北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.4 解三角形
考点一 正弦定理和余弦定理
a2+b2-c2
1.(2018课标Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 ,则
4
C=( )
π π
A. B.
2 3
π π
C. D.
4 6
a2+b2-c2 2abcosC
答案 C 根据余弦定理得a2+b2-c2=2ab·cos C,因为S = ,所以S = ,又S =
△ABC 4 △ABC 4 △ABC
1 π
absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C= .故选C.
2 4
2
2.(2016课标Ⅰ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A= ,则b=( )
3
A.√2 B.√3 C.2 D.3
2 ( 1 )
答案 D 由余弦定理得5=22+b2-2×2b·cos A,∵cos A= ,∴3b2-8b-3=0,∴b=3 b=- 舍去 .故选D.
3 3
评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.
3.(2016山东文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )
3π π π π
A. B. C. D.
4 3 4 6
b2+c2-a2 2b2-a2
答案 C 在△ABC中,由b=c,得cos A= = ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan
2bc 2b2
π
A=1,又知A∈(0,π),所以A= ,故选C.
4
评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.
√3
4.(2015广东文,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A= 且b<c,则b=(
2
)
A.3 B.2√2 C.2 D.√3
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答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2√3,∴b=2.选C.
1
5.(2014课标Ⅱ理,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC=√2,则AC=( )
2
A.5 B.√5 C.2 D.1
1 1 1
答案 B S = AB·BCsin B= ×1×√2sin B= ,
△ABC 2 2 2
√2
∴sin B= ,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此
2
( √2)
B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1×√2× - =5,∴AC=√5.故选B.
2
π π
6.(2013课标Ⅱ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= ,C= ,则△ABC的面积为(
6 4
)
A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1
b c
答案 B 由 = 及已知条件得c=2√2.
sinB sinC
1 √2 √3 √2 √2+√6 1 1 √2+√6
又sin A=sin(B+C)= × + × = .从而S = bcsin A= ×2×2√2× =√3+1.故选
2 2 2 2 4 △ABC 2 2 4
B.
7.(2013课标Ⅰ文,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则
b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
答案 D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1,
1 12
因为A为锐角,所以cos A= .又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36- b,整理得5b2-12b-65=0,
5 5
13
解得b=- (舍)或b=5,故选D.
5
π 1
8.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则cos A=( )
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A. B. C.- D.-
10 10 10 10
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1 2 √2 √5
答案 C 过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,AB= BC,AC= BC,在
3 3 3 3
2 5
BC2+ BC2-BC2
AB2+AC2-BC2 9 9 √10
△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC= = =- ,故
2AB·AC √2 √5 10
2× BC× BC
3 3
选C.
4 5
9.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b= .
5 13
21
答案
13
3 12 3 5 4 12 63 a b
解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,则sin B=sin(A+C)= × + × = ,再由 = ⇒b=
5 13 5 13 5 13 65 sin A sinB
63
1×
65 21
= .
3 13
5
思路分析 利用同角三角函数的基本关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出sin B的值,
再利用正弦定理即可求出b的值.
10.(2019课标Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
3
答案 π
4
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.
在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,
∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0,
即tan B=-1,
3
又B∈(0,π),∴B= π.
4
11.(2017课标Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .
答案 75°
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3 √6 √2
解析 由正弦定理得 = ,∴sin B= ,
sin60° sinB 2
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.
√2
易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用b<c确定B=45°,从而求得A=75°.
2
12.(2017课标Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=
.
答案 60°
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin
2B=sin(180°-B),可得B=60°.
a2+c2-b2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 a2+c2-b2
解法二:由余弦定理得2b· =a· +c· ,即b· =b,所以a2+c2-
2ac 2ab 2bc ac
1
b2=ac,所以cos B= ,又0°<B<180°,所以B=60°.
2
思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.
2π b
13.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A= ,a=√3c,则 = .
3 c
答案 1
解析 在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cos A,
2π
将∠A= ,a=√3c代入,
3
( 1)
可得(√3c)2=b2+c2-2bc· - ,
2
整理得2c2=b2+bc.
∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,
b2 bc (b) 2 b
得2= + ,即2= + .
c2 c2 c c
b
令t= (t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,
c
解得t=1或t=-2(舍去),
b
故 =1.
c
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b
思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以 为变元的方程求解.
c
评析 本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.
14.(2015福建理,12,4分)若锐角△ABC的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
1 √3
解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及 bcsin A=10√3得sin A= ,因为A为锐角,所以
2 2
1 1
A=60°,cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40× =49,故a=7,即BC=7.
2 2
评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.
15.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
答案 2
AB AC AB·sinB √6·sin45°
解析 由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由 = 知AC= = =2.
sinC sinB sinC sin60°
16.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC= .
答案 √2
AC BC
解析 B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得 = ,可得BC=√2.
sinB sinA
1
17.(2015重庆文,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c=
4
.
答案 4
( 1)
解析 由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3× -
4
=16,所以c=4.
sin2A
18.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 = .
sinC
答案 1
b2+c2-a2 52+62-42 3 sin2A
解析 在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos A= = = ,由正弦定理可知
2bc 2×5×6 4 sinC
3
2sinAcosA 2a·cosA 2×4×
= = = 4=1.
sinC c
6
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评析 本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识
的应用转化能力.
19.(2014课标Ⅰ理,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin
C,则△ABC面积的最大值为 .
答案 √3
解析 因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得
b2+c2-a2 bc 1 π
(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A= = = ,又0<A<π,故A= .因为cos
2bc 2bc 2 3
1 b2+c2-4 2bc-4 1 1
A= = ≥ ,所以bc≤4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知S = bcsin A=
2 2bc 2bc △ABC 2 2
√3 √3
bc· = bc≤√3,故△ABC面积的最大值为√3.
2 4
评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查学生对知识的综合应
用能力以及运算求解能力.能把2代换成a是正确解决本题的关键.
20.(2011课标文,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为 .
15√3
答案
4
解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,及已知条件得
49=a2+25-2×5×acos 120°.
整理得a2+5a-24=0,
解得a=3或a=-8(舍).
1 1 15√3
∴S = acsin B= ×3×5sin 120°= .
△ABC 2 2 4
评析 本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出a的值是解答本题的关键.
B
21.(2017课标Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 .
2
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
B
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2 ,故sin B=4(1-cos B).
2
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
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15
解得cos B=1(舍去),cos B= .
17
15 8 1 4
(2)由cos B= 得sin B= ,故S = acsin B= ac.
17 17 △ABC 2 17
17
又S =2,则ac= .
△ABC 2
17 ( 15)
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2× × 1+ =4.
2 17
所以b=2.
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-
2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.
3
22.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c= a.
7
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.
3
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c= a,
7
csinA 3 √3 3√3
所以由正弦定理得sin C= = × = .
a 7 2 14
3
(2)因为a=7,所以c= ×7=3.
7
1
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3× ,
2
解得b=8或b=-5(舍).
1 1 √3
所以△ABC的面积S= bcsin A= ×8×3× =6√3.
2 2 2
解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积
时,经常用余弦定理求出两边乘积.
23.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,⃗AB·⃗AC=-6,S =3,求A和a.
△ABC
解析 因为⃗AB·⃗AC=-6,所以bccos A=-6,
又S =3,所以bcsin A=6,
△ABC
3π
因此tan A=-1,又0<A<π,所以A= .
4
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又b=3,所以c=2√2.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
( √2)
得a2=9+8-2×3×2√2× - =29,
2
所以a=√29.
cosA cosB sinC
24.(2016四川文,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 + = .
a b c
(1)证明:sin Asin B=sin C;
6
(2)若b2+c2-a2= bc,求tan B.
5
解析 (1)证明:根据正弦定理,
a b c
可设 = = =k(k>0).
sin A sinB sinC
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
cosA cosB sinC
代入 + = 中,有
a b c
cosA cosB sinC
+ = ,变形可得
ksinA ksinB ksinC
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
6
(2)由已知,b2+c2-a2= bc,
5
b2+c2-a2 3
根据余弦定理,有cos A= = .
2bc 5
4
所以sin A=√1-cos2A= .
5
由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
4 4 3
所以 sin B= cos B+ sin B,
5 5 5
sinB
故tan B= =4.
cosB
方法总结 解三角形中,要根据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角
较多时,可考虑正弦定理.△ABC中,也常用到sin(A+B)=sin C.
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评析 本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式,根据条件恰当选择正、余弦定理是解题的
关键.
25.(2016浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
2
(2)若cos B= ,求cos C的值.
3
解析 (1)由正弦定理得
sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,
所以,B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以,A=2B.
2 √5
(2)由cos B= 得sin B= ,
3 3
1
cos 2B=2cos2B-1=- ,
9
1 4√5
故cos A=- ,sin A= ,
9 9
22
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= .
27
评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
26.(2016课标Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C·(acos B+bcos A)=c.
(1)求C;
3√3
(2)若c=√7,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.
2
解析 (1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)
2cos Csin(A+B)=sin C.
故2sin Ccos C=sin C.(4分)
1 π
可得cos C= ,所以C= .(6分)
2 3
1 3√3
(2)由已知,得 absin C= .
2 2
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π
又C= ,所以ab=6.(8分)
3
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)
所以△ABC的周长为5+√7.(12分)
解后反思 本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关
系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三
1
角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S = absin C.
△ABC 2
评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在
解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运
用三角函数知识求解.
27.(2016浙江理,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
a2
(2)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.
4
解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以,A=2B.
a2 1 a2 1
(2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B,
4 2 4 2
因sin B≠0,得sin C=cos B.
π
又B,C∈(0,π),所以C= ±B.
2
π π
当B+C= 时,A= ;
2 2
π π
当C-B= 时,A= .
2 4
π π
综上,A= 或A= .
2 4
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思路分析 (1)由正弦定理及两角和的正弦公式将已知条件转化为∠A与∠B的三角函数关系,利用A,B的范
围诱导公式得出∠A与∠B的关系;
(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为∠C与∠B的三角函数关系,再由∠B,∠C的范围及诱导公式求∠A
的大小.
评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.
28.(2015课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sin∠B
(1)求 ;
sin∠C
√2
(2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.
2
1
解析 (1)S = AB·ADsin∠BAD,
△ABD 2
1
S = AC·ADsin∠CAD.
△ADC 2
因为S =2S ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
△ABD △ADC
sin∠B AC 1
由正弦定理可得 = = .
sin∠C AB 2
(2)因为S ∶S =BD∶DC,所以BD=√2.
△ABD △ADC
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.
29.(2015课标Ⅰ文,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.
(1)若a=b,求cos B;
(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.
解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
a2+c2-b2 1
由余弦定理可得cos B= = .(6分)
2ac 4
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a=√2.
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所以△ABC的面积为1.(12分)
评析 本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属容易题.
π 1
30.(2015浙江理,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2.
4 2
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
1 1 1
解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
2 2 2
π 3
又由A= ,即B+C= π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
4 4
解得tan C=2.
2√5 √5
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C= ,cos C= .
5 5
(π ) 3√10
又因为sin B=sin(A+C)=sin
+C
,所以sin B= .
4 10
2√2
由正弦定理得c= b,
3
π 1
又因为A= , bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.
4 2
评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
( π)
31.(2015山东理,16,12分)设f(x)=sin x·cos x-cos2 x+ .
4
(1)求f(x)的单调区间;
(A)
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f =0,a=1,求△ABC面积的最大值.
2
( π)
sin2x 1+cos 2x+
解析 (1)由题意知f(x)= - 2
2
2
sin2x 1-sin2x 1
= - =sin 2x- .
2 2 2
π π π π
由- +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,可得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;
2 2 4 4
π 3π π 3π
由 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,可得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
2 2 4 4
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[ π π ]
所以f(x)的单调递增区间是
- +kπ, +kπ
(k∈Z);
4 4
[π 3π ]
单调递减区间是
+kπ, +kπ
(k∈Z).
4 4
(A) 1 1
(2)由f =sin A- =0,得sin A= ,
2 2 2
√3
由题意知A为锐角,所以cos A= .
2
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得1+√3bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+√3,且当b=c时等号成立.
1 2+√3
因此 bcsin A≤ .
2 4
2+√3
所以△ABC面积的最大值为 .
4
评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有
较高要求.属中等难度题.
32.(2015陕西理,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.
解析 (1)因为m∥n,所以asin B-√3bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=√3,
π
由于0<A<π,所以A= .
3
(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,
π
及a=√7,b=2,A= ,
3
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,
因为c>0,所以c=3.
1 3√3
故△ABC的面积为 bcsin A= .
2 2
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√7
2
解法二:由正弦定理,得 π = ,
sin sinB
3
√21
从而sin B= ,
7
2√7
又由a>b,知A>B,所以cos B= .
7
( π)
故sin C=sin(A+B)=sin
B+
3
π π 3√21
=sin Bcos +cos Bsin = .
3 3 14
1 3√3
所以△ABC的面积为 absin C= .
2 2
33.(2014课标Ⅱ文,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解析 (1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C
=13-12cos C,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A
=5+4cos C.②
1
由①,②得cos C= ,故C=60°,BD=√7.
2
(2)四边形ABCD的面积
1 1
S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C
2 2
(1 1 )
= ×1×2+ ×3×2 sin 60°
2 2
=2√3.
评析 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四边形分割成两
个三角形是求面积的常用方法.
34.(2014浙江理,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos2A-cos2B=√3sin
Acos A-√3sin Bcos B.
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(1)求角C的大小;
4
(2)若sin A= ,求△ABC的面积.
5
解析 (1)由题意得
1+cos2A 1+cos2B √3 √3
- = sin 2A- sin 2B,
2 2 2 2
√3 1 √3 1
即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B,
2 2 2 2
( π) ( π)
sin
2A-
=sin
2B-
.
6 6
由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得
π π
2A- +2B- =π,
6 6
2π
即A+B= ,
3
π
所以C= .
3
4 a c 8
(2)由(1)及c=√3,sin A= , = ,得a= ,
5 sin A sinC 5
3
由a<c,得A<C.从而cos A= ,
5
4+3√3
故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ,
10
1 8√3+18
所以,△ABC的面积为S= acsin B= .
2 25
评析 本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,
同时考查运算求解能力.
35.(2013课标Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
解析 (1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C·sin B.①
又A=π-(B+C),
故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②
由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B.
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π
又B∈(0,π),所以B= .
4
1 √2
(2)△ABC的面积S= acsin B= ac.
2 4
π
由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos .
4
4
又a2+c2≥2ac,故ac≤ ,当且仅当a=c时,等号成立.
2-√2
因此△ABC面积的最大值为√2+1.
36.(2012课标文,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3a·sin C-ccos A.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.
解析 (1)由c=√3asin C-c·cos A及正弦定理得√3sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.
( π) 1
由于sin C≠0,所以sin
A-
= .
6 2
π
又0<A<π,故A= .
3
1
(2)△ABC的面积S= bcsin A=√3,故bc=4.
2
而a2=b2+c2-2bccos A,
故b2+c2=8.解得b=c=2.
评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确
的转化是本题的难点.
37.(2012课标理,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.
解析 (1)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C=0.
因为B=π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
( π) 1
由于sin C≠0,所以sin
A-
= .
6 2
π
又0<A<π,故A= .
3
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1
(2)△ABC的面积S= bcsin A=√3,故bc=4.
2
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.
评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.
考点二 解三角形及其应用
1.(2014四川文,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高
是60 m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(√3-1)m B.180(√2-1)m
C.120(√3-1)m D.30(√3+1)m
AD 60
答案 C 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD= = =60√3 m,
tan∠ACD tan30°
AD 60 60
在Rt△ABD中,BD= = = =60(2-√3)m,∴BC=CD-BD=60√3-60(2-√3)=120(
tan∠ABD tan75° 2+√3
√3-1)m.
2.(2015课标Ⅰ理,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是
.
答案 (√6-√2,√6+√2)
解析 依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,由正弦定理得
2 x x
= .由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD中,由正弦定理得 =
sinα sin75° sin75°
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y y 2 2sin(135°-α) 2sin[90°-(α-45°)]
.所以 = ,即y= = =
sin(135°-α) sin(135°-α) sinα sinα sinα
2cos(α-45°) √2(cosα+sinα)
= .
sinα sinα
因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°,
当α=90°时,易得y=√2;
√2(cosα+sinα) ( 1 )
当α≠90°时,y= =√2 +1 ,
sinα tanα
√3 tan60°+tan45° 1
又tan 30°= ,tan 105°=tan(60°+45°)= =-2-√3,结合正切函数的性质知, ∈(
3 1-tan60°tan45° tanα
1 ( 1 )
√3-2,√3),且 ≠0,所以y=√2 +1 ∈(√6-√2,√2)∪(√2,√6+√2).
tanα tanα
综上所述:y∈(√6-√2,√6+√2).
评析 本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.
3.(2015重庆理,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC= .
答案 √6
1 √2 √3 ( 1 )
解析 依题意知∠BDA=∠C+ ∠BAC,由正弦定理得 = ,∴sin ∠C+ ∠BAC =
2 sin∠BDA sinB 2
√2
,
2
1
∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,∴∠C+ ∠BAC=45°,
2
∴∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABcos 30°=√6.
4.(2014课标Ⅰ理,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点
的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则
山高MN= m.
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答案 150
解析 在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100√2 m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
AC AM
由正弦定理得, = ,因此AM=100√3 m.
sin45° sin60°
在Rt△MNA中,AM=100√3 m,∠MAN=60°,
MN √3
由 =sin 60°得MN=100√3× =150 m,故填150.
AM 2
5.(2011课标理,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为 .
答案 2√7
解析 设AC=b=√3,AB=c,BC=a,
a b c
在△ABC中, = = =2,
sin A sinB sinC
∴a=2sin A,c=2sin C,且A+C=120°,
∴AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A
=2sin C+4sin(120°-C)
=4sin C+2√3cos C=2√7sin(C+φ),
√21 2√7
其中sin φ= ,cos φ= ,
7 7
∴φ∈(30°,60°),而C∈(0°,120°),∴φ+C∈(30°,180°),当C+φ=90°时,AB+2BC有最大值2√7.
评析 本题主要考查正弦定理的应用及三角函数性质和公式的应用,熟练掌握定理、公式和三角函数的性
质是正确解题的关键.
6.(2020江苏,16,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=√2,B=45°.
(1)求sin C的值;
4
(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=- ,求tan∠DAC的值.
5
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解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识,
考查运算求解能力.
(1)在△ABC中,因为a=3,c=√2,B=45°,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=9+2-2×3×√2cos 45°=5,所以b=√5.
b c
在△ABC中,由正弦定理 = ,
sinB sinC
√5 √2 √5
得 = ,所以sin C= .
sin45° sinC 5
4
(2)在△ADC中,因为cos∠ADC=- ,所以∠ADC为钝角,
5
而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C为锐角,
2√5 sinC 1
故cos C=√1-sin2C= ,则tan C= = ,
5 cosC 2
4 3
因为cos∠ADC=- ,所以sin∠ADC=√1-cos2 ∠ADC= ,
5 5
sin∠ADC 3
tan∠ADC= =- .
cos∠ADC 4
3 1
- +
tan∠ADC+tanC 4 2 2
从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)=- =- = .
1-tan∠ADC·tanC ( 3) 1 11
1- - ×
4 2
7.(2019江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
2
(1)若a=3c,b=√2,cos B= ,求c的值;
3
sinA cosB ( π)
(2)若 = ,求sin
B+
的值.
a 2b 2
解析 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能
力.
2
(1)因为a=3c,b=√2,cos B= ,
3
a2+c2-b2 2 (3c) 2+c2-(√2) 2
由余弦定理cos B= ,得 = ,
2ac 3 2×3c×c
1 √3
即c2= .所以c= .
3 3
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sin A cosB
(2)因为 = ,
a 2b
a b cosB sinB
由正弦定理 = ,得 = ,所以cos B=2sin B.
sinA sinB 2b b
从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),
4
故cos2B= .
5
2√5
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B= .
5
( π) 2√5
因此sin
B+
=cos B= .
2 5
1
8.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=- .
7
(1)求A;
(2)求AC边上的高.
1 (π ) 4√3
解析 (1)在△ABC中,因为cos B=- ,所以B∈ ,π ,所以sin B=√1-cos2B= .
7 2 7
a·sinB √3
由正弦定理得sin A= = ,
b 2
(π )
因为B∈ ,π ,
2
( π) π
所以A∈ 0, ,所以A= .
2 3
( π) 1 √3 3√3
(2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin
B+
= sin B+ cos B= ,
3 2 2 14
1
三角形ABC的面积S = absin C=6√3,
△ABC 2
设AC边上的高为h,
1 1
则S = bh= ×8·h=6√3,
△ABC 2 2
3√3
所以h= ,
2
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3√3
即AC边上的高为 .
2
方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是
已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.
3
9.(2017天津理,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B= .
5
(1)求b和sin A的值;
( π)
(2)求sin
2A+
的值.
4
解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定
理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.
3 4
(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B= ,可得cos B= .由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=
5 5
√13.
a b asinB 3√13
由正弦定理 = ,得sin A= = .
sinA sinB b 13
3√13
所以,b的值为√13,sin A的值为 .
13
2√13
(2)由(1)及a<c,得cos A= ,
13
12 5
所以sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=1-2sin2A=- .
13 13
( π) π π 7√2
故sin
2A+
=sin 2Acos +cos 2Asin = .
4 4 4 26
方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结
合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的
运用.
2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算
准确,注意符号.
10.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=√5(a2-b2-
c2).
(1)求cos A的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
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解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定
理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.
a b
(1)由asin A=4bsin B,及 = ,得a=2b.
sinA sinB
由ac=√5(a2-b2-c2),
√5
b2+c2-a2 - ac √5
及余弦定理,得cos A= = 5 =- .
2bc 5
ac
2√5
(2)由(1),可得sin A= ,代入asin A=4bsin B,
5
asinA √5
得sin B= = .
4b 5
2√5
由(1)知,A为钝角,所以cos B=√1-sin2B= .
5
4 3
于是sin 2B=2sin Bcos B= ,cos 2B=1-2sin2B= ,
5 5
4 ( √5) 3 2√5 2√5
故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A= × - - × =- .
5 5 5 5 5
规律总结 解有关三角形问题时应注意:
(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能够利用某个定
理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边
的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时
应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.
11.(2016北京理,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+√2ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求√2cos A+cos C的最大值.
a2+c2-b2 √2ac √2
解析 (1)由余弦定理及题设得cos B= = = .
2ac 2ac 2
又因为0<∠B<π,
π
所以∠B= .(6分)
4
3π
(2)由(1)知∠A+∠C= .
4
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(3π )
√2cos A+cos C=√2cos A+cos -A
4
√2 √2
=√2cos A- cos A+ sin A
2 2
√2 √2
= cos A+ sin A
2 2
( π)
=cos
A-
.(11分)
4
3π
因为0<∠A< ,
4
π
所以当∠A= 时,√2cos A+cos C取得最大值1.(13分)
4
思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三
角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.
评析 本题考查余弦定理,三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.
tan A tanB
12.(2016山东理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)= + .
cosB cosA
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
(sin A sinB) sinA sinB
+
解析 (1)由题意知2 = + ,
cosA cosB cosAcosB cosAcosB
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B.
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.
由正弦定理得a+b=2c.
a+b
(2)由(1)知c= ,
2
a2+b2-c2 a2+b2-
(a+b) 2
所以cos C= = 2
2ab
2ab
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3(a b) 1 1
+
= - ≥ ,
8 b a 4 2
当且仅当a=b时,等号成立.
1
故cos C的最小值为 .
2
疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得
出三角形三边之间的关系.
评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化
的思想方法,属中档题.
13.(2016天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A.
(1)求B;
1
(2)若cos A= ,求sin C的值.
3
a b
解析 (1)在△ABC中,由 = ,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3
sin A sinB
√3 π
bsin A=√3asin B,所以cos B= ,得B= .
2 6
1 2√2
(2)由cos A= ,可得sin A= ,
3 3
( π)
则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin
A+
6
√3 1 2√6+1
= sin A+ cos A= .
2 2 6
思路分析 (1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(2)利用三角形的性质
及两角和的正弦公式求sin C的值.
评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基
础知识.考查运算求解能力.
14.(2015江苏理,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin 2C的值.
1
解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3× =7,
2
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所以BC=√7.
AB BC
(2)由正弦定理知, = ,
sinC sinA
AB 2sin60° √21
所以sin C= ·sin A= = .
BC √7 7
√ 3 2√7
因为AB<BC,所以C为锐角,则cos C=√1-sin2C= 1- = .
7 7
√21 2√7 4√3
因此sin 2C=2sin C·cos C=2× × = .
7 7 7
评析 本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.
(π )
15.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan
+A
=2.
4
sin2A
(1)求 的值;
sin2A+cos2A
π
(2)若B= ,a=3,求△ABC的面积.
4
(π ) 1
解析 (1)由tan
+A
=2,得tan A= ,
4 3
sin2A 2tan A 2
所以 = = .
sin2A+cos2A 2tan A+1 5
1
(2)由tan A= ,A∈(0,π),得
3
√10 3√10
sin A= ,cos A= .
10 10
π a b
又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得
4 sinA sinB
b=3√5.
( π) 2√5
由sin C=sin(A+B)=sin
A+
得sin C= .
4 5
1
设△ABC的面积为S,则S= absin C=9.
2
评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.
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16.(2015天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3√15,b-c=2,cos
1
A=- .
4
(1)求a和sin C的值;
( π)
(2)求cos
2A+
的值.
6
1 √15
解析 (1)在△ABC中,由cos A=- ,可得sin A= .
4 4
1
由S = bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,
△ABC 2
解得b=6,c=4.
由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.
a c √15
由 = ,得sin C= .
sinA sinC 8
( π) π π
(2)cos
2A+
=cos 2Acos -sin 2Asin
6 6 6
√3 1 √15-7√3
= (2cos2A-1)- ×2sin A·cos A= .
2 2 16
评析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦
定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.
17.(2015课标Ⅱ文,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
sin∠B
(1)求 ;
sin∠C
(2)若∠BAC=60°,求∠B.
解析 (1)由正弦定理得
AD BD AD DC
= , = .
sin∠B sin∠BAD sin∠C sin∠CAD
因为AD平分∠BAC,BD=2DC,
sin∠B DC 1
所以 = = .
sin∠C BD 2
(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,
√3 1
所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)= cos∠B+ sin∠B.
2 2
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由(1)知2sin∠B=sin∠C,
√3
所以tan∠B= ,即∠B=30°.
3
评析 本题考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.属中档题.
3π
18.(2015安徽理,16,12分)在△ABC中,∠A= ,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
4
解析 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,
3π
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos =18+36-(-36)=90,
4
所以a=3√10.
bsin∠BAC 3 √10
又由正弦定理得sin B= = = ,
a 3√10 10
π √ 1 3√10
由题设知0<B< ,所以cos B=√1-sin2B= 1- = .
4 10 10
AB·sinB 6sinB
在△ABD中,由正弦定理得AD= =
sin(π-2B) 2sinBcosB
3
= =√10.
cosB
1
19.(2014辽宁理,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知⃗BA·⃗BC=2,cos B= ,b=3.
3
求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析 (1)由⃗BA·⃗BC=2得c·acos B=2,
1
又cos B= ,所以ac=6.
3
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
{ ac=6,
解 得a=2,c=3或a=3,c=2.
a2+c2=13,
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B=√1-cos2B=
√
1-
(1) 2
=
2√2
,
3 3
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c 2 2√2 4√2
由正弦定理,得sin C= sin B= × = .
b 3 3 9
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C=√1-sin2C=
√
1-
(4√2) 2
=
7
.
9 9
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
1 7 2√2 4√2 23
= × + × = .
3 9 3 9 27
√6
20.(2014天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c= b,sin B=√6sin C.
6
(1)求cos A的值;
( π)
(2)求cos
2A-
的值.
6
b c √6
解析 (1)在△ABC中,由 = ,及sin B=√6sin C,可得b=√6c.又由a-c= b,有a=2c.
sinB sinC 6
b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 √6
所以,cos A= = = .
2bc 2√6c2 4
√6 √10
(2)在△ABC中,由cos A= ,可得sin A= .
4 4
1 √15
于是cos 2A=2cos2A-1=- ,sin 2A=2sin A·cos A= .
4 4
( π) π π √15-√3
所以cos
2A-
=cos 2A·cos +sin 2A·sin = .
6 6 6 8
评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定
理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.
π 1
21.(2014北京理,15,13分)如图,在△ABC中,∠B= ,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC= .
3 7
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
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1
解析 (1)在△ADC中,因为cos∠ADC= ,
7
4√3
所以sin∠ADC= .
7
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B
4√3 1 1 √3 3√3
= × - × = .
7 2 7 2 14
(2)在△ABD中,由正弦定理得
3√3
8×
AB·sin∠BAD 14
BD= = =3.
sin∠ADB 4√3
7
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
1
=82+52-2×8×5× =49.
2
所以AC=7.
评析 本题考查了三角变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.
22.(2014湖南理,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7.
(1)求cos∠CAD的值;
√7 √21
(2)若cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求BC的长.
14 6
解析 (1)在△ADC中,由余弦定理,得
AC2+AD2-CD2 7+1-4 2√7
cos∠CAD= = = .
2AC·AD 2√7 7
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(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
2√7 √7
因为cos∠CAD= ,cos∠BAD=- ,
7 14
所以sin∠CAD=√1-cos2 ∠CAD=
√
1-
(2√7) 2
=
√21
,
7 7
sin∠BAD=√1-cos2 ∠BAD= √ 1- ( - √7) 2 = 3√21 .
14 14
于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
3√21 2√7 ( √7) √21 √3
= × - - × = .
14 7 14 7 2
BC AC
在△ABC中,由正弦定理,得 = ,
sinα sin∠CBA
√3
√7×
AC·sinα 2
故BC= = =3.
sin∠CBA √21
6
2π
23.(2014湖南文,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC= ,∠BEC=
3
π
.
3
(1)求sin∠CED的值;
(2)求BE的长.
解析 设∠CED=α.
(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.
于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,
解得CD=2(CD=-3舍去).
EC CD
在△CDE中,由正弦定理,得 = .
sin∠EDC sinα
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2π √3
CD·sin 2× √21 √21
于是sin α= 3 = 2 = ,即sin∠CED= .
7 7
EC √7
π
(2)由题设知,0<α< ,于是由(1)知,
3
√ 21 2√7
cos α=√1-sin2α= 1- = .
49 7
2π (2π ) 2π 2π 1 √3 1
而∠AEB= -α,所以cos∠AEB=cos
-α
=cos cos α+sin sin α=- cos α+ sin α=- ×
3 3 3 3 2 2 2
2√7 √3 √21 √7
+ × = .
7 2 7 14
2
EA 2 2
在Rt△EAB中,cos∠AEB= = ,故BE= =√7=4√7.
BE BE cos∠AEB
14
评析 本题考查解三角形及三角函数式的恒等变形,解题时要运用从已知到未知的思路,利用角的关系进行
恒等变形.
24.(2013课标Ⅰ理,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
1
(1)若PB= ,求PA;
2
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解析 (1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
1 1 7 √7
在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+ -2×√3× cos 30°= .故PA= .
4 2 4 2
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.
√3 sinα
在△PBA中,由正弦定理得 = ,
sin150° sin(30°-α)
√3 √3
化简得√3cos α=4sin α.所以tan α= ,即tan∠PBA= .
4 4
评析 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目
新颖且有一定的难度,通过PB把△PBC和△PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.
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