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专题18 构造函数法解决导数问题
1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算
法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类
问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然
后利用该函数的性质解决问题．
2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、
逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、
逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问
题．
(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、
逆用“＝′”，构造可导函数y＝，再利用该函数的性质巧妙地解决问题．
3．构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.
题型一 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数
1．设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cos x<0，则当x≤0时，有( )
A．f(x)＋sin x≥f(0) B．f(x)＋sin x≤f(0) C．f(x)－sin x≥f(0) D．f(x)－sin x≤f(0)
解析：观察条件中“f′(x)＋cos x”与选项中的式子“f(x)＋sin x”，发现二者之间是导函数与原函数之间的关
系，于是不妨令F(x)＝f(x)＋sin x，因为当x>0时，f′(x)＋cos x<0，即F′(x)<0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调
递减，又F(－x)＝f(－x)＋sin(－x)＝－[f(x)＋sin x]＝－F(x)，所以F(x)是R上的奇函数，且F(x)在(－∞，0)
上单调递减， F(0)＝0，并且当x≤0时有F(x)≥F(0)，即f(x)＋sin x≥f(0)＋sin 0＝f(0)，故选A.
2．设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论一定错误的是( )
A．f< B．f> C．f< D．f>
解析：根据条件式f′(x)>k得f′(x)－k>0，可以构造F(x)＝f(x)－kx，因为F′(x)＝f′(x)－k>0，
所以F(x)在R上单调递增．又因为k>1，所以>0，从而F>F(0)，即f－>－1，
移项、整理得f>，因此选项C是错误的，故选C.
3．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，
则不等式f(log |3x－1|)<3－log x－1|的解集为( )
2 |3
A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)解析：根据条件中“f′(x)＋2”的特征，可以构造F(x)＝f(x)＋2x，则F′(x)＝f′(x)＋2>0，
故F(x)在定义域内单调递增，由 f(1)＝1，得F(1)＝f(1)＋2＝3，因为由f(log |3x－1|)<3－log x－1|可化为
2 |3
f(log |3x－1|)＋2log |3x－1|<3，令t＝log |3x－1|，则f(t)＋2t<3.即F(t)x2＋1的解集为________．
解析：由条件式f′(x)<1得f′(x)－1<0，待解不等式f(x2)>x2＋1可化为f(x2)－x2－1>0，
可以构造F(x)＝f(x)－x－1，由于F′(x)＝f′(x)－1<0，所以F(x)在R上单调递减．
又因为F(x2)＝f(x2)－x2－1>0＝2－12－1＝f(12)－12－1＝F(12)，所以x2<12，解得－1x2＋1的解集为{x|－10，且g(3)＝0，
则不等式f(x)g(x)>0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：利用构造条件中“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”与待解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，
可构造函数F(x)＝f(x)g(x)，由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递增．
又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，
从而F(x)在(0，＋∞)上单调递增，而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)，
结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
2．设y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线f(x)在点(1,2)
处的切线为y＝g(x)，且g(a)＝2 018，则a等于( )
A．－501 B．－502 C．－503 D．－504
解析：由“2f(x)＋xf′(x)”联想到“2xf(x)＋x2f′(x)”，可构造 F(x)＝x2f(x)(x>0)．
由(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)可知，当x>1时，2f(x)＋xf′(x)>0，则F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，
故F(x)在(1，＋∞)上单调递增；当00
C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0 D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0
解析：因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0，又因为＋x<1，则f′(x)≠0，
综合可知f′(x)>0.又因为＋x<1，则f(x)＋xf′(x)1时，x－1>0，F(x)<0，故f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的增函数，
所以当x≤1时，f(x)<0，因此对于任意x∈R，f(x)<0，故选A.
5．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)<＋2的解集为________．
解析：因为f′(x)＋f(x)>2，所以f′(x)＋f(x)－2>0，不妨构造函数F(x)＝exf(x)－2ex.
因为F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)－2]>0，所以F(x)在R上单调递增．因为f(x)<＋2，所以exf(x)－2ex<3，
即F(x)<3，又因为F(0)＝e0f(0)－2e0＝3，所以F(x)xf′(x)，则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
解析：因为f(x)>xf′(x)，所以xf′(x)－f(x)<0，根据“xf′(x)－f(x)”的特征，可以构造函数F(x)＝，
则F′(x)＝<0，故F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为x>0，
所以x2f－f(x)<0可化为xf－<0，即－<0，即<，即F0，g(x)>0，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0.
若a，b∈R＋且a≠b，则有( )
A．fg>f()g() B．fggf() D．fg()，所以F0，若在△ABC中，角C为钝角，则( )
A．f(sin A)·sin2B>f(sin B)·sin2A B．f(sin A)·sin2Bf(sin B)·cos2A D．f(cos A)·sin2B0时，F′(x)>0，
F(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为cos A>cos＝sin B>0，所以F(cos A)>F(sin B)，即>，
f(cos A)·sin2B>f(sin B)·cos2A，故选C.
x1 x2
6．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x＜x，则e f(x)与e f(x)的大小关系为( )
1 2 2 1
x1 x2 x1 x2
A．e f(x)＞e f(x) B．e f(x)＜e f(x)
1 2 1 2 1
x1 x2 x1 x2
C．e f(x)＝e f(x) D．e f(x)与e f(x)的大小关系不确定
2 1 2 1
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意知g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
x1 x2
当x＜x 时，g(x)＜g(x)，即＜，所以e f(x)＞e f(x)．
1 2 1 2 2 1
专项突破练 构造函数法解决导数问题
一、单选题
1．已知 是定义在R上的偶函数， 是 的导函数，当 时， ，且 ，
则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，因为 是定义在R上的偶函数，
所以 ，则 ，所以函数 也是偶函数，
，因为当 时， ，所以当 时， ，
所以函数 在 上递增，不等式 即为不等式 ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，解得 或 ，所以 的解集是 .
故选：B.
2．定义在 上的函数 的图象是连续不断的一条曲线，且 ，当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【解析】设 ，根据题意， ，
所以 为R上的奇函数，当 时， ，因为 在R上的图象连续不断，
所以 为R上的减函数， 可化为 ，
即 ，所以 ，故不等式的解集为 .故选：D.
3． 是定义在R上的函数， 是 的导函数，已知 ，且 ， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令函数 ，则 .因为 ，所以 ，
在R上单调递增.又 ，而 等价于 ，
即 ，所以 ，解得 .故选：C.
4．已知函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 成立设 ，则 ，即 时 是增函数，
当 时， ，此时 ； 时， ，此时 ．
又 是奇函数，所以 时， ； 时
则不等式 等价为 或 ，可得 或 ，
则不等式 的解集是 ，故选： ．
5．已知函数 的图像关于直线 对称，且当 ， 成立，若
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的图像关于直线 对称，可知函数 的图像关于直线 对称，
即 为偶函数，构造 ，当 ， ，
故 在 上单调递减，且易知 为奇函数，故 在 上单调递减，
由 ，所以 .故选：D.
6．已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，即 在 上递增，又 ，则 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，原不等式解集为 .故选：C
7．已知f（x）为定义在R上的可导函数， 为其导函数，且 恒成立，其中e是自然对数
的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，可得 单调递增，
则 ，即 .故选：B.
8．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，则下列式子一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，则 ，又不等式 恒成立，
所以 ，即 ，所以 在 单调递增，
故 ，即 ，所以 ，故选：B．
9．已知函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 恒成立， ，
则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【解析】构造函数 ， ,
则 ，故 为R上的单调减函数，
不等式 ，即 ，即 ，
，故选：
10．已知定义在 上的函数 ， 为其导函数，满足① ，②当 时，
.若不等式 有实数解，则其解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】构造函数 ，当 时， 递增，
由于 ，所以 ，即 ，
所以 是偶函数，所以当 时， 递减.
不等式 等价于：
，
即 ，所以 ，
两边平方并化简得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
11．已知定义域为 的函数 满足 ，且 ，e为自然对数的底数，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 ，
设 ， ，则 ，从而有 .
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
因为不等式 恒成立，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 .故选：B.
12．已知函数 为定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满足 ，
，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题可知，当 时， ．令 ，则 ，
，令 ， ，
令 ，解得 ．可知函数 在 上单调递减﹐在 上单调递增．
又 ，所以 ， ，所以函数 在 上单调递减，
，可化为 ，又函数 关于 对称，故 或 ，
所以不等式的解集为 ．故选：A
13．已知函数 ，若 且 ，则有（ ）
A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C． 时， D．
【解析】若 是奇函数，则 ，又因为 ，与 矛盾，
所有函数 不可能时奇函数，故A错误；
令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以函数 为增函数，
所以 ，即 ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ， ，所以 ，
故 ，即 ，
所以 ，故C错误；
有 ，即 ，故D正确.
故选：D.
14．定义在R上的函数 满足 ，且 ， 是 的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．C． D．
【解析】设 ，
可得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在定义域上单调递增，又因为 ，即 ，
又由 ，
所以 ，所以 ，所以不等式的解集为 .故选：C．
15．设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有 ，若
， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 .故选：C．
16．已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，故 为 上的增函数，而 可化为 即 ，
故 即 ，所以不等式 的解集为 ，故选：A.
二、多选题
17．设 ， 是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足 ，则当
时，有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，则 ．
由 ，得 ，所以函数 在R上单调递增．
当 时，有 ，又 ， 是定义在R上的恒大于零的可导函数，
所以 ， ．故选：BC
18．已知定义在R上的函数 图像连续，满足 ，且 时，
恒成立，则不等式 中的x可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 整理得 ，
设 ，则有 ，所以 是偶函数，
因为 时， ，所以 ，所以 在 单调递减，
又 是偶函数，所以 在 单调递增，又不等式等价于 ，即 ，
根据 的单调性和奇偶性可得 ，解得 ，故选：ABC
19．定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设函数 ， ，因为
则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，
则必有 ， ， ， .
又 在 上单调递减，所以x>0时， ，
所以x>0时， ，又 ，所以 .故选：ACD.
20．已知 是 上的可导函数，且 对于任意 恒成立，则下列不等关系正确的是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上是减函数，所以 ， ， ，
即 ， ， ，故选：AC.
三、填空题
21．已知 是 上的奇函数， 是在 上无零点的偶函数， ，当 时，
，则使得 的解集是________
【解析】令 ，则 ，当 时， ，
故 在 上单调递减，又 是奇函数， 是偶函数，
故 是奇函数， 在 上单调递减，又 ，可得 ，
故 在 上小于0，由 ，得 或 ，
解得 或 .故答案为： .
22．已知函数 是 上的奇函数， ，对 ， 成立，则
的解集为_________．
【解析】设 ，则对 ， ，
则 在 上为单调递增函数，∵函数 是 上的奇函数，∴ ，
∴ ，
∴ 为偶函数，∴ 在 上为单调递减函数，又∵ ，∴ ，由已知得 ，
所以当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
若 ，则 ；
若 ，则 或 ，解得 或 或 ；
则 的解集为 .
23．已知函数 的导函数为 ，且对任意 ， ，若 ， ，则
的取值范围是___________.
【解析】构造函数 ，则 ，故函数 在 上单调递减，
由已知可得 ，由 可得 ，可得 .
故答案为： .
24．定义在 上的函数满足 ，且对任意 都有 ，则不等式 的解集为
__________.
【解析】构造函数 ，
，所以 在 上递减，由 ，得 ，
即 ，所以 ，即等式 的解集为 .
25．若 为定义在 上的连续不断的函数，满足 ，且当 时， .
f ' ( x )≥0
若 ，则 的取值范围___________.【解析】 ， ，
设 ，则 ， 为奇函数，
又 ， 在 上是减函数，从而在 上是减函数，
f ' ( x )≥0
又 ，等价于 ，即 ，
，解得 ，故答案为： .
26．已知函数 是定义在 的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为___________.
【解析】函数 是定义在 的奇函数，
构造函数 ， ，
所以 为偶函数，当 时， ， 递减，当 时， 递增.
， ，
当 ，即 时， ， ， .
当 ，即 时， ，
.
综上所述，不等式 的解集为 .
故答案为：
27．已知定义在 的函数 满足 ，则不等式 的解集为
___________.【解析】令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，又由 得 ，
即 ， ，解得 ，故答案为： .
28．若定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解集为
________________．
【解析】构造 ，则 ，
函数 满足 ，则 ，故 在 上单调递增．
又∵ ，则 ，则不等式 ⇔ ，即 ，
根据 在 上单调递增，可知 ．
29．已知定义在R上的函数 的导函数为 ，且满足 ﹐ ，则不等式
的解集为___________.
【解析】令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
且 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以解集为 .
30．已知函数 在R上可导，对任意x都有 ，当 时， ，若
，则实数 的取值范围为_________
【解析】由 得 ，令 ，
则 ， 是偶函数，
时， ，则 ， 是减函数，因此 时， 是增函数，
，
所以 ，
即 ， ，所以 ， ， ．故答案为： ．
31．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若对于任意的 ，当 时，都有 ，求实数 的取值范围.
【解析】(1)因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 ；
(2)因为 ，所以 等价于 ，即 ，
令函数 ，由题可知 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
若 ，则 恒成立，显然 在 上单调递增，符合题意；
若 ，则 ，则 在 上恒成立，即 ，解得 ；
若 ，则 ，则 在 上恒成立，即 ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
32．已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ．
(1)求 的值；
(2)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】(1)由题意得： ，所以 ，即
(2)由 恒成立，可得 在 上恒成立
设 ，
①当 时， 恒成立，即 在 上为单调减函数
所以 符合题意；
②当 时，由 得
由 得
即 在 上为单调增函数，在 上为单调减函数又 ，所以存在 ，使得 ，不符合题意
综上：
33．设函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明： ．
【解析】(1)由 ， ，可得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得
所以 在 单调递减，在 单调递增；
(2)证明：因为函数 有两个零点，由（1）得 ，
此时 的递增区间为 ，递减区间为 ， 有极小值 .
所以 ，可得 ,所以 .
由（1）可得 的极小值点为 ，则不妨设 .
设 ， ，则 则 ，
即 ，整理得 ，所以
，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 .
34．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，若 对 恒成立，求正实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减.
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）因 ，由（1）知，当 时， ；当 时，
由 可得， ，即 在 上恒成立；
若 ，则恒有 ，)
若 ，因 在 上单调递增
要 ，则 在 上恒成立
综上，若 ，即 在 上恒成立，
只需 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ， ，
故 在 上单调递增， ，
所以 的范围为 .
