北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.4 解三角形
五年高考
考点1 正弦定理、余弦定理
1.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcosA=c,
π
且C= ,则B= ( )
5
π π
A. B.
10 5
3π 2π
C. D.
10 5
答案 C
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC= ( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
答案 D
2
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
答案 A
2
4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则tan B= ( )
3
A.√5B.2√5
C.4√5D.8√5
答案 C
5.(2019课标Ⅰ文,11,5分,易) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-
1 b
bsinB=4csin C,cos A=- ,则 △=( )
4 c
A.6 B.5
C.4 D.3
答案 A
6.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,
B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
答案 2√2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.(2019课标Ⅱ文,15,5分,易) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin
A+acosB=0,则B= .
△
3
答案 π
4
8.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解析 (1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos 120°=7,则BC=√7. (3
分)
AC BC
由正弦定理,得 = ,
sin∠ABC sin∠BAC
AC·sin∠BAC 1×sin120° √21
则sin∠ABC= = = .(6分)
BC √7 14
√21 √3
(2)在Rt ABD中,由(1)知sin∠ABD= ,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD= .
14 5
△
√3 2√3
在Rt ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2× = . (9分)
5 5
△
在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,
1 2√3 √3
∴△ADC的面积S= × ×1×sin 30°= . (12分)
2 5 10
一题多解
(2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,
1 √3
∴S = ×2×1×sin 120°= , (9分)
ABC 2 2
△
1 1
AC·AD·sin30° 1×
S 2 2 1
又 △ACD= = = ,
S 1 2 4
△ABD AB·AD
2
1 √3
∴S = S△ABC= . (12分)
ACD 5 10
△
9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D
在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
asinC
解析 (1)证明:由题设得BD= ,
sin∠ABC北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
c b
在△ABC中,由正弦定理知 = ,
sinC sin∠ABC
sinC c
即 = ,
sin∠ABC b
asinC ac
代入BD= 中,得BD= ,又b2=ac,
sin∠ABC b
∴BD=b. (4分)
2 b
(2)解法一:由AD=2DC得AD= b,DC= ,
3 3
4 5
b2+c2−b2 c2− b2
AD2+AB2−BD2 9 9
在△ABD中,cos A= = = ,
2AD·AB 2 4
2× bc bc
3 3
AC2+AB2−BC2 b2+c2−a2
在△ABC中,cos A= = .
2AC·AB 2bc
5
c2− b2
9 b2+c2−a2
故 = ,化简得3c2-11b2+6a2=0,
4 2bc
bc
3
又b2=ac, (7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
2
所以c=3a或c= a. (8分)
3
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=√3a,此时a+b<c,
故a,b,c构不成三角形; (10分)
2 2 √6
当c= a时,b2=ac= a2,所以b= a,
3 3 3
此时a,b,c可以构成三角形, (11分)
4 2
a2+ a2− a2
2 √6 a2+c2−b2 9 3 7
故c= a,b= a,所以在△ABC中,cos∠ABC= = = . (12
3 3 2ac 2 12
2a· a
3
分)
解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c. (8分)
3 3
当2a=3c时,a= c,b2=ac= c2,
2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9 3
c2+c2− c2
4 2 7
由余弦定理的推论得cos∠ABC= = ;(10分)
3 12
2· c·c
2
c c2
当3a=c时,a= ,b2=ac= ,
3 3
c2 c2
+c2−
9 3 7
由余弦定理的推论得cos∠ABC= = (舍). (11分)
c 6
2· ·c
3
7
综上,cos∠ABC= . (12分)
12
考点2 解三角形及其综合应用
1.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=√6,∠BAC的角平分线交
BC于D,则AD= .
答案 2
2. (2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD= .
AB
答案 √3-1
3.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2√3,则AC=
,cos∠MAC= .
2√39
答案 2√13;
13
4.(2020全国Ⅰ,16,5分,中)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
1
答案 -
4
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)设AB=5,求AB边上的高.
π 3π
解析 (1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C= ,B= -A,
4 4
又∵2sin(A-C)=sin B,
( π) (3π )
∴2sin A− =sin −A ,
4 4
(√2 √2 ) √2 ( √2)
即2 sin A− cosA = cos A− − sin A,
2 2 2 2
整理得sin A=3cos A,
( 3π) 3√10
又∵sin2A+cos2A=1,A∈ 0, ,∴sin A= . (5分)
4 10
(2)解法一:过C作CD⊥AB,垂足为D,如图.
5 BC
AB BC =
在△ABC中,由正弦定理得 = ,即 π 3√10,∴BC=3√5. (7分)
sin∠ACB sin A sin
4 10
√10
由(1)知cos A= ,
10
(3π ) √2 √2 2√5
∴sin B=sin −A = cos A+ sin A= . (8分)
4 2 2 5
2√5
在Rt BCD中,CD=BC·sin B=3√5× =6,
5
△
即AB边上的高为6. (10分)
π 3√10 √10
解法二:由(1)知C= ,sin A= ,cos A= ,
4 10 10
(3π ) √2 √2 2√5
则sin B=sin −A = cos A+ sin A= . (6分)
4 2 2 5
AB AC BC
在△ABC中,由正弦定理得 = = ,
sinC sinB sin A
5 AC BC
= =
∴√2 2√5 3√10,∴AC=2√10,BC=3√5, (8分)
2 5 10
1 1 √2
∴S = AC·BC·sin C= ×2√10×3√5× =15. (9分)
ABC 2 2 2
△北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1
设AB边上的高为h,则 ×5h=15,∴h=6. (10分)
2
6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积
为√3,D为BC的中点,且AD=1.
π
(1)若∠ADC= ,求tan B;
3
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析 由题意知S =√3,BD=DC,
ABC
△
√3
∴S = .
ADC 2
△
1 √3 π 1 π √3
(1)∵S = DA·DC·sin∠ADC= ,DA=1,∠ADC= ,∴ DCsin = ,
ADC 2 2 3 2 3 2
△
∴DC=2,
2π
∴BD=2,易知∠ADB= , (2分)
3
在△ADB中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×
( 1)
− =7,
2
∴AB=√7, (3分)
AB2+BD2−AD2 7+4−1 5√7
∴cos B= = = ,
2AB·BD 2√7×2 14
√ 25 √21
∴sin B=√1−cos2B= 1− = , (4分)
28 14
sinB √3
∴tan B= = . (5分)
cosB 5
(2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,
易得四边形ABEC为平行四边形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-
2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2),即
BC2+AE2=2(b2+c2)=16,
又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=2√3, (7分)
1 √3
∵S = AD·DC·sin∠ADC= ,AD=1,DC=√3,
ADC 2 2
△北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, (9分)
又b2+c2=8,∴b=c=2. (10分)
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边
√3 1
长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S .已知S -S +S = ,sin B= .
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积;
√2
(2)若sin Asin C= ,求b.
3
√3 √3 √3
解析 (1)由题意得S = a2,S = b2,S = c2,
1 2 3
4 4 4
√3 √3
∴S -S +S = (a2-b2+c2)= ,即a2-b2+c2=2,
1 2 3 4 2
a2+c2−b2
由cos B= 得a2+c2-b2=2accos B,
2ac
故2accos B=2,∴accos B=1, (3分)
1 2√2 2√2
又∵sin B= ,∴cos B= 或cos B=− (舍),
3 3 3
3√2 1 1 3√2 1 √2
∴ac= ,∴S = acsin B= × × = . (6分)
4 ABC 2 2 4 3 8
△
a b c b2 ac
(2)由正弦定理 = = 得 = ,
sin A sinB sinC sin2B sin AsinC
3√2 √2
又知ac= ,sin Asin C= , (9分)
4 3
b2 9 b 3
∴ = ,∴ = ,
sin2B 4 sinB 2
3 3 1 1
∴b= sin B= × = . (12分)
2 2 3 2
8.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
cosA sin2B
=
.
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ,求B;
3
a2+b2
(2)求 的最小值.
c2
