高中数学-考点梳理1_教资_25下资料合集二_25下最新科三知识点汇编+思维导图-高中_08.数学_04.考点梳理

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目 录
第一章 极限与连续 ........................................................ 1
第二章 导数与微分中值定理 ............................................... 13
第三章 积分 ............................................................. 20
第一节 不定积分 ..................................................... 20
第二节 定积分 ....................................................... 23
第四章 线性代数 ......................................................... 27
第一节 行列式 ....................................................... 27
第二节 矩阵 ......................................................... 34
第三节 线性方程组 ................................................... 41
第四节 线性空间 ..................................................... 50
第五节 二次型 ....................................................... 62
第五章 空间解析几何 ..................................................... 65
第六章 级数 ............................................................. 76
第七章 常微分方程 ....................................................... 82
第八章 多项式 ........................................................... 86
第九章 统计与概率 ....................................................... 90
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第一章 极限与连续
一、知识梳理
（一）数列极限
1．数列极限的定义
若数列 a  满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有 a A 
n n
成立（A为常数），则称A为数列a 当n趋向于无穷大时的极限，记作lima  A．
n n n
2．数列极限的运算法则
如果lima  A,limb  B，那么
n n
n n
（1）lim(a b )lima limb  AB；
n n n n
n n n
（2）lim(a b )  lima limb  AB；
n n n n
n n n
lima
a A
n
（3）lim n  n  (B 0)；
nb limb B
n n
n
（4）lim(ca )  clima  cA（c为常数）．
n n
n n
注：极限运算法则中的各个极限都应对应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无
限个．在商的运算法则中，要注意对式子的变形，有些题目分母不能直接求极限．
3．特殊数列的极限
（1）limC C （C为常数）；
n
0(a 1),

（2）liman 1(a 1), ；
n 
不存在（a 1或a 1)

2n13n1
例1．lim =________．
n 2n 3n
1
（3）lim 0（a 0的常数）；
nna
0(当k l时),

a nk ank1a a
（4）lim 0 1 k  0 (当k l时),
n b 0 nl b 1 nl1b l  b 0


不存在（当k l时）
(2n3)2 3n1
例2．计算：lim （ ）．
n 3n2 n1
1 3 4 2
A． B． C． D．
2 7 3 5
（二）函数极限
1．函数趋近于无穷远处的极限
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（1）若函数 f(x)满足：对任意给定的正数，总存在正数M ，当xM 时，恒有 f(x)A 
成立（A为常数），则称函数 f(x)当x趋向于正无穷大时的极限为A，记作 lim f(x) A；
x
（2）若函数 f(x)满足：对任意给定的正数，总存在正数M ，当xM 时，恒有 f(x)A 
成立（A为常数），则称函数 f(x)当x趋向于负无穷大时的极限为A，记作 lim f(x) A．
x
（3）若函数 f(x)满足：对任意给定的正数，总存在正数M ，当 x  M 时，恒有 f(x)A 
成立（A为常数），则称函数 f(x)当x趋向于无穷大时的极限为A，记作lim f(x) A．
x
注：lim f(x)存在，表示 lim f (x)和 lim f (x)都存在，且两者相等，所以lim f(x)中的既有
x x x x
又有的意义．
2．函数趋向于定值的极限
（1）若函数 f(x)在邻域
U

(a)
有定义，对任意给定的正数，存在常数0，当0 xa 
时，恒有 f(x)A 成立（A为常数），则称函数 f(x)（当xa时）的极限为A，记作lim f(x) A．
xa
（2）若函数 f(x)在a的右侧（左侧）有定义，对任意给定的正数，存在常数0，当a xa
（a xa）时，恒有 f(x)A 成立（A为常数），则称函数 f(x)在a存在右极限（左极限），
右极限（左极限）为A记作 lim f(x) A或 f(a0) A（ lim f(x) A或 f(a0) A）．
xa xa
3．函数极限的运算法则
如果lim f(x) A,limg(x) B（a可以是具体的x x ,x ,,,），那么
xa xa 0, 0 0
（1）lim[f(x)g(x)] AB；
xa
（2）lim[f(x)g(x)] AB；
xa
f(x) A
（3）lim  (B0)；
xa g(x) B
（4）当C是常数，n是正整数时，
lim[Cf(x)]Clim f(x),lim[f(x)]n [lim f(x)]n ．
xa xa xa xa
（三）极限的证明的基本方法
1．内容
形式 定义 关键
lima  A 0，N 0，当n N 时，总有
n
n 找出N
（“N ”）
a
n
A ．
lim f(x) A 0，0，
xx 0 找出
（“”）
当0 xx
0
时，总有 f(x)A ．
0，X 0，当 x  X 时，总有
lim f(x) A 找出X
x
f(x)A ．
2．反解不等式法
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（1）函数极限
对于一些较简单的极限问题，可以直接根据定义，求解不等式得出，具体步骤为：
①从不等式 f(x)A 中直接解出 xx h()或 x h()；
0
②令h()或X  h()．
lim(2x3)7
例3．证明 ．
x2
（2）数列极限
对于一些较简单的极限问题，可以直接根据定义，求解不等式得出，具体步骤为：
①从不等式 a A 中直接解出nh()；
n
②寻找出合适的N ．
n
例4．证明lim 1．
nn1
2．放缩法
（1）函数极限
有时解不等式 f(x)A 比较复杂，不便解出 xx h() 或 x h() 时，可考虑将
0
f(x)A 适当进行放缩，具体步骤为：
①将 f(x)A 放缩成(xx )或(x)；
0
②0，转化为解(xx )或(x)，得到 xx h()或 x h()；
0 0
③令h()或X  h()．
例5．证明lim x  a ．
xa
（2）数列极限
有时解不等式 a A 比较复杂，不便解出nh()时，可考虑将 a A 适当进行放缩，具体
n n
步骤为：
① a A 放缩成(n)；
n
②0，转化为解(n)，得到nh()；
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③寻找出N ．
3n1 3
例6．证明lim  ．
n2n1 2
3．条件放大法
（1）函数极限
有时 f(x)A 放大之后，仍然无法解出 xx h()，不妨对做一些限定，具体步骤为：
0
①设，即 xx ，然后再对 f(x)A 这个式子放大成(xx )；
1 0 1 0
②0，转化为解(xx )，得到 xx h()，从而求出h()；
0 0
③令min，h()
．
1
例7．证明limx2 4．
x-2
（2）数列极限
有时在对 a A 进行放大时，仍然无法解出nh()，不妨对n做一些限定，即条件放大法，具体
n
步骤为：
①将 a A 作条件放大成(n)，即当n N 时，有 a A (n)；
n 1 n
②0，转化为解(n)，得到nh()，寻找N ；
2
③取N max  N ,N  ．
1 2
5n3 n4 5
例8．证明lim  ．
n 2n3 3 2
（四）无穷小及其比较
1．无穷小量
（1）定义：若lim f(x)0，则称函数 f(x)(xa)是无穷小．
xa
在定义中，将xa换成xa,xa,x,x,x可定义不同形式的无穷小．
（2）无穷小的性质
①若函数 f(x)与g(x)(xa)都是无穷小，则函数 f(x)g(x)(xa)是无穷小．
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②若函数 f(x)(xa)是无穷小，函数g(x)在a的一个去心邻域有界，则函数 f(x)g(x)(xa)
也是无穷小．
1
例9．极限limxsin =（ ）．
x0 x
A．0 B．1 C．2 D．-1
③若函数 f(x)与g(x)(xa)都是无穷小，则函数 f(x)g(x)(xa)是无穷小
④若lim f(x) A，则 f(x) A(xa)是无穷小．
xa
（3）无穷小的比较
设在自变量x的同一变化过程中（如xx 或x），(x),(x)都是无穷小，且(x)0．
0
(x)
①如果lim 0，则称(x)是(x)的高阶无穷小，记作(x)=((x))．
(x)
(x)
②如果lim ，则称(x)是(x)的低阶无穷小．
(x)
(x)
③如果lim C(C 0)，则称(x)是(x)的同阶无穷小．
(x)
(x)
④如果lim 1，则称(x)是(x)的等阶无穷小，记作(x)~(x)．
(x)
例10．设当x0时，(1cosx)ln(1x2) 是比xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比(ex2 1) 高
阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．无穷大量
（1）定义：M 0,0，当0 xa ，有 f(x) M（或 f(x)M, f(x)M ），则
称函数 f(x)(xa) 是无穷大（或“正无穷大”或“负无穷大”）表示为 lim f(x) （或
xa
lim f(x),lim f(x)）．
xa xa
在定义中，将xa换成xa,xa,x,x,x可定义不同形式的无穷大．
（2）无穷大的性质
①若函数 f(x)与g(x)(xa)都是无穷大，则函数 f(x)g(x)(xa)是无穷大．
②若函数 f(x)(xa)是无穷大，函数g(x)在a的一个去心邻域有界，则函数 f(x)g(x)(xa)
也是无穷大．
1
③若 f(x)(xa)是无穷小（无穷大），且 f(x)0，则 (xa)是无穷大（无穷小）．
f(x)
3．常见的等价无穷小
当x0时，sinx~ x~arcsinx，tanx ~ x ~ arctanx，ex 1~ x~ln(1x)，
1
ax 1~ xlna，1cosx~ x2，(1x)a 1~ax．
2
（四）常见的函数极限的类型和求法
1．两个重要极限
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sinx
lim 1，
x0 x
 1 x 1
lim

1

e（或lim(1x)x e）（1）．
x x x0
2．洛必达法则
（1）概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极限的类型
为可以直接带入求解即可．
0 
（2）适用类型：通常情况下适用于 型或者是 型极限．
0 
1cos2x
例11．lim ________．
x0 x2
3．两边夹定理（适用于数列极限）
 1 1 1 
lim   
n n2 1 n2 2 n2 n 
0 
总结：（1）求“ 或 ”型极限的方法有：
0 
①通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四则运算法则；
例12． x3 1 ________．
lim 
x1 x1
②利用洛必达法则，（注：一般考虑洛必达法则，但是洛必达法则不是万能的）．
cosx
lim 
例13．  ________．
x x
2
2
4x2 x1x1
例14．求极限 lim ．
x x2 sinx
xsinx
例15．求极限lim ．
x xsinx
ex etanx
例16．求极限lim ．
x0 arcsin3 x
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③变量替换与重要极限；
1
例17．极限limxsin =（ ）．
x x
A．0 B．1 C．2 D．-1
2
例18．lim(1 )x=________．
x x
④等价无穷小因子替换．
sin3x
例19．lim ________．
x0 x
（1）求“0或”型极限的方法有：
0 
①0型转化为 , 型，再利用洛必达法则求解．
0 
0 
②型可通过通分或变量替换转化为 , 型．
0 
lim xlnx
例20．求极限 ．
x0
例21．求极限 lim( x5 x)．
x
（五）连续函数
1．函数在一点处连续
如果函数 f(x)在点xa处有定义，且lim f(x) f(a)，那么函数在xa处连续．
xa
2．函数在一点处左（右）连续
如 果 函 数 f(x) 在 a 的 左 端 点 的 区 间 有 定 义 ， 且 lim f(x) f(a) f(a0)
xa
（ lim f (x) f(a) f(a0)），那么函数在xa处左（右）连续．
xa
3．函数在区间连续
若函数 f(x)在区间I 的每一点处连续（若区间I 的左（右）端点属于区间I ，函数 f(x)在左（右）
端点右连续（左连续）），则称函数 f(x)在区间I 连续．
 x11
 x0
例22．设 f(x) x ，如果 f (x) 在x 0处连续，则a_________．

 a x 0
4．闭区间上连续函数的性质
（1）若函数 f(x)在区间 a,b 连续，则函数 f(x)在区间 a,b 内必有最大值与最小值；
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（2）若函数 f(x)在区间 a,b 连续，则函数 f(x)在区间 a,b 内必有界；
（3）若函数 f(x)在区间 a,b 连续，且 f(a)f(b)0，则必存在x a,b ， f x 0；
0 0
（4）设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，则在这区间端点处取值不同时，即：f(a)=A，f(b)=B，
且 AB．那么，不论C 是 A与 B 之间的怎样一个数，在开区间 a,b 内至少有一点，使得
f()C(ab)．
5．间断点
（1）第一类间断点
①可去间断点： lim f(x) A ，而 f(x)在x 无定义或有定义但 lim f(x) f(x ) ，则称x 为 f
xx 0 xx 0 0
0 0
的可去间断点．
②跳跃间断点：若函数 f 在点x 的左、右极限都存在，但 lim f(x) lim f(x) ，则称x 为 f 的
0 xx xx 0
0 0
跳跃间断点．
第一类间断点的左、右极限都存在．
（2）第二类间断点
其他形式的间断点，使得左、右极限至少有一侧不存在的间断点，都是第二类间断点．
例23．讨论下列函数的连续性，如有间断点，指出其类型：
x2 1 tan2x
（1）y  ； （2）y  ；
x2 3x2 x
6．渐近线
（1）水平渐近线
lim f(x)c，则 yc 为水平渐近线
x
（2）垂直渐近线
lim f(x) ，则x x 为垂直渐近线．
xx 0
0
（3）斜渐近线
f(x)
a lim
，blimf(x)ax
，则yaxb为斜渐近线．
x x x
2(x2)(x3)
例24．y  斜渐近线方程________．
x1
7．一致连续
（1）定义
设函数 f x 在区间 I 上有定义，若 0 ， 0 ， x ,x I ， x  x ，有
1 2 1 2
f(x ) f(x ) ，则称函数 f x 在I上一致连续．
1 2
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（2）定理：若函数 f x 在闭区间[a，b]连续，则函数 f x 在闭区间[a，b]一致连续．
二、能力训练
1．【2018上半年高级】设f （x）为开区间（a，b）上的可导函数，则下列命题正确的是（ ）．
A．f （x）在（a，b）上必有最大值 B．f （x）在（a，b）上必一致连续
C．f （x）在（a，b）上必有界 D．f （x）在（a，b）上必连续
2．【2015下半年，高级4】已知数列{a }与数列{b }，n1,2,3则下列结论不正确的是（ ）．
n n
A若对任意的正整数n，有a b ， lima a ， limb b ，且b0，则a0
n n n n n n
B．若 lima a ， limb b ，且ab，则对任意的正整数n，a b
n n n n n n
C．若 lima a ， limb b ，且存在正整数N，使得当n>N时，a b 则ab
n n n n n n
D．若对任意的整数n，有a b ， lima a ， limb b ，且b0，则a0
n n n n n n
1
3．【2016上半年，高级1】极限lim(1 )n2 的值是（ ）．
n 1n2
1
A．e B．1 C． D．0
e
2x
2x
4．【2016下半年，初级1】极限lim  的值是（ ）．
x1x 
A．0 B．1 C．e D．e2
tan3x
5．【2018下半年初级】lim 的值是（ ）．
x0 xcosx
A．0 B．1 C．3 D．∞
1 1
6．【2016上半年，初级1】极限lim(1 )n的值是（ ）．
n n
1
A．0 B．1 C．e D．
e
7．【2015上半年，初级1】与命题“y f(x)在x 连续”不等价的命题是（ ）．
0
A．对任意数列{x }，x x ，有lim f(x ) f(x )
n n 0 n n 0
B．0,0，使得|xx |，有| f(x) f(x )|
0 0
C．存在数列{x }，x x ，有lim f(x ) f(x )
n n 0 n n 0
D． 对任意数列{x }，x x ，0,N,nN有| f(x ) f(x )|
n n 0 n 0
8．【2017下半年，高级2】当x x 时，与xx 是等价无穷小的为（ ）．
0 0
A．sin(xx
0
) B．exx0 C．(xx
0
)2 D．ln xx
0
9．【2018上半年初级】设f（x）为[a，b]上的连续函数，则下列命题不正确的是（ ）．
A．f（x）在[a，b]上有最大值 B．f（x）在[a，b]上一致连续
C．f（x）在[a，b]上可积 D．f（x）在[a，b]上可导
10．按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ）．
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x2
 1
x
A． （x ） B．1  1（x）
x4  x1  x
x
C．12x （x0） D． （x0）
sinx
x2 a, x 1
11．若函数 f  x    在R上连续，则a的值为（ ）．
cosx, x 1
A．0 B．1 C．-1 D．-2
 1

12．设函数 f  x    x3 sinx , x  0 ，则点0是函数 f  x  的（ ）．
 0 , x 0
A．第一类不连续点 B．第二类不连续点
C．可去不连续点 D．连续点
1
x2sin
13． x 的值为（ ）．
lim
x0 sinx
A．1 B． C．不存在 D．0
14．若 lim2na 1，且 lima 存在，则 lim(1n)a （ ）．
n n n
n n n
1 1
A．0 B． C．  D．不存在
2 2
15．设 f(x)2x 3x 2，则当x趋近于0时，有（ ）．
A． f(x)是x的等价无穷小 B． f(x)与x同阶但非等价无穷小
C． f(x)是比x高阶的无穷小 D． f(x)是比x高阶的无穷小
16．当x0时，与31 3 x 1为同阶无穷小的是（ ）．
A．
3 x
B．
3 x4
C．
3 x2
D．x
f(x)
17．设 f(x)在x0处存在3阶导数，且lim 1则 f(0)（ ）．
x0 tanxsinx
A．5 B．3 C．1 D．0
sinx
18．函数 f(x)lim 的间断点有（ ）个
n1(2x)2n
A．4 B．3 C．2 D．1
sin2
1 x

19．lim （ ）．
x1

x1
2
x2

1 1 2
A． B． C．0 D．
3 3 3
x
20．lim （ ） ．
x0sinx
A．1 B．0 C．-1 D．不存在
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21．【2017上半年，初级1】若lima a o，则下列表述正确的是（ ）．
n
n
A．r(0,a)，N 0，当n N 时，有a r
n
B．r(0,a)，N 0，当n N 时，有a r
n
C．r(0,a)，N 0，当n N 时，有a r
n
D．N 0，r(0,a)，当n N 时，有a r
n
lim f(x)k 0
22．【2017上半年，高级1】若 ，则下列表述正确的是（ ）．
xa
A．r(0,k)，0，x(a,a)，且xa，有 f(x)r．
B．r(0,k)，0，x(a,a)，且xa，有 f(x)r．
C．r(0,k)，0，x(a,a)，有 f(x)r．
D．r(0,k)，0，x(a,a)，有 f(x)r．
23．【2015上半年，高级9】某投资人本金为A元．投资策略为：（1）一年连续投资n次，每个投
1 x
资周期为 年；（2）在每个投资周期中，利率均为 ；（3）总是连本带息滚动投资．
n n
回答下列问题：
（1）一年后的资金总额？
（2）当n时，资金总额是否趋于无穷？
 1
ex,x0

24．判断函数y 1,x0 的间断点及其类型．

x,x0


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1
2x 1
25．判断函数y  的间断点及其类型．
1
2x 1
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第二章 导数与微分中值定理
一、知识梳理
（一）导数
1．高阶导数
函数 y  f(x)的导数 y f(x)仍然是x的函数，我们把 y f(x)的导数叫做函数 y  f(x)的
d2y
二阶导数，记作 y或 ．类似地，二阶函数的导数叫做三阶导数；三阶函数的导数叫做四阶导数，
dx2
dny
一般地，（n1）阶导数的导数叫做n阶导数．记作 y(n)或 ．
dxn
二阶或二阶以上导数统称为高阶导数．
例1．设函数y＝ ex－1  e2x－2    enx－n  ，其中n为正整数，则 y'0＝（ ）．
A．﹣1n－1n－1！ B．﹣1nn－1！
C．﹣1n－1
n!
D．﹣1n
n!
2．隐函数求导
dx
（1）若已知F(x,y)0，求 时，一般按下列步骤进行：
dy
①若方程F(x,y)0能化为y  f(x)的形式，则采用前面的方法求导．
②若方程F(x,y)0不能化为y  f(x)的形式，则是对方程两边x进行求导，并把 y 看成x的函
数y  f(x)，用复合函数求导法则进行求导．
例2．已知x2 2xy y3 6，确定 y 是x的函数，那么y' ________．
（2）对数求导法
对形如 y[f(x)]g(x)的函数求导，先对函数两边取自然对数，再利用隐函数求导法则进行求导．
dy
例3．求由方程 y5 2yx3x7 0所确定的隐函数在x0处的导数 ．
dx x0
3．导数的应用
（1）函数的极值
①定义：设函数 f (x) 在点 x 的某邻域U(x ) 内有定义，如果对于U(x ) 内任一 x ，有
0 0 0
f(x) f(x )（或 f(x) f(x )），那么就称 f(x )是函数 f (x)的一个极大值（或极小值）．函数的极
0 0 0
大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．
②取得极值的必要条件 设函数x 处可导，且在x 处取得极值，那么 f(x )0．
0 0 0
注：一个函数的可能极值点就是其导数为零或导数不存在的点．
③取得极值的第一充分条件
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0
设函数 f (x)在x 处连续，且在x 的某去心邻域U(x ,)内可导．
0 0
0
若x(x ,x )时，f(x)0，且x(x ,x )时，f(x)0，则 f (x)在x 处取得极大值；
0 0 0 0 0
若x(x ,x )时，f(x)0，且x(x ,x )时，f(x)0，则 f (x)在x 处取得极小值；
0 0 0 0 0
若xU 0 (x ,)时， f(x)的符号保持不变，则 f (x)在x 处没有极值．
0
0
④取得极值的第二充分条件
设函数 f (x)在x 处具有二阶导数且 f(x)0， f(x)0，那么
0
若 f(x)0，则 f (x)在x 处取得极大值；
0
若 f(x)0，则 f (x)在x 处取得极小值．
0
例4．下列各命题中哪一个是正确的（ ）．
A． f(x)在  a,b  内的极值点，必定是 f(x)=0的根
B． f(x)=0的根必定是 f(x)的极值点
C． f(x)在  a,b  取得极值的点处，其导数 f(x)必不存在
D．使 f(x)=0的点是 f(x)可能取得极值的点
例5．点x0是函数y  x4的（ ）．
A．驻点但非极值点 B．拐点
C．驻点且是拐点 D．驻点且是极值点
（2）曲线的凹凸性与拐点
①定义：设 f (x)在区间I 上连续，如果对I 上任意两点x ,x (x  x )
1 2 1 2
x x f(x ) f(x )
如果恒有 f( 1 2) 1 2 那么称 f (x)在I 上是凹的（或凹弧）；
2 2
x x f(x ) f(x )
如果恒有 f( 1 2) 1 2 ，那么称 f (x)在I 上是凸的（或凸弧）；
2 2
②判别凹凸性的充分条件
设 f (x)在区间 a,b 上连续，在 a,b 内具有一阶和二阶导数，那么
a．若在 a,b 内 f(x)0，则 f (x)在 a,b 上是凹的；
b．若在 a,b 内 f(x)0，则 f (x)在 a,b 上是凸的；
③曲线的拐点
连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．即设y  f(x)在经过点(x , f(x ))时，曲线的
0 0
凹凸性发生了改变，那么称(x , f(x ))为此曲线的拐点．
0 0
注：（1）设函数 f (x)在x 处连续，且x 为拐点，那么 f(x)0或 f(x )不存在．
0 0 0
（2）曲线拐点的求法：
若 f(x)在x 的左、右两侧邻近改变增减性，则(x , f(x ))为此曲线的拐点．
0 0 0
若 f(x)在x 的左、右两侧邻近的符号相反，则(x , f(x ))为此曲线的拐点．
0 0 0
若y  f(x)满足 f(x )0, f(x )0，则(x , f(x ))为此曲线的拐点．
0 0 0 0
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（二）微分
1．微分定义
设函数y  f(x)，a xb，固定一点x a,b ，
0
若：y  f(x  x) f(x )  A  x  (x)......()成立（其中A与x无关）则称函
0 0
数y  f(x)在点x 可微，称A  x为函数在点x 的微分，记为dy  A  x．
0 0
规定：自变量的微分，就是它的增量．
即：dx  x，则dy  Adx．
2．中值定理
（1）罗尔中值定理：若函数 f(x)在

a,b

上连续，在  a,b  上可导，且 f(a) f(b)，则存在
(a,b)，使 f()  0．
（2）Lagrange中值定理：若函数 f(x)在

a,b

上连续，在  a,b  上可导，则存在(a,b)，使
f b f a
f '
ba
（3）柯西中值定理：若函数 f(x)、g(x)在

a,b

上连续，在  a,b  上可导，且g(x)0，则存
f' f b f a
在(a,b)，使 
g' gbga
例6．叙述并证明罗尔微分中值定理．
例7．叙述并证明柯西微分中值定理．
3．洛必达法则
当xa（或x）时，f(x)、g(x)都趋于0或无穷大，在a的某个去心邻域（或当x N ），
f(x) f(x) f(x)
f(x),g(x)都存在，且g(x)0，且 lim 存在，则 lim  lim ．
xa g(x) xa g(x) xa g(x)
(x) (x) (x)
4．泰勒定理
若函数f（x）在a存在n阶导数，则xU(a)，有 f(x) T (x)o[(xa)n]，（*）
n
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f(x) f(x) f (n)(x)
其中T (x) f(a) (xa) (xa)2  (xa)n；
n 1! 2! n!
R (x)  o[(xa)n](x  a)，即R (x)是比(xa)n的高阶无穷小，称为佩亚诺余项．
n n
（*）式称为函数f（x）在a的泰勒公式．
特别：当a=0时，（*）式是
f(0) f(n)(0)
f(x)  f(0) x xn o(xn)，称为麦克劳林公式．
1! n!
5．泰勒中值定理

若f（x）在U（a）存在（n+1）阶导数，xU(a)，函数G（t）在以a与x为端点的闭区间I连
续，在其开区间可导，且G(t)  0，则a与x之间至少存在一点c，使得 f(x) 
f (x) f (x) f (n)(x) f (n1)(c)
f(a) (xa) (xa)2  (xa)n  (xc)n[G(x)G(a)]其中
1! 2! n! nG(c)
f (n1)(c)
R (x)  (xc)n[G(x)G(a)]．
n nG(c)
f(n1)(c)
（1）取G（t）=(xt)n1，则R (x)  (xc)n1，c在a与x之间，称为拉格朗日余项．
n (n1)!
f(n1)(c)
（2）取G（t）=x-t，则R (x) (xc)n(xa)，c在a与x之间，称为柯西余项．
n n!
带有柯西余项的麦克劳林公式是
f(0) f (n)(0) f(n1)(x)
f(x)  f(0) x xn  (1)nxn1,01
1! n! n!
6．几个常用的展开式
（1）f（x）=ex
已知 f(n)(x)ex， f(n)(0) 1，取拉格朗日余项，有
x x2 xn xn1
ex 1    ex，01．
1! 2! n! (n1)!
（2）f（x）=sinx
 π nπ 0, n  2k;
已知 f (n)(x) sin  xn ， f (n)(0) sin  
 2 2 (1)k,n  2k 1
x3 x2k1
所以sinx  x (1)k1 R (x)
3! (2k 1)! 2k
（3）f（x）=cosx
 π nπ (1)k,n  2k
已知 f (n)(x)  cos  xn ， f (n)(0) cos  
 2 2 0, n  2k 1
x2 x4 x2k
有cosx 1  (1)k R (x)，
2! 4! (2k)! 2k1
（4）f（x）=ln（1+x）
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(n1)!
已知 f (n)(x) (1)n1 ， f(n)(0)(1)n1(n1)!，有
(1 x)n
x2 x3 xn
ln(1x)  x  (1)n1 R (x)，
2 3 n n
（5）f（x）=（1+x），其中α∈R
已知 f (n)(x) α（α-1）…（α-n+1）（1+x）n
f(n1)（x）=α（α-1）…（α-n）（1+x）n1，
f(n)（0）=α（α-1）…（α-n+1）
 (1) (1)(n1)
有（1+x）=1+ x x2  xn  R (x)．
1! 2! n! n
特别是，α=n∈N，f(n1)（x）≡0，于是k≥n，有R (x)≡0．展开式就是我们熟知的二项式公式：
k
n n(n1) n(n1)21
(1x)n 1 x x2  xn．
1! 2! n!
（三）利用泰勒展式求函数极限
0 
对于 ， 型的极限问题，一般可以采用洛必达法则，但是求导过程较为繁琐，可能还需多次使用
0 
洛必达法则，此时泰勒展式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具．利用泰勒展开式求极限，其本
质还是进行等价无穷小代换．我们常说常见的等价无穷小是麦克劳林公式的低阶部分，而泰勒展式则为
等价无穷小代换的高精度形式．其本质是利用多项式来逼近函数，展开到需要的“精确度”．
x2

例8．求 cosxe 2 ．
lim
x0 x4
二、能力训练
1．【2016上半年，初级4，高级4】若函数 f (x)在[0,1]上黎曼可积，则 f (x)在[0,1]上（ ）．
A．连续 B．单调 C．可导 D．有界
2．【2018下半年初级】函数 f(x)在[a,b]上黎曼可积的必要条件是 f(x)在[a,b]上（ ）．
A．可微 B．连续
C．不连续点个数有限 D．有界
3．已知二次函数 f(x)ax2 bxc 的导数为 f(x)，f(0)0，对于任意实数x都有 f(x)0，
f(1)
则 的最小值为（ ）．
f(0)
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
4．设在  0，1  上 f n(x)0，则下面正确的是（ ）．
A． f(1) f(1) f(0) f(0) B． f(1) f(0) f(1) f(0)
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C． f(1) f(0) f(1) f(0) D． f(1) f(0) f(1) f(0)
5．设 f(x1)af(x)总成立， f(0)b，a,b为非零常数，则 f(x)在点x=1处（ ）．
A．不可导 B．可导且 f(1)a
C．可导且 f(1)b D．可导且 f(1)ab
6．设在  0，1  上 f n(x)0，则下面正确的是（ ）．
A． f(1) f(1) f(0) f(0) B． f(1) f(0) f(1) f(0)
C． f(1) f(0) f(1) f(0) D． f(1) f(0) f(1) f(0)
7．【2016上半年，高级9，初级9】设质点在平面上的运动轨迹为(cid:3421) xtsint, t 0，求质点在时
y 1cost,
刻t=1的速度的大小．
exsinxx(1x)
8．求lim ．
x0 x3
9．证明： sinxsin y  x y ．
10．【2015下半年，高级14，初级14】叙述并证明拉格朗日微分中值定理．
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11．若函数 f (x)在 0,1 上连续，在(0,1)可导．
（1）若 f(1) f(0)3，证明：存在(0,1)，使得 f'()3．
（2）若 f(1)0，求证方程xf'(x) f(x)0在(0,1)内至少有一个实根．
12．设函数 f (x)在R上连续且可导．
（1）当 f(x) x2，且g(x)exf(x)时，求证 f (x)与g(x)有共同驻点．
（2）当 时，求证方程 f '(x) f(x)0在(a,b)内至少有一个实根．
13．【2018下半年初级】求过点a,0的直线方程，使该直线与抛物线y  x2 1相切．
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第三章 积分
第一节 不定积分
一、知识梳理
（一）不定积分相关概念
1．原函数与不定积分的定义
若𝐹(cid:4593)(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在区间I上成立，则称𝐹(cid:4666)𝑥(cid:4667)为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在区间I中的一个原函数，𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在区间I上的全体
函数称为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在区间I上的不定积分，记为 f(x)dx．其中 为积分号，𝑥为积分变量，𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)为被积函
数， f(x)dx为被积表达式．
2．原函数与不定积分的关系
若𝐹(cid:4666)𝑥(cid:4667)为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在区间 I 中的一个原函数，则 f(x)dx  F(x)C，其中 C 为任意常数，称为积分
常数．
3．不定积分的性质
（1）f (x) g(x)dx _____________．
（2）kf(x)dx ______________．
 
4．不定积分和导数之间的关系：  f(x)dx  f(x)
（二）不定积分的计算
1．直接使用积分公式计算
x1
xdx C sinxdxcosxC
1
1
cosxdxsinxC  dx arctanxC
1+x2
1
 dxarcsinxC exdxex C
1x2
2．凑微分法（第一类换元法）基础：常见的凑微分形式
1
dx  d  xC  dx  dkxC
k
1   1  
xdx  d x2 C x2dx  d x3 C
2 3
1 1  1  
dx  d C dx  2d x C
x2 x  x
1 dx  dlnxC exdx  d  ex C 
x
   
sinxdx  d cosxC cosxdx  d sinxC
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1 1
dx  dtan xC dx  darctan xC
cos2 x 1 x2
1
例1．求不定积分 dx ．
(2x1)2
3．第二类换元法
（1）三角换元 1x2dx
dx
q q
（2）
x  3 x
，设xt6 f(x)中含有
xp
1
1,xp
2
2,
，设xtm，m为 p
1
,p
2
,的最小公倍数．
dx 1
（3）倒代换 ，设x
x4(x2 1) t
x5
（4）分子或分线整体中有根号，如 dx可设t  x2 1
1x2
dx
例2．求不定积分 ．
1 3 x1
4．分部积分法：udv uvvdu（uvdx uvuvdx）
使用原则：
（1）由v易求出v；
（2）vdu（uvdx）比udv（uvdx）好求
一般经验：按“反，对，幂，指，三”的顺序，排前者取为u，排后者取为v
例3．求不定积分lnxdx．
二、能力训练
1．若 f(x)的导函数是cosx，则 f(x)的一个原函数为（ ）．
A．1+sinx B．1sinx C．1+cosx D．1cosx
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1
2． dx=（ ）．
1cos2x
1
A．tanxC B． tanxC.
2
1
C． cotxC D．cotxC
2
3．设f（x）的一个原函数为F（x），则  f(2x) dx （ ）．
x
A．F（2x）+ C B．F（ ）+ C
2
1 x
C． F(2x)C D．2F（ ）+ C
2 2
4．设Fx 是 f x 在 , 上的一个原函数，且Fx 为奇函数，则 f x 是（ ）．
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定
e3x 1
5． dx=________．
ex 1
512xx2
6． dx=________．
1x
1
7．求不定积分 dx．
a2 x2
8．若 f(x2)dx x5 C，求 f (x)．
9．求不定积分xexdx
10．求不定积分xsinxdx
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第二节 定积分
一、知识梳理
（一）定积分的概念和基本性质
1．定积分的概念
设函数 f (x)在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间x ,x ，x ,x ，x ,x ，......
0 1 1 2 2 3 ，
x ,x ，其中x  a，x  b．可知各区间的长度依次是：x  x  x ，x  x  x ，
n1 n 0 n 1 1 0 2 2 1
...... x  x  x ．在每个子区间x ,x 中任取一点(1,2,...,n)，作和式
， n n n1 i1 i i
n
 f()x
i i
i1
设=max  x ,x ,...,x  （即是最大的区间长度），则当  0时，该和式无限接近于某
1 2 n
个常数，这个常数叫做函数 f (x)在区间 a,b 的定积分，记为
b
 f(x)dx
a
其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间 a,b 叫做积分区间，函数 f (x)叫做被积函数，x叫
做积分变量， f(x)dx叫做被积表达式， 叫做积分号．
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数．
注：根据上述定义，若函数 f (x)在区间 a,b 上可积分，则有n等分的特殊分法：
．
n  i ba b
lim  f a (ba)  f(x)dx
 
n  n  n a
i1
特别注意，根据上述表达式有，当
a,b
区间恰好为
0,1
区间时，则
0,1
区间积分表达式为：
．
1 1 n  i 
 f(x)dx lim  f
 
0 nn n
i1
2．定积分的几何意义
定 积 分 就 是 求 函 数 f (x) 在 区 间 a,b 中 图 线 下 包 围 的 面 积 ， 如 图 所 示 ． 即 由
y  0,x  a,x  b,y  f(x)所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形．
3．定理（牛顿-莱布尼茨公式）：若函数 f (x)在区间a,b连续，且F(x)是 f (x)的原函数，则
b
 f(x)dx F(b)F(a)．
a

例1．2 (1  cos x)dx等于（ ）．


2
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A． B．2 C．－2 D．+2
4．定积分的性质
a
（1） f(x)dx0
a
b
（2） dxba
a
b a
（3） f(x)dx f(x)dx
a b
b b
（4） kf(x)dxk f(x)dx
a a
b c b
（5） f(x)dx  f(x)dx f(x)dx
a a c
（6）
bf(x)g(x)dx b
f(x)dx
b
g(x)dx
a a a
（7）在区间 a,b 恒有 f(x)0，则 b f(x)dx0
a
b b
（8） f(x) g(x), f(x)dx g(x)dx
a a
b b
（9）  f(x)dx  f(x)dx
a a
b
（10）m f(x)M,x[a,b]，则m(ba) f(x)dxM(ba)
a
（11）定积分中值定理： f(x)在[a,b]连续，至少存在一个[a,b]，
使
（12） f(x)为奇函数，则 a f(x)dx0； f(x)为偶函数，则 a f(x)dx2 a f(x)dx
a a 0
5．定积分存在定理
定理1 当函数 f (x)在区间 a,b 上连续时，称 f (x)在区间 a,b 上可积；
定理2 设函数 f (x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则 f (x)在区间 a,b 上可积．
例2．函数 f (x)在 a,b 上可积的必要条件是（ ）．
A．连续 B．有界 C．无间断点 D．有原函数
（二）定积分的应用
1．曲线的弧长
（1）参数方程形式
光滑曲线MN 满足参数方程x(t),y (t),t，

则曲线MN 的长为s   2(t)2(t)dt．

（2）直角坐标形式
光滑曲线MN 的方程y  f(x),a  x b，则曲线MN 的长为s b 1 f2(x)dx．
a
2．旋转体体积
将区间 a,b 的连续曲线y  f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体体积V  bf(x)2 dx
a
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将区间 c,d 的连续曲线x  g(y)绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积V  dg(y)2 dy
c
3．旋转体侧面积
b
S 2 f(x) 1 f2(x)dx
a
4．变限积分
b(x)
F(x)  f(t)dt
a(x)
F(x) f(b(x))b(x) f(a(x))a(x)
二、能力训练
1
1． exdx（ ）．
0
1 1
A．e1 B． (1 ) C．lge D．ln10
2 e2
2．如图所示，正弦曲线 y=sinx，余弦曲线 y=cosx 与两直线 x=0，x=π 所围成的阴影部分的面积为
（ ）．
A．1 B． C．2 D．2
a  x 2
3．【2018下半年初级】定积分 b 1 dx（a0 ，b0 ） 的值是（ ）．
 
a a
ab ab ab
A．ab B． C． D．
2 3 4

4．在[0, ]上的曲线y sinx绕x轴旋转一周所得图形的容积为（ ）．
2
2 2 2
A． B． C． D．2
4 3 2
5．设 f  x  是连续函数，且 fx  x2 1 ftdt，求 f  x  （ ）．
0
A．3x1 B．x1 C．x3 D．x3
6．由曲线 yx3 2x2 x2与 x轴所围成平面图形的面积（ ）．
37 35 15 11
A． B． C． D．
12 12 4 4
1 
7．函数 f(x)  ax3  3x2，如果 ax3  3x2 dx  2，则函数 f(x)的拐点坐标是（ ）．
0
 1 1
A．  a,3  B．  4,8  C．  1,1  D．  , 
 4 8
b
8．设 f(x)dx  0，且 f(x)在a,b连续，则在a,b上（ ）．
   
a
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A． f(x)=0 B．必存在 x使 f(x)=0
C．存在唯一的 x使 f(x)=0 D．不一定存在 x使 f(x)=0
x31
9．已知函数 f(x)连续，且 f(t)dt  x，则 f(7)=（ ）．
0
1 1 1
A．1 B． C． D．
3 6 12
3
10．定积分 166xx2dx的值是（ ）．
2
25 25 25 9
A．  B．  C．  D． 
4 2 6 4
11．【2017上半年，初级4】若 f(x)在 a,b 上连续且 b f(x)dx 0，则下列表述正确的是（ ）．
a
A．对任意xa,b ，都有 f(x)0
B．至少存在一个xa,b ，使 f(x)0
C．对任意xa,b ，都有 f(x)0
D．不一定存在xa,b ，使 f(x)0
12．【2017上半年，高级4】若 f(x)是连续函数，则下列命题不正确的是（ ）．
x
A． f(x)存在唯一的原函数 f (t)dt
a
B． f(x)有无穷多个原函数
x
C． f(x)的原函数可以表示为 f(t)dtr（r为任意函数）
a
x
D． f (t)dt是 f(x)的一个原函数
a
13．【2017上半年，初级14】已知 f x 是在 a,b 上的连续函数，设Fx x f tdt,xa,b，
a
证明：（1）F（x）在 a,b 上连续；（5分）（2）F（x）在 a,b 上可导，且F'x f x
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第四章 线性代数
第一节 行列式
一、知识梳理
（一）行列式的概念和基本性质
1．基本概念
定义1 排列：由1，2,，n排成的一个有序数组，称为一个n阶排列．例如：2，3，1即为一个三
阶排列．
定义2 逆序与逆序数：在一个n阶排列中，如果一个大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆
序．一个排列中的逆序总数称为这个排列的逆序数．排列 j j  j 的逆序数记为j j  j  ．逆
1 2 n 1 2 n
序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．例如：排列2，3，1中3，1即为一个
逆序，此外还有2，1．因此，该排列的逆序数为2，是一个偶排列．
注：对换改变排列的奇偶性．
定义3 行列式：n阶行列式
a a  a
11 12 1n
a a  a
21 22 2n
  
a a  a
n1 n2 nn
定义为所有取自于不同行不同列的n个元素的乘积
a a a （1.1）
1j 2j nj
1 2 n
的代数和，每个项前面带有正负号，（1.1）所带正负号由(1)j 1 j 2  j n  确定，即
a a  a
11 12 1n
a a  a
21 22 2n  (1)(j 1 j 2  j n )a a a ，（1.2）
   1j 1 2j 2 nj n
j j  j
1 2 n
a a  a
n1 n2 nn

其中 表示对所有n阶排列求和．
j j  j
1 2 n
（1.2）称为n阶行列式的完全展开式，（1.1）称为完全展开式的一般项．
2 3 4
例1．行列式 4 3 2 的值是（ ）．
3 4 2
A．-2 B．18 C．-18 D．2
定义4 设有n阶行列式
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a a  a
11 12 1n
a a  a
D  21 22 2n ，
  
a a  a
n1 n2 nn
称n阶行列式
a a  a
11 21 n1
a a  a
12 22 n2
  
a a  a
1n 2n nn
为D的转置行列式，记为DT或者D'．
2．行列式的基本性质
性质1 行列式的值等于其转置行列式的值，即D DT ．
性质2 将行列式中任意两行（列）位置互换，行列式的值反号．
性质3 若行列式中两行（列）对应元素相同，行列式值为零．
性质4 若行列式中某一行（列）有公因子k ，则公因子k 可提取到行列式符号外，即
a a  a a a  a
11 12 1n 11 12 1n
     
ka ka  ka  k a a  a ．
s1 s2 sn s1 s2 sn
     
a a  a a a  a
n1 n2 nn n1 n2 nn
a a a 2a 2a 2a
11 12 13 11 12 13
例2．如果D a a a ,D  2a 2a 2a ，则D 的值为（ ）．
21 22 23 1 21 22 23 1
a a a 2a 2a 2a
31 32 33 31 32 33
A．2D B．2D C．8D D．8D
性质5 行列式中若一行（列）均为零元素，则此行列式值为零
性质6 行列式中若两行（列）元素对应成比例，则行列式值为零
性质7 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变．
（二）行列式按行（列）展开定理
a a  a
11 12 1n
a a  a
1．定义 余子式与代数余子式：把行列式D  21 22 2n 中元素a 所在的i行元素和 j
    ij
a a  a
n1 n2 nn
列元素去掉，剩下的n1行和n1列元素按照元素原来的排列次序构成的n1阶行列式，称为元素a
ij
的余子式，记为M ，称A  (1)ijM 为元素a 的代数余子式．
ij ij ij ij
2．定理 n(n2) 阶行列式D  a 等于它的任意一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之
ij
和，即
n
D  a A a A a A  a A , i 1,2,n，
i1 i1 i2 i2 in in ik ik
k1
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n
D  a A a A a A  a A , j 1,2,n．
1j 1j 2j 2j nj nj kj kj
j1
2 2 2
例3．已知a、b、c是ABC 的三边长，且满足 a b c 0，则ABC 一定是（ ）．
b c a
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
0 1 0 0
1 2 0 0
例4．已知A ，则A的值是（ ）．
2 3 1 2
3 4 3 4
A．2 B．3 C．4 D．5
n
3．推论 阶行列式D  a 中任意一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积
ij
之和为零，即
n
D  a A a A a A  a A  0, i  s,i,s 1,2,n，
i1 s1 i2 s2 in sn ik sk
k1
n
D  a A a A a A  a A 0, j  t, j,t 1,2,n．
1j 1t 2j 2t nt nt kj kt
k1
（三）行列式的计算
1．定义法
特点：适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．
注：用定义法计算二阶行列式和三阶行列式时，可以采用对角线法则来进行计算，3 阶以上的行列
式不能适合采用对角线法则．
a a
11 12 a a a a ，
a a 11 22 12 21
21 22
a a a
11 12 13
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ．
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 31 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a a a
31 32 33
0 0 0 1
0 0 2 0
例5．计算行列式 ．
0 3 0 0
4 0 0 0
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2．化三角形法
（1）内容
①上（下）三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积，即
a a  a a a
11 12 1n 11 11
a  a a a a
D 22 2n  21 22  22 a a a
      11 22 nn
a a a  a a
nn n1 n2 nn nn
②以副对角线为标准的行列式
a a  a a
11 12 1n 1n
a  a a a
21 2,n1  2,n1 2n
    
a a a  a
n1 n1 n2 nn
a
1n
a n(n1)
= 2,n1 (1) 2 a a a
 1n 2,n1 n1
a
n1
（2）特点：化三角形法是利用行列式的性质，将原行列式化为上（下）三角形行列式的计算方法．
适用于阶数较低的数字行列式和一些较特殊的字母行列式．
3 1 1 1
1 3 1 1
例6．计算行列式D ．
1 1 3 1
1 1 1 3
3．降阶法
（1）按行（列）展开
①内容
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
，
Da A a A a A (i1,2,,n)
i1 i1 i2 i2 in in
或
．
D a A a A a A (j 1,2,,n)
1j 1j 2j 2j nj nj
②特点：按行（列）展开可以将一个n阶行列式化为n个n1阶行列式计算，继续使用行（列）展
开，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，所以首先利用性质，将某行（列）的元素
尽可能化为0，再按照行（列）展开．
适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式容易计算．
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a 1 0 0
1 b 1 0
例7．计算行列式 ．
0 1 c 1
0 0 1 d
（2）拉普拉斯定理
①内容
在行列式 D 中任取k(1k n1)行（列），由这k行（列）元所组成的一切k阶子式分别与它们
的代数余子式的乘积之和，等于行列式D．
基本结论：
A O A * O A * A
mm  mm  A B ， mm  mm (1)mn A B
* B O B mm nn B * B O mm nn
nn nn nn nn
A
1
  A  A ,(A为方阵)
1 t i
A
t
②特点
对行列式进行计算，有时可以把行列式进行分块处理，然后把分成的行列式进行乘法计算，从而求
得行列式的值，也叫分块法．
a b
a
例8．计算行列式D  ．
n 
b a
二、能力训练
1．【2016下半年，初级2】下列命题正确的是（ ）．
A．若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同
B．若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例
C．若三阶行列式D中有6个元素为0，则D=0
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D．若三阶行列式D中有7个元素为0，则D=0
2．【2016下半年，高级2】下列命题正确的是（ ）．
A．若n 阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同
B．若n 阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例
C．若n 阶行列式D中有n2-n个元素为零，则D=0
D．若n 阶行列式D中有n2-n+1个元素为零，则D=0
2 1 4 1
3 1 2 1
3．行列式 的值（ ）．
1 2 3 2
5 0 6 2
A．0 B．1 C．2 D．3
4．n阶行列式D 为零的充分条件是（ ）．
n
A．零元素的个数大于n B．D 中各行元素之和为零
n
C．主对角线上元素全为零 D．副对角线上元素全为零
1 x 2 3
4 5 6 x
5．若D ，则包含x4 的项的符号是（ ）．
7 8 x 9
x 1 3 4
A．正 B．负 C．0 D．不能确定
6．n阶行列式D 为零的充分条件是（ ）．
n
A．零元素的个数大于n B．D 中各行元素之和为零
n
C．主对角线上元素全为零 D．副对角线上元素全为零
1 a a  a
1 2 n
1 a b a  a
7．计算行列式D  1 1 2 n ．
n1     
1 a a  a b
1 2 n n
1 0 2
8．若 x 3 1 中代数余子式A 1，求解A 的值．
12 21
4 x 5
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0 a b
9．设行列式D a 0 c ，则D的值为多少？
b c 0
1 3 5
10．若 a b c  a A b B c C ，则C 化简后的最后结果是多少？
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 6
a b c d
a ab abc abcd
11．计算行列式D ．
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
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第二节 矩阵
一、知识梳理
（一）矩阵的相关概念
定义 1 矩阵：由数域F 中mn个数a (i  1,2,...,m; j  1,2,...,n)排成的m行n列的矩形
ij
数表
a a  a 
 11 12 1n 
a a  a 
21 22 2n
 
   
 
 
a a  a
 
m1 m2 mn
称为数域F 上的一个m  n矩阵，可以写作A(a ) .在不需要表示出矩阵的元素时，也可以写
ij mn
作A ．
mn
定义2 n阶方阵：对A  (a ) ，当mn时，则称A为n阶矩阵，或叫n阶方阵．
ij mn
定义3 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是0，则矩阵称为零矩阵，记为O．
定义4 数量矩阵：主对角线元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵．例如nn矩阵
a 0  0
 
0 a  0
 
  
 
0 0  a
为n阶数量矩阵．
定义5 单位矩阵：主对角线上元素全为1的数量矩阵称为单位矩阵．例如nn矩阵
1 0  0
 
0 1  0
 
  
 
0 0  1
为n阶单位矩阵，记为E ．在不会引起混淆的情况下，常简记为E．
n
定义 6 三角矩阵：主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵．例如nn矩
阵
a a  a 
11 12 1n
 
0 a  a
 22 2n
    
 
0 0  a
 
nn
为n阶上三角矩阵．又例如nn矩阵
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a 0  0 
11
 
a a  0
 21 22 
    
 
a a  a
 
n1 n2 nn
为n阶下三角矩阵．
定义7 对角矩阵：主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵．例如nn矩阵
a 0  0 
11
 
0 a  0
 22 
    
 
0 0  a
 
nn
为n阶对角矩阵，通常简记为Adiag(a ,a ,,a )
11 22 nn
定义8 对称矩阵：对A  (a ) ，当a  a (i, j 1,2,,n)时，称A为对称矩阵．
ij mn ij ji
定义9 反对称矩阵：对A  (a ) ，当a a (i, j 1,2n)时，称A为反对称矩阵．对于对
ij mn ij ji
角线元素，a  a (i  1,2,...,n)，所以a  0(i  1,2,...,n)，即反对称矩阵的对角线元素
ii ii ii
为零．
定义10 相等矩阵：设A(a ) 与B(b ) 是两个同型矩阵．如果对应的元素都相等，即
ij sn ij sn
a b (i 1,2,...,s; j 1,2,...,n)，
ij ij
则称矩阵A与矩阵B相等，记为A B．
a a  a 
 11 12 1n 
a a  a 
定义11 设A
ij
是矩阵A
 
21

22
 
2n

中元素a
ij
的代数余子式，矩阵
 
 
a a  a
 
m1 m2 mn
A A ... A 
11 21 n1
 
A A ... A
A   12 22 n2
 ... ... ... ... 
 
A A ... A
 
1n 2n nn
成为A的伴随矩阵．
伴随矩阵的性质：
（1）A可逆当且仅当A*可逆；
（2）如果A可逆，则A*= A A1 ;
（3）对于A*的秩有：
rank(A)n,rank(A*)n；rank(A)n1,rank(A*)1；rank(A)n1,rank(A*)0；
（4） A* = A n1 ；
（5）(kA)*=kn1A*；
（6）若A可逆，则(A1)*=(A*)1；
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（7）(AT)*=(A*)T
（8）(AB)*=B*A*
定义12 所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列的三种变换：
（1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；
（2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；
（3）互换矩阵中两行的位置．
注：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵．
对于矩阵我们同样地可以定义初等列变换，即
（1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列；
（2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中任意一个数；
（3）互换矩阵中两列的位置．
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换．
定义13 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵成为初等矩阵．
定义14 对一个sn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A
作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn的初等矩阵．
例 1．设P 为三阶方阵，将P 的第二行与第三行交换得到T ，再把T 的第三行加到第一行得到R ，
则满足QP  R 的矩阵Q是（ ）．
1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1 1
       
A． 0 0 1 B． 1 0 1 C． 1 0 0 D． 1 0 0
       
  0 1 0    0 1 0    0 1 1    0 0 1  
定义15 矩阵A，B称为等价的，如果B可以由A经过一系列初等变换得到．
1 2 0
 
例2．与矩阵A  2 4 0 等价的矩阵是（ ）．
 
 
0 0 4
 
1 0 0 1 0 0
   
A． 0 0 0 B． 0 2 0
   
   
0 0 0 0 0 0
   
1 0 0 1 0 0
   
C． 0 2 0 D． 0 2 0
   
   
0 0 3 0 0 4
   
定义 16 两个sn矩阵A，B等价的充分必要条件为存在可逆的s级矩阵P 与可逆的n级可逆矩
阵Q使得A PBQ．
定义17 数域P上的nn矩阵A称为非奇异的，如果 A 0；否则称为奇异的．显然一nn矩阵
是非奇异的充分必要条件是它的秩等于n．
（二）矩阵的线性运算
1．矩阵的加法
（1）定义：设A(a ) 与B(b ) 是两个同型矩阵，称sn矩阵C (a b ) 为矩阵
ij sn ij sn ij ij sn
A 与矩阵B的和，记为A+B．
（2）运算规律：设A，B，C，0都是sn矩阵，则矩阵的加法满足下面的运算规律：
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①AB  B A；
②(AB)C  A(BC)；
③A00A A；
④A(A)0．
2．矩阵的数乘
（1）定义：设A(a ) 是数域F 上的矩阵，k 是数域F 上的一个数，称sn矩阵(ka ) 为
ij sn ij sn
数k 与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记为kA．
（2）运算规律：设A(a ) ，B(b ) 为数域F 上的矩阵，k 和l 皆为数域F 上的任意数．由
ij sn ij sn
定义可知，矩阵的加法与数乘满足下列运算规律：
①(kl)AkAlA；
②k(AB)kAkB；
③k(lA)(kl)Ak(lA)；
④1A A．
（三）矩阵的乘法
1．定义：设 A(a ) ,B (b ) 都是数域 F 上的矩阵．记sn矩阵C (c ) ，（其中
ik sm kj mn ij sn
m
c a b a b a b a b ），称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C = AB．
ij i1 1j i2 2j im mj ik kj
k1
矩阵的乘法可图示如下：
 b 
... ... ... ... 1j    
b
 a a ... a   2j     ... c ... 
 i1 i2 is    ij 
... ... ... ...    
   
 b 
 sj 
ms sn mn
1 4 7 1 1 1 
   
例3．已知矩阵A 2 5 8 ，B 0 1 0 ，则AB____________．
   
   
3 5 9 1 1 1
   
2．运算规律：若A、B、C满足可乘条件，则
（1）结合律：(AB)C  A(BC)；
（2）分配律：(AB)C  ACBC ，C(AB)CACB；
（3）k(AB)=(kA)B= A(kB)；
（4）kA=(kE)A= A(kE)．
（四）矩阵的转置
1．定义：称ns矩阵
a a  a 
11 21 s1
 
a a  a
 12 22 s2
    
 
a a  a
 
1n 2n sn
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为sn矩阵A=(a ) 的转置矩阵，简称为矩阵A的转置，记为AT 或A'
ij sn
2．运算规律：设A，B，C是矩阵，k为常数，则矩阵的转置满足下面的一些性质（假设运算都
有意义）：
（1）(AT)T  A；
（2）(AB)T AT BT；
（3）(kA)T kAT；
（4）(AB)T BTAT．
（五）逆矩阵的概念和性质
1．定义：设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使得AB= BA= E ，则称矩阵A是可逆矩阵或非
奇异矩阵，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记做 A1  B ．
2．性质
（1）若矩阵 A可逆，则逆矩阵B是唯一的，记为 A1．当矩阵 A可逆时，逆矩阵 A-1也可逆且
(A1)1  A；
（2）若矩阵A可逆，则矩阵AT 也可逆且(AT)1 (A1)T ；
（3）若A，B都是n阶可逆矩阵，则AB也可逆且(AB)1 B1A1；
1
（4）若矩阵A可逆，k 为任意非零的数，则kA可逆且(kA)1  A1．
k
1
（5）若 A =d 0，则有
A-1 =d-1=
．
A
1
（6）矩阵A可逆的充分必要条件是 A =d 0，而A-1= A(d  A 0)．
d
注：若A可逆，则A的逆矩阵唯一．
3．求逆矩阵的方法
1
方法一：用公式，若 A =d 0，而A-1= A(d  A 0)．
d
方法二：初等变换法
AE初等行变换  EA-1
．
方法三：用定义求B，使得AB  E 或BA  E ，则A可逆，且A-1=B．
1 2
例4．矩阵A  的逆矩阵为（ ）．
3 2
 1 1  1 1
 
   
2 2 2 2
A．  B． 
3 1 3 1
     
 4 4 4 4
 1 1  1 1
  
   
2 2 2 2
C．  D． 
3 1 3 1
    
 4 4   4 4
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5 0 0
 
例5．矩阵M  0 2 0 的逆矩阵为（ ）．
 
 
0 0 3
 
1 0 0  1 0 0
5 5
   
A． 0 2 0 B． 0 1 0
   2 
   
0 0 3 0 0 1
   
3
5 0 0 5 0 0
   
C． 0 2 0 D． 0 2 0
   
   
0 0 3 0 0 3
   
二、能力训练
 0 1 2
 
1．【2017下半年，高级1】矩阵的 3 0 1 的秩为（ ）．
 
 
1 2 0
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设A是n阶矩阵， A 0，2 A  kA ，K  0，那么K的值是（ ）．
A ． 2 B． 3 C．n 3 D．n 2
3．设A,B均为n阶方阵，则必有（ ）．
A．A或B可逆，必有AB可逆 B．A或B不可逆，必有AB不可逆
C．A与B可逆，必有AB可逆 D．A与B不可逆，必有AB不可逆
3 0 0
 
4．若矩阵A 0 2 0 ，则A1等于（ ）．
 
 
0 0 1
 
1   
0 0
 3  1 0 0
   
 1   1 
A． 0 0 B． 0 0
 2   2 
   
0 0 1 1
  0 0 
 
   3
1 
1   0 0 
0 0 2
 
3  
   1 
C． 0 1 0 D． 0 0
 3 
 
1  
0 0  0 0 1
 
 2  
 
5．下面关于初等变换和初等矩阵的关系正确的是（ ）．
A．矩阵的行初等变换相当于左乘对应的初等矩阵
B．矩阵的列初等变换相当于左乘对应的初等矩阵
C．矩阵的行初等变换和相当于右乘对应的初等矩阵
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D．矩阵的初等变换和初等矩阵没有对应关系
6．已知A2  A7E 0 ，则(A2E)1 __________．
0 1 1 1
 
1 1 0 1
 
7．已知A ，则R（A）=________．
1 1 1 2
 
1 3 2 4
0 1 1
 
8．已知A 1 0 1 ，则A*  __________．
 
 
1 1 0
 
0 1 1
 
9．已知A 1 0 1 ，则| AA*|__________．
 
 
1 1 0
 
10．设A是一个3阶方阵，且 A  3，则 2A 的值是多少？
1 0 
11．已知矩阵A  1  ，求矩阵A的逆矩阵．
0  
 2
a b
12．【2018上半年高级】在什么条件下，矩阵 存在逆矩阵，并求出其逆矩阵．
 
c d
a b
13．【2018上半年初级】若ad-bc≠0，求 的逆矩阵．
c d
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第三节 线性方程组
一、知识梳理
（一）n维向量及其运算
1．n维向量的概念
所谓数域P上的n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组(a ,a ,,a )，其中a 称为第i
1 2 n i
个分量．
2．向量的线性运算
（1）加法
(a ,a ,,a ),(b,b ,,b )，则(a b,a b ,,a b )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
（2）数乘
k(ka ,ka ,,ka )
1 2 n
3．向量线性运算的运算规律
（1）； （2）()()；
（3）0； （4）()0；
（5）k()kk； （6）(kl)kl；
（7）k(l)(kl)； （8）1．
（二）向量组的线性相关性
1．基本概念
（1）线性组合
向量称为向量组,,, 的一个线性组合，如果有数域 P 中的数 k ,k ,,k ，使
1 2 s 1 2 s
kk  k．
1 1 2 2 s s
（2）向量组的等价
如果向量组,,,中每一个向量都可以由向量组,,,线性表出，那么就称为向量组
1 2 t 1 2 s
,,,可以由向量组,,,线性表出．如果两个向量组可以互相线性表出，那么它们就称
1 2 t 1 2 s
为等价．
（3）线性相（无）关
向量组,,, 称为线性相关，如果有数域 P 中不全为零的数 k ,k ,,k ，使
1 2 s 1 2 s
kk k 0，否则称,,,是线性无关的．
1 1 2 2 s s 1 2 s
注：任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的．
2．向量组线性关系的判定
（1）向量组,,,(s2)线性相关的充要条件是其中至少有某一向量(1i s)可由其余
1 2 s i
向量线性表示．
（2）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关；也就是说如果一向量组线性无
关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关．
（3）设,,, 与,,, 两个向量组．如果
1 2 r 1 2 s
①向量组,,, 可以由,,, 线性表出，
1 2 r 1 2 s
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②r s，
则向量组,,, 线性相关．
1 2 r
（4）设 (a ,a ,,a )(i 1,2,s)（这里也可以写成列向量），,,, 线性相关的
i i1 i2 in i 1 2 s
a x a x a x 0
11 1 21 2 s1 s

a x a x a x 0
充要条件是齐次线性方程组 12 1 22 2 s2 s 有非零解．


a x a x a x 0

1n 1 2n 2 sn s
（三）向量组的极大线性无关组及矩阵的秩
1．极大线性无关组
若向量组,,, 的一部分向量 , ,, 满足：
1 2 s i1 i2 ir
（1） , ,, 线性无关；
i1 i2 ir
（2）,,, 中的任一向量均可由其线性表示；
1 2 s i
则称此部分向量组 , ,, 为原向量组的一个极大线性无关组．
i1 i2 ir
2．性质
（1）任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价．
（2）向量组的极大线性无关组不一定唯一，但任意两个极大线性无关组等价．
（3）秩为r的n维向量中的任意r个线性无关的向量都是向量组的一个极大线性无关组．
（4）等价的向量组必有相同的秩．（秩相同的向量组未必等价）；
（5）矩阵A的秩是r的充分必要条件为A中有一个r阶子式不为零，同时所有r+1阶子式全为零．
3．求解方法
（1）定义法
根据极大线性无关组的定义来求解向量组的极大线性无关组，关键强调两个方面：一是，该部分的
向量本身是线性无关的；二是，它是所有线性无关向量组中所含向量个数最多的线性无关组．
例1．求向量组 1,1,0,0 ， 1,2,1,1 ， 0,1,1,1 的极大线性无关组．
1 2 3
（2）初等变换法
矩阵A经过初等行变换得到B，不改变列向量组的线性相关性．如果B是一个行最简形矩阵，则容
易看出B的列向量组各向量之间的线性关系，从而也就得到A的列向量组各向量之间的线性关系．因此
求向量组的极大线性无关组归结为求梯形矩阵的极大线性无关组．具体操作方法：矩阵A初等行变换化
成阶梯型B，在每个台阶上任取一列，即可得到极大线性无关组．
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1 2 1  0 
       
例2．设向量组  2 ，  4 ，  0 ，  4 ，试求出向量组， ，，
1   2   3   4   1 2 3 4
       
2 4 3 2
       
的一个极大线性无关组．
4．向量组的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．
注：考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，因此一向量组线性无关的充要条件是
它的秩与它所含向量的个数相同．
5．矩阵的秩
矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为矩阵的秩．
1 2 3
 
例3．矩阵 2 3 1 的秩为（ ）．
 
 
3 1 2
 
A．0 B．1 C．2 D．3
（四）齐次线性方程组
a x a x a x 0
11 1 12 2 1n n

a x a x a x 0
 21 1 22 2 2n n （a）


a x a x a x 0

s1 1 s2 2 sn s
1．解的性质
（1）方程组（a）的两个解的和还是方程组（a）的解；
（2）方程组（a）的一个解的倍数还是方程组（a）的解．
2．解的情况
a x a x a x 0
11 1 12 2 1n n

a x a x a x 0
（1）如果齐次线性方程组 21 1 22 2 2n n 的系数矩阵的行秩r  n，那么它有非零


a x a x a x 0

s1 1 s2 2 sn s
解．
例4．设A是mn矩阵，齐次线性方程组AX  0仅有零解的充要条件是R(A)=（ ）．
A．小于m B．小于n C．等于m D．等于n
（2）n  n矩阵的行列式为零的充要条件是它的秩小于n．
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(1a)x x x 0
1 2 n

2x (2a)x 2x 0
例 5．设齐次线性方程组 1 2 n ，(n2)，试问 a 为何值时，该方程组有


nx nx (na)x 0

1 2 n
非零解（ ）．
A．a0 B．a1
n(n1) n(n1)
C．a D．a0或a
2 2
3．基础解系
（1）齐次线性方程组（a）的一组解,,,称为（a）的一个基础解系，如果
1 2 t
①方程组（a）的任何一个解都能表成,,,的线性组合；
1 2 t
②,,,线性无关．
1 2 t
例6．设A为n阶方阵，r(A)=n-3，且，，是Ax0的三个线性无关的解向量，则下面
1 2 3
哪个是Ax0的基础解系 （ ）．
A． ， , . B． , , .
1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3
1
C．2 ,  , . D．  , , 2.
2 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 2 1 3
（2）在齐次线性方程组（a）有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于
nr，这里r表示系数矩阵的秩（nr也就是自由未知量的个数）．
例7．设有两个4元齐次线性方程组
x  x 0 x x  x 0
1 2 1 2 3
（I） ；（II）
x
2
x
4
0

x
2
x
3
 x
4
0
（1）求线性方程（I）的基础解系；
（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则
说明理由．
（五）非齐次线性方程组
a x a x a x b
11 1 12 2 1n n 1

a x a x a x b
 21 1 22 2 2n n 2 （b）


a x a x a x b

s1 1 s2 2 sn s s
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1．线性方程组有解的判别定理
a a  a 
11 12 1n
 
a a  a
线性方程组（b）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 A  21 22 2n 与增广矩阵
   
 
a a  a
 
s1 s2 sn
a a  a b 
11 12 1n 1
 
a a  a b
A  21 22 2n 2 有相同的秩．
    
 
a a  a b
 
s1 s2 sn s
方程组Ax  b（A为m  n矩阵）解的情况：
r(A)r(A) n有唯一解
r(A)r(A)n有无穷多解
r(A)1 r(A) 无解，即b不能由A的列向量线性表出．
1 2 1 x  1
1
    
例8．已知方程组 2 3 a2 x  3 无解，试求a的取值（ ）．
  2  
    
 1 a 2  x   0 
3
1
A．1 B．-1 C．2 D．
2
2．解的性质
（1）线性方程组（b）的两个解的差是它的导出组（a）的解．
（2）线性方程组（b）的一个解与它的导出组（a）的一个解之和还是线性方程组（b）的解．
（3）如果 是线性方程组（b）的一个特解，那么方程组（b）的任一个解都可表示成 ，
0 0
其中是导出组（a）的一个解．因此，对于方程组（b）的任一个特解 ，当取遍它的导出组的全部
0
解时， 就给（b）的全部解．
0
（4）在方程组（b）有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（a）只有零解．
x x kx 4,
1 2 3

例9．问k为何值时，线性方程组-x kx x k2 ，有唯一解，无解，无穷多解？并且，当有
1 2 3

x x 2x 4
 1 2 3
解时求出其所有解．
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二、能力训练
1．设线性方程组AX  B有n个未知量，m个方程组，且r(A)r，则此方程组（ ）．
A．r m时，有解 B．r n时，有惟一解
C．mn时，有惟一解 D．r n时，有无穷多解
a 1 1
2．已知向量组  1
，
  a
，
  1线性相关，则a的取值可以是（ ）．
1 2 3
1 1 a
A．2 B．-2 C．1 D．0
3．设A是mn矩阵，AX O是非其次线性方程组AX b所对应齐次线性方程组，则下列结论
正确的是（ ）．
A．若AX O仅有零解，则AX  B有惟一解；
B．若AX O有非零解，则AX  B有无穷多个解；
C．若AX  B有无穷多个解，则AX O仅有零解；
D．若AX  B有无穷多个解，则AX O有非零解．
4．n维向量组,,..., (3 sn)线性无关的充要条件是（ ）．
1 2 n
A．,,..., 中任意两个向量都线性相关
1 2 n
B．,,..., 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
1 2 n
C．,,..., 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
1 2 n
D．,,..., 中不含零向量
1 2 n
 1 1 0 x  0
1
    
5．已知线性方程组 0 1 1 x  0 ，则方程组的基础解系为（ ）．
  2  
    
1 0 1 x 0
    
3
1 1 1 2
       
A． 1 B． 2 C． 1 D． 1
       
       
1 1 2 1
       
6．设A为n阶实矩阵，AT 是A的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O；（ⅱ）ATAX O，
必有（ ）．
A．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；
B．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；
C．（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；
D．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．
ax x x 1
1 2 3

7．已知线性方程组x ax x a 无解，则a的取值为（ ）．
1 2 3

x x ax a2

1 2 3
A．-2 B．3 C．4 D．5
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 x x 2x 1
1 2 3

8．线性方程组2x 3x 5x 2 解得情况（ ）．
1 2 3

2x 4x 6x 2

1 2 3
A．必有无穷多解 B．必有唯一解 C．无解 D．解不确定
a b a b u axby u
9．【2018上半年初级】若矩阵



与



的秩均为2，则线性方程组
c d c d v cxdy v
的解的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．无穷
10．向量(1,k,5)T ，向量组 (2,3,2)T ， (2,1,1)T 线性表示，则k 的值为（ ）．
1 2
1 9 7 19
A． B． C． D．
2 2 2 2
1 0 2
     
11．设  1 ，  2 ，  4 ，则（ ）．
1   2   3  
     
1 5 7
     
A．,, 线性相关，, 线性相关
1 2 3 1 2
B．,, 线性无关，, 线性相关
1 2 3 1 2
C．,, 线性相关，, 线性无关
1 2 3 1 2
D．,, 线性无关，, 线性无关
1 2 3 1 2
12．设A，B都是n阶非零矩阵，且AB  0，则A和B的秩（ ）．
A．必有一个等于零 B．都等于n
C．一个小于n，一个等于n D．都小于n
13．向量组，，线性相关，，， 线性无关则下列正确的是（ ）．
1 2 3 2 3 4
A．不能由，线性表示 B．能由，线性表示
1 2 3 1 2 3
C． 能由，，线性表示 D． 能由，线性表示
4 1 2 3 4 2 3
axby c
14．【2015 下半年，初级 10】求证：非齐次性方程组： 有唯一解，当且仅当向量
axby c
 
m(a,a)，n(b,b)线性无关．
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 x x x x 0，
1 2 3 4

15．【2016下半年，初级10】求齐次线性方程组x 2x 2x 3x 0， 的通解．
1 2 3 4

2x 3x x 2x 0

1 2 3 4
16．【2016下半年，高级10】．（1）叙述线性方程组AX=B有解的充要条件；（2分）
x x x x 1,
 1 2 3 4
（2）求线性方程组x 2x 2x 3x 3, 的通解．（5分）
1 2 3 4

2x
1
3x
2
x
3
2x
4
2
a xb yc z d
1 1 1 1

17．【2015 下半年，高级 10】求证：非齐次线性方程组a xb yc z d 有唯一解当且仅当向
2 2 2 2

a xb yc z d

3 3 3 3
a  b  c 
 1  1  1
     
量v  a ，v  b ，v  c 线性无关．
1  2 2  2 3  2
     
a b c
     
3 3 3
18．已知,,线性无关，证明：23, , 线性无关．
1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
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19．讨论,a,b取什么值时，下列方程有解，并求解．
x x x 1
1 2 2

（1）x x x 
1 2 3

x x x 2

1 2 3
(3)x x x 
1 2 2

（2）x (1)x x 2
1 2 3

3(1)x x (3)x 3

1 2 3
ax x x 4
1 2 2

（3）x bx x 3
1 2 3

x 2bx x 4

1 2 3
  
20．【2017上半年，高级10】已知向量组a (2,1,2)，a (1,1,0)，a (t,2,2)线性相关．
1 2 3
（1）求t的值；（3分）
（2）求出该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关线性组表示出来．（4分）
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第四节 线性空间
一、知识梳理
（一）线性空间
1．定义：V 是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素，V ，总有惟一的一个
元素rV 与之对应，称为与的和，记作r ；又对于任一数R与任一元素V ，总有
惟一的一个元素V 与之对应，称为与的积，记作；并且这两种运算满足以下八条运算
规律（设，，rV ；，R）
（1）；
（2）

；
（3）在V 中存在零元素0；对任何V ，都有0；
（4）对任何V ，都有的负元素V ，使得0；
（5）1；
（6）；
（7）
；
（8）．
那么，V 就称为（实数域R上的）向量空间（或线性空间），V 中的元素不论其本来的性质如何，
统称为（实）向量．简言之，凡满足上述八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性
运算的集合，就称向量空间．
注：记数域P上的所有mn矩阵组成的集合为Pmn，则Pmn按通常矩阵的加法与数乘构成P上
线性空间；数域P上的全体一元多项式组成的集合Px
是P上的线性空间；闭区间
a,b
上所有实连
续函数组成的集合，按函数的加法和数乘，构成实数域R上的线性空间，记作Ca,b
．
例1．设R   xR x0  ，P为R，分别定义“加法”和“数乘”为：x y  xy，
x  x，x,yR，R，验证R对上述加法和数乘运算构成线性空间．
2．线性空间的性质
（1）零元素是唯一的；
（2）任一元素的负元素是惟一的．的负元素记作；
（3）0𝜶(cid:3404)𝟎；𝑘𝟎(cid:3404)𝟎；(cid:4666)(cid:3398)1(cid:4667)𝜶(cid:3404)(cid:3398)𝜶；
（4）如果𝑘𝜶(cid:3404)𝟎，那么𝑘 (cid:3404)0或𝜶(cid:3404)𝟎．
（二）维数、基与坐标
1．定义
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定义1 在线性空间V 中，如果存在n个元素， ，， ，满足：
1 2 n
（1）， ，， 线性无关；
1 2 n
（2）V 中任一元素总可由， ，， 线性表示，
1 2 n
那么，， ，， 就称为线性空间V 的一个基，n称为线性空间V 的维数．只含一个零空
1 2 n
间的线性空间没有基，规定它的维数为0．维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为V ．
n
1 0 0
     
0 1 0
注：由线性代数可知，    ，    ，，    构成P 的一组基，dimP n．
1  2  n  n n
     
0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
R22中向量组E   ，E   ，E   ，E   线性无关，且R22中
11 0 0 12 0 0 21 1 0 22 0 1
任一向量可由它们线性表示，从而构成基，且dimR22 4．
例2．R   xR x 0  ，P为R，分别定义“加法”和“数乘”为：x y  xy，
x  x
，
x,yR
，
R ，可知R 对上述加法和数乘运算构成线性空间，则R
的基为________，
维数为________．
定义2 设， ，， 是线性空间V 的一个基．对于任一元素V ，总有且仅有一组有序
1 2 n n n
数x ，x ，，x 使 xx x ，x ，x ，，x 这组有序数就称为元素在，
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1
 ，， 这个基下的坐标，并记作x ,x ,,x T ．
2 n 1 2 n
例3．在线性空间Rx   a a xa x2 a xn1 a R  中，
n 0 1 2 n1 i
（1）证明：1,x,x2,,xn1是一组基，从而Rx 的维数为n；
n
（2）求向量a a xa x2 a xn1在基1,x,x2,,xn1下的坐标．
0 1 2 n1
2．基变换与坐标变换
设ε，ε，，ε 与ε'，ε'，，ε' 是n维线性空间V 中两组基，它们的关系是
1 2 n 1 2 n
ε' a ε a ε a ε
1 11 1 21 2 n1 n

ε' a ε a ε a ε
 2 12 1 22 2 n2 n ①


ε' a ε a ε a ε

n 1n 1 2n 2 nn n
设向量ξ在这两组基下的坐标分别为x，x，x 与  x'，x'，，x'  ，即
1 2 n 1 2 n
向量ξ  xε x ε x ε  x'ε' x'ε' x'ε' ．②
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
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a a  a 
11 12 1n
 
a a  a
①式可写成  ε'，ε'，，ε'  ε，ε，，ε  21 22 2n ．③
1 2 n 1 2 n     
 
a a  a
 
n1 n2 nn
a a  a 
11 12 1n
 
a a  a
矩阵A  21 22 2n 称为由基ε，ε，，ε 到基ε'，ε'，，ε' 的过渡矩阵．它是可逆
     1 2 n 1 2 n
 
a a  a
 
n1 n2 nn
矩阵．
x  x'
1 1
   
x x'
②式写成ξ ε，ε，，ε  2   ε'，ε'，，ε'  2 ．将③式代入得
1 2 n    1 2 n   
   
 x
n
  x
n
' 
x  a a  a x'
1 11 12 1n 1
    
x a a  a x'
ε，ε，，ε  2 ε，ε，，ε  21 22 2n 2
．
1 2 n    1 2 n       
    
 x
n
  a
n1
a
n2
 a
nn
 x
n
' 
x  a a  a x'
1 11 12 1n 1
    
x a a  a x'
由基向量的无关性得  2   21 22 2n 2 ，
         
    
 x
n
  a
n1
a
n2
 a
nn
 x
n
' 
x' a a  a  1 x 
1 11 12 1n 1
     
x' a a  a x
或  2   21 22 2n  2 ．
          
     
 x
n
'   a
n1
a
n2
 a
nn
  x
n

例 4．在 Px 中取两个基  x3 2x2 x，  x3 x2 x1， x3 2x2 x1，
3 1 2 3
 x3 x2 1及 2x3 x2 1，  x2 2x2， 2x3 x2 x2，
4 1 2 3
  x33x2 x2，求坐标变换公式．
4
3．线性子空间及其判定
（1）线性子空间
设V 是数域P上的线性空间，W 为V 的一个非空子集，如果W 对V 中的加法和数乘也构成数域P
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上的线性空间．那么非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（简称子空间）．
（2）线性子空间的判定
如果线性空间V 的非空子集W 满足下面两个条件，那么W 就是一个子空间．
①对于W 中的任一向量α，数域P中的k与α的数量乘积kα也在W 中；
②对于W 中的向量α与β，向量α与β的和α(cid:3397)β也在W 中．
即线性空间V 的非空子集W 为子空间的充要条件是：W 对V 中的线性运算封闭．
注：若W 是V 的子空间，则W 的基在V 中线性无关，其中向量的个数不超过dimV ，即
dimWdimV ．
实齐次线性方程组A X 0所有解向量的集合构成Rn的子空间，称为此方程组的解空间，方程
mn
组的基础解系即为解空间的基．
③设V ，V 为数域P上线性空间V 的子空间，则V ，V 的交V V 也是V 的子空间．
1 2 1 2 1 2
 
④设V ，V 为数域P上线性空间V 的子空间，则V V  x x x V,x V 也是V 的子空
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
间，称为V ，V 的和．
1 2
（三）二阶矩阵线性变换
1．线性变换
x′＝ax＋by，
在平面直角坐标系 xOy 中，由 (其中 a，b，c，d 是常数)构成的变换称为线性变换．
y′＝cx＋dy，
2．矩阵的乘法
b  b  a b
行矩阵[a a ]与列矩阵 11 的乘法规则为[a a ]  11 ＝[a b a b ]，二阶矩阵 
11 12 b 11 12 b 11 11 12 21 c d
   
21 21
x a bx ax＋by
与列矩阵 的乘法规则为  ＝ .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．
y c dy cx＋dy
3．几种常见的线性变换
1 0
（1）恒等变换矩阵M＝ ；
0 1
cos θ －sin θ
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝ ；
sin θ cos θ 
1 0 
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于 x 轴对称，则变换对应矩阵为 M ＝ ；
1 0 －1
－1 0
若关于 y 轴对称，则变换对应矩阵为 M ＝ ；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵 M3＝
2  0 1
－1 0
 ；
 0 －1
k1 0
（4）伸压变换对应的二阶矩阵 M＝ ，表示将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变
0 k2
为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；
1 0
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝ ；
0 0
1 k
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝ ，若沿y轴
0 1
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1 0
平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝ .(其中k为非零常数)．
k 1
4．线性变换的基本性质
x λx x1 x2
设向量α＝ ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝ ；设向量α＝ ，β＝ ，规定向量α与β
y λy y1 y2
x1＋x2
的和α＋β＝ .
y1＋y2
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，
②M(α＋β)＝Mα＋Mβ.
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
1 
 0
2
例5．【2016下半年，初级、高级9】已知二次曲线L：9x2+4y2+18x+16y-11=0，矩阵A= ，
 1
0 
 3
1
 
2
向量B= ，求二次曲线L在变换TX=AX+B下所得二次曲线L 的方程．
1
2
 
3
5．常见简单变换矩阵
1 0
（1）单位矩阵：M 

，点的变换为(x,y)(x,y)
0 1
（2）伸压变换矩阵：
k 0
①M 
 
0 1
当k 1，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变；当0k 1，将原来图形横坐标缩小为
原来k倍，纵坐标不变。其中点的变换为(x,y)(kx,y)。
1 0
②M 
 
0 k
当k 1，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变；当0k 1，将原来图形纵坐标缩小为
原来k倍，横坐标不变。其中点的变换为(x,y)(x,ky)。
（3）反射变换：
1 0 
①M 
 
0 1
点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于x轴对称
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1 0
②M 
 
 0 1
点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于y 轴对称
1 0 
③M 
 
 0 1
点的变换为(x,y)(x,y) 变换前后关于原点对称
0 1
④M 
 
1 0
点的变换为(x,y)(y,x) 变换前后关于直线y  x对称
（4）旋转变换
cos sin
①M 
 
sin cos
0 1  0 1
逆时针900 M   ；顺时针900：M   
1 0  1 0
a b
注：旋转变化矩阵还可以设为：M 
 
b a 
（5）投影变换：
1 0
①M 
 
0 0
将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，其中点的变换为(x,y)(x,0)
0 0
②M 
 
0 1
将坐标平面上的点垂直投影到 y 轴上，其中点的变换为(x,y)(0,y)
1 0
③M 
 
1 0
将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y  x上，其中点的变换为(x,y)(x,x)
0 1
④M 
 
0 1
将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y  x上，其中点的变换为(x,y)(y,y)
1 1
 
2 2
⑤M  
1 1
 
2 2
x y x y
将坐标平面上的点垂直于y  x方向投影到y  x上，其中点的变换为(x,y)( , )
2 2
（6）切变变换
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1 k
①M 
 
0 1
把平面上的点沿x轴方向平移|ky|个单位，其中点的变换为(x,y)(xky,y)
1 0
②M 
 
k 1
把平面上的点沿 y 轴方向平移|kx|个单位，其中点的变换为(x,y)(x,kx y)
（四）特征值和特征向量
1．定义
（1）设A为数域F 上的n阶方阵，如果存在数域F 上的数 和非零向量，使得Aξ ξ，则
0 0
称 为A的一个特征值（特征根），而ξ 称为A的属于特征值 的一个特征向量．
0 
 
（2）设A a 为n阶方阵，则矩阵E-A称为A的特征矩阵，其行列式称为A的特征多项式，
ij n
记为 f  ，即
-a a  a
11 12 1n
a a  a
f() EA  21 22 2n ，
   
a a  a
n1 n2 nn
称 f  E - A 0为A的特征方程．
2．性质
（1）若是A的任一特征值，非零向量ξ 为A的属于特征值的特征向量，即满足Aξ ξ ，，
i i i
则必有k 一定是Ak 的特征值（k 为正整数）；
i
（2）若 是 A 的任一特征值，非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的特征向量，若
i i
fx a xn a xn1 a 为任一多项式，则有 f   是 f  A  的特征值；
0 1 n i
（3）若是A的任一特征值，非零向量ξ 为A的属于特征值 的特征向量，则
i i
A f (A) AT A1 A* P1AP
 f()  1 A 
 
（4）如果ξ 是A的属于特征值 的一个特征向量，那么ξ 的任何一个非零倍数k也是A的属于

特征值 的特征向量．即特征向量不是被特征值所唯一决定的．相反，特征值确实被特征向量所唯一决

定的．一个特征向量只能属于一个特征值．
注：属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
3．矩阵特征值和特征向量的求法
（1）根据定义，构造Aξ ξ，求得A的特征值 ，及A属于特征值 的一个特征向量ξ ．
0 0 
 
（2）设A a 为n阶方阵，则由E- A 0可以求出矩阵A的全部特征值，再根据其次线
ij n i
性方程组  EAX 0求出A属于的特征向量．其中，基础解系即为A属于的线性无关特征向
i i i
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量，通解即为A属于的全体特征向量（不包含0向量）．
i
（五）相似矩阵
1．定义：设A ，B 为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X ，使得
B X1AX ，就说A相似于B ．
2．性质
（1）矩阵相似是一种等价关系．
相似具有反身性（A~A），对称性（如果A~B，那么B~A），传递性（如果A~B，B~C ，那
么A~C ）；
（2）相似的矩阵有相同特征多项式、相同特征值、相同行列式、相同秩．
（注：考虑到A与B 相似，即有可逆矩阵X ，使得B X1AX ．故
EB  E X1AX  X1X  X1AX  X1E AX  X1 E A X  E A ；
B  X1AX  X1 A X  A ．此外，左乘可逆矩阵X1相当于对A进行初等行变换，同理右乘
可逆矩阵X
，相当于对A进行初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，有rArB
．）
例6．下列命题错误的是（ ）．
A．相似的矩阵有相同特征多项式 B．相似的矩阵有相同行列式
C．相似的矩阵有相同秩 D．相同特征多项式的矩阵是相似阵
 
1
 

3．若n阶矩阵A与对角阵  2  相似，则,,即是A的n个特征值．
   1 2 n
 

 
n
（六）相似对角化
1．定义：若A相似于B ，并且B 为对角矩阵，则称A可相似对角化，B 是A 的相似标准型．对
n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵X ，使得X1AX 为对角阵，称为把矩阵A对角化．
相似变换矩阵X 的求解办法：A的对应于特征值的特征向量就是X 的列向量x i1,2,,n ．
i i
（注：假设存在可逆矩阵X ，使得X1AX ，即AX  X．将X 作列分块，即用列向量表示
 
1
 

为X x ,x ,,x  ，则有Ax ,x ,,x x ,x ,,x   2 
1 2 n 1 2 n 1 2 n   
 

 
n
x,x,,x ，从而 Ax ,Ax ,,Ax x,x,,x ，即Ax x i1,2,,n ）．
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 1 2 2 n n i i i
2．矩阵可相似对角化的条件：
（1）n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．
0 0 1
 
例7．设A 1 1 x ，问x为何值时，矩阵A能对角化？
 
 
1 0 0
 
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（2）若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A一定与对角矩阵相似．
1
 
例 8．三阶方阵A的三个特征值1， 3， 4，且对应的特征向量分别是  1 ，
1 2 3 1  
 
0
 
1 1
   

2


0

，
3


1

，求A和A1．
   
1 2
   
（3）设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得P1AP PTAP，其中是以A的n个特征
值为对角元的对角阵．即若A为n阶对称阵，则A一定与对角矩阵相似．
 0 1 1
 
例9．设A

1 0 1

，求一个正交阵P，使P1AP 为对角阵．
 
1 1 0
 
二、能力训练
1 0 0
 
1．【2015下半年，高级2】已知变换矩阵A 0 2 0 ，则A将空间曲面（x-1）2+（y-2）2+（z-
 
0 0 3
 
1）2=1变成（ ）．
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A．球面 B．椭球面 C．抛物面 D．双曲面
2．【2014上半年，高级4】欧氏平面𝑅(cid:2870)上的下列变换不是保距变换的是（ ）．
 3 1
  
x x 1 x 2 2 x
A．F 

= 

+ 

 B．F 

=  




y y 2 y  1 3 y
 
 2 2 
x 1 1 x x 1 0  x 1
C．F   =      D．F   =     +   
y 0 1 y y 0 1 y 3 
2 0
3．【2015下半年，初级1】已知变换矩阵A  ，则A将空间曲面（x-1）2+（y-2）2=4变成
0 3
（ ）．
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
1 
 
4．在P33中,由A 2 生成的子空间的维数为（ ）．
 
 
 3
A．1 B．2 C．3 D． 4
5．在线性空间Pn中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间称为齐次线性方
程组的解空间．解空间的基就是方程组的基础解系，其中r表示系数矩阵的秩，则该解空间的维数等于
（ ）．
A．n B．n  r C．r D．不确定
6．已知， ，是R 的基，则下列向量组（ ）是R 的基．
1 2 3 3 3
A．   ，   ， 
1 2 2 3 3 1
B．  2 ，2  3，3  
1 2 2 3 3 1
C．   ，   ，  2  
1 2 2 3 1 2 3
D．    ，2  3  22，3  5  5
1 2 3 1 2 3 1 2 3
7．【2017上半年，初级2】下列矩阵所对应的线性变换为关于y＝－x的对称变换是（ ）．
0 1  0 1  0 1 0 1
A．  B．  C．  D． 
1 0 1 0 1 0  1 0 
8．【2017上半年，高级2】下列矩阵所对应的线性变换为旋转变换的是（ ）．
1 1 1 0  1 1  0 1
A． B． C． D．
       
0 1 1 1 1 1 1 0
1 2 2
 
9．【2016上半年，高级5，初级5】矩阵 2 1 2 的特征值的个数为（ ）．
 
2 2 1
 
A．0 B．1 C．2 D．3
 5 6 3  2 
   
10．【2016下半年，初级、高级5】已知三阶矩阵A= 1 0 1 ，其特征向量α= 1 ，则α所
   
   
1 2 1 0
   
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对应的特征值为（ ）．
A．-2 B．2 C．1 3 D．1+ 3
1 0
11．矩阵E 
 
的特征值为（ ）．
0 1
A．1 B．2 C．3 D．任意实数
 3 3 2 
 
12．矩阵A  1 1 2 的属于特征根4的特征向量是（ ）．
 
 
3 1 0
 
 
A．a (a,a,a),aR B．a (2a,a,3a),aR
 
C．a (a,a,a),aR D．a (2a,3a,a),aR
3 4 4
 
13．矩阵A 0 2 0 的特征向量的是（ ）．
 
 
2 2 3
 
A．  1,0,1 T B．  1,1,2 T
C． 3,3,6 T D． 4,1,2 T
14．设|A|0，、是线性方程组Ax0的一个基础解系，A  0，则下列向量中不是矩
1 2 3 3
阵A的特征向量的是（ ）．
A．3   B．  3 C．  3 D．3
1 2 1 2 1 3 3
1 2
15．【2017上半年，初级6】设A=  ，下列向量中为矩阵A的特征向量是（ ）．
0 3
A．（0,1）T B．（1，2）T C．（-1，1）T D．（1，0）T
1 0 2
 
16．【2017上半年，高级6】设A= 0 3 0 ，下列向量中为矩阵A的特征向量是（ ）．
 
2 0 1
 
A．（1，2，0）T B．（2，0，0）T
C．（-1，0，1）T D．（0，0，1）T
17．【2018下半年初级】与(1,0,1)，(1,1,0)线性相关的向量是（ ）．
A．（3，2，1） B．（1，2，1） C．（1，2，0） D．（3，2，2）
 1 2 2 
 
18．判断实矩阵A 2 2 4 能否对角化？
 
 
2 4 2
 
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 4 6 0
 
19．设A

3 5 0

，A能否对角化？若能对角化，求出可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵．
 
3 6 1
 
1 0 0 0 1 1 0
             
1 2 0 0 0 2 0
             
20．取R4的两组基：  ，  ，  ，  ，  ，  ， 
1 2 2 1 3 3 4 0 1 0 2 0 3 1
             
2 2 1 4 0 0 1
 0 
 
0
 
  ，求前一组基到后一组基的过渡矩阵P．
4 1
 
 1 
2 5 x x x
21．【2018下半年初级】设D

，
 
表示
 
在D作用下的像，若
 
满足方程x2  y2 1，
1 3 y  y y
x
求
 
满足的方程．
y

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第五节 二次型
一、知识梳理
（一）二次型及其矩阵表示
定义1 设P是一数域，一个系数在数域P中的x ,x ,...,x 的二次齐次多项式
1 2 n
f(x ,x ,...,x )a x2 2a x x ...2a x x a x2 ...2a x x ............a x2
1 2 n 11 1 12 1 2 1n 1 n 22 2 2n 2 n nn n （1）
称为数域P上的一个n元二次型，简称为二次型．
定义2 把（1）的系数排成一个nn矩阵
a a ... a 
11 12 1n
 
a a ... a
A 21 22 2n
 ... ... ... ... 
 
a a ... a 
n1 n2 nn
它就称为二次型（1）的矩阵．因为a  a (i, j 1,2,,n)，所以这样的矩阵称为对称矩阵，因
ij ji
此二次型的矩阵都是对称的．
定义 3 数域P 上nn矩阵 A， B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的nn矩阵C ，使得
BCAC．
合同关系具有
1．反身性：A EAE；
2．对称性：由BCAC，即得A(C1)BC1；
3．传递性：由A CAC 和A C AC 即得A (CC )A(CC )．
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
（二）正定二次型
1．基本概念
a a ... a
11 12 1i
a a ... a
定义 子式 21 22 2i (i1,2,...,n)称为矩阵A(a ) 的顺序主子式．
... ... ... ... ij nn
a a ... a
i1 i2 ii
定理 1 实二次型 f(x ,x ,...,x ) 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c ,c ,...,c 都有
1 2 n 1 2 n
f(c ,c ,...,c )0．
1 2 n
n n
定理 2 实二次型 f(x ,x ,...,x )=a xx  XAX 是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主
1 2 n ij i j
i1 j1
子式全大于零．
2．相关性质
（1）实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同；
（2）正定矩阵的行列式大于零．
例1．考虑二次型 f  x2 4x 2 4x2 2x x 2x x 4x x ，问为何值时，f 为正定二次型．
1 2 3 1 2 1 3 2 3
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例2．判别二次型 f(x ,x ,x )2x2+2x2 2x2 2x x 2x x 2x x 的正定性．
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
（三）施密特正交化
a  b 
1 1
   
a b
1．内积定义：对任意的  2 ，  2 Rn令(,)ab a b a b ，则称(,)
      1 1 2 2 n n
   
a b
   
n n
为向量,的内积．
2．范数：对Rn中任意向量，非负实数 (,)称为的长度（范数）
1
注：如果0，则长度为1的向量 称为的规范化或单位化。

3．正交：定义：设 ，如果 ，则称 与 正交．因为对任意的 都有
，所以零向量与任意向量正交．
4．标准正交基
如果向量,的内积为零，即（,）=0，那么,称为正交或相互垂直，记为．欧式空
间V中的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组；在n维欧式空间中，由n个向量
组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基（对一组正交基进行单位化就
得到了一组标准正交基）
5．施密特正交化过程举例：
把 (1,1,0,0), (1,0,0,1), (1,0,1,0)变成单位正交的向量组，先把它们正交化，得
1 2 3
  (1,1,0,0)
1 1
(,) 1 1
   2 1  ( , ,0,1)
2 2 (,) 1 2 2
1 1
(,) (,) 1 1 1
   3 1  3 2  ( , ,1, )
3 3 (,) 1 (,) 2 3 3 3
1 1 2 2
1 1
 ( , ,0,0)
1
2 2
1 1 2
再单位化得 ( , ,0, ) ．
2
6 6 6
1 1 3 1
 ( , , , )
3
12 12 12 12
二、能力训练
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1．【2016上半年，初级6】二次型x2xyy2是（ ）．
A．正定的 B．负定的
C．不定的 D．以上都不是
2．【2016上半年，高级6】二次型x2 3xy y2是（ ）．
A．正定的 B．负定的
C．不定的 D．以上都不是
3．【2017下半年，高级5】下列多项式为正定二次型的是（ ）．
A．x2 x 2 x2 B．x2 2xx x x 5x 2 x2
1 2 3 1 1 2 2 3 2 3
C．3xx x 2 x2 D．3xx 2x x 4xx
1 2 2 3 1 2 2 3 1 3
4．【2017下半年，初级5】下列多项式为二次型的是（ ）．
A．x2 x 2 2x x x B．x2 x 2 x2 2x
1 2 2 3 3 1 2 3 1
C．2x2 3x x x2 1 D．3x2 2x x 4xx
1 2 3 3 1 2 3 1 3
5．二次型 f(x) x2 x2 x2 4x x 4x x 4x x 的二次型矩阵是__________．
1 2 3 1 2 2 3 1 3
2 5x 
6． f(x)x x    1 的二次型矩阵是__________．
1 2 3 4 x 
2
7．二次型 f(x)2x2 4x2 4x2 2x x 2x x 的正定性是__________．
1 2 3 1 2 1 3
1 1 0
 
   
8．【2016上半年，高级初级14】设A 1 2 1 ，求子空间A(R3) Aa|aR3 的一组正交基．
 
3 4 1
 
9．【2017下半年，高级9】在线性空间R3中，已知向量 (1，2，1)， (2，1，4)， (0，3，2)，
1 2 3
记V {α α |，R}，V {kα |kR}．
1 1 2 2 3
令V {tt |t，t R，V，V }．
3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
（1）求子空间V 维数；（3分）
3
（2）求子空间V 的一组标准正交基．（4分）
3
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第五章 空间解析几何
一、知识梳理
（一）空间向量
1．空间向量的表示
       
a xi yjzk ，记为a{x,y,z}．其中i, j,k分别为x，y，z轴正方向的单位向量．
2．方向角
     
向量a与i, j,k的夹角,,称为a的方向角，方向角的余弦cos,cos,cos称为向量a的方
向余弦．
x y z
cos ,cos ,cos
x2  y2  z2 x2  y2 z2 x2  y2 z2
cos2cos2cos21
3．空间向量的运算
（1）向量的数量积（内积，点积）
     
a  a  a a cos，其中为向量a ,a 的夹角．
1 2 1 2 1 2
 
用坐标表示：a  a =x x  y y  z z ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）向量的向量积（外积，叉积）
         
ab是一个向量，其模 ab  a b sin，其中为夹角．其方向规定为与a,b都垂直且a,b，
  
i j k
   
ab符合右手系．坐标运算为ab x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
向量积的运算法则：
                
abba，(a)b(ab)，a(bc)abac，aa0
（3）向量的混合积
           
三个向量 a,b,c 的混合积 (a,b,c) 是一个数，规定为 (a,b,c)(ab)c ．用坐标表示为
x y z
   1 1 1
(a,b,c) x y z
2 2 2
x y z
3 3 3
例1．a1,0,0,b0,0,1 求垂直于a,b的单位向量．
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（二）平面
1．平面的方程
（1）点法式
已知点M(x ,y ,z )，法线向量n(A,B,C)，平面的点法式方程为
0 0 0
A(xx )B(y y )C(zz )0．
0 0 0
例2．已知平面过点A1,1,1 ，并与向量n(1,2,3)垂直，求这个平面的方程．
例
3．已知平面上一点A1,1,1 ，并且平面与向量a1,0,1,b0,1,1
分别平行，求这个
平面的方程．
（2）一般式

AxByCzD0（A,B,C不全为0）其中法向量为n{A,B,C}
一般方程的几种特殊情况
①D0，平面通过坐标原点．
D 0，平面通过x轴，
②A0,
D 0，平面平行于x轴
③A B0，平面平行于xoy坐标面．
④AC 0，平面平行于xoz坐标面．
⑤BC 0，平面平行于yoz坐标面．
例4．求经过点A(3,2,1)和B(1,2,3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．
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（3）截距式
D D D
一般方程 AxByCzD0 中，令 A  ,B   ,C   ，代入一般方程可得
a b c
x y z
  1，为平面方程的截距式．
a b c
例5．求平面2x3y4z 12 在三条坐标轴上的截距．
2．确定平面方程的两个基本思路

（1）已知平面上一点M(x ,y ,z )和平面的法向量n{A,B,C}，则平面被确定，方程利用
0 0 0
一般式即可求得．

（2）已知平面上一点M(x ,y ,z )和两个与平面平行且不共线的向量m{x ,y ,z}，
0 0 0 1 1 1

n{x ,y ,z }，
2 2 2
xx y y zz
0 0 0
则平面完全被确定方程为 x y z 0．
1 1 1
x y z
2 2 2
3．两个平面间的关系
 :AxB yC zD 0, :A xB yC zD 0，则
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
A B C D
 ∥  1  1  1  1
1 2 A B C D
2 2 2 2
   AA BB CC 0
1 2 1 2 1 2 1 2
 的 夹角（法向量间的夹角，不大于90度）
1 2
 
n 1 n 2 AA BB CC
cos    1 2 1 2 1 2
n n A2 B2 C2 A2 B2 C2
1 2 1 1 1 2 2 2
例6．求平面x yz 4与平面x2y2z 4所成的角的余弦值．
（三）直线
1．直线的方程
（1）一般式（交面式）
AxB yC zD 0,
 1 1 1 1 其中{A,B,C}与{A ,B ,C }不平行．
A xB yC zD 0, 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2
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（2）对称式（标准式）
xx y y zz
0  0  0 ，其中{l,m,n}为直线的方向向量．
l m n
（3）参数式
x x tl,
0

y  y tm,
0

z  z tn.

0
2．确定直线方程的两个基本思路
（1）两个不平行的直线相交于一条直线可用一般式确定直线方程．
（2）已知直线L上一点M 以及直线L的方向向量  l,m,n  可利用对称式和参数式确定直线L的
方程．
例7．求过点M(1，1，1)且与两条直线
x1 y2 x3 x3 y2 x1
l :   ,l :   都垂直的直线方程．
1 1 2 3 1 3 2 1
3．两条直线间的关系
xx y y zz xx y y zz
设L : 1  1  1 ，L : 2  2  2 ，则
1 l m n 2 l m n
1 1 1 2 2 2
l m n
L ∥L  1  1  1 ，且(x ,y ,z )不满足L 的方程．
1 2 l m n 1 1 1 2
2 2 2
L  L ll mm nn 0
1 2 12 1 2 1 2
L 的L 夹角（方向向量间的夹角，不大于90度）
1 2
ll mm nn
cos 1 2 1 2 1 2
l2 m2 n2 l2 m2 n2
1 1 1 2 2 2
4．直线与平面的位置关系

直线和它在平面投影直线所夹锐角称为直线与平面的夹角．当直线与平面垂直时，规定夹角为 ．
2
xx y y zz
L: 0  0  0 ，:AxByCzD0，
l m n
 
s{l,m,n},n{A,B,C}，则
 
（1）L∥ sn，即AlBmCn0且Ax By Cz D0
0 0 0
  A B C
（2）L⊥ s∥n，即  
l m n
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   AlBmCn
（3）L与的夹角 s,n，sin
2 A2 B2 C2 l2 m2 n2
（四）曲面方程
1．球面方程
(xx )2 (y y )2 (zz )2  R2
0 0 0
2．旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面．这条直线叫做旋转曲面
的轴．
yoz平面上的曲线 f(y,z)0绕z轴旋转一周的曲面方程为 f( x2  y2,z)0；
yoz平面上的曲线 f(y,z)0绕 y 轴旋转一周的曲面方程为 f(y, x2 z2)0．
3．柱面
平行于定直线，并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面．这条定曲线C叫做柱面的准
线，动直线L叫做柱面的母线．
4．二次曲面
（1）椭球面
x2 y2 z2
方程：   1．
a2 b2 c2
x2 y2 x2 z2 y2 z2
  1   1   1
①椭球面与三个坐标平面的交线：a2 b2 ，a2 c2 ，b2 c2 ．
  
z 0 y 0 x0
②椭球面的几种特殊情况
x2 y2 z2 x2 z2
ab，   1，旋转椭球面，由椭圆  1绕z轴旋转而成．
a a c a c
③abc，为球面．方程可写为x2  y2 z2 a2．
（2）抛物面
x2 y2
①   z （ p ，q >0）为椭圆抛物面．
2p 2q
x2 y2
②   z为旋转抛物面（由xoz平面上的抛物线x2 2pz绕它的轴旋转而成）．
2p 2p
x2 y2
③   z 为双曲抛物面．
2p 2q
（3）双曲面
x2 y2 z2
①单叶双曲面：   1
a2 b2 c2
x2 y2 z2
②双叶双曲面：   1
a2 b2 c2
（五）曲面的切平面与法线方程
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x x(t)

1．设曲面的方程为F(x,y,z)0，在曲面上任取一条通过点M的曲线：: y  y(t),曲线在M

z  z(t)


处的切向量为T (x(t ),y(t ),z(t ))．
0 0 0
切平面方程为F (M)(xx )F (M)(y y )F (M)(zz )0，
x 0 y 0 z 0
xx y y zz
法线方程为 0  0  0
F (x ,y ,z ) F (x ,y ,z ) F (x ,y ,z )
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
2．空间曲面方程形为z  f(x,y)，令F（x，y，z）=f（x，y）-z，曲面在M处的切平面的法向量

为：n {f (x ,y ), f (x ,y ),1}．
x 0 0 y 0 0
曲线在M处的切平面的方程为 f (x ,y )(xx ) f (x ,y )(y y ) zz ．
x 0 0 0 y 0 0 0 0
xx y y zz
曲线在M处的法线方程为 0  0  0 ．
f (x ,y ) f (x ,y ) 1
x 0 0 y 0 0
二、能力训练
1．【2016上半年，高级3】方程x2 y2 z2 1所确定的二次曲面是（ ）．
A．椭球面 B．旋转双曲面 C．旋转抛物面 D．圆柱面
2．【2018上半年初级】在空间直角坐标系中，双曲柱面x2 y2 1与2x-y-2=0的交为（ ）．
A．椭圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线
x2 y2 z2
3．【2016上半年，初级3】方程   1所确定的二次曲面是（ ）．
16 9 4
A．椭球面 B．旋转双曲面 C．旋转抛物面 D．圆柱面
4．【2015下半年，高级5】下列关系式不正确的是（ ）．
             
A．(a c)b  babc B．(a c)b  babc
C． (  a  b)2 (  a  b)2   a 2 b 2 D．(  a  b)  c (  a  c)  b(  b  c)  a
x 23t

5．【2016下半年，初级3】已知直线L的参数方程是y 1t,(tR)平面Π的方程为2x+8y+z+3=0，

z 32t

则直线L与平面Π的位置关系是（ ）．
A．平行 B．直线在平面内
C．垂直 D．相交但不垂直
x yz20
6．【2016 下半年，高级 3】已知直线 L 的方程为： ，平面 Π 的方程为
3x5y2z+5=0
2x8yz30．则直线L与平面Π的位置关系是（ ）．
A．平行 B．直线在平面内
C．垂直 D．相交但不垂直
7．在曲面x2  y2  z2  2x  2y  4z  3  0上，过点（3，－2，4）的切平面方程是（ ）．
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A．2x-y+2z=0 B．2x-y+2z=16
C．4x-3y+6z=42 D．4x-3y+6z=0
8．以下各组数不能成为某向量的方向余弦的是（ ）．
2 2 6 3 2
A． , ,0 B． , ,
2 2 6 3 2
1 1 2 1 3 2
C． , , D． , ,
3 2 5 14 14 14
9．平面3x  2y  z  3  0和平面x  5y  7z  1  0的位置关系是（ ）．
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．重合
a b 
10．两条直线a xb yc 0,a xb yc 0平行，则 1 1  =（ ）．
1 1 1 2 2 2  
a b
 
2 2
A．1 B．-1 C．0 D．∞
x2 y2 z2
11．在空间直角坐标系中，方程   1表示的图形是（ ）．
a2 b2 c2
A．单叶双曲面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．抛物线
z |x|
12．曲线 绕着z轴旋转一周所得到的旋转曲面方程是（ ）．
 y 0
A．z  x2  y2 B．z  x2  y2
C．z  x2  y2 D．z  x2  y2
1 1 1
13．两平面a xb yc z 1，a xb yc z 1平行，则 a b c =（ ）．
1 1 3 2 2 2 1 1 1
a b c
2 2 2
A．1 B．-1 C．0 D．∞
x2y2z 0 x2yz 11
14．【2017上半年，初级3】空间直线l  与直线l  ，它们的位置关
1  3x2y 6 2  2xz 14
系是（ ）．
A．l 与l 垂直 B．l 与l 相交，但不一定垂直
1 2 1 2
C．l 与l 为异面直线 D．l 与l 平行
1 2 1 2
2x2  y2 z2 16
15．【2017上半年，高级3】母线平行于x轴且通过曲线 的柱面方程是（ ）．
 x2  y2 z2 0
A．椭圆柱面3x2 2z2 16 B．椭圆柱面x2 2y2 16
C．双曲柱面3y2 z2 16 D．双曲柱面 y2 2z2 16
16．【2018上半年高级】在空间直角坐标系中，抛物柱面y2=2x与平面x-y-2=0的交为（ ）．
A．椭圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线
17．【2018下半年初级】与向量(2,3,1)垂直的平面是（ ）．
A．x2yz3 B．2x yz3
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C．2x3yz3 D．x yz3
18．【2015下半年，初级9】一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为π/6，请建立空间直角
坐标系，并求出反射光线的方程．若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程．
2x yz10,
19．【2014下半年，高级9，初级9】在空间直角坐标系下，试判断直线l： 与
x2yz20
平面π：3x-y+2z+1=0的位置关系，并求出直线l与平面π的夹角的正弦值．
π
20．【2015下半年，高级9】一条光线斜射在一水平放置的平面镜上，入射角为α（0<α< ），请建
2
立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程．若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求所得的旋转曲
面的方程．
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21．【2016上半年，初级10】设球面方程为x2 y2 z2 9，求它在点（1，2，2）处的切平面方
程．
22．设直线经过两点M (1,2,3),M (4,4,6)，求其方程．
1 2
23．试判定下列直线和平面的位置关系．
（1）x 2y 4z 和4x2yz10；
x1 y2 z3
（2）   和 y80．
3 0 2
24．已知平行直线l :2x y10,l :2x y10求l ,l 的距离是．
1 2 1 2
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25．平面π的方程为3x2y6z140 ，求其点法式方程．
26．【2017上半年，初级9】已知抛物面方程2x2  y2=z．
（1）求抛物面上点M(1,1,3)处的切平面方程；（4分）
（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面3xky4z0相互垂直．（3分）
27．【2017上半年，高级9】已知椭球面方程2x2  y2 3z2 6．
（1）求椭球面上点M(1,1,1)处的切平面方程；（4分）
（2）当k为何值时，所求的切平面与平面5xky4z 0相互垂直．（3分）
28．【2017下半年，初级9】将平面曲线y x2分别绕y轴和x轴旋转一周，所得旋转曲面分别记作
S 和S ．
1 2
（1）在空间直角坐标系中，分别写出曲面S 和S 的方程；（4分）
1 2
（2）求平面y=4与曲面S 所围成的立体的体积．（3分）
1
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x2 y2
29．【2017下半年，高级14】过点P（1，3）作椭圆  1的切线，分别交x轴和y轴于点A和
4 12
点B，将线段AB绕x轴旋转一周，所成旋转曲面记作S．
（1）在空间直角坐标系下，写出曲面S的方程；（6分）
（2）求曲面S与平面x=0所围成立体的体积．（4分）
30．【2018上半年高级】求二次曲面x2-2y2+z2+xy+1=0过点（1，2，2）的切平面的法向量．
31．【2016上半年，高级10】设球面方程为(x1)2 (y1)2 (z1)169．求它在点（4，5，13）
处的切平面方程．
32．【2018上半年初级】求二次曲面3x2 2y2 z2 20过点(1,2,5)的切平面的法向量．
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第六章 级数
一、知识梳理
（一）数项级数
1．定义

设给定数列u ,u ,,u ,，则u u u u 称为常数项无穷级数，简称数项级数
1 2 n i 1 2 n
i1
或级数，其中第n项u 称为级数的一般项或通项．
n
 n
级数u 的前n项之和S u u u u ,(n1,2,)称为无穷级数的部分和．
i n i 1 2 n
i1 i1
 
若数项级数u 的部分和数列{S }的极限存在，即limS  S ，则称级数u 收敛，否则就称级
i n n n i
i1 i1
 
数u 发散．当级数u 收敛时，称极限值limS  S 为此级数和，称r SS u u 
i i n n n n n1 n2
i1 i1
为级数的余项或余和．
例1．判定级数的敛散性
n 1 1 1 1 1
（1）      
n(n1) 12 23 34 n(n1)
n1
 1 1 1
（2） ln(1 )ln(11)ln(1 )ln(1 )
n 2 n
n1
2．几个重要级数
（1）几何级数（等比级数）

qn 当 q 1时收敛，当 q 1时发散．
n0
（2） p 级数
 1
 当 p1时收敛，当 p1时发散．
np
n0
3．数项级数的基本性质
 
（1）如果级数 u 收敛，其和为S ，k为常数，则级数 ku 也收敛，其和为kS．
n n
n1 n1
  
（2）若级数 u 与级数 v 分别收敛于与，则级数 (u v )收敛于．
n n n n
n1 n1 n1
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（3）添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变．
  
（4）两边夹定理：u v w 而 u 与 w 都收敛，则级数 v 也收敛．
n n n n n n
n1 n1 n1

（5）级数收敛的必要条件：若级数
v
收敛，则
limu 0
．
n n n
n1
例2．判定下列级数的敛散性
n 1 1 1 1 1
（1）      
(n1)(n4) 25 36 47 (n1)(n4)
n1
n n 1 3 5 n
（2）      
2n1 3 5 7 2n1
n1
4．柯西收敛原理

级数u 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n N 时，
n
n1
对于任意的正整数 p，都有 u u u 成立
n1 n2 np
5．正项级数收敛判定
 
设级数u ，若u 0(n1,2,)，则称u 为正项级数
n n n
n1 n1
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界．
sin2n
例3．用柯西准则判别级数 的敛散性．
2n
（1）比较法
 
设u 和v 均为正项级数，且u v (n1,2,)
n n n n
n1 n1
 
如果级数v 收敛，则级数u 也收敛；
n n
n1 n1
 
如果级数u 发散，则级数v 也发散．
n n
n1 n1
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（2）比值法
 u
设u 是一个正项级数，如果lim n1 ，则
n n u
n1 n
当1时，级数收敛；
u
当1或lim n1 时，级数发散；
n u
n
当1时，级数可能收敛，也可能发散（不用此法判断）．
（3）根值法
收敛，p1,
 
如果limn u  p，则 u

发散，p1,
n n
n
n1  不确定，p 1.

例4．判别下列级数的敛散性．
12 13 1n  2nn!
（1）1   ；（2） ；
122 132 1n2 nn
n1
6．交错级数收敛判别

莱布尼茨定理：如果交错级数(1)n1u 满足条件：
n
n1
（1）u u (n1,2,3);
n n1
（2）limu 0,
n
x
则级数收敛，且其和su ，其余项r 的绝对值 r u ．
1 n n n1
例5．判定交错级数的敛散性
 1 1 1 1 1
(1)n1 1   (1)n1 
n 2 3 4 n
n1
7．绝对收敛与条件收敛
 
定理：如果级数 u 收敛，则级数u 也收敛．
n n
n1 n1
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  
定义：如果级数 u 收敛，则级数u 也收敛，此时称u 绝对收敛；
n n n
n1 n1 n1
  
如果 u 发散，而级数u 收敛，此时称u 条件收敛．
n n n
n1 n1 n1
1 1 1 1
例6．判别级数        的敛散性．
ln2 ln3 ln4 ln5
（二）幂级数
1．定义

形如 a (xx )n a a (xx )a (xx )2 a (xx )n  的函数项级数称为
n 0 0 1 0 2 0 n 0
n0
(xx )的幂级数．其中a ,a ,a ,,a ,均为常数，称为幂级数的系数．
0 0 1 2 n
幂级数的一般形式是a a (xx )a (xx )2 a (xx )n 
0 1 0 2 1 n 0
经变换t xx 就得a ata t2 a tn ．
0 0 1 2 n
即a a xa x2 a xn ．
0 1 2 n
2．收敛半径与收敛区间
 
正数R通常叫做幂级数 a xn的收敛半径．开区间(R,R)叫做幂级数 a xn的收敛区间．再由
n n
n0 n0

幂级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数 a xn的收敛域是(R,R)（或 R,R、
n
n0
R,R
、
R,R
之一．
 
规定：若幂级数 a xn只在x0收敛，则规定收敛半径R0，若幂级数 a xn对一切x都收
n n
n0 n0
敛，则规定收敛半径R，这时收敛域为(,)．

收敛半径的求法：设 a  0(n 1,2,...) ， a ,a 是幂级数 a xn 的相邻两项的系数并设
n n n1 n
n0
a
lim n1 或limn a （可以为），则当0时，收敛半径R  ；当 时，收敛半
n a n n
n
1
径R0；当0且  时，R  ．

x2 xn
例7．求1x     (1)n     的收敛半径______和收敛域______．
22 n2
二、能力训练
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
1．【2015下半年，初级6】函数级数
xn的收敛区间为（
）．
n1
A．（-1，1） B．(1,1] C．[1,1) D．[-1，1]
 3n
2．【2015下半年，高级6】函数级数 xn 的收敛区间为（ ）．
n
n1
1 1 1 1
A．（-3，3） B．( , ] C．[ , ) D．[-3，3]
3 3 3 3
3．【2016上半年，初级2，高级2】下列级数中，不收敛的是（ ）．
 (1)n  1  1  1
A． B．  C．  D． 
n n2 n n!
n1 n1 n1 n1
4．【2017下半年，初级3】下列四个级数中发散的是（ ）．
 1  1  1  1
A． B． C．1n D．1n
n n2 n n2
n1 n1 n1 n1
5．【2017下半年，高级3】下列四个级数中条件收敛的是（ ）．
 1  1  1  1
A． B． C．1n D．1n
n n2 n2 n
n1 n1 n1 n1
 (x5)n
6．级数 在x6处（ ）．
n
n1
A．发散 B．条件收敛
C．绝对收敛 D．不能确定敛散性
 (1)n n
7．判别级数 的收敛性．
n1
n2

x1n
8．试求幂级数 的收敛域．
2n13n
n1
 sinn

9．判别级数 的收敛性．
n2
n1
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
x1n
10．试求幂级数 的收敛域．
2n13n
n1
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第七章 常微分方程
一、知识梳理
（一）基本概念
1．微分方程概念
微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程．
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数．如：
dy
一阶： 2x
dx
d2s
二阶： 0.4
dt2
2．微分方程的解
设函数yx 在区间I 上有n阶连续导数，如果在区间I 上，
F  x,x,x xn 0则yx 称为微分方程F  x,y,y,,y n 0的解．
 
3．微分方程的通解
如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的
通解．
注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少．
定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件．通
解→特解
一阶微分方程定解条件一般为： y  y
xx 0
0
二阶微分方程定解条件一般为：y  y ,y  y 其中x ,y ,y都是给定的值．
xx 0 xx 0 0 0 0
0 0
（二）可分离变量的微分方程
例如：形如
y f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量方程．
解法：
1．分离变量
1
将方程整理为 dy  f(x)dx的形式，是方程各边都只含一个变量．
g(y)
2．两边积分
两边同时积分，得
1
左边   dy,
g(y)
右边   f(x)dx.
1
故方程通解为 dy   f (x)dxC.
g(y)
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例1．求方程y (sinxcosx) 1 y2 的通解．
（三）一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
yP(x)y Q(x)①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程．其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数．它的特点
是：右边是已知函数，左边的每项中仅含y或 y'，并且均为y或 y'的一次项．
若Q(x)  0，则方程成为
y P(x)y  0,②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，若Q(x)不恒等于0，则称方程①为一阶线性非齐次微
分方程，简称线性非齐次方程．通常方程②称为方程①所对应的线性齐次方程．
一阶线性齐次方程解法：
一阶线性齐次方程
yP(x)y 0
是可分离变量方程．分离变量，得
dy
 P(x)dx,
y
两边积分，得
ln y  P(x)dxlnC,
所以，方程的通解公式为
y Ce
P(x)dx
.
例2．求y(sinx)y 0的通解．
一阶线性非齐次方程的解法：
设y C(x)y 是非齐次方程的解，将 y C(x)y （其中 y 是齐次方程 y'P(x)y 0的解）及其
1 1 1
导数 y'C'(x)y C(x)y' 代入方程 y P(x)y Q(x).
1 1
则有C(x)y C(x)yP(x)C(x)y Q(x),
1 1 1
即C(x)y C(x)(yP(x)y )Q(x),
1 1 1
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因 y 是对应的线性齐次方程的解，故yP(x)y 0,
1 1 1
因此有C(x)y Q(x),
1
其中y 与Q(x)均为已知函数，所以可以通过积分求得
1
Q(x)
C(x)   dxC,
y
1
代入y C(x)y 中，得
1
Q(x)
y Cy  y  dx.
1 1 y
1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
yP(x)y Q(x),
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
yP(x)y Q(x)
的通解．
在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为
y e
P(x)dx
,
1
于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
P(x)dx  P(x)dx 
y e CQ(x)e dx .
 
 
上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数Cx ，再通过确定Cx
而求得方程解的方法，
称为常数变易法．
dy
例3．求方程(x1) ny ex(x1)n1的通解是______（这里n为常数）．
dx
二、能力训练
1．微分方程y2dx(x1)dy 0的通解是（ ）．
1 1
A． y ln c(x1) B． y  C．y  c D．y  xc
ln c(x1) x
2．已知 y ,y ,y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个线性无关解，则该方程的通解为（ ）．
1 2 3
A．C y C y  y B．C (y y )C (y  y )
1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 3
C．C (y y )C (y y ) y D．C (y y )C (y y )y
1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 1 3 3
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y
3．求方程y  的通解．
x
xy y cosx,
4．求解初值问题．
y() 1.
5．【2018 上半年高级】设 f（x）是 R 上的可导函数，且 f（x）>0．已知 f '(x)3x2f(x)0，且 f
（0）=1，求f（x）．
6．【2018上半年初级】设f（x）是R上的可导函数，且f（x）>0．
（1）求lnf（x）的导函数；（4分）
（2）已知 f '(x)3x2f(x)0，且f（0）=1，求f（x）．（6分）
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第八章 多项式
一、知识梳理
（一）一元多项式、多项式整除的概念
1．一元多项式的概念
设n是一非负整数．形式表达式a xn a xn1...a ，其中a ,a ,...a 全属于数域P，称为系数
n n1 0 0 1 n
在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．
注：系数全为零的多项式称为零多项式，记P为0．
2．带余除法
对于P[x]中任意两个多项式 f (x)与g(x)，其中g(x)  0，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存
在，使 f(x)  q(x)g(x)r(x)成立，其中(r(x))(g(x))或者r(x) 0，并且这样的q(x),r(x)是
唯一决定的．带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除 f (x)的商，r(x)称为g(x)除 f (x)的余式．
3．多项式整除的概念
如果有数域P 上的多项式ℎ(cid:4666)𝑥(cid:4667)使等式𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)ℎ(cid:4666)𝑥(cid:4667)成立，则数域P 上的多项式𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)称为整除
𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)．我们用“𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)”表示𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)整除𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)，用“𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)∤𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)”表示𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)不能整除𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)．
当𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)时，𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)就称为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的因式，𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)称为𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的倍式．
（二）最大公因式、互素的概念和性质
1．最大公因式的概念和性质
（1）如果的多项式(x)既是 f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么(x)就 f(x)与g(x)的一个公
因式．
（2）设 f(x),g(x)是Px 中两个多项式，Px 中多项式d(x)如果它满足下面两个条件：
①d(x)是 f(x),g(x)的公因式；
② f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式．则称d(x)为 f(x),g(x)的一个最大公因式．
③对于任意多项式 f(x) f(x),就是 f(x)与0的一个最大公因式．特别地，根据定义，两个零多项
式的最大公因式就是0．
2．最大公因式的存在性和求法——辗转相除法．
引理 如果有等式 f(x)  q(x)g(x)r(x)成立，那么 f (x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因
式．
定理 对于P[x]的任意两个多项式 f (x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)
可以表示成 f (x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使d(x) u(x)f(x)v(x)g(x)．
3．多项式互素
（1）Px 中两个多项式 f(x),g(x)，如果(f(x),g(x))，则多项式(f(x),g(x))称为互素．显然，
如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然
（2） Px 中两个多项式 f(x),g(x) 互素的重要条件是 Px 中两个多项式 u(x),v(x) 使
u(x)f(x)v(x)g(x)1．
（3）如果(cid:4672)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)，𝑓 (cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:4673)(cid:3404)1，且𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)，𝑓 (cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)，那么𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)𝑓 (cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)．
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
（三）不可约因式与重因式的性质与判定
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1．不可约因式的概念
数域P上次数≥1
的多项式Px ，如果它不能表示数域P上的两个次数比Px
的次数低的多项式
的乘积，则多项式Px
称为P上的不可约多项式．
2．不可约因式的性质与判定
（1）如果Px
是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)、𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)，由𝑝(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)一定推
出𝑝(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)或𝑝(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)．
（2）不可约多项式Px 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍cp(x)(c  0)这两种．
（3）具有这个性质的次数≥1的多项式一定是不可约的．
3．重因式的概念
不可约多项式Px ，如果𝑝(cid:3038)(cid:4666)𝑥(cid:4667)|𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)，而𝑝(cid:3038)(cid:2878)(cid:2869)(cid:4666)𝑥(cid:4667)∤𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)，则不可约多项式Px 称为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的k 重因
式．
如果k 0，那么Px 根本不是𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的因式；如果k=1，那么Px 称为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的单因式；如果k  1，
那么Px
称为𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的重因式．
（四）多项式函数
1．定义：设 f (x)  a xn a xn1 a xa 是P[x]中的多项式，是P 中的数，在（1）
n n1 1 0
中用代x所得的数a n  a n1  a a 称为 f (x)当x时的值，记为 f()．这
n n1 1 0
样，多项式 f (x)就定义了一个数域上的函数．可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式
函数．
2．定理1（余数定理）：用一次多项式x去除多项式 f (x)，所得的余式是一个常数，这个常数
等于函数值 f()．如果 f (x)在x时函数值 f()0，那么就称为 f (x)的一个根或零点．
注：由余数定理得到根与一次因式的关系．
推论是 f (x)的根的充要条件是(x)| f(x)．
由这个关系，可以定义重根的概念．称为 f (x)的k 重根，如果(x)是 f (x)的k 重因式．当
k 1时，称为单根；当k 1时，称为重根．
3．定理2：P[x]中n次多项式(n0)在数域P 中的根不可能多于n个，重根按重数计算．
根据余数定理，要求 f (x)当xc时的值，只需用带余除法求出用xc除 f (x)所得的余式．但
是还有一个更简便的方法，叫做综合除法．
设 f(x)  a xn a xn1 a xn2 a xa 并且设
0 1 2 n1 n
f(x) (xc)q(x)r．
其中q(x) b xn1 b xn2 b xn3 b xb .
0 1 2 n2 n1
比较等式中两端同次项的系数．得到
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b a ,
a b , 0 0
0 0
a b cb , b cb a ,
1 1 0 1 0 1

a
2
b
2
cb
1
, b
2
cb
1
a
2
,
 
a b cb , b cb a ,
n1 n1 n2 n1 n2 n1
a rcb . r cb a .
n n1 n1 n
这样，欲求系数b ，只要把前一系数b 乘以c再加上对应系数a ，而余式r 也可以按照类似的
k k1 k
规律求出．因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式：
c| a a a  a a
0 1 2 n1 n
) cb cb  cb cb
0 1 n2 n1

b b b  b | r
0 1 2 n1
下面介绍将一个多项式表成一次多项式x的方幂和的方法．所谓n次多项式 f (x)表成x的
方幂和，就是把 f (x)表示成 f(x) b (x)n b (x)n1 b (x)b 的形式．如何求
n n1 1 0
系数b ,b ,,b ,b ，把上式改写成
n n1 1 0
f(x) [b (x)n1 b (x)n2 b ](x)b ，
n n1 1 0
就可看出b 就是 f (x)被x除所得的余数，而
0
q (x) b (x)n1 b (x)n2 b 就是 f (x)被x除所得的商式．又因为
1 n n1 1
q (x) [b (x)n2 b (x)n3 b ](x)b ．
1 n n1 2 1
又可看出b 是商式q (x)被x除所得的余式，而
1 1
q (x) b (x)n2 b (x)n3 b (x)b ．就是q (x)被x除所得商式．这
2 n n1 3 2 1
样逐次用x除所得的商式，那么所得的余数就是b ,b ,,b ,b ．
0 1 n1 n
例．将 f(x) (x2)4 2(x2)3 3(x2)2 (x2)5展开成x的多项式．
注：将 f (x)表成x的方幂和，把写在综合除法的左边，将x的方幂和展开成x的多项
式，那么相当于将 f (x)表成(xc)c的方幂和，要把c写在综合除法的左边．
4．整系数多项式有理根的判别、Eisenstein判别法
（1）设𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)，𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)是整系数多项式，且𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)是本原多项式．如果(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)ℎ(cid:4666)𝑥(cid:4667)，其中ℎ(cid:4666)𝑥(cid:4667)是有理
系数多项式，那么ℎ(cid:4666)𝑥(cid:4667)一定是整系数多项式．
注：如果一个非零的整系数多项式g(x) b xn b xn1 b 的系数b ,b ,,b 没有异于
n n1 0 n n1 0
±1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式．
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（2）设𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑎 𝑥(cid:3041)(cid:3397)𝑎 𝑥(cid:3041)(cid:2879)(cid:2869)(cid:3397)⋯(cid:3397)𝑎 是一个整系数多项式，而(cid:3045)是它的一个有理根，其中𝑟，𝑠
(cid:3041) (cid:3041)(cid:2879)(cid:2869) (cid:2868)
(cid:3046)
互素，那么必有𝑠|𝑎 ，𝑟|𝑎 ．特别地，如果𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的首项系数a 1，那么𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)的有理根都是整根，而且是
(cid:3041) (cid:2868) n
𝑎 的因子．
(cid:2868)
（3）（Eisenstein判别法）设𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑎 𝑥(cid:3041)(cid:3397)𝑎 𝑥(cid:3041)(cid:2879)(cid:2869)(cid:3397)⋯(cid:3397)𝑎 是一个整系数多项式．如果有一个素
(cid:3041) (cid:3041)(cid:2879)(cid:2869) (cid:2868)
数 p，使得①𝑝 ∤𝑎 ；②𝑝|𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 ；③𝑝(cid:2870) ∤𝑎 ．那么𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)在有理数域上是不可约多项式．
(cid:3041) (cid:3041)(cid:2879)(cid:2869) (cid:3041)(cid:2879)(cid:2870) (cid:2868) (cid:2868)
二、能力训练
1．【2015下半年，高级1】若多项式f（x）=x4+x3-3x2-4x-1和g（x）=x3+x2-x-1，则f（x）和g（x）
的公因式为（ ）．
A．x+1 B．x+3 C．x-1 D．x-2
2．【2015下半年，初级5】若多项式f（x）=2x4-7x3+8x2+7x-8和g（x）=x2-3x+4，则 f(x)g(x)
的商和余式为（ ）．
A．2x2 x1，2x3 B．2x2 x3，2x1
C．2x2 x3，2x4 D．2x2 x1，0
3．【2015上半年，初级4，高级5】设x是代数方程 f(x)=0的根，则下列结论不正确的是（ ）．
A．x是 f(x)的因式
B．x整除 f(x)
C．(,0)是函数y f(x)的图象与x轴的交点
D． f()0
p
4．【2015上半年，高级11】x 是整系数方程3x3 bx2 cx8 0的根，其中p，q互素，证
q
明：p整除8，q整除3．
5．把 f (x)表成xx 的方幂和，即表示成c c (xx )c (xx )2 的形式．
0 0 1 0 2 0
（1） f(x) x5,x 1；
0
（2） f(x) x4 2x2 3,x 2;
0
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第九章 统计与概率
一、知识梳理
（一）随机事件的运算
1．运算
和事件：事件AB x|xA或xB 称之为事件A和B的和事件．易知：当且仅当事件A和
B 中至少有一个发生时， AB发生． AB又记为 AB ．类似地，我们还可以定义n 个事件
n 
A,A ,...,A 的和事件 A ，以及可列个事件A,A ,...的和事件 A ．
1 2 n k 1 2 k
k1 k1
积事件：事件AB x|xA且xB 称之为事件A和B的积事件．易知：当且仅当事件A和
B同时发生时，AB发生．AB简记为AB．类似地，我们也可以定义n个事件A,A ,...,A 的积事
1 2 n
n 
件 A ，以及可列个事件A,A ,...的积事件 A ．
k 1 2 k
k1 k1
差事件：事件ABx|xA且xB
称之为事件A与B的差事件．易知：当且仅当事件A发生
而事件B不发生时，AB发生．且AB AB  AAB．
2．运算法则
交换律：AB BA,AB BA．
结合律： ABC  ABC,ABC  ABC ．
分配律：
ABCACBC,ABCACBC
．
对偶率：AB  AB,AB  AB,A A．
吸收率：A B AB A,AB B．
（二）随机事件及其概率
1．频率与概率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次
n
数n 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 f A A 为事件A出现的频率．
A n n
（2）对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A发生的频率稳定在某个常数上，
把这个常数记作PA，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：0 P(A)1．
（2）必然事件的概率P(E)1．
（3）不可能事件的概率P(E)0．
（4）互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(AB) P(A)P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B)．
3．条件概率及其性质
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（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，
P(AB)
用符号P(B| A)来表示，其公式为P(B| A) (P(A)0)．
P(A)
（2）条件概率具有的性质：
①0 P(B| A)1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(BC| A) P(B| A)P(C| A)．
4．相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB) P(B| A)P(A) P(A)P(B)．
（3）若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．
（4）若P(AB) P(A)P(B)，则A与B相互独立．
例1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1
次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向
上的一面出现的点数不小于4，则（ ）．
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
（三）古典概型与几何概型
1．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
（1）具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
②每一个试验结果出现的可能性相等．
（2）如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本
1 m
事件的概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m 个，那么事件A的概率P(A) ．
n n
（3）古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数
P(A) ．
试验的所有可能结果数
例2．布袋里装有红．黄．蓝．绿四种不同颜色的小球各2个，现从布袋里随机抽取一个小球，则
该小球为红色的概率是________．
3．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型，简称为几何概型．
（1）几何概型中，事件A的概率计算公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A) ．
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（2）要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
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②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
0 x2
例3．设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原
0 y2
点的距离大于2的概率是（ ）．
π π－2 π 4－π
A． B． C． D．
4 2 6 4
（四）随机变量的分布
1．离散型随机变量及其分布
（1）定义：如果某一随机变量所有可能的取值为有限个或可列无限个，我们就称该随机变量为离散
型随机变量．
（2）分布律：对于离散型随机变量，我们只需要知道它所有可能的取值以及取每一个可能取值的概
率，就掌握了有关该随机变量的全部信息了．设随机变量X 所有可能的取值为x (k 1,2,...)，X 取各
k
个可能取值的概率为 p ，即PX  x  p (k 1,2,...)，则有如下性质：
k k k
① p 0(k 1,2,...)；
k

② p 1．
k
k1
上述两条性质也是一个数列可以作为某离散型随机变量的分布律的充要条件．我们称
PX  x  p (k 1,2,...)为随机变量X 的分布律．
k k
我们也常把分布律写成如下的表格形式：
X x x …… x ……
1 2 n
p p p …… p ……
k 1 2 n
2．分布函数
（1）定义：设X 为一随机变量，令Fx PX  x,xR，称此函数为随机变量X 的分布函
数．
（2）性质：分布函数满足下列性质：
①Fx
单调不减；
②0 Fx1, lim Fx1, lim Fx0；
x x
③Fx右连续
这3条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件．
注：①任何随机变量都有分布函数；分布函数与随机变量之间有一一对应的关系．
②设X 的分布函数为Fx，对任意的实数a,bab，有
a．Pa X b FbFa ．
b．PX b Fb
．
c．PX b FbFb．
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d．Pa X b FbFa．
 Ax
 ,x0
例4．设随机变量X 的分布函数为F(x)1x ，求常数A及P1 x2 ．
  0,x0
3．连续型随机变量及其分布
（1）定义：如果对于随机变量的分布函数Fx ，存在非负函数 f x ，使对于任意实数x 有
Fx  x f tdt，则称X 为连续型随机变量，其中函数 f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密

度或密度函数．
（2）概率密度的基本性质
假设 f x为某连续型随机变量的概率密度，则有
① f x0；②  f xdx1．

这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要条件．
（3）连续型随机变量的其他性质
设连续型随机变量X 的分布函数为Fx ，概率密度为 f x ，则
①Fx
是连续函数．
②若 f x 在点x处连续，则Fx f x ．
③对任意的实数c，PX c0．
④对于任意实数x ,x ,x  x ，
1 2 1 2
x
Px  X  x  Fx Fx   2 f xdx．
1 2 2 1
x
1
（五）常见的离散型随机变量
1．01分布
随机变量X 所有可能的取值只有0或者1，且取1的概率为 p0 p1 ，取0的概率为1 p，则
称该随机变量服从01分布．01分布的分布律为：
X 1 0
P p 1 p
2．二项分布
伯努利试验：如果试验只有两个结果A（成功），A（失败），且每次试验成功的概率是不变的，则
称这种试验为伯努利试验．将一个伯努利试验独立重复地进行n次，则称n重伯努利试验．
设在每次试验中，PA p0 p1，则在n重伯努利试验中事件A出现k 次的概率：
P kCkpk 1 pnk k 0,1,2,,n．
n n
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若随机变量X 的概率分布为PX kCkpk 1 pnk ,k 0,1,...,n，则称随机变量X 服从参数
n
为n,p的二项分布，并记X ~ Bn,p．
注：若X ~ Bn,p，那么X 表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其中PA p．
3．几何分布
若随机变量X 的概率分布为PX k1 pk1 p,k 1,2,......，其中参数 p 满足0 p1，则
称随机变量X 服从参数为 p的几何分布，并记X ~G(p)．
注：若 X ~G(p)，那么 X 表示在伯努利试验中，某事件 A首次发生时进行的试验次数，且
PA p．
（六）常见连续型随机变量
1．均匀分布
 1
 , a xb,
若连续型随机变量X 的概率密度为 f xba ，则称X 服从区间a,b上的均匀
  0, 其他.
分布，记为X~U（a,b）．
0, xa,

x xa
其分布函数：Fx  f tdt  ,a xb,
 ba

1, xb.

2．指数分布
ex, x0,
若连续型随机变量 X 的概率密度为 f x 其中参数0，则称 X 服从参数为
 0, x0.
的指数分布，记为X~E（）．
1ex, x0,
注：X~E（），则分布函数Fx
．
 0, 其他.
3．正态分布
（1）定义
x2
1 
若随机变量X 的概率密度函数为 f x e 22 xR，其中参数R,0，则称X
2
服从正态分布，记为X~N（,2）．特别地，将N0,1称为标准正态分布，其概率密度和分布函数
1 
x2
x 1 
t2
分别记作(x) e 2 与(x) e 2dt．
2  2
（2）常用性质
X 
①X~N（,2），则 ~N（0,1）．该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要思路：标准

化．
②正态分布N  ,2 具有对称性，也即其概率密度是关于直线x对称的．特别地，标准正态
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分布的概率密度是偶函数；该性质也可以概括成等式：xx1．
（七）正态分布
1．正态曲线及其性质
（1）正态曲线的定义
1


x2

函数 f(x) exp ,x, ，其中实数和(0)为参数，我们称
 2 22
 
f x 的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x对称；
1
③曲线在x处达到峰值 ；
 2
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，
曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
b
如果对于任何实数a,b(ab)，随机变量X 满足P(a X b) f(x)dx，则称随机变量X 服从
a
正态分布，记作N
 ,2
．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P( X )68.3% ；
②P(2 X 2)95.4%；
③P(3 X 3)99.7%．
例5．已知随机变量X 服从正态分布N  2,2 ，且P(X  4)0.8，则P(0 X  2)（ ）．
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
（八）一维随机变量函数的概率密度
若已知随机变量X 的概率密度为 f x ，随机变量Y  gX ，求Y 的概率密度．这类型的问题，
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我 们 常 采 用 的 是 分 布 函 数 法 ： 先 按 照 定 义 计 算 随 机 变 量 Y 的 分 布 函 数 ：
F Y yPY  yPgX y  f xdx ，进一步对F y求导，便可得Y 的概率密度．
Y
gxy
（九）一维随机变量的数字特征

1．定义（离散型）：设离散型随机变量X 的分布律为PX  x  p ,k 1,2,．若级数x p
k k k k
k1
 
绝对收敛，则称级数x p 的和为随机变量X 的数学期望，记为EX ．即EXx p ．
k k k k
k1 k1
2．定义（连续型）：设连续型随机变量X 的概率密度为 f x ，若积分 + xf xdx绝对收敛，则

称积分 + xf xdx的值为随机变量X 的数学期望，记为EX ．即EX + xf xdx．
 
3．一维随机变量函数的数学期望
设Y 是随机变量X 的函数：Y  gX （g 是连续函数）．

（1）X 是离散型随机变量，它的分布律为PX  x  p ,k 1,2,，若gx p 绝对收敛，
k k k k
k1

则有EY E

gX

gx
k
p
k
．
k1
（2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为 f x ．若  + gxf xdx 绝对收敛，则有

+
EY EgX  gxf xdx．
 

注：随机变量函数的期望，当我们求EY时，不必算出Y 的分布律或概率密度，而只需要利用X
的分布律或概率密度就可以了．
4．方差
定义：设X 是一个随机变量，若E

 X EX 
2
存在，则称E

  X EX 
2
为 X 的方差，
记为DX ，即DX E



X EX

2
．注：计算方差时一般会用到公式DX EX2 EX2 ．
二、能力训练
1．【2015上半年，高级6，初级6】设为离散型随机变量，取值{a ，a ，…，a }（a ，a ，…，a
1 2 n 1 2 n
n
两两不同），已知事件{ξ=a
k
}的概率为 p
k
（  p
k
1，0≤p
k
≤1）．记 ξ 的数学期望为E，则 ξ 的方差是
k1
（ ）．
n n
A． a Ep 2 B． a E2 p
k k k k
k1 k1
n  n  2
C．  a E p D． a E p
k k  k k 
k1  k1 
6
2．离散型随机变量X ～B(n, p),且E(X)3,D(X) ,则P(X 2)（ ）．
5
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72 144 1 72
A． B． C． D．
625 625 5 3125
0, x0,

1
3．设随机变量 X 的分布函数 Fx , 0 x1,，则PX 1（ ）．
2

 1ex, x1.
1 1
A．0 B． C． e1 D．1e1
2 2
4．【2017上半年，初级、高级5】设A和B为任意两个事件，且A B，P(B)0，则下列选项
中正确的是（ ）．
A．P(A)P(A|B) B．P(A)P(A|B)
C．P(A)P(A|B) D．P(A)P(A|B)
5．【2017下半年，高级6】已知随机变量X服从正态分布N(，2)，设随机变量Y=2X-3，则Y服
从的分布是（ ）．
A．N(23，22 3) B．N(23，42)
C．N(23，42 9) D．N(23，42 9)
6．【2018上半年高级】边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成64个边长为1的小正
方体，并将它们搅匀混在一起．随机取出一个小正方体，恰有两面为红色的概率是（ ）．
3 1 9 3
A． B． C． D．
8 8 16 16
7．【2017 下半年，初级 6】已知随机变量 X 服从正态分布N(，2)，设随机变量 Y=2X，那么 Y
服从的分布是（ ）．
A．N(2，22) B．N(4，42) C．N(2，42) D．N(，2)
8．【2018上半年初级】边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成64个边长为1的小正
方体，并将它们搅匀混在一起．随机取出一个小正方体，恰有两面为红色的概率是（ ）．
3 1 9 3
A． B． C． D．
8 8 16 16
(cid:2869)
9．【2016上半年，初级11】设概率空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，且这六个数的出现概率均为 ．设
(cid:2874)
事件A={1，3，5}，事件B={1，2}．请回答事件A和B是否独立，并说明理由．
10．【2016上半年，高级11】在体育活动中年，甲乙两人掷一枚六面分别标有1，2，3，4，5，6的
质地均匀的骰子．如果结果为奇数，则甲跑一圈，若结果为1或2，则乙跑一圈，请回答甲跑一圈和乙
跑一圈这两个事件是否独立，并说明理由．
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11．【2017 下半年，高级 10】据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有 60%是本专业考生，
有40%是非本专业考生，其中本专业考生的通过率是85%，非本专业的考生通过率是50%．某位考生通
过了考试，求该考生是本专业考生的概率．
12．【2015下半年，初级11，高级11】某飞行表演大队由甲、乙两队组成．甲队中恰好有喷红色与
绿色喷雾的飞机各3架．乙队中仅有3架喷红色烟雾的飞机．在一次飞行表演中，需要从甲队中任意选
出3架飞机与乙队飞机与混合编队进行表演，并任意确定一架飞机作为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色
烟雾的概率．
13．【2015上半年，高级10，初级10】某人从A处开车到D处上班，若各路段发生堵车事件是相
1
互独立的，发生堵车的概率如图2所示（例如路段AC发生堵车的概率是 ）．请选择一条由A到D的
10
路线，使得发生堵车的概率最小，并计算此概率．
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k
14．随机变量X 的分布律为 P{X k}C ,k 1,2,3...求C．
k!
15．设连续型随机变量 X 的分布函数为：
0, xa,

 x
FxABarcsin ,a xa,
a

1, xa.

求：（1）A和B ；（2）概率密度 f x．
16．【2017上半年，初级11】有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将
饮料放在外观相同的6个杯子中，每种品牌各3杯，作为试验样品．
（1）从 6 杯样品饮料中随机抽取 3 杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功．独
立进行5次试验，求3次成功的概率；
（2）某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌，现请他品尝试验样品中的 6 杯饮料进行品牌
区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功．他经过5次试验，有3次成功，可否由此判断
此人具有品尝区分能力？说明理由．
0,x0,

17．【2018下高级】设随机变量服从[0，1]上的均匀分布，即P（-，x）x,0 x1,求

1,x 1.

P 2 （-，x）．
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