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人教A版数学--解三角形专题五
知识点 正弦定理,三角形面积公式,余弦定理
典例1、在 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 .
(1)求角C的大小;
(2)若 ,求 的面积.
随堂练习:在 中, 分别为角 所对的边.已知 , ,
.
(1)求 的值; (2)求 的面积.典例2、在 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,点
D在线段AC上,且 , , .
(1)求角B的大小; (2)求 的面积.
随堂练习:在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,
的
中线长为 .
(1)证明: ;(2)求 的面积最大值.典例3、 的内角A,B,C所对的边分别为 .
(1)求A的大小;
(2)M为 内一点, 的延长线交 于点D,___________,求 的面积.
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上,使 存在,并解决问
题.
①M为 的重心, ; ②M为 的内心, ;
③M为 的外心, .
随堂练习:在平面四边形ABCD中,∠A=120°,AB=AD,BC=2,CD=3.
(1)若cos∠CBD= ,求 ;
(2)记四边形ABCD的面积为 ,求 的最大值.人教A版数学--解三角形专题五答案
典例1、答案: (1) (2)
解:(1)由 可得, ,
显然, , ∴
又 ∴
(2)由(1)知, ,
又 ,有正弦定理可得, ,
∴ , 为直角三角形,
∴
随堂练习:答案:(1)2 (2)解:(1)在 中,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
由正弦定理可得 .
(2)由 得, ,
由 ,得 ,
所以 ,
因此, 的面积 .
典例2、答案:(1) (2)
解:(1)根据 , 由正弦定理得 ,
∴ ,又 ∴ ,
即 ,又 ∴ ,∴ .
(2)设 ,由 得 ,即 ,
两边平方得 ,即 ,可得 .所以 .
故 的面积 .
随堂练习:答案:(1) (2)
解:(1)证明:左边 ,
∴ ,又 , ∴
(2)法一:(角化边)如图,设 为 中点,设 , ,
因为 ,所以 ,
所以,在 中,由余弦定理得: ,
所以 ,
所以, ,
所以,当 ,即 时, 有最大值 ,
所以, 的面积最大值为 .法二:(边化角)
由 , ,过点 作 ,垂足为 , 所以 ,
所以, ,即 ,
又因为 ,即 ,
所以 , 所以
所以 的面积 ,
当且仅当 时,等号成立,
所以, 的面积最大值为 .
典例3、答案: (1) (2)答案见解析解:(1)∵ ,∴ ,即
由正弦定理得, ,即 ,
∵ ,∴ ,∴ ,
又 ,∴ ,∴
(2)设 外接圆半径为 ,则根据正弦定理得, ,
若选①:∵M为该三角形的重心,则D为线段 的中点且 ,
又 ,∴ ,
即 , 又由余弦定理得 ,即 ,
解得 ,∴ ;
若选②:∵M为 的内心,∴ ,
由 得 ,
∵ ,∴ ,即 ,由余弦定理可得 ,即 ,∴ ,
即 ,∵ ,∴ , ∴ .
若选③:M为 的外心,则 为外接圆半径,
,与所给条件矛盾,故不能选③.
随堂练习:答案: (1) (2)
解:(1)如图, ,设 , ,
得 ,整理得, , ,
解得 ,又由 ,则有 ,
故 ,解得,
(2)在 中,设 ,由 ,可得 ,在 中,
由余弦定理可得, ,可得, ,
四边形ABCD的面积为 ,得.
当且仅当 时,即 时,等号成立,此时 的最大值为 .