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专题 09 导数的概念与运算
【考纲要求】
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
一、导数的概念和几何意义
【思维导图】
【考点总结】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
二、导数的计算
【思维导图】
【考点总结】
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
(a>0且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x
a
f′(x)＝
(x>0，a>0且a≠1)
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数
x u x
等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|
反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【题型汇编】
题型一：导数的概念和几何意义
题型二：导数的运算
【题型讲解】
题型一：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满
足关系式 ，则当 时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得到 ，即得解.
【详解】
解：由题得 ，
当 时， ，
故当 时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C2．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满
足关系式， ，则当 时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． 米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出导数，再代入 计算即可.
【详解】
，当 时， ，故当 时，该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选：B.
3．（2022·江西上饶·一模（理））设 为可导函数，且 ，则曲线
在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】
由导数的几何意义，点 处的切线斜率为 ，
因为 时， ，
所以 ，
所以在点 处的切线斜率为 ，
故选：D.
4．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线 相切的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直线 的斜率为 ，且经过点 ，利用导数的几何意义分别判断 是否为选项中曲线的切
线即可.
【详解】
直线 的斜率为 ，且经过点 ，
选项A. 点 在曲线 上，但曲线 在点 处的切线的斜率不存在,故不正确.
选项B. 由 ，则 ，设切点为 ，则 ，则
所以切点为 ，显然点 不再在直线 上，故不正确.
选项C，曲线 过点 ，又
当 时， ，所以曲线 在点 处的切线方程为：
所以曲线 与直线 相切，故正确.
选项D. 由 ，则 ，设切点为 ，则 ，则
所以切点为 ，显然点 不在直线 上，故不正确.
故选：C
5．（2022·山东烟台·三模）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
解：作出函数 的图象如图：
依题意方程 有且仅有三个实数解，即 与 有且仅有三个交点，
因为 必过 ，且 ，
若 时，方程 不可能有三个实数解，则必有 ，
当直线 与 在 时相切时，
设切点坐标为 ，则 ，即 ，
则切线方程为 ，
即 ，
切线方程为 ，
且 ，则 ，所以 ，即当 时 与 在 上有且仅有一个交点，
要使方程 有且仅有三个的实数解，
则当 时 与 有两个交点，设直线 与 切于点 ，
此时 ，则 ，即 ，
所以 ，
故选：B
6．（2022·山东潍坊·三模）过点 有 条直线与函数 的图像相切，当 取最大值时，
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导分析 的图象可得 ，再设切点坐标为 ，由题可得 有三根，再
构造函数 求导分析图象单调性与最值即可
【详解】
由 ， ，故当 时， ， 单调递减，且 ；当 时，
， 单调递增，结合图象易得，过点 至多有3条直线与函数 的图像
相切，故 .此时，设切点坐标为 ，则切线斜率 ，所以切线方程为 ，
将 代入得 ，存在三条切线即函数 有三个不同的根，又
，易得在 上， ， 单调递增；在 和 上，
， 单调递减，画出图象可得当 ，即 时符合题意
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数
与参数取值范围的问题，属于难题
二、多选题
1．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， 为r（V）的
导函数．已知r（V）在 上的图象如图所示，若 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．存在 ，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】
A：设 ，由图得 ，所以该选项错误；
B:根据图象和导数的几何意义得 ，所以该选项正确；
C:设 ，所以该选项错误；
D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.
【详解】
解：A：设 ，由图得 ，所以 所以
，所以该选项错误；
B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得 ，所以该选项正确；
C:设 ，因为 所以 ，所
以该选项错误；
D: 表示 两点之间的斜率， 表示 处切线的斜率，由于，所以可以平移直线 使之和曲线相切，切点就是点 ,所以该选项正确.
故选：BD
2．（2022·重庆·三模）已知抛物线 的焦点为F， 为C上一点， .过C的
准线上一点P，作C的两条切线 ，其中A､B为切点.则下列判断正确的是（ ）
A． B．抛物线C的准线方程为
C．以线段 为直径的圆与C的准线相切 D．直线 恒过焦点F
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由 ，利用抛物线的定义求解判断A；由 ，利用抛物线的定义求解判断B；利用导数求得切
线PA，PB的方程，从而得到AB的直线方程求解判断CD.
【详解】
如图所示：
因为 为C上一点，且 ，所以 ，解得 ，A正确；
抛物线方程为 ，其准线方程为 ，B不正确；
由 ，得 ，
设 ，
则直线PA的方程为 ，
由点A在直线上，得 ，即 ，
则直线PB的方程为 ，
由点B在直线上，得 ，即 ，
所以直线AB的方程为 ，
所以直线AB过定点 ，C正确；
设线段AB的中点为C，由图象和抛物线定义知： ，
所以以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，D正确.
故选：ACD
题型二：导数的运算
一、单选题
1．（2022·陕西咸阳·二模（文））下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.
【详解】
，A错误；
，B错误；
，C错误，
，D正确.
故选：D
2．（2022·云南昆明·一模（文））已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为 ，根据导数的几何意义可得 ，再利用切点也在 上，即可求解.
【详解】
设切点为 ，
，故
又 ，
解得 ，
故选：D
3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，依题意可得 ，即可求出 ，再将切点代入切线方程，即可求出 ；
【详解】
解： ， ，
∴ ，∴ ．将 代入 得 ，∴ ．
故选：C．
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知函数 ，曲线
以点 为切点的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得 的导数，利用导数的几何意义，代入 可得切线的斜率，求得 ，由直线的点斜式方程
可得切线的方程．
【详解】
∵ ，
∴ ， ，又 ，
∴曲线 以点 为切点的切线方程是 ，即 .
故选：D.5．（2022·山西太原·二模（理））已知函数 图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件用换元法令 ，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，
根据已知条件得出 ，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由 ，令 ，
由 ，
得
，所以
由题意可知，存在 ，使得 ，
只需要 ，即 ，所以 ， ，
所以 的最大值为 .
故选: D.
【点睛】
解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出 ，再利用三角函数的性质即可
求解.
6．（2022·江西萍乡·二模（理））若函数 的图象在 处的切线斜率为 ，则 ( )
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
【分析】
求f(x)导数，由题可知 即可求a的取值．
【详解】
∵ ，∴ ，
若函数 的图象在 处的切线斜率为 ，
则 ．
故选：A．
7．（2022·安徽黄山·二模（理））已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数求导，然后令 ，求出 ，从而可求出 的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以所求切线方程为 ，即 ，
故选：A8．（2022·新疆·一模（理））若函数 的导函数是奇函数，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项.
【详解】
对于A：由 ，得 定义域为 关于原点对称， ，所以
是偶函数，故选项A不正确；
对于B：由 ，得 ，定义域为 关于原点对称， ，
， ，所以 既不是奇函数也不是偶函数，故选项B不正确；
对于C：由 ，得 是奇函数，故选项C正确；
对于D：由 ，得 ，定义域为 不关于原点对称， 既不是
奇函数也不是偶函数，故选项D不正确；
故选：C.
9．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有
，且 ，若 在 上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，结合已知易得 ，即可写出 ，进而得到 ，再由 、 确定
关于 的含参数 的解析式，根据题设有 在 上有零点，进而求 的范
围.
【详解】
令 ，则 ，
∴ ， ，故 ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ 在 上有极值点，
∴ 在 上有零点，且 ， ，
则 ，即 .
故选：C
【点睛】
关键点点睛：构造 ，结合已知求出 的解析式并写出 ，根据极值点的区间，将问题转
化为一元二次函数在区间上零点求参数范围.
10．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数 的定义域为 ， 是函数 的导函数，
，则下列不等关系正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将给定不等式变形，构造函数 ，利用函数 单调性逐项判断作答.
【详解】
函数 的定义域为 ，则 ，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
对于A， ，即 ，A正确；
对于B， ，即 ，B不正确；
对于C， ，即 ，C不正确；
对于D， ，即 ，有 ，D不正确.
故选：A
二、填空题
1．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，根据此方
程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】
∵ ，∴ ，设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若曲线 在点 处的切线的斜率为2，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.
【详解】
由题意可得 ，
故 ，
故答案为：
