专题07导数与隐零点问题（讲）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题07导数与隐零点问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围． 2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 3．（2019·全国·高考真题（理））已知函数 . （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x，ln x )处的切线也是曲线 的切线. 0 0 0 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层 次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明 不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调 性有机结合，设计综合题. 2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值 范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等. 零点问题中另有一个比较重要的存在，就是隐零点问题.隐零 点就是指一个函数 ，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本 不需要计算，只需利用他的存在去解答题目. （二）本专题考向展示考点突破 典例分析 考向一 利用“隐零点”研究极（最）值问题 【核心知识】 在利用导数研究极（最）值问题时，我们往往利用零点的存在性，对函数的零点设而不求，通过整体代换、构 造函数等，再结合题目条件解决问题． 【典例分析】 f xa ex1xb f x 典例1.【多选题】（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）已知函数 ，若 在区 1,2 a2b2 间 上有零点，则 的值可以为（ ） 1 1 2 A．e B． e C．e D．1 f(x)lnx 典例2. （2022·江苏淮安·高三期中）已知函数 (1)求曲线 f(x)在 xe 处的切线方程； f(x) (2)已知g(x)  f(x)，求证：存在实数 使得 在 处取得最大值，且 1x x g(x) xx g(x )x 0 0 0 0 h(x)af(x)x2a0 (3)求证： 有唯一零点 典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2个零点． 【规律方法】 零点问题求解三步曲 (1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 考向二 利用“隐零点”确定参数取值范围 【核心知识】 利用零点存在性原理可以估算出隐零点的大小范围，然后再用隐零点的范围去估计所求函数（参数）的范围. 【典例分析】 典例4. （2022·河南南阳·高三期中（理））若方程 存在唯一实根，则实数 的取值范围是 _____. 1 典例5.（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知 f(x) x2xasinx． 2 xπ π2  f(x) [0,)  (1)若在 处的切线的斜率是 ，求当 在 恒成立时的 的取值范围； 1 (2)设g(x) f(x) x22xln(x1)，当 时 有唯一零点，求a的取值范围． 2 x(0,π) g(x) 典例6.（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（理））已知函数 . (1)若 是 的极值点，求 的单调区间； (2)若关于 的方程 恰有一个解，求a的取值范围. 【总结提升】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利 用数形结合的方法求解 考向三 利用“隐零点”完成不等式恒成立或证明问题 【核心知识】 a f x a f x a f x 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( max即可)或 恒成立（a f x y  f x y  gx f x 0 min即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 min 或 f x 0 max 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. f(x) g(x) y  f(x) y  g(x) 2.含参数的不等式 恒成立的处理方法：① 的图象永远落在 图象的上方；②构 F(x) f(x)g(x) F(x) 0 a h(x) 造函数法，一般构造 ， min ；③参变分离法，将不等式等价变形为 ，或 ah(x) h(x) ，进而转化为求函数 的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： m f x m f x xD （1） ， min； m f x m f x xD （2） ， max； m f x m f x xD （3） ， max； m f x m f x xD （4） ， min. 【典例分析】 典例7. （2022·浙江省新昌中学高三期中）若存在 使对于任意 不等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 典例8.（2022·河北·高三期中）已知函数 . (1)若 ，求 的单调区间； (2)记函数 ，若 恒成立，试求实数 的取值范围.f(x)ex ax gxaxlnx aR 典例9.（2022·江苏常州·高三期中）已知函数 ， ， ． f x gx (1)若 在x＝0处的切线与 在x＝1处的切线相同，求实数a的值； Fx f xgx Fx x x (2)令 ，直线y＝m与函数 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 1， 2，证明： x x 1． 1 2 ex2 lnx 典例10. （2022·河南·新安县第一高级中学高三开学考试（理））（1）证明不等式： （第一问必须 用隐零点解决，否则不给分）； f(x)(x2)exa(x1)2 （2）已知函数 有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给 分） 典例11.（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 . (1)求 的极值； (2)若 有两个相异的实根 ，证明： . 典例12.（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数 ，设 ， . (1)若 在 上有解，求 的取值范围； (2)若 ，证明：当 时， 成立； (3)若 恰有三个不同的根，证明： . 【规律方法】 1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最 值问题，转化中注意等价转化. 2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成 立，不失为一种好的方法.