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专题07 与三角形角度有关的新定义问题
1．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准
角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为
（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【详解】
解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，
180°﹣100°﹣50°＝30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和，拓展了新的定义，按照新定义获取有用信息是解题关键.
2．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好
三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论，① ，② ，③ 既不是 也不是 ，根据“友好三角形”的定义及三角形内角
和定理列式计算即可．
【详解】
① ，则这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ，
② ，则 ，
，③ 既不是 也不是 ，
则 ，
，
解得 ，
综上所述：这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 或 或 ．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
3．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为
“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据新定义分三种情况：①当99°的内角是另一个角的两倍时，直接可得α的度数；②当一个内角α是
的两倍时，不符合三角形的内角和关系，舍去；③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，列方程得到
，求解即可．
【详解】
解：分三种情况：
①当99°的内角是另一个角的两倍时，倍角α的度数是 ；
②当一个内角α是 的两倍时，则 ，不符合三角形的内角和关系，故舍去；
③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，得到 ，得α= ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理，新定义计算，一元一次方程，正确理解新定义并列式计算是解题的关键．
4．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征
角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为
__________．
【答案】15
【解析】【分析】
根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【详解】
解：由题意得：α=2β，α=110°，则β=55°，
180°-110°-55°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．
5．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“实验三角形”.如果一个“实验三角
形”有一个角为108°，那么这个“实验三角形”的其它两个内角的度数分别为_______.
【答案】36°、36°或18°、54°
【解析】
【分析】
根据“实验三角形”的定义，分108°的角是另一个角的3倍和另两个角中一个角是另一个角的3倍两种情
况，根据三角形内角和定理分别求出另两个角的度数即可.
【详解】
①当108°的角是另一个角的3倍时，
108÷3=36°，
180°-108°-36°=36°，
②当另两个角中一个角是另一个角的3倍时，
180°-108°=72°，
72°÷（3+1）=18°，
18°×3=54°，
综上所述：其它两个内角的度数分别为36°、36°或18°、54°.
故答案为：36°、36°或18°、54°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，理解“实验三角形”的定义并掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
6．设三角形三内角的度数分别为 ，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数
对 是 的和谐数对，当 时，对应的和谐数对有一个，它为 ；当 时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对 有三个时，请写出此时 的范围_______．
【答案】 （38，76），（33，81）
【解析】
【分析】
根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当 时，当 时，当
时，三种情况讨论，从而得出结论．
【详解】
解：当 时，
180-66=114，
则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），
或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），
若对应的和谐数对 有三个，
当 时，它的和谐数对有 ， ， ， ；
当 时，它的和谐数对有 ， ， ，
当 时，它的和谐数对有 ， ，
对应的和谐数对 有三个时，此时 的范围是 ，
故答案为：（38，76），（33，81）； ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思
想解答问题．
7．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角
形”有一个角为132°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____________________.
【答案】4°或12°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为132°，可得另两个角的和为48°，由三
角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°-132°-132÷3°=4°，48°÷（1+3）=12°，
由此比较得出答案即可．【详解】
当132°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°-132°-132÷3°=4°，
当180°-132°=48°的角是另一个内角的3倍时，最小角为48°÷（1+3）=12°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为4°或12°．
故答案是：4°或12°．
【点睛】
考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
8．当三角形的一个内角 是另一个内角 的3倍时，我们称此三角形为“特异三角形”，其中 称为
“特异角”．若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为_______．
【答案】30°或22.5°
【解析】
【分析】
结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形，根据三角形的性质，分两种情况分析；再通过求解二元
一次方程方程组，即可完成求解．
【详解】
结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形
则：有两种情况，第一种是 ，第二种是直角为
假设 时，得
∴
假设直角为 时，得
∴
故答案为：30°或22.5°．【点睛】
本题考查了三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、
直角三角形、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
9．当三角形中一个内角 是另一个内角 的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中 称为
“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为
____．
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【详解】
解：∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．
10．当三角形中一个内角 是另一个内角 的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角 称为
“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为 ，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数
为________．
【答案】54°或84°或108°
【解析】
【分析】
分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可
得解．
【详解】
解：①54°角是α，则希望角度数为54°；
②54°角是β，则 α=β=54°,
所以，希望角α=108°；③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°=180°，
所以，α+ α+54°=180°，
解得α=84°，
综上所述，希望角度数为54°或84°或108°．
故答案为54°或84°或108°．
【点睛】
本题考查了希望角的定义以及三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键．
11．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若
是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=20°，则∠B=_______．
【答案】35°或50°
【解析】
【分析】
根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，
∴2∠B＋∠A＝90°或2∠A＋∠B＝90°，
解得，∠B＝35°或50，
故答案为：35°或50°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题
12．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角
形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例
如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.
（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）①等边三角形存在“和谐分割线”（ ）
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（ ）
（2）如图2，Rt ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分
割线”的长度．△
【答案】（1）①×，②√；（2）和谐分割线”的长度为4．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；
（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可,并根据直角三角形30°角所对边是
斜边的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的长度即可.
【详解】
（1）①因为过等边三角形任意一顶点，分割的两个三角形都有一个角小于60°，即不可能是等边三角形，
故等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，
则这个三角形必存在“和谐分割线”，理由如下：
如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分线交AC于D.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC= ,
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴BD=DC，△BDC为等腰三角形
∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.
故BD为△ABC的和谐分割线.
正确，是真命题，
故答案为×，√；
（2）如图2，作∠CAB的平分线AD，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，且∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC
∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，
设CD＝x，则BD＝6﹣x，
∵ ，
∴x＝2，
即AD＝BD＝6﹣2＝4；
即和谐分割线”的长度为4．
【点睛】
本题考查直角三角形30°角所对边是斜边一半，等腰三角形的判定.理解“和谐分割线”的定义，会根据定
义判断一个三角形是否存在“和谐分割线”是解决此题的关键.
13．如果三角形满足一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.如图1，在
中， ， ， ，∵ ，∴ 是智慧三角形.
（1）如图2， ， ，证明 是智慧三角形；
（2）已知 是智慧三角形，其中 且 ，求 和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） 和 的度数为 ， 或 ， ．
【解析】
【分析】（1）根据平角的定义即可分别求出∠ABC和∠ACB，利用三角形的内角和定理即可求出∠A，从而证出结
论；
（2）根据“智慧三角形”的定义分类讨论，分别利用三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是智慧三角形．
（2）∵ 是智慧三角形， ，
∴ 或 或 ，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
③当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴不存在．
综上， 和 的度数为 ， 或 ， ．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题和三角形的内角和，掌握“智慧三角形”的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
14．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，
这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．
（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一
定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生
命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．
（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．
请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．
（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）
，该三角形是一个“活三角形”．
，该三角形是一个“活三角形”．
（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果
即可）
【答案】（1）详见解析；（2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时；（3）90°，
108°，36°，
【解析】
【分析】
（1）证明 ADC和 ABD为等腰三角形即可；
（2）作∠△CAD=∠C，△则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则 ABC为“活三角形”；由
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”； △
（3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可．
【详解】
解：（1）∵∠DAC =∠C，
∴∠ADB=2∠C， ADC为等腰三角形，
又∵∠BAC=3∠C△，∴∠BAD=2∠C=∠ADB，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD是 ABC的“生命线”；
（2）∠△ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则 ABC为“活三角形”，
即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“△活三角形”；
当∠BAC=90°，AD为斜边BC的中线，则 ABC为“活三角形”，
即：有一个内角为直角时，该三角形是一△个“活三角形”，
故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时
（3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为
90°；
②如图， ABC为等腰三角形，AB=AC，
△
则有 ，
解得： ，
顶角∠BAC=108°；
③如图， ABC为等腰三角形，AB=AC，
△
则有， 。，
解得： ，
顶角∠BAC=36°；
④如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则 ，
解得： ，
即顶角∠BAC= ，
综上：顶角为90°，108°，36°， ．
【点睛】
此题为几何图形新定义问题，主要考查等腰三角形的证明，一元一次方程在几何图形中的应用，直角三角
形斜边中线等于斜边的一半等知识点，读懂题目的新定义是解题关键．
15．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在 中， ， 是 的角平分线，求证： 是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在 中，若 ， ， ，则 是“准互余三角形”；
②若 是“准互余三角形”， ， ，则 ；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；（3）如图2， ， 为直线 上两点，点 在直线 外，且 ．若 是直线 上一点，且 是
“准互余三角形”，请直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°
【解析】
【分析】
（1）由 和 是 的角平分线，证明 即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A+∠ABC=90°；②∠A+2∠APB=90°；
③2∠APB+∠ABC=90°；④2∠A+∠APB=90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定
义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在 中， ，
∴ ，
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“准互余三角形”；
（2）①∵ ，
∴ ，
∴ 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为 ，且 ，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴ 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，
当2∠A+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=20°，
∴∠APB=110°；
如图②，当∠A+2∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时， 是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角
形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．
16．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”
（1）如图，在 中， 是 的角平分线，求证： 是“奇妙互余角三角形”
（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列命题：
①在 中，若 ，则 是“奇妙互余三角形”；
②若 是“奇妙互余三角形”， ，则 ；
③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
其中，真命题有______（填写序号）
（3）在 中， ，点P是射线 上的一点，且 是“奇妙互余三角形”请
直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）109°或14°或38°
【解析】
【分析】（1）只要证明2∠ABD+∠A=90°，即可判断．
（2）根据“奇妙互余三角形”的定义即可判断．
（3）根据“奇妙互余三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“奇妙互余三角形”．
（2）①∵∠B=40°，∠C=10°，
∴∠B+2∠C=90°，
∴△ABC是“奇妙互余三角形”，故①正确；
②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，
∴α与β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90°，∠A=60°，
∴2×60°+β=90°，解得：β=-30°，不合题意；
或2α+60°=90°，解得：α=15°，即∠B=15°，故②错误；
③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”，
∴α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
∴“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确；
故答案为①③；
（3）如图，当点P在线段BC上时，此时∠APB＞90°，
1
∵△ABP 为“奇妙互余三角形”，
1
∴2∠PAB+∠ABP=90°或∠PAB+2∠ABP=90°，
1 1 1 1
即2∠PAB+52°=90°或∠PAB+2×52°=90°，
1 1
∴∠PAB=19°或-14°（舍），
1
∴∠APB=180°-52°-19°=109°；
1
当点P在BC的延长线上时，此时∠APB＜90°，∠BAP+∠APB=∠ABC=52°，
2 2 2∴2∠BAP+∠APB=90°或∠BAP+2∠APB=90°，
2 2 2 2
解得：∠APB=14°或38°，
2
综上：∠APB的度数为109°或14°或38°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理
解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中， 的内角 与
的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三
角形”有如下性质： ．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ；
（2）【性质应用】
如图3，在 中，点D、E分别是边 、 上的点， ，若 比 大20°，求
的度数；
（3）【拓展提高】
如图4，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于点P，设 ，
求 的度数（用 表示 ）．【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【解析】
【分析】
（1）由“对顶三角形”的性质得 ，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）设 =x， =y，则 =x+20°， =y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形
内角和定理，列出方程，即可求解；
（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°- ，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得
到结论．
【详解】
（1）证明：∵在“对顶三角形” 与 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ；
（2）∵ 比 大20°， + = + ，
∴设 =x， =y，则 =x+20°， =y-20°，
∵ ，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- =x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB- = x+y- x-20°=y-20°，∵∠ABC+∠DCB+ =180°，
∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，
∴ =100°；
（3）∵ ， 是 的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+ =180°，即：x+y=90°- ，
∵ 和 的平分线 和 相交于点P，
∴∠CEP= (180°-2y-x)，∠CDP= (180°-2x-y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P= (180°-2y-x)+y- (180°-2x-y)= x+ y=45°- ，
即：∠P=45°- ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，
是解题的关键．
