文档内容
专题 17 解三角形（七大题型+模拟精练）
目录：
01 余弦定理、正弦定理
02 判断三角形的形状
03 解三角形与平面向量
04 解三角形几何的应用
05 取值范围、最值问题
06 解三角形的实际应用
07 解三角形解答题
01 余弦定理、正弦定理
1．（2024·浙江金华·三模）在 中，角 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，
则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
2．（21-22高一下·江苏连云港·期中） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，
△
，则 （ ）
A． B． C．3 D．
3．（2022·河南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 （ ）
A． B．5 C．8 D．
4．（2022·山西晋城·三模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，
则 的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·四川南充·三模）在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
02 判断三角形的形状
6．（21-22高二上·广西桂林·期末） 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，则
一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．（2023·上海嘉定·一模）已知 ，那么“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件
C．充要条件 D．以上皆非
8．（2023·贵州·一模）在 中， 分别为角 的对边，且满足 ，则 的
形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
03 解三角形与平面向量
9．（2024·江苏盐城·模拟预测） 中，若 ，则
（ ）
A．54 B．27 C．9 D．
10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
04 解三角形几何的应用
12．（2024·北京·三模）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ，
，则 的周长为（ ）
A．10 B．11 C． D．12
13．（2024·广东广州·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的中线 的长等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·四川南充·二模）在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．202405 取值范围、最值问题
15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，
则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
17．（2024·河南·三模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
18．（2023·陕西榆林·一模） 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
06 解三角形的实际应用
19．（2024·陕西西安·模拟预测）在 高的楼顶 处，测得正西方向地面上 两点 与楼底在
同一水平面上）的俯角分别是 和 ，则 两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，
将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 ，
已知人的眼睛距离地面的高度为 ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太
阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻 ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴
影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所
示，则时刻 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A． B． C． D．
22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地
球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在 位置
时，测出 ；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了 位置，测出
， ．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：
）（ ）
A． B． C． D．
07 解三角形解答题
23．（2024·内蒙古·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明： 为直角三角形.24．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积等于 ， 为 边的中点，当中线 的长最短时，求 边的长.
25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
26．（2024·江西·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且
．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
27．（2023·全国·模拟预测）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
△
．
(1)若 ，求A；
(2)若 ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
△
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“ ”是“
”（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·江西九江·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，若 ， ，则 （ ）A．1 B．2 C． D．4
5．（2024·浙江绍兴·三模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则A等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·重庆·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且满足
， ，则 面积取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，若 ，且
，则 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
二、多选题
9．（2023·安徽·模拟预测）在 中， ，若满足条件的三角形有两个，则 边的取值
可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
10．（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的重心，
， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 的
面积为 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的取值范围为C．若 ，则 的外接圆的半径为2
D．若 ，则 的面积的取值范围为
三、填空题
12．（2024·湖南长沙·二模）在 中，若 ， ， ，则 .
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在 中， ，点D在线段 上， ， ，
，点M是 外接圆上任意一点，则 最大值为 .
14．（2024·江苏·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，若
分别在边 和 上，且 把 的面积分成相等的两部分，则 的
最小值为 .
四、解答题
15．（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
， 的外接圆半径为 .
(1)求 的面积；
(2)求 边 上的高 .
16．（2024·四川南充·模拟预测）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，
， 的角平分线与 相交于点 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
18．（2022·河南濮阳·模拟预测）在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
．
(1)求 ;
(2)若 ,D为边AC上一点,且 ．求 的值．19．（2024·河北·二模）若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡
点， 为 的布洛卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点，
为 的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
