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专题 09 导数的概念与运算
【考纲要求】
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
一、导数的概念和几何意义
【思维导图】
【考点总结】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
二、导数的计算
【思维导图】
【考点总结】
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(x>0，a>0且a≠1)
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数
x u x
等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|
反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【题型汇编】
题型一：导数的概念和几何意义
题型二：导数的运算
【题型讲解】
题型一：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满
足关系式 ，则当 时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
2．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满
足关系式， ，则当 时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． 米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
3．（2022·江西上饶·一模（理））设 为可导函数，且 ，则曲线
在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线 相切的是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·三模）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东潍坊·三模）过点 有 条直线与函数 的图像相切，当 取最大值时，
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， 为r（V）的
导函数．已知r（V）在 上的图象如图所示，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在 ，使得
2．（2022·重庆·三模）已知抛物线 的焦点为F， 为C上一点， .过C的
准线上一点P，作C的两条切线 ，其中A､B为切点.则下列判断正确的是（ ）
A． B．抛物线C的准线方程为
C．以线段 为直径的圆与C的准线相切 D．直线 恒过焦点F
题型二：导数的运算一、单选题
1．（2022·陕西咸阳·二模（文））下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·云南昆明·一模（文））已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线 在点 处的切线方程为 ，
则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知函数 ，曲线
以点 为切点的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西太原·二模（理））已知函数 图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西萍乡·二模（理））若函数 的图象在 处的切线斜率为 ，则 ( )
A． B． C． D．
7．（2022·安徽黄山·二模（理））已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新疆·一模（理））若函数 的导函数是奇函数，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有
，且 ，若 在 上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数 的定义域为 ， 是函数 的导函数，
，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若曲线 在点 处的切线的斜率为2，则
______．
