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第 9 讲 导数的概念及运算
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.导数的概念
(1)称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率 为函数y＝
0
f(x)
在x＝x 处的导数，记作f′(x )，即f′(x )＝ .
0 0 0
(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，
记作 f ′( x ) (或y′，y ′)，即f′(x)＝y′＝y ′＝ ，导函数也
x x
简称为导数.
2.导数的几何意义
f′(x )是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线的斜率，从而在点(x ，f(x ))处的切线
0 0 0 0 0
方程为 y － f ( x ) ＝ f ′( x )·( x － x ).
0 0 0
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0；(2)(xα)′＝ α · x α － 1 ；
(3)(ax)′＝ a x ·ln a ；(4)(log x)′＝；
a
(5)(sin x)′＝ cos x ；(6)(cos x)′＝ － sin x；
(7)(ex)′＝ e x；(8)(ln x)′＝.
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′( x )± g ′( x ) ；
(2)[f(x)g(x)]′＝ f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝ Cf ′( x ) .
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′
(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为
h′(x)＝[f(g(x))]′＝ f ′( u )· g ′( x ) ＝f′(g(x))·g′(x)，即y ′＝y ′· u ′.
x u x二、考点和典型例题
1、导数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·河北·模拟预测）曲线 在 处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】
， .
故选：B.
【典例1-2】（2022·山东枣庄·三模）曲线 在点 处的切线与直线
垂直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设 ，则 ，直线 的斜率为 ，
由题意可得 ，解得 .
故选：C.
【典例1-3】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点 可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【详解】作出 的图象，由图可知，
若过点 可以作曲线 的两条切线，点 应在曲线外，
设切点为 ，所以 ， ，
所以切线斜率为 ，
整理得 ，即方程在 上有两个不同的解，
所以 ， ，
所以 且 .
故选：D．
【典例1-4】（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线 在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵
∴ ，所以 ，
又当 时， ，
所以 在点 处的切线方程为： ，即 .
故选：A.
【典例1-5】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点 可作出曲线 的三条切线，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知，曲线 ，即令 ，则 ，
设切点为 ，切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为： ，将点 代入方程得： ，整
理得 ，
设函数 ，过点 可作出曲线 的三条切线，
可知两个函数图像 与 有三个不同的交点，
又因为 ，由 ，可得 或 ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极大值为 ，函数 的极小值为 ，
如图所示，当 时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
2、导数的运算
【典例2-1】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数 的导函数为 ，
且满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．-1 D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选： .
【典例2-2】（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足
， ， ，那么 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C【详解】
由 两边同时乘x可得：
，
又 ，
因此 ．
由 ，即 ，可得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C﹒
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数 ， 满足 且
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
取 ，则有 ，即 ，又因为 所以
，所以 ，所以
.
故选：C
【典例2-4】（2022·江苏盐城·三模）已知 为 的导函数，且满足 ，对任
意的 总有 ，则不等式 的解集为__________．【答案】 ##
【详解】
设函数 ，则
又
所以 在 上单调递增，又
故不等式 可化为
由 的单调性可得该不等式的解集为 ．
故答案为：
【典例2-5】（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知
，且 ， ，那么
___________.
【答案】
【详解】
因为 ，
所以， ，
即 ，所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，解得 ，所以， ，因此， .
故答案为： .
3、导数运算的综合
【典例3-1】（2020·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））已知 ，
且 ，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ ，
∴ ，
，
，
．
故选：D．
【典例3-2】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与
曲线 ： 和圆 ： 均相切，则 （ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【答案】D
【详解】
设直线l： 与曲线 相切，切点为 ，因为 的导
数为 ，由 ，解得 ，所以切点为 ，代入 得，所以切线方程为 .将 化为标准方程为
，因为l与圆 相切，所以 ，解得 .
故选：D
【典例3-3】（2022·山西太原·二模（理））已知函数 图象上存
在两条互相垂直的切线，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，令 ，
由 ，
得
，所以
由题意可知，存在 ，使得 ，
只需要 ，即 ，所以 ， ，
所以 的最大值为 .
故选: D.
【典例3-4】（2022·江西南昌·二模（理））已知函数f ，若函
数 的图象上存在两个点 ， ，满足 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由函数解析式， 时， ， ，
时， ， ，
综上 ， 为偶函数，
易知 时， 单调递增， 时， 单调递减，
显然有 ，因此要使得 成立，则 ，
即 两点在 的同侧，
由 是偶函数，不妨设 两点都在 轴右侧，即 在 的图象上，
， ， ，
等价于存在 使得 ，
设 ， ，设 的图象过原点的切线的切点为 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 （ ）的图象过原点的切线斜率为1，即 （ ）的图象上
的点与原点连线的斜率的最小值是1，
设 ， ，则 为 (*)，
要使得存在 使得(*)式成立，则 ，又 ，所以 ．
故选：C．
【典例3-5】（2022·山西太原·一模（理））已知实数 ， 满足 ，，则 （ ）
A．112 B．28 C．7 D．4
【答案】B
【详解】
由 得： ，即 ，显然有 ，
令 ，则有 ，即有 在 上单
调递增，
依题意， ，即 得： ，又 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：B
