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5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）
题组一 判断三角形额形状
1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在 中，已知 ，且 ，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在 中， ， ， ，则 为
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
则下列条件能推导出 一定是锐角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·浙江·高三专题练习）已知 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 .若
， ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确
的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则符合条件的三角形不存在
D．若 ，则 一定是等腰三角形
题组二 最值问题
1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值
时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高三专题练习（文））在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
成等差数列， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
的面积为2，则当 取得最小值时 （ ）A． B． C． D．20
4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中， 为最大角，且 ，则实
数 的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 是 边上一点，且 ， ，若 是 的中点，
则 ______；若 ，则 的面积的最大值为_________．
6（2022·山东）如图，设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，
且 .若点 是 外一点， ， ，则当 ______时，四边形 的面积的最
大值为____________
7．（2021·上海市进才中学）在锐角 中， ，则 的取值范围为________.
8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形 中，已知 ，则
的最大值为_______．9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
△
．
(1)求角A；
(2)若 ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
△
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 的中点，
若 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最小值．题组三 三角形解的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选） 中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，
使得 无解的是（ ）
A． ； B． ；
C． D． ，
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则满足条件的 （ ）
A．无解 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ，若角 有唯一解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知： ， ， ，如果解该三角形有两解，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使得 无法
唯一确定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·许昌高中高三开学考试）在三角形ABC中（A点在BC上方），若 ， ，BC
边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若 有两解，写出a的一个可能的值为__________．
题组四 几何中的正余弦定理
1．（2022·湖南株洲·一模）如图，在四边形 中， ，且 , ．(1)求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
从① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
2．（2022·山西）在 中， ， 分别在线段 上，且 ， .(
)
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，且 ，求 的最大值.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形 中， ， ， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
4．（2022·云南）如图， ABC中，点D在AB上且满足： ， ．
△
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在题设中，求 ABC的面积
△
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求CD的长．7．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)如图，若D为 外一点，且 ， ， ， ，求AC．
8．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形 中， ， ， ，且 ，
．
(1)求 ；
(2)求 ．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为 的角平分线．
(1)求证： ；
(2)若 且 ，求 的大小．
10．（2022·甘肃酒泉·高三期中）在四边形 中， ∥ ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
题组五 正余弦定理与平面向量的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形 为梯形，且 ， ， ，点 是四边形 内及其边界上的点.若 ，则点 的轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知点G为 的重心，点D，E分别为AB，AC上的
点，且D，G，E三点共线， ， ， ， ，记 ， ，四边形BDEC
的面积分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点G是三角形 的重心，以下结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则三角形 是等腰三角形
C．三角形 的面积等于 ，则
D．若 ，则
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在 中， ， ，其中 ， 均为边上的点，分别满足： ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值3
B． 面积的最大值为
C． 的取值范围是
D．若 为 中点，则 不可能等于
5．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在 中，若 ， ，则 面
积的最大值为___________.
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知 是 的内接正三角形，D是劣弧 的中点，动点E，
F同时从点A出发以相同的速度分别在AB，AC边上运动到B，C．若 的半径为 ，则 的最大
值与最小值之和等于______．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形 中， ，对角线 相交于 ．（1）设 ，且 ，
（ⅰ）用向量 表示向量 ；
（ⅱ）若 ，记 ，求 的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△ ，△ 的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
8．（2022·全国·高三专题练习）三角形ABC中， ，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求 和 ;
（2） 是 延长线上的点， ，当 在 上运动时，求 的最大值.题组六 正余弦定理与其他知识综合运用
1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知F，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且 ，
1 2
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西陕西·二模）在 中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为 ，则这
个三角形的外接圆的直径为___________.
3．（2021·全国·高三专题练习）设 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，
当 取最大值时的余弦值为 ．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点 ，使
( 为坐标原点)，且 ，则 的值为____．
4．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过点 的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点， ，向量 与向量 的夹角为
，则双曲线的离心率为___________.
5．（2022·甘肃武威）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆
起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，
张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激
扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地
动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
6．（2022·重庆一中高三阶段练习）函数 ，点S是f（x）图像上的一个最高
点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为 .
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)函数 ，三角形ABC的三边a，b，c满足 ，求g（A）的取值范围.7．（2022·上海·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ，
长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中 、 、 分别在 、
、 上．设 ．
（1）若 ，求 的边长；
（2）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值．8．（2022·福建·三模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .
(1)求 的大小；
(2) 为 内一点， 的延长线交 于点 ，________，求 的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题.
① 为 的外心， ；
② 为 的垂心， ；
③ 为 的内心， .
