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专题 17 锐角三角函数与解直角三角形
课标要求 考点 考向
考向一 正弦
1.探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)，知道
考向二 余弦
30°，45°，60°角的三角函数值;
锐角三
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 考向三 正切
角函数
角函数值求它的对应锐角;
考向四 特殊角的三角函数
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一
些简单的实际问题. 考向五 三角函数的综合
解直角 考向一 解直角三角形
三角形
考向二 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数
►考向一 正弦
1．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称
的美感．如图，把黄金矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，
利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明 ，在 中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为 ，
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∵宽与长的比是 ，
∴长为： ，
由折叠的性质可知， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
变形得： ，
， ，
∴ ，
故选A．
2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在
黄海海域成功发射．当火箭上升到点 时，位于海平面 处的雷达测得点 到点 的距离为 千米，仰角
为 ，则此时火箭距海平面的高度 为（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
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【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可
求解
【详解】解：由题意得：
∴ 千米
故选：A
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，点C、
D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则当 最
大时， 的值为 ．
【答案】
【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，说明点H
在以 为直径的圆上运动，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点 在 上运动，
说明当 与 相切时 最大，得出 ，根据 ，利用
，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，
∴点B为定点， 的长度为定值，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的圆上运动，
如图，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，
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则点 在 上运动，
∴当 与 相切时 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三
角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
4．（2024·广西·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，
标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于 为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，则
直线l即为所求．
（2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出 ，由三角
形内角和得出 ，则得出 为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出 的长．
【详解】（1）解：如下直线l即为所求．
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（2）连接 如下图：
∵ 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内
角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系 中，反比例函数 （k为常数且 ）上有一点
，且与直线 交于另一点 ．
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(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线 轴与直线 交于点C，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）把B的坐标代入 ，求出n，然后把B的坐标代入 ，求出k，最后把A的坐标代入
求出m即可；
（2）根据 轴求出C的纵坐标，然后代入 ，求出C的横坐标，利用勾股定理求出 ，最后
根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，
∵ 轴， 轴 轴，
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∴A、C、D的纵坐标相同，均为2， ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
►考向二 余弦
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，把 沿
折叠，点 恰好落在 边上的点 处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性
质是解题的关键．
根据折叠的性质，可求得 ， ，从而求得 ， ，在 中，由勾股定理，得
，即可求得结果．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
把 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，
， ，
，
，
在 中，
，
由勾股定理，得 ，
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，
，
，
，
故选：A．
7．（2024·上海·中考真题）在平行四边形 中， 是锐角，将 沿直线 翻折至 所在直线，
对应点分别为 ， ，若 ，则 ．
【答案】 或 / 或
【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨
论的思想进行求解．
【详解】解：当 在 之间时，作下图，
根据 ，不妨设 ，
由翻折的性质知： ，
沿直线 翻折至 所在直线，
，
。
，
过 作 的垂线交于 ，
，
，
当 在 的延长线上时，作下图，
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根据 ，不妨设 ，
同理知： ，
过 作 的垂线交于 ，
，
，
故答案为： 或 ．
8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片 沿对角线 折叠，使点C落在点E处， 与
交于点F，若 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证 ，再利用 求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
，
∵四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 中， ，
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，
解得 ，
，
故答案为： ．
9．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研
究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有
________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求 的长（用含m，n， 的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形
是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
【答案】(1)②④
(2)① ．理由见解析；②
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(3) 或
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长 至点E，使 ，连接 ，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出
，证明 ，得出 ， ，根据等边对等角得出
，即可得出结论；
②过A作 于F，根据三线合一性质可求出 ，由①可得 ，在
中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（2）解：① ，理由：
延长 至点E，使 ，连接 ，
∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②过A作 于F，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图，连接 ，过N作 于H，
∴ ，
在 中 ，
在 中 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ；
当 时，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意，舍去；
当 时，连接 ，过N作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
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当 时，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意，舍去；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题
的关键．
►考向三 正切
10．（2024·云南·中考真题）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义．
11．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形 中， ，点 ， 分别在边 ，
上．连接 ，将四边形 沿 翻折，点 ， 分别落在点 ， 处．则 的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
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【分析】连接 交 于点F，设 ，则 ，利用勾股定理求得
，由折叠得到 ， 垂直平分 ，则 ，由
代入求得 ，则 ，所以 ，于是得
到问题的答案．
【详解】解：连接 交 于点F，
设 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴
∵将四边形 沿 翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线 对称，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是
解题的关键．
12．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，将矩形
沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，那么 ．
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4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】先根据矩形的性质得 ， ，再根据折叠的性质得 ， ，
在 中，利用勾股定理计算出 ，则 ，设 ，则 ，然后
在 中根据勾股定理得到 ，解方程即可得到x，进一步得到 的长，再根据正切数
的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上的 处，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则
∵在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
13．（2024·江西·中考真题）将图 所示的七巧板，拼成图 所示的四边形 ，连接 ，则
．
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【答案】 /
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图 ，设等腰直角
的直角边为 ，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根
据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图 ，设等腰直角 的直角边为 ，则 ，小正方形的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图 ，过点 作 的延长线于点 ，则 ， ，
由图（ ）可得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
►考向四 特殊角的三角函数
14．（2024·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据 代入即
可求解.
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【详解】 ，
故选：A.
15．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角
函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
16．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 处发出，
经水面点 折射到池底点 处．已知 与水平线的夹角 ，点 到水面的距离 m，点
处水深为 ，到池壁的水平距离 ，点 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平
面内．记入射角为 ，折射角为 ，求 的值（精确到 ，参考数据： ，
， ）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点 于 ，则 ，
，由题意可得， ， ， ，
解 求出 、 ，可求出 ，再由勾股定理可得 ，进而得到 ，即可求解，正确作出辅
助线是解题的关键．
【详解】解：过点 于 ，则 ， ，由题意可得， ，
， ，
在 中， ， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴在 ， ，
∴ ，
∴ ．
17．（2024·青海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、零指数幂和绝对值，根据相关运算法则化简后合并即可．
【详解】解：
18．（2024·北京·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
►考向五 三角函数的综合
19．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线 上，且点A的横坐标为
4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线 交于点B，当点
C在x轴上移动时，线段 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出 ，当点C在x轴上移动时，作 与 关
于 对称，且 交x轴于点 ，由对称性质可知， ， ，当 轴于点
时， 最短，记此时点C所在位置为 ，作 于点 ，有 ，设
，则 ，利用锐角三角函数 建立等式求出 ，
证明 ，再利用相似三角形性质求出 ，最后根据 求解，即可解题．
【详解】解： 点A在直线 上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为 ，
，
当点C在x轴上移动时，作 与 关于 对称，且 交x轴于点 ，
由对称性质可知， ，
当 轴于点 时， 最短，记此时点C所在位置为 ，
由对称性质可知， ，
作 于点 ，有 ，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
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经检验 是方程的解，
， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂
线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
20．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长
交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有
直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
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【答案】（1） 的值为 ；（2） ；（3）直角三角形 的面积为4或16或12或 ．
【分析】（1）根据 ， ， ．证明 ，
，继而得到 ， 即
，再证明 ，得到 ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据(1)得 ，得到 ，根据中线 得到
，继而得到 ，结合 ，得到
即 ，得到 ，再证明 ，得证矩形 ，再利用勾
股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵ ， ， ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ 即 ，
∵
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据（1）得 ，
∴ ，
∵ 是中线
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
解得 ．
（3）如图，当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，
过点A作 于点Q，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
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故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点A作 于点Q，交 于点N，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
故 ．
综上，直角三角形 的面积为4或16或12或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全
等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩
形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
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考点二 解直角三角形
解题技巧/易错易混
1.分清直角三角形中的斜边与直角边.
2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可设为1)，在求三角函数值的过程中
约去k.
3.正确应用勾股定理求第三边长
4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.
5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.
►考向一 解直角三角形
21．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分别
以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．
利用勾股定理求得 的长，再证明 ，作 于点 ，求得 ，利用
，求得 ，再利用勾股定理求得 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由作图知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长是 ，
故选：A．
22．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针
旋转 ，得到 ，连接 并延长与 的延长线交于点 ．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作 延长线的垂线，垂足为点H，则 ，证明 ，则 ，
设 ，得到 ，则 ，故 ，同理可求 ，则
，因此 ．
【详解】解：过点F作 延长线的垂线，垂足为点H，则 ，
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由旋转得 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，设 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可求 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅
助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
23．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作
交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部
分的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形 的面积，即可求
解．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∵点 是 的中点
∴
∴
∴
∴ ， ，
点 落在阴影部分的概率是
故选：B．
24．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则
重合部分构成的四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点 作 于 ，
于 ，由题意易得四边形 是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得 ，即可
得到四边形 是菱形，再解 可得 ，即可求解，得出四边形 是菱
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形是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ， 于 ，则 ，
∵两张纸条的对边平行，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
25．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形 中，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ．
若 ， ，则AB的长为 ．
【答案】 /
【分析】延长 ， 交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明 ， ，过E
点作 交N点，根据三角函数求出 ， ， ， ，在 中利用勾股定理求出 ，
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根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】延长 ， 交于点M，
在菱形 中，点E，F分别是 ， 的中点，
， ， ， ，
在 和 中
，
，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
，
过E点作 于N点，
， ，
， ，
，
，
在 中
，
即 ，
，
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，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，
正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
26．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点 在 上， 于点 ， 于点 ．
若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，得 ， ，得到 ，结合 ，得到
, ， ，求得 的长，
解答即可.
本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.
【详解】解：根据正方形的性质，得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
故答案为： ．
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27．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形 中，E、F分别是边 的中点， 与 相交于点
O，过点O作 交AD于点M，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合
运用这些知识点是解题关键．
过点O作 交AD、BC于点H、N，根据题意得出 ， ，
确定 ，设 ，则 ，再由相似三角形的判定和性质得出 ，
确定 ，利用等量代换得出 ，再次利用正切函数及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作 交 于点H、N，如图所示：
∵ ，E、F分别是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得： ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
►考向二 解直角三角形的应用
28．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角
为 ，小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形 、
、 是矩形，再设 ，表示 ，然后在 以及
运用线段和差关系，即 ，再求出 ，
即可作答．
【详解】解：如图：延长 交 于一点 ，
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∵
∴四边形 是矩形
∵
∴四边形 是矩形
同理得四边形 是矩形
依题意，得 ，
∴ ，
∴
∴设 ，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
29．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测得
潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
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（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
延长 交 于点C，根据题意得 ，然后在 中，利用锐角三角
函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，
最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长 交 于点C．
由题意得 ．
在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
．
故选B．
30．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓
（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知 于点B，AB与水平线l相交于点O， ．
若 分米， 分米． ，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号
的式子表示）．
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【答案】 /
【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长 交l于点H，连接 ，根据题意及
解三角形确定 ， ，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长 交l于点H，连接 ，如图所示：
在 中， ，
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
31．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已
知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用
力 为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直的
力 仪可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动
帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则
．（单位： ）（参考数据： ）
【答案】128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出 ， ，由 得到
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，求出 ，求出 在 中，根
据 即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由题意可知， ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
故答案为：
32．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成
右侧示意图，已知试管 ，试管倾斜角 为 ．
(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
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F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角
关系是解题关键．
（1）先求出 ，再在 中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 的长，从而可得
的长，再判断出 是等腰直角三角形，从而可得 的长，最后根据 求
解即可得．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
由题意可知， ，
在 中， ，
∴ ，
答：试管口 与铁杆 的水平距离 的长度 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
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∴ ，
∴ ，
答：线段 的长度为 ．
33．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔100海里的 处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处．这时， 处距离 处有多远？
（参考数据： ， ， ）
【答案】 处距离 处有140海里．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题．过 作 于 ，解直角三角形即可得到结
论．
【详解】解：过 作 于 ，
在 中， ， 海里，
（海里），
（海里），
在 中， ，
（海里），
（海里），
答： 处距离 处有140海里．
34．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点 的俯角 是 ，识别到最近点 的俯角
是 ，该摄像头安装在距地面5m的点 处，求最远点与最近点之间的距离 （结果取整数，参考数据：
， ， ）．
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【答案】最远点与最近点之间的距离AB约是11m
【分析】本题考查解直角三角形．根据题意，先在 中求 ，再在 中求 ，最后求差
即可．
【详解】解：根据题意得： ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中
∵
∴
∴
在 中, ，
∴
∴
∴ ．
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m．
35．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如
图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点 依次在同一条水平直线上， ，
垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ，测得桥塔底部 的俯角（ ）为 ，又
在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ．
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(1)求线段 的长（结果取整数）；
(2)求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设 ，在 中， ．在 中，
．则 ．解方程即可；
（2）求出 ，根据 即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，由 ，得 ．
，垂足为 ，
．
在 中， ，
．
在 中， ，
．
．
得 ．
答：线段 的长约为 ．
（2）在 中， ，
．
．
答：桥塔 的高度约为 ．
36．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下
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综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽
内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线，
为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求 的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出 长，然后根据 计算即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：由题可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
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一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中， 如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点
C 在 上），则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出 边上的格点 ，连接 ，
利用勾股定理求出 、 、 的长度，再利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，然后根据
正弦的定义计算即可得解．
【详解】如图， 为 边上的格点，连接 ，
根据勾股定理， ，
，
，
所以， ，
所以， 是直角三角形，
．
故选：B．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知点 的坐标为 ，菱形 的两条对角线交于坐标原点 ，
将菱形 绕点 顺时针旋转，每次旋转30°，则第 次旋转结束时，点 的坐标是（ ）
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A．(0,4) B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了点的坐标变化规律，三角函数，旋转的性质，找到点的最终位置是解题的关键．将菱
形 绕点 顺时针旋转，每次旋转30°，则每旋转 次则回到原位置，根据 ，即
可得到第 次旋转结束时，点 的坐标．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题可知，将菱形 绕点 顺时针旋转，每次旋转30°， ，
∴每旋转 次则回到原位置，
∵ ，
∴第 次旋转结束后，图形顺时针旋转了 ，此时 点落在 轴的负半轴上，为点 ，
由旋转可知 ，
∴
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∴第 次旋转结束时，点 的坐标是 ，
故选： ．
3．（2024·全国·模拟预测）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图 ．
小明想测量白塔 的高度（如图 ，在离白塔底端 正前方8米的 处，用高为1.5米的测角仪 测得
白塔顶部A处的仰角为 ，则白塔 的高度为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】本题考解直角三角形应用，关键在于能熟练地在不同直角三角形中解直角三角形．
过点 作 ，垂足为 ，由 中， ， ， ，结合
米，即得 米．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： 米， 米，
在 中， ，
（米 ，
米，
白塔 的高度为 米．
故选：A．
4．（2024·湖南·模拟预测）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩
旗绳 到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成 角（即 ），彩旗绳固定在地面的位置
与图书馆相距25米（即 米），则彩旗绳 的长度为（ ）
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A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
根据直角三角形的边角关系即可解答．
【详解】解：如图，由题意得， ，
在 中，
∵ ，
∴ 米．
故选：C．
5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是
由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为 ，小正方形面
积为 ，则 的值为（ ）
4 4
A． B． C． D．
3 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为 ，直角三角形的短直角边为 ，
长直角边为 ，根据正方形面积计算公式可得 ，则 ，再由勾股定理得到
，解方程求出 的值，进而求出 的值，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为 ，直角三角形的短直角边为 ，长直角边为 ，
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∵大正方形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形 中， ， 平分 ，分别交 、 于
点 、 ， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】证明 ，则 ，如图，连接 ，则 ，
，由 ，可得 ，由 平分 ，可得
，则 ， ，由 ，可得 ，则
，由 ，可求 ，根据 ，求解作
答即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，连接 ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边
的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平
分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
7．（2024·湖南·模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 耗能 ，若某人爬了
，该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算
求解．
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【详解】解：
，
故选：B．
8．（2024·上海·模拟预测） 的值在（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可．
【详解】解：
∴ 的值在 ．
故选：C．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示阴影部分为一条河流的部分俯视图，从河边上A点驶来一条船，B点
在河对岸．在流速与船速的影响下，小船开始沿着 方向匀速前进．在航线 边有一漩涡，抽象为 ．
影响的最大范围恰好与航线 所在直线以及A点所在河岸相切．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】该题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数等知识点，解题的关键是
掌握以上知识点．
连接 ，过 作 交 于点 ，根据切线的性质可得 ，
根据锐角三角函数可得 ，证明 ，得出 ，即可求解；
【详解】解：连接 ，过 作 交 于点 ，
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根据题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ，E为 的中点，F为
线段 上的动点，连结 ，将 沿 折叠得到 ．在点F从点B运动到点C的过程中，若射
线 与上底 相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】先证明 ，则 ， ，由翻折得， ，继
而可得 ，则 ，故 ，因此 ，代入求解得 ，
因此 ．
【详解】解：∵在直角梯形 中， ， ， ，
∵点E为 中点，
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∴ ，
由翻折得， ，
∴ ，
当点P与点D重合时，此时点F的位置如图，
当点F与点C重合时， 长即为点P的运动路径长，如图，
此时 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由翻折得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是
解题的关键．
11．（2024·湖南·模拟预测）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高
度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿
起一根木杆，长度大概为 英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔 英尺的一个
地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是 英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，
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对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着
远离木杆的方向走了 英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆 英尺），并且让自己的眼睛能够正好通
过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的
高度是（ ）
A． 英尺 B． 英尺 C． 英尺 D． 英尺
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，由题意作图， 为瞭望塔， 为木杆，工程师在 点，求出 ，
的长，再根据三角函数即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可作图如下： 为瞭望塔， 为木杆，工程师在 点，
则有 ， ，
∴ ，
∵木杆有 英尺插入了土中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
即瞭望塔高度为 英尺，
故选：B．
12．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ，以点A为圆心，以 的长为半径画弧，交
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于点E，且E为 的中点，若 的长度为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，
弧长公式是解题的关键；过B作 于F，根据弧长公式求出 ，根据扇形面积公式，求出 ，
利用三角函数求出 ，进而求出 ，再求阴影部分的面积即可．
【详解】解：过B作 于F，
，以点A为圆心，以 的长为半径画弧，交 于点E，
，
E为 的中点，
，
设 所对的圆心角为 ，
的长度为π，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，
故选： ．
二、填空题
13．（2024·上海·模拟预测） （选填“ ”或“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键．
由 ，可知 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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故答案为： ．
14．（2024·上海·模拟预测） 的平方根为a，若 ，则 °．
【答案】45
【分析】本题主要考查锐角三角函数，先求的立方根和平方根，再结合被开方数的特点得到a的值，进一
步计算得到 的值，根据其值倒退得到余弦值的角度．
【详解】解：∵ 的平方根为a，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
故答案为：
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点
C在线段 上， ，连接 ，过点 作 交 的延长线于P．若 ，则
的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形、平行线的性质及三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
根据点 坐标得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，利用三角函数的定义得出
，设 ，根据 得出 ，根据正切定义即可得答案．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，
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∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
16．（2024·上海·模拟预测）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ，内部形成一个小
正方形 ．如果正方形 的面积是正方形 面积的一半，那么 的度数是 ．
【答案】 /15度
【分析】设 ， ，根据两个正方形的面积关系求出 ，连接 交 于点E，证
明 ，表示出 ，进而求出 ，可得 ，结合 可
得答案．
【详解】解：设 ， ，
则正方形 的面积 ，正方形 的面积 ，
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正方形 的面积是正方形 面积的一半，
，
整理得： ，
，
，
解得 （舍）， ，
，
如图，连接 交 于点E，
， ，
，
，
，
，
，
又 正方形 中 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数，解一元二次方程等，有一
定难度，求出 是解题的关键．
17．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片 ，使 与
重合，折痕为 ．展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 ，折痕 与 相交于
点 ，再次展平，连接 ，延长 交 于点 ．有如下结论：
① ；② ；③ 是等边三角形；④ 为线段 上一个动点， 是线段 的动点，
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则 的最小值是 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①首先根据 垂直平分 ，可得 ；然后根据折叠的性质，可得 ，据此判断
出 为等边三角形，即可判断出 ；②求出 ，然后在 中，根
据 ，求出 的大小即可；③根据对折得 ，再由平行线的性质和三角形的内角和
定理得： ，即可推得 是等边三角形；④在 上取一点 ，使
，根据折叠可证明 ，得到 ，则 ，当
三点共线时 最小，当 时 最小，求出 的长即可．
【详解】解：①如图，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
根据折叠的性质可知： ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，故①正确；
②由折叠可得 ，
∴ ，故②不正确；
③∵ ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 为等边三角形，故③正确；
④由折叠可得点E是 ，
∵
∴ ，
在 上取一点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时 最小，
∴当 时， 最小，
此时 ，
∴ 的最小值是 ，故④正确．
综上所述：正确结论的序号是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性
质和应用，折叠的性质和应用，三角函数的应用，要熟练掌握．
18．（2024·广东·模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作
等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知 ．按压该长尾夹的手柄，
撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得 ．求这时这个长尾夹可夹纸厚度
为 （参考数据：
）
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【答案】
【分析】如图1，在 ，求得 ．如答图2，在 中，利用余弦函数求得 ，
据此即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直
角三角形的问题是解答此类题的关键．
【详解】解：图1，作 于点 ．
∵ ，
∴ ， ．
在 ， ，
∵ ， ，
∴ ．
由题意可知： ， ．
如答图2，作 于点 ， 于点 ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
同理可证： ，
∴ ．
∵四边形 为矩形，
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∴ ．
答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度 为 ．
故答案为：
三、解答题
19．（2024·北京·模拟预测）如图， 是等腰三角形， ．已知
，用两种方法表示 的面积______
【探究】你能否从这里得出 的计算公式呢？
【答案】题空： ，
探究：
【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和
余弦定义，是解题的关键．
填空：根据等腰三角形性质得到 ，其面积的两种表示法为
， ，
探究：得到 ，结合等腰三角形性质得到 ，根据 ， ，
， ， ，即得 ．
【详解】题空：
∵ 是等腰三角形， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
探究：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ， ，
∴ ．
20．（2024·山东·模拟预测）（1）计算： ；（参考公式：
）
（2）已知a、b是一元二次方程 的两个实根，求 的S值．
【答案】（1） （2） 或
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考
公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算．
（1）本题根据 ，以及 将式子变形为
，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题；
（2）解一元二次方程 得到a、b的值，分别讨论当 ， 时，以及当 ， 时，
结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：
；
（2）解： a、b是一元二次方程 的两个实根，
，
解得 ， 或 ， ，
当 ， 时，
则
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；
当 ， 时，
则
；
21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在 中， ，D，E分别是
的中点，F为射线 上一动点，在射线 上取点M，使 ，连接 ，作 交射线
于点G．
【发现】（1）当点F在线段 上时，求证： ．
【拓展】（2）如图2，当点F在 的延长线上时，以 为一组邻边作 ，连接 ，
若 ， 的周长为m，四边形 的周长为n，求 的值．
【探索】（3）设 ，要使 为等腰三角形，直接写出x的值．
【答案】（1）详见解析；（2） （3） 或 或
【分析】（1）先得到 ，再由三角形中位线定理得到
，再证明 ，即可证明 ；
（2）先解直角三角形得到 ，则 ，同理可证明 ，再证明
得到 ．则 是正方形，可得 ．证明四边形 为平
行四边形，得到 ．则可证明四边形 为平行四边形，得到 ，
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则 ，可得 ；
（3）分三种情况，当点F在 上时， ，当点F在 的延长线上时，当点F在 的延长线上
时， ，画出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．
∵D，E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵∠DCF+∠CFD=90°，
∴ ．
∴ ，
∴ ；
（2）在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可证明 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴
∴ ．
又∵在 中， ，
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∴ 是正方形，
∴ ．
∵ ，
四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）分三种情况讨论
如图，当点F在 上时， ，过点G作 交 延长线于点N，
∴ ，
同理可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 或 （舍去）；
②如图4，当点F在 的延长线上时， ，
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过点B作 交 延长线点P，则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在图2中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 或 ；
③如图，当点F在 的延长线上时， ，
过点G作 ，垂足为Q，
同理得 ， ．
在 中，由勾股定理得 ，即
解得 或 （舍去）
综上所述，x的值为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，平行四边形的
性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求
解是解题的关键．
22．（2024·贵州·模拟预测）如图 ，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是 ，图 是它的示意图，
已知 ，点 、 在 上滑动，点 、 在 上滑动， 、 相交于点 ，
.（结果精确到 ）
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(1)如图 ，当 从 增加到 时，这款电脑桌升高了多少 ？
(2)当电脑桌从图 位置升到最大高度（如图 ）时，求 的大小及点 滑动的距离.（参考数据：
， ， ， ， ）
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）过点 作 于点 ，易证得 ，因而升高量 ，利用含
度角的直角三角形的性质可求得 ，进而可求得升高量 ；
（2）过点 作 于点 ，由升降范围可求得 ，利用锐角三角函数可求得 的大小，
进而可求得点 滑动的距离．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，
， ，
，
升高量 ，
，
在 中， ，
升高量 ，
答：这款电脑桌升高了 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
它的升降范围是 ，
，
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在 中， ，
，
，
由（1）得： ，
点 滑动的距离为 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含 度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股
定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
23．（2024·湖北·模拟预测）【探索发现】在矩形 中，点 分别在边 上， 为 的中点，
于点 ．
（1）如图1，若 ，则 的值为___________；
（2）如图2，若 ，求 的值；
（3）【迁移拓展】如图3， 是菱形 边 的中点，点 在边 上，连接 ，
，分别求 和 的长．
【答案】（1） ，（2） ，（3）
【分析】（1）由E为 的中点， ，得 ，由 ，得
，则 ，即可证明 ，求
得 的值是 ；
（2）连接 ，由 ，得 ，而 ，则 ，所以
，设 ， ，则 ，再证明 ，得 ，于是得
，求得 ，再代入 计算即可；
（3）连接 ，由菱形的性质得 ，而 ，则
，所以 ，由 ，得
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，即可证明 ，因为E为 的中点，所以 ，
则 ，再证明 ，得 ，由 ， ，证明，
，则 ，则 ， ，所以 ，求得
，则 ，所以 ．
【详解】（1）解： 为 的中点， ，
，
四边形 是矩形， 于点 ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
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，
解关于 的方程得 ， （不符合题意，舍去），
，
，
的值是 ；
（3）解：如图3，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
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，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）
，
，
综上所述， ．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
锐角三角函数与解直角三角形、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试
压轴题．
24．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹
竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面
垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松
大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿 米，O为 的中点，
支架 垂直地面 ，此时水桶在井里时， ．
(1)如图2，求支点O到小竹竿 的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿 旋转至 的位置，小竹竿 至 的位置，此时
，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： ， ，
， ）
【答案】(1)支点O到小竹竿 的距离
(2)点A上升的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
（1）作 于点G，由题意可知 ， ，在 中，应用特殊角三角
函数值求 即可；
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（2）记 交 于点H，由题意推出 ，在 中，求 ，在 中求 ，
则点A上升的高度可解．
【详解】（1）解：作 于点G（图1），
∵O为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴
∴支点O到小竹竿 的距离 ．
（2）解：记 交 于点H（图2），
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
在 中，
，
在 中，
m
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∴点A上升的高度为 ．
25．（2024·全国·模拟预测）【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中 代表入射角， 代表折射角．学习小组查阅资料了
解到，若 ，则把 称为折射率．（参考数据： ， ）
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在 处，
光线可沿 照射到空容器底部 处，将水加至 处，且 时，光点移动到 处，此时测得
，四边形 是矩形， 是法线．
【问题解决】
(1)求入射角 的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可；
（2）作 于点 ，利用勾股定理，折射率的定义解答即可．
【详解】（1）解：如图1， ，
，
入射角 约为 ．
图1
（2）解：如图2，作 于点 ，
在 中， ，
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在 中， ，
光线从空气射入水中的折射率，
光线从空气射入水中的折射率 ．
【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
74
