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专题18 构造函数法解决导数问题
1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算
法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类
问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然
后利用该函数的性质解决问题．
2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、
逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、
逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问
题．
(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、
逆用“＝′”，构造可导函数y＝，再利用该函数的性质巧妙地解决问题．
3．构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.
题型一 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数
1．设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cos x<0，则当x≤0时，有( )
A．f(x)＋sin x≥f(0) B．f(x)＋sin x≤f(0) C．f(x)－sin x≥f(0) D．f(x)－sin x≤f(0)
2．设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论一定错误的是( )
A．f< B．f> C．f< D．f>
3．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，
则不等式f(log |3x－1|)<3－log x－1|的解集为( )
2 |3
A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)
4．设定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝2，f′(x)<1，则不等式f(x2)>x2＋1的解集为________．
5．定义在R上的函数 f(x)，满足f(1)＝1，且对任意 x∈R都有f′(x)＜，则不等式 f(lg x)＞的解集为
__________．
题型二 构造f(x)·g(x)型可导函数
1．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，
则不等式f(x)g(x)>0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)2．设y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线f(x)在点(1,2)
处的切线为y＝g(x)，且g(a)＝2 018，则a等于( )
A．－501 B．－502 C．－503 D．－504
3．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上单调递减 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)在R上有最大值 D．f(x)在R上有最小值
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，其导函数为f′(x)，且满足＋x<1，则下列结论正确的是( )
A．对于任意x∈R，f(x)<0 B．对于任意x∈R，f(x)>0
C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0 D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0
5．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)<＋2的解集为________．
6．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2，则下列不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＞x D．f(x)＜x
7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f′(x)＞0恒成立，且f(2)＝(e为自然对数的底数)，
则不等式exf(x)－e ＞0的解集为________．
题型三 构造型可导函数
1．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0, 当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x
的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
2．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
3．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)，则有( )
A．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) B．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)
C．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) D．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)
4．已知定义在R上函数f(x)，g(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)>0，g(x)>0，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0.
若a，b∈R＋且a≠b，则有( )
A．fg>f()g() B．fg<f()g()
C．fg()>gf() D．fg()<gf()
5．设f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足xf′(x)－2f(x)>0，若在△ABC中，角C为钝角，则( )
A．f(sin A)·sin2B>f(sin B)·sin2A B．f(sin A)·sin2B<f(sin B)·sin2A
C．f(cos A)·sin2B>f(sin B)·cos2A D．f(cos A)·sin2B<f(sin B)·cos2A
x1 x2
6．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x＜x，则e f(x)与e f(x)的大小关系为( )
1 2 2 1
x1 x2 x1 x2
A．e f(x)＞e f(x) B．e f(x)＜e f(x)
1 2 1 2 1
x1 x2 x1 x2
C．e f(x)＝e f(x) D．e f(x)与e f(x)的大小关系不确定
2 1 2 1专项突破练 构造函数法解决导数问题
一、单选题
1．已知 是定义在R上的偶函数， 是 的导函数，当 时， ，且 ，
则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．定义在 上的函数 的图象是连续不断的一条曲线，且 ，当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3． 是定义在R上的函数， 是 的导函数，已知 ，且 ， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 的图像关于直线 对称，且当 ， 成立，若， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知f（x）为定义在R上的可导函数， 为其导函数，且 恒成立，其中e是自然对数
的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，则下列式子一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 恒成立， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在 上的函数 ， 为其导函数，满足① ，②当 时，
.若不等式 有实数解，则其解集为（ ）A． B．
C． D．
11．已知定义域为 的函数 满足 ，且 ，e为自然对数的底数，若关于x
的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 为定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满足 ，
，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 ，若 且 ，则有（ ）
A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C． 时， D．
14．定义在R上的函数 满足 ，且 ， 是 的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．15．设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有 ，若
， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．设 ， 是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足 ，则当
时，有（ ）
A． B．
C． D．
18．已知定义在R上的函数 图像连续，满足 ，且 时，
恒成立，则不等式 中的x可以是（ ）
A． B． C． D．
19．定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
20．已知 是 上的可导函数，且 对于任意 恒成立，则下列不等关系正确的是
（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
21．已知 是 上的奇函数， 是在 上无零点的偶函数， ，当 时，
，则使得 的解集是________
22．已知函数 是 上的奇函数， ，对 ， 成立，则
的解集为_________．
23．已知函数 的导函数为 ，且对任意 ， ，若 ， ，则
的取值范围是___________.
24．定义在 上的函数满足 ，且对任意 都有 ，则不等式 的解集为
__________.
25．若 为定义在 上的连续不断的函数，满足 ，且当 时， .
f ' ( x )≥0
若 ，则 的取值范围___________.
26．已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为___________.
27．已知定义在 的函数 满足 ，则不等式 的解集为
___________.28．若定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解集为
________________．
29．已知定义在R上的函数 的导函数为 ，且满足 ﹐ ，则不等式
的解集为___________.
30．已知函数 在R上可导，对任意x都有 ，当 时， ，若
，则实数 的取值范围为_________
31．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若对于任意的 ，当 时，都有 ，求实数 的取值范围.
32．已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ．
(1)求 的值；
(2)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
33．设函数 ．
(1)求函数 的单调区间；(2)若 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明： ．
34．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，若 对 恒成立，求正实数 的取值范围.
