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人教A版数学--解三角形专题五
知识点 正弦定理,三角形面积公式,余弦定理
典例1、在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 的面积．
随堂练习：在 中， 分别为角 所对的边.已知 ， ，
.
（1）求 的值； （2）求 的面积.典例2、在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，点
D在线段AC上，且 ， ， .
（1）求角B的大小； （2）求 的面积.
随堂练习：在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
的
中线长为 ．
（1）证明： ；（2）求 的面积最大值．典例3、 的内角A，B，C所对的边分别为 ．
（1）求A的大小；
（2）M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问
题．
①M为 的重心， ； ②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．
随堂练习：在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．
（1）若cos∠CBD＝ ，求 ；
（2）记四边形ABCD的面积为 ,求 的最大值．人教A版数学--解三角形专题五答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由 可得， ，
显然， ， ∴
又 ∴
（2）由（1）知， ，
又 ，有正弦定理可得， ，
∴ ， 为直角三角形，
∴
随堂练习：答案：（1）2 （2）解：（1）在 中，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 .
（2）由 得， ，
由 ，得 ，
所以 ，
因此， 的面积 .
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）根据 ， 由正弦定理得 ，
∴ ，又 ∴ ，
即 ，又 ∴ ，∴ .
（2）设 ，由 得 ，即 ，
两边平方得 ，即 ，可得 .所以 .
故 的面积 .
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）证明：左边 ，
∴ ，又 ， ∴
（2）法一：（角化边）如图，设 为 中点，设 ， ，
因为 ，所以 ，
所以，在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，
所以， ，
所以，当 ，即 时， 有最大值 ，
所以， 的面积最大值为 .法二：（边化角）
由 ， ，过点 作 ，垂足为 ， 所以 ，
所以， ，即 ，
又因为 ，即 ，
所以 ， 所以
所以 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以， 的面积最大值为 .
典例3、答案： （1） （2）答案见解析解：（1）∵ ，∴ ，即
由正弦定理得， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴
（2）设 外接圆半径为 ，则根据正弦定理得， ，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段 的中点且 ，
又 ，∴ ，
即 ， 又由余弦定理得 ，即 ，
解得 ，∴ ；
若选②：∵M为 的内心，∴ ，
由 得 ，
∵ ，∴ ，即 ，由余弦定理可得 ，即 ，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ， ∴ ．
若选③：M为 的外心，则 为外接圆半径，
，与所给条件矛盾，故不能选③.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）如图， ，设 ， ，
得 ，整理得， ， ，
解得 ，又由 ，则有 ，
故 ，解得，
（2）在 中，设 ，由 ，可得 ，在 中，
由余弦定理可得， ，可得， ，
四边形ABCD的面积为 ，得.
当且仅当 时，即 时，等号成立，此时 的最大值为 .
