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专题01 导数的几何意义
专项突破一 利用导数的定义求导数
一、单选题
1．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【解析】根据导数定义得： ，又 ，所以 .
故选：C.
2．已知 是定义在R上的可导函数，若 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．
【解析】由导数的定义，可得 ．
故选：D
3．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解析】根据导数的定义得： ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 .故选：C.
4．已知函数 ，则 （ ）
A．12 B．6 C．3 D．
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ．故选：B．
5．已知函数 的导数 存在，且 ，则 （ ）A． B． C．1 D．－1
【解析】 ．故选：D．
二、多选题
6．设函数 在 处的导数存在，则 （ ）.
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 在 处的导数存在，所以
，故B正确.
又∵ ，所以C正确.
故选：BC.
7．若当 ，满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线 上点 处的切线斜率为
D．曲线 上点 处的切线斜率为
【解析】由 得： ，即 ，
曲线 上点 处的切线斜率为 ，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.三、填空题
8．已知函数 ，则 的值为____________
【解析】 ， ，
.
专项突破二 求曲线的斜率(或倾斜角)
一、单选题
1．曲线 在 处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解析】 ， .故选：B.
2．曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，所以其倾斜角为 .故选：B.
3．直线 过坐标原点且与曲线 相切，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设切点 ， ，则直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，代入点 ，得
，解得 ，则斜率为1，故倾斜角为 .故选：B.4．函数 的图象在 处的切线对应的倾斜角为 ，则sin2 =（ ）
A． B．± C． D．±
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，此时 ，
∴ ．故选：C.
5．过函数 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即切线的斜率 ，
设切线的倾斜角为 ，则 ，又因为 ，所以 或 ，
即切线的倾斜角的范围为 .故选：B.
6．若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的导数为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .
因为曲线 在点 处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率 .而y=ln x的导数 ，所以切点的横坐标为 ，所以切点 .故选：D
7．设点 是函数 图像上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ， ， ， ，
， ，
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ， ，
， .故选：B.
8．已知点P是曲线 上一动点， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的定义域是R，求导得：函数 ，而 ，
则曲线在点 处的切线的斜率 ，
当且仅当 ，即 ， 时取“=”，而 ，
于是得 ，有倾斜角 锐角，因此， ，所以 的取值范围是 .故选：A
二、多选题
9．（多选）设点P是曲线 上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
依题意： ， ，
∵倾斜角 的取值范围是 ，∴ ，故选：CD.
10．已知曲线 及点 ，则过点 且与曲线 相切的直线可能有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【解析】因为 ，所以 ，设切点 ， 在点 处的导数为 ，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以 ，
①当 时， 可化为 ，由函数定义域知分母不为0， ，
所以只能解得 ，因此过 只能找到一条与曲线相切的直线；
②当 时， 可化为 ，
是关于 的二次方程， ，且两根之积为 ，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意 能够找到两个 满足条件.
综上所述，过点 且与曲线 相切的直线可能有1或2条.故选：BC.
三、填空题11．已知 ，则曲线 在点 处的切线斜率为______．
【解析】 ，所以 ，
12．已知 ，函数 的图象在 处的切线方程为 _____．
【解析】由 得 ，
所以在 处的切线的斜率为 ，又 ，故切点坐标 ，
所以所求的切线方程为 ，即 ，
13．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线 恒过定点_____
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，则 ．
又 ，则曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ，由 可得 ，所以直线 恒过定点 ．
专项突破三 求在一点和过一点的切线方程
一、单选题
1．曲线 在点 的切线方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【解析】由题意， ，故点 的导数值为 ，故在点 的切线方程为
，整理得 ，故选：A
2．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
【解析】∵ ，∴ .又 ，切点为
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
，即 .故选：B.
3．已知函数 的图象经过坐标原点，则曲线 在点 处的切线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 的图象经过坐标原点，
所以 ，所以 ，所以 所以 ．
因为 ，所以 ．所以所求切线方程为 ，
即 ．故选：A.
4．已知函数 的图象在（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解析】 ， ， ，可得切线方程为 ，代入 得
.
故选：B.
二、多选题
5．已知曲线 .则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）A． B． C． D．
【解析】设切点为 ，则 ，所以 ，
所以切线方程为 ，因为切线过点（1，3），
所以 ，即 ，即 ，
解得 或 ，所以切线方程为 或 ，故选：AB
三、填空题
6．已知 ，则曲线在 处的切线方程为________．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
∴切线方程为 ，即 ．故答案为： .
7．已知函数 则曲线 在点 处的切线方程为_______.
【解析】因为 ，又 ，
切线方程为： ，即
8．已知直线l为函数 的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.
【解析】设切点坐标为 ，所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为
又直线l过点 ，所以 ，
整理得 ，解得 ，所以 ，
直线l的斜率 ，所以直线l的方程为9．过曲线 上一点 的切线方程为_____.
【解析】设切点坐标为 ，因为 ，所以切线斜率 ，
所以切线方程为 …①，
因为切线过点 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 ，代入①整理得 或
专项突破四 两切线平行、垂直、公切线等问题
一、单选题
1．已知函数 ， ．若经过点 存在一条直线l与曲线 和 都
相切，则 （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴曲线 在 处的
切线方程为 ，由 得 ，由 ，解得 ．故选：B
2．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 ，所以该曲线在点 处的切线斜率为 .
由 ，得 ，
所以该曲线在点 处的切线斜率为 .因为两切线平行，所以 .故选：D.
3．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）A． B． C． D．
【解析】对于函数 ， ，
所以，曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，由题意可得 ，解得 .故选：D.
4．已知函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．－1
【解析】由题可知：函数 在 处的切线的斜率为 ，直线 的斜率为-1，
故 =-1得 1，故选C.
5．对于三次函数 ，若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处点的切线重合，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，
， ，
设 ，则 ，即 ……①
又 ，即 ……②
由①②可得 ， .故选：B.
6．曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．4
【解析】令 ，则 ，
依题意 ，即 ，解得 ；故选：B
二、填空题7．若曲线 的一条切线与直线 ： 互相垂直，则该切线的方程为_________.
【解析】设曲线 的切点坐标为 ，
，所以过该切点的切线的斜率为 ，
因为直线 ： 的斜率为1，过该切点的切线与直线 互相垂直，
所以 ，所以切点坐标为： ，过该切点的切线的斜率为 ，所以过该切点的切
线的方程为： ，化为一般式为： .
8．已知 与 的图象有一条公切线，则c=______.
【解析】因为 , ，
所以 ， ，
所以公切线的斜率为2，与 的图象相切于点 ，与 的图象相切于点 ，
故 ，即 .
9．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，则 ___________.
【解析】由 得： ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由 得： ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，而两切线平行，
所以 .
10．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线重合，则
__________．【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 在点 处的切线为 ，
又 ，则 ，
所以 ，又当 时 ，
所以曲线 在点 的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，即 ；
11．函数 与 有公切线 ，则实数 的值为__________．
【解析】根据题意，函数 与 有公切线 ，
设切点分别为 ， ， ， ， ；
所以 且 ，所以公切线为 ，
则有 ，
设 ，
则 在 上递增，又 ，故 ，
三、解答题
12．已知 ，求：
(1)当 时，求 ；(2)当 时，求a；
(3) 在 处的切线与直线 平行，求a？
【解析】(1)当 时， ，
(2)由题知 ，因为 ，所以 ，解得
(3)由（2）知 ，
因为 在 处的切线与直线 平行，所以 ，解得 .
此时 ，切线方程为： ，即 ，
满足与直线 平行，所以 .
专项突破五 已知切线方程(斜率)求参数
一、单选题
1．若曲线 在点 外的切线与直线 垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，所以切线的斜率为 ，
因为切线与直线 垂直，所以 故选：B
2．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解析】由 ，则 ，所以
解得： ， ，所以 ，.故选：D.
3．已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，
所以 ， ，得 ， ，所以 ，故选：C
4．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
则由题可得切线斜率 ，解得 .故选：D.
5．若 ，曲线 在点 处的切线的斜率为2，则 （ ）
A．1 B．2或1 C． 或2 D．2
【解析】 ,
根据导数的几何意义可得 ，
所以 ，所以 或 ，所以 或 ，故选：B.
6．若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．2
【解析】由题得 ，设切点为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .故选：B
7．已知曲线 在点P处的切线与直线 垂直，则点P的横坐标为（ ）A．1 B． C．2 D．
【解析】设 ，点 ，则 ，
由在点P处的切线与直线 垂直可得 ，即 ，
又 ，∴ ,故选：B
8．已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数解，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 的图象如图：
依题意方程 有且仅有三个实数解，即 与 有且仅有三个交点，
因为 必过 ，且 ，
若 时，方程 不可能有三个实数解，则必有 ，
当直线 与 在 时相切时，
设切点坐标为 ，则 ，即 ，则切线方程为 ，
即 ， 切线方程为 ，
且 ，则 ，所以 ，
即当 时 与 在 上有且仅有一个交点，
要使方程 有且仅有三个的实数解，则当 时 与 有两个交点，设直线 与 切于点 ，
此时 ，则 ，即 ，所以 ，故选：B
9．已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的一条切线，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以切线的方程为 ，又 ，所以 ，
设切线 与 的切点为 ，可得切线的斜率为 ，即 ，
，可得切点为 ，以 ，解得 ．选：D．
10．已知奇函数 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． 或1 B． 或 C． 或2 D． 或
【解析】由 可得 ，
因为 ，所以 ，解得 .
所以 ，故切线斜率 ，
又 ，所以 ，解得 或 ，
所以 或 .故选：D
二、多选题
11．若曲线 在 处的切线与直线 互相垂直，则（ ）A． B．
C． D．
【解析】选项A，已知曲线 ，所以 ，故该选项错误；
选项B，已知曲线 ，所以 ，故该选项正确；
选项C，因为 ，所以 ，故该选项正确；
选项D，直线 的斜率为 ，而 ，由已知，曲线 在 处的切线
与直线 互相垂直，所以 ，所以 ，该选项正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．设曲线 在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______.
【解析】由题设， ，又(0，0)处的切线方程为y=2x，所以 ，可得 .
13．函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 =______．
【解析】因为 ，所以 ．
由 ，得 ．因为 ，所以 ．
专项突破六 导数几何意义的应用
一、单选题
1．已知a，b为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【解析】设切点为 ， 的导数为 ，
由切线的方程 可得切线的斜率为1，令 ，则 ，故切点为 ，代入 ，得 ， 、 为正实数，
则 ，
当且仅当 ， 时， 取得最小值9，故选：B
二、填空题
2．点 在函数 的图象上．若满足到直线 的距离为 的点 有且仅有3个，则实数 的值为
________．
【解析】过函数 的图象上点 作切线，使得此切线与直线 平行，又 ，于是
，则 ；所以 ，于是当点 到直线 的距离为 时，则满足到直线
的距离为 的点 有且仅有 个，所以 ，解得 或 ，
又当 时，函数 的图象与直线 没有交点，所以不满足；故 ．
3．已知直线 与曲线 和直线 分别交于P，Q两点，则 的最小值为
____________．
【解析】设点P到直线 的距离为d，则 ，
所以当点P到直线 的距离最小时 最小，
又当曲线在点P处的切线与直线 平行时d最小，所以此时 最小，设 ，
因为函数 的定义域为 ， ，
令 ，解得 或 （舍去），所以切点为 ，点P到直线 的距离 ，所以 的最小值为4，
4．若点 在曲线 上运动，点 在直线 上运动， 两点距离的最小值为_______
【解析】设与直线 平行且与曲线 相切于点 时，
此时 两点距离的最小值为点 到直线 的距离，
因为 ，所以 ， 即得 ，
，所以点 到直线 的距离为 ，
所以 两点距离的最小值为 ．
三、解答题
5．已知函数 .
(1)求导函数 ；
(2)当 时，求函数 的图像在点 处的切线方程.
【解析】(1)由题意，函数 ，
可得 .
(2)当 时，可得 ，由（1）得 ，所以 ，
所以函数 的图像在点 处的切线方程 ，即 .
