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第 22 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【基础知识网络图】
同角三角函数基本关系式
同角三
角函数
基本关
系式和
诱导公
式
诱导公式
【基础知识全通关】
1、同角三角函数基本关系式
1．平方关系： .
2．商数关系： .
3．倒数关系：
注意：
①同角三角函数的基本关系主要用于：
（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值
（2）证明三角恒等式
（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如 ，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化
弦法”、消去法及方程思想的运用.
2、诱导公式注意：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
π π 3π
±α ±α
2 2 2
“奇变”是指所涉及的轴上角为 的奇数倍时（包括4组： ， ）函数名称
变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
π
2
“ 偶 不 变 ” 是 指 所 涉 及 的 轴 上 角 为 的 偶 数 倍 时 （ 包 括 5 组 ：
2kπ+α, −α, π±α, 2π−α
）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数
值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
【考点研习一点通】
考点01同角三角函数基本关系式及诱导公式1. 已知 ， ，求 、 的值．
【答案】 ， .
【解析】方法一：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， .
方法二：∵ ，∴ ，
由图形可以知道： ， .
【总结】①利用公式： 求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数
值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值
两部分组成”.
【变式1-1】已知 ， ，求 、 .
【答案】 ； ．
【解析】∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， .
考点02三角函数式的求值、化简与证明
2、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________．
【答案】－1
【解析】由已知可得tanα＝－2
故答案为：－1
【总结】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙
用，解决某些问题可用“1”代换，如 .
【变式2-1】已知角 终边上一点 ，求 的值.
【解析】 角 上终边上一点
，
.
【变式2-2】化简
【答案】
【解析】原式【变式2-3】证明
【解析】分析法：要证 成立，
只要证 成立
只要证 成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
考点03三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想
3、已知 ，求下列各式的值：
（1） （2）
【解析】方法一：由 可得 ，即 ，
原式 .
原式 .
方法二：由已知得 ，
原式 .
原式 .【总结】
已知 的条件下，求关于 的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几
点：一定是关于 的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
因为 ，所以可以用 除之，这样可以将被求式化为关于 的表
达式，可整体代入 ，从而完成被求式的求值运算.
注意 的应用.
【变式3-1】已知 ，且 ．求 、 的值；
【答案】 ；
【解析】
方法一：由 可得： ，
即 ，∴
∵ ，
∴ 、 是方程 的两根，
∴ 或
∵ ， ∴ ，∴ ， ，
∴
方法二：由 可得： ，
即 ，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴
由
∴
【总结】对于 这三个式子，已知其中一个式子的
值，可以求出其余两个式子的值，如：
；
；
.
【考点易错】
1、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率 的方法有多
种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大
时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达
式是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为
，所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，单位圆的外切正 边
形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外
切正 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
2、若 ，则 __________．【答案】
【解析】 .
故答案 为.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
3、若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．
【答案】 ( 均可)
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，
故可取 .
故答案为： ( 均可).
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考
查学生的数学运算能力，属于基础题.
4、已知 ，则 _______， _______．
【答案】 ；
【解析】 ，
，故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能
力，属基础题.
5、、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内
角．
【解析】 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±.
(1)当cosA＝时，cosB＝，
又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
6、、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解析】 (1)原式＝＋＝
＋＝＝sinθ＋cosθ.
由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.
(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，
又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝.
(3)由得
或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.
【巩固提升】
1．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2、已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
.
故选：D.
3、已知 ，且 ，则
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 .
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，
考查计算求解能力，属于基础题.
4、. 若sin = ,则cos(2π-α)= ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵sin =cos α=- ,∴cos(2π-α)=cos α=- .故选A.
5、若 ，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，由诱导公式可得 ，即，
∴ ．
故选：C
6、已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=
A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
7、 是第三象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是第三象限角，且 ，
所以 ，所以 ，故选B。
8、sin 600°＋tan 240°的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】：C
【解析】：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°
＝－＋＝．
9、角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角 的终边在直线 上， ，
则 ，故选
C。
10、角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角 的终边在直线 上， ，
则 ，故选
C。
11、(1)若tan(α－π)＝，则＝( )
A.－ B.－2 C. D.2
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A.－ B. C.－ D.
【答案】 (1)D (2)D【解析】(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，
＝＝＝＝2.
（2）sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
12、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．
【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，
由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，
所以sin(75°+α)= ．
1
因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=- ，
3
所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= ．
13、已知sin(3πα)= cos ， cos(α)= cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β
的值．
【解析】：由已知等式可得sin α= sin β，①
cos α= cos β．②
2
两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sin α=± ．
2
2 3
又因为0<α<π，所以sin α= ，α= 或 ．
2 4 4
1 3
当α= 时，由①②可得sin β= ，cos β= ，
4 2 2
又0<β<π，所以β= ;
6
3 1 3
当α= 时，由①②可得sin β= ，cos β=- ，
4 2 2
又0<β<π，所以β= ．故 或 ．
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论
间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
14、已知＜α＜π，tan α－＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
【解析】 (1)令tan α＝x，则x－＝－，2x2＋3x－2＝0，
解得x＝或x＝－2，因为＜α＜π，
所以tan α＜0，故tan α＝－2.
(2)＝＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
