f(x)为增函数,在
(-1,1)上f '(x)<0, f(x)为减函数,所以f(x)在x=-1处取得极大值,B中说法正确;对于C,
f(-2)=-1, f(-1)=3, f(1)=-1,故在(-2,1]上, f(x)的值域为[-1,3],因此选项C中的说法错误;对
于D,令g(x)=x3-3x,则f(x)=g(x)+1,而g(x)的图象关于(0,0)中心对称,所以f(x)的图象关于
(0,1)中心对称,D中说法正确.故选ABD.
二、填空题
(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
12.(2022云南一模,16)若曲线y= +9ln x在点
x2+lnx-3
(1,0)处的切线与直线2x=ay-2平行,则a= .
2
答案
3
解析 令y=f(x),
(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
则f(x)= +9ln x,x>0,令g(x)=(x-3)(x-2)
x2+lnx-3
(x-1)x(x+1)(x+2),
则g'(x)=(x-1)'[(x-3)(x-2)x(x+1)(x+2)]+[(x-3)(x-2)x(x+1)(x+2)]'(x-1),
所以g'(1)=1×[(1-3)(1-2)×1×(1+1)(1+2)]=12,g(1)=0,
又f '(x)=
g'(x)(x2+lnx-3)-g(x)(x2+lnx-3)' 9 g'(1)(12+ln1-3) 9
+ ,所以f '(1)= +
(x2+lnx-3)2 x (12+ln1-3)2 1
=3,
2 2
所以 =3,得a= .
a 3
13.(2022北京九中月考,14)若直线y=2x+b是曲线y=ex-2的切线,则实数b= .
答案 -2ln 2
解析 设切点为(x
0
,y
0
),由题意得y'=ex,由y=2x+b是曲线y=ex-2的切线得ex 0=2,解得x
0
=ln
2,代入曲线方程得y =0,将(ln 2,0)代入切线方程得b=-2ln 2.
0
14.(2022云南师大附中月考,14)曲线f(x)=ln(1+x)+sin x+2在点(0, f(0))处的切线方程为
.
答案 y=2x+2
1
解析 f '(x)= +cos x,则f '(0)=2,故切线斜率为2,又f(0)=2,所以切线方程为y=2x+2.
1+x
15.(2022陕西模拟,13)若曲线f(x)=mxex-n在点(1, f(1))处的切线为y=ex,则mn= .
e
答案 -
4
解析 将x=1代入y=ex,得切点坐标为(1,e),
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则e=me-n.
1
∵f '(x)=mex(x+1),∴f '(1)=2me=e,得m= ,
2
e e
∴n=- ,∴mn=- .
2 4
16.(2022安徽黄山模拟,16)已知直线y=kx+b(b<0)与曲线y=x3+3x2相交于A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
两点(x <x ),则x +2x = .
1 2 1 2
答案 -3
解析 因为直线y=kx+b(b<0)与曲线y=x3+3x2有且只有两个公共点,结合y=x3+3x2的单
调性及已知得,直线y=kx+b(b>0)与曲线y=x3+3x2相切,切点为(x
,x3 +3x2
).因为y'=3x2+6x,
2 2 2
所以k=3
x2+6x2=
x
2
3+3x
2
2-b,
2 x -0
2
所以b=-2 -3 .
x3 x2
2 2
因为kx +b= +3 ,所以(3 +6x )x -2 -3 = +3 ,即 +2 -3x +3 +3 -6x x =0,
1 x3 x2 x2 2 1 x3 x2 x3 x2 x3 x3 1x2 x2 x2 1 2
1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2
整理得(x -x )2(x +2x +3)=0,
1 2 1 2
又x ≠x ,所以x +2x +3=0,即x +2x =-3.
1 2 1 2 1 2
三、解答题
17.(2022天津塘沽一中线上统练,20)已知函数f(x)=ax+ln x+1.
(1)a=-1,求函数f(x)的最大值;
(2)若f(x)-f '(x)≤0恒成立,求a的取值集合;
(3)令F(x)=f(x)-ax-1,过点P(x ,y )作曲线y=F(x)的两条切线,若两切点横坐标互为倒数,求
0 0
证:点P一定在第一象限内.
1 1-x
解析 (1)当a=-1时,f(x)=-x+ln x+1,定义域为(0,+∞),f '(x)=-1+ = ,
x x
令f '(x)>0,得0<x<1,f(x)单调递增;令f '(x)<0,得x>1,f(x)单调递减.所以f(x) =f(1)=0.
max
1
(2)令g(x)=f(x)-f '(x)=ax+ln x+1-a- (x>0),
x
则g'(x)=a+1 1 ax2+x+1,
+ =
x x2 x2
若a≥0,则存在g(e)=a(e-1)+( 1)>0,与g(x)=f(x)-f '(x)≤0恒成立矛盾,所以必有a<0,
2-
e
1
令ax2+x+1=0(*),有Δ=1-4a>0,设方程ax2+x+1=0的两根分别为x ,x (x <x ),则x x = <0,
1 2 1 2 1 2
a
所以方程必有正根x ,
2
所以函数g(x)在(0,x )上单调递增,在(x ,+∞)上单调递减,所以g(x) =g(x )≤0,注意到
2 2 max 2
g(1)=0,
则有x =1,代入(*),解得a=-2,所以a的取值集合为{-2}.
2
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1
(3)证明:由题意得F(x)=ln x,则F'(x)= ,
x
设两切点分别为A(t,ln t),B(1 )(t>1),
,-lnt
t
1
所以A,B两点处的切线方程分别为y= x+ln t-1,y=tx-ln t-1,
t
令
1 2t (t2+1)lnt ( 2t (t2+1)lnt )
x+ln t-1=tx-ln t-1,解得x= ln t,所以y= -1.则P lnt, -1
t t2-1 t2-1 t2-1 t2-1
2t
因为t>1,所以 ln t>0,
t2-1
要证明(t2+1)lnt
-1>0,
t2-1
即证明(t2+1)lnt t2-1,
>1,又t2>1,所以即证ln t>
t2-1 t2+1
令h(t)=ln
t-t2-1 (t2-1)2
>0(t>1),
(t>1),则h'(t)=
t2+1 t(t2+1)2
所以h(t)在(1,+∞)上是增函数,所以h(t)>h(1)=0,则ln
t>t2-1 (t2+1)lnt
-1>0,
,所以
t2+1 t2-1
故点P一定在第一象限内.
18.(2022河西二模,20)已知f(x)=ex,x∈R,g(x)=ln x,x∈(0,+∞).
(1)若直线y=kx+2与g(x)的图象相切,求实数k的值;
(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;
f (a)+f (b) f (b)-f (a)
(3)设a<b,比较 与 的大小,并说明理由.
2 b-a
解析 (1)设直线y=kx+2与g(x)=ln x的图象相切于点P(x ,y ),
0 0
{kx +2=ln x ,
0 0
则有 解得x =e3,k=e-3.
1 0
k=g'(x )= ,
0 x
0
(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2公共点的个数等价于方程f(x)=mx2根的个数.
所以m=ex
,
x2
令h(x)=ex ⇒h'(x)=xex(x-2),
x2 x4
则当x∈(0,2)时,h'(x)<0,即h(x)在(0,2)上单调递减,
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当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,即h(x)在(2,+∞)上单调递增,
e2
故h(2)= 是h(x)的极小值同时也是最小值.
4
所以当x>0时,对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数,讨论如下:
当m∈(
0,
e2
)时,无公共点;
4
e2
当m= 时,有1个公共点;
4
当m∈(e2
,+∞
)时,有2个公共点.
4
f (a)+f (b) f (b)-f (a) (b-a+2)f (a)+(b-a-2)f (b)
(3) - =
2 b-a 2(b-a)
(b-a+2)ea+(b-a-2)eb
=
2(b-a)
(b-a+2)+(b-a-2)eb-a
= ·ea,
2(b-a)
令l(x)=x+2+(x-2)ex,x>0,
则l'(x)=1+(1+x-2)ex=1+(x-1)ex,
l'(x)的导函数l″(x)=xex>0,
所以l'(x)在(0,+∞)上单调递增,且l'(0)=0,
因此,l'(x)>0,故l(x)在(0,+∞)上单调递增,
而l(0)=0,所以在(0,+∞)上,l(x)>0,
(b-a+2)+(b-a-2)eb-a
因为当x>0时,l(x)=x+2+(x-2)ex>0且a<b,令x=b-a>0,则 ·ea>0,
2(b-a)
f (a)+f (b) f (b)-f (a)
所以当a<b时, > .
2 b-a
19.(2022红桥一模,20)已知函数f(x)=√x,g(x)=aln x,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及切线方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(3)对(2)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.
1 a
解析 (1)f '(x)= ,g'(x)= ,
2√x x
{√x=alnx, { e
a= ,
由题意得
1 a 解得 2
= ,
2√x x x=e2,
所以两曲线的交点坐标为(e2,e),
1
切线的斜率k=f '(e2)= ,
2e
1
则切线方程为y-e= (x-e2),即x-2ey+e2=0.
2e
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1 a √x-2a
(2)h(x)=√x-aln x(x>0),h'(x)= - = ,
2√x x 2x
①当a>0时,h(x)在(0,4a2)上单调递减,在(4a2,+∞)上单调递增,所以φ(a)=h(4a2)=2a[1-
ln(2a)];
②当a≤0时,h(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值.
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a[1-ln(2a)],a>0.
(3)证明:由(2)得φ(a)=2a[1-ln(2a)],a>0,
1
则φ'(a)=-2ln(2a),令φ'(a)=0,解得a= ,
2
所以φ(a)在( 1) (1 ) (1)
0, 上单调递增,在 ,+∞ 上单调递减,所以φ(a)max=φ
2 2 2
=1,
所以当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.
20.(2022东城期末,20)曲线y=ln x在点A(t,ln t)处的切线l交x轴于点M.
(1)当t=e时,求切线l的方程;
(2)O为坐标原点,记△AMO的面积为S,求面积S以t为自变量的函数解析式,写出其定义
域,并求单调增区间.
1
解析 (1)由y=ln x,求导得y'= ,
x
当t=e时,切点为A(e,1),
1 1
切线l的斜率k=y'| = ,则切线l方程为y-1= (x-e),即x-ey=0.
x=e
e e
1
(2)由y=ln x,求导得y'= ,切点A的坐标为(t,ln t),
x
1 1
切线斜率k=y'| = ,则切线方程为y-ln t= (x-t),令y=0,则x=t-tln t,所以切线l与x
x=t
t t
轴的交点M的坐标为(t-tln t,0)
∴|OM|=|t-tln t|,|y |=|ln t|.
A
1 1
所以△AMO的面积S(t)= |OM|·|y
A
|= |t-tln t|·|ln t|.
2 2
1 1
当1<t<e时,S(t)= (t-tln t)·ln t= tln t(1-ln t);
2 2
1 1
当0<t≤1或t≥e时,S(t)=- (t-tln t)·ln t=- t·ln t(1-ln t).
2 2
1
{ tlnt(1-lnt),1<t<e,
所以S(t)= 2
1
- tlnt(1-lnt),0<t≤1或t≥e.
2
由S(t)表示面积,知S(t)>0,
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{
1<t<e,
{
0<t≤1,
{
t≥e,
即
1 或 1 或 1
tlnt(1-lnt)>0 - tlnt(1-lnt)>0 - tlnt(1-lnt)>0,
2 2 2
解得1<t<e或0<t<1或t>e.
所以函数S(t)的定义域为(0,1)∪(1,e)∪(e,+∞).
令f(t)=tln t(1-ln t)=eln t(ln t-ln 2t),令ln t=x,则t=ex.
则g(x)=ex(x-x2),求导得g'(x)=ex(x-x2)+ex(1-2x)=ex(-x2-x+1).
-1-√5 -1+√5
令g'(x)>0,即-x2-x+1>0,解得 <x< ,
2 2
所以g(x)在区间
(-1-√5 -1+√5) ( -1-√5) (-1+√5 )上单调递
, 上单调递增,在区间 -∞, , ,+∞
2 2 2 2
减.
所以f(t)在区间(
-1-√5, -1+√5)上单调递增,在区间(-∞, -1-√5),( -1+√5,+∞)上单调递减,
e 2 e 2 e 2 e 2
1
又S(t)= |f(t)|,且f(1)=0,f(e)=0,所以由图象的翻折变换可知,S(t)的单调递增区间为(0,
2
-1-√5)和(1, -1+√5)和(e,+∞).
e 2 e 2
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