第22讲导数的应用（学生版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习对点题型（新高考专用）_第22讲导数的应用

第22讲 导数的应用 真题展示 2022 新高考一卷第 22 题 已知函数 和 有相同的最小值． （1）求 ； （2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 试题亮点 试题落实了高考评价体系中“一核四层四翼”的总要求，题目简洁，函数类 型也是考生非常熟悉的，体现了基础性，有利于增强学生解决困难问题的信心 和决心．但考生上手做题后就会发现，试题的设计常规中又蕴含很多的创新， 因而考生会产生似曾相识但难以入手的感觉，需要在解题过程中综合运用所学 知识不断发现，逐步推进试题有效考查了考生推理论证、运算求解等关键能力， 考查了考生对数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的理解与掌握， 对学生思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求.试题计算量很小，重 思维，解答长度适中，设计由浅入深，层次分明，内涵丰富，重点突出，很好 地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程 度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查考生进一步学习的潜能，有利于 人才选拔，对中学数学教学具有较好的引导作用.知识要点整理 常用结论 sinx 1 ⑴ ，变形即为 x ，其几何意义为y sinx,x(0,)上的的点与原点连线斜率 小于1. ex  x1 ⑵ xln(x1) ⑶ lnx xex,x0 ⑷ . 导数单调性、极值、最值的直接应用 f(x)x2 a 1. （切线）设函数 . a1 g(x)xf(x) [0,1] （1）当 时，求函数 在区间 上的最小值； a0 y f(x) P(x , f(x ))(x  a) l l x A(x ,0) （2）当 时，曲线 在点 1 1 1 处的切线为 ， 与 轴交于点 2 求证： x x  a 1 2 . f(x)(x2 ax2a2 3a)ex(xR), aR 2.已知函数 其中 a0 y  f(x)在点(1, f(1)) ⑴当 时，求曲线 处的切线的斜率； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 a  ⑵当 3时，求函数 f(x)的单调区间与极值.1 f(x)  x2 2ax,g(x) 3a2lnxb. 3.已知函数 2 y  f(x)与y  g(x) a 0 b a ⑴设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 ，试建立 关于 的函 b 数关系式，并求 的最大值； b[0,2],h(x)  f(x) g(x)(2ab)x a ⑵若 在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。 2ax2 1 f(x)(2a)lnx (a0) 4.设函数 x ． f(x) (1)讨论函数 在定义域内的单调性； a(3,2) x ,x [1,3] (mln3)a2ln3| f(x ) f(x )| m (2)当 时，任意 1 2 ， 1 2 恒成立，求实数 的取值 范围． g(x) xR g(x1)g(1x) x2 2x1 g(1)1 5.已知二次函数 对 都满足 且 ，设函数 1 9 f(x) g(x )mlnx 2 8 （mR，x0）．g(x) （Ⅰ）求 的表达式； xR f(x)0 m （Ⅱ）若 ，使 成立，求实数 的取值范围； 1me H(x) f(x)(m1)x x，x [1,m] |H(x )H(x )|1 （Ⅲ）设 ， ，求证：对于 1 2 ，恒有 1 2 ． f x  x2 axb  e3x,xR 2. 设x3是函数 的一个极值点. f x a b a b （1）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；  25 a0,gx a2  ex （2）设   4   ，若存在 1 , 2 0,4 ，使得 f  1 g 2  1 成立，求a的取值范围. f x  x2 axb  e3x 解：（1）∵ ∴ f 'x2xa' e3x   x2 axb  e3x1   x2 a2xba  e3x 由题意得： f '30， 32 3a2ba0 b2a3 即 ， f x  x2 ax2a3  e3x f 'xx3xa1e3x ∴ 且 f 'x0 x 3 x a1 令 得 1 ， 2 f x  x2 axb  e3x,xR ∵x3是函数 的一个极值点 x  x a4 ∴ 1 2，即 b2a3,a4 a b 故 与 的关系式为 . a4 x a13 f 'x0 3,a1 当 时， 2 ，由 得单增区间为： ； f 'x0 ,3 a1, 由 得单减区间为： 和 ； a4 x a13 f 'x0 a1,3 当 时， 2 ，由 得单增区间为： ；f 'x0 ,a1 3, 由 得单减区间为： 和 ； a0 x a10 f x 0,3 3,4 （2）由（1）知：当 时， 2 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， f(x) minf(0), f(4) (2a3)e3, f x  f 3a6 min max , f x 0,4 [(2a3)e3,a6] ∴ 在 上的值域为 .  25 gx a2  ex 易知   4   在 0,4 上是增函数,  25  25  a2  , a2  e4 ∴gx在0,4上的值域为   4   4     . 2  25  1 a2  a6 a 0 由于    ，  4   2 , 0,4 f g 1 又∵要存在 1 2 ，使得 1 2 成立，  a 0  ∴必须且只须     a2  25  a61解得: 0a 3.  4  2  3 0,   所以，a的取值范围为 2. 三年真题 1．已知 ，函数 (1)求函数 在 处的切线方程； (2)若 和 有公共点， （i）当 时，求 的取值范围；（ii）求证： ． 2．设函数 ． (1)求 的单调区间； (2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证 明： （ⅰ）若 ，则 ； （ⅱ）若 ，则 ． （注： 是自然对数的底数） 3．已知函数 ． (1)当 时，求 的最大值； (2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．4．已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线． (1)若 ，求a； (2)求a的取值范围． 5．已知函数 和 有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交 点的横坐标成等差数列． 6．已知 ，函数 ． （I）求曲线 在点 处的切线方程： （II）证明 存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．7．已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点 ① ； ② ． 8．已知函数 ． （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值． 9．设a，b为实数，且 ，函数（1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . (注： 是自然对数的底数) 10．设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 11．设函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.12．已知 且 ，函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围． 13．已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： . 三年模拟 1．已知函数 . (1)证明： ； (2)已知函数 与函数 的图象恰有两个交点，求实数 的取值范围.2．已知函数 ， . (1)若 ，求 的单调区间. (2)若 ，且 在区间 上恒成立，求a的范围； (3)若 ，判断函数 的零点的个数. 3．已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)若函数 的图像与 的图像最多有一个公共点，求实数 的取值范围. 4．已知函数 . (1)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围； (2)当 时，关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.5．已知函数 且 . (1)设 ，讨论 的单调性； (2)若 且 存在三个零点 . 1）求实数 的取值范围； 2）设 ，求证： . 6．已知函数 ,其中 . (1)求函数 在点 的切线方程; (2)函数 是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; (3)若关于 的不等式 在区间 上恒成立,求实数 的取值范围.7．已知函数 ，其中e为自然对数的底数. (1)求 的单调区间： (2)若函数 在区间 上存在零点，求实数a的取值范围. f x f a y f x gx xa f x 9．已知定义域为R的函数 .当aR时，若 xa 是严格增函数，则称 是 Ta 一个“ 函数”. f x5x3 f x2x2x2 T1 (1)分别判断函数 1 、 2 是否为 函数； ex,x0 hx (2)是否存在实数b，使得函数 bx1,x0，是T1函数？若存在，求实数b的取值范围；否则， 证明你的结论； (3)已知 Jxex qx21  ，其中 qR .证明：若 Jx 是R上的严格增函数，则对任意nZ， Jx 都是 Tn 函数.f xxalnx1 10．已知 f x (1)讨论 的单调性； x0, f (x)>a2- a a (2)对 ，使得 恒成立，求实数 的取值范围. f xaxelnx,gxexxe,x0,,a 11．已知函数 为常数. f11e f x (1)若 ，求 的最小值； xe f xgx (2)在（1）的条件下，证明： . 1 12．设函数 ，函数v(x) x2axlnxa（ ）. u(x)lnxaxa 2 aR u(x) (1)求 的单调区间； f(x)v(x)u(x) g(x) f(x)0 x x x x x x f x  (2)若 ， 有三个不同实根 1， 2， 3（ 1 2 3），试比较 1 ， f x  f x  2 ， 3 的大小关系，并说明理由.u(x)lnxaxa aR 13．设函数 （ ）． u(x) (1)求 的单调区间； x (2)若 f(x)u(x)a1 的两个零点 x,x 且 2 2 x 1 0，求证：2lnx 3lnx 8ln25 1 2 1 2 f xx2xalnxa0 14．已知函数 . f x (1)求 的单调区间； f x0 a (2)①若 ，求实数 的值；  1 1  1 1  1    1    lnn1 ②设nN*，求证： 2 n  4 n2  . f(x)lnx1 15．已知函数 . g(x)mf(x)x1 x1 y2x g(x) x1 (1)若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，求函数 在 处的切线方程；1 (2)求证：当a 时，不等式 在 上恒成立. 2 af(x)1 x a [1,e] y f xxD y f x D M 16．若函数 同时满足下列两个条件，则称 在 上具有性质 ． y f x fx D ① 在 上的导数 存在； ②y fx 在D上的导数 fx 存在，且 fx0（其中 fx  fx   ）恒成立． 1 (1)判断函数ylg 在区间0,上是否具有性质 ？并说明理由． x M b (2)设 、 均为实常数，若奇函数gx2x3ax2 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得ygx a b x x1 c c, 在区间 上具有性质M ？若存在，求出 c 的取值范围；若不存在，请说明理由． 1lnx1 k x0,  (3)设kZ且k 0，对于任意的 ，不等式 x x1成立，求k的最大值．