专题32锐角三角函数（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 32 锐角三角函数 目录 模块一：基础知识....................................................................................................................................................3 考点一：锐角三角函数的定义........................................................................................................................3 考点二：解直角三角形....................................................................................................................................3 考点三：解直角三角形实际应用....................................................................................................................4 模块二：题型分类....................................................................................................................................................7 考点一：锐角三角函数....................................................................................................................................7 题型一：正弦余弦正切概念理解......................................................7 题型二：角的正弦值求解...........................................................11 题型三：角的余弦值求解...........................................................16 题型四：角的正切值求解...........................................................23 题型五：利用正弦值求边长.........................................................31 题型六：利用余弦值求边长.........................................................38 题型七：利用正切值求边长.........................................................45 题型八：特殊角三角函数值混合运算.................................................53 题型九：求特殊角三角函数值.......................................................56 题型十：特殊角三角函数值判断三角形形状...........................................58 题型十一：用计算器求锐角三角函数值...............................................62 题型十二：已知角度比较三角函数值大小.............................................66 题型十三：三角函数值判断锐角的取值范围...........................................69 题型十四：同角三角函数关系求解...................................................73 题型十五：求证同角三角函数关系式.................................................78 题型十六：互余两角三角函数关系...................................................82 考点二：解直角三角形..................................................................................................................................86 题型一：构造直角三角形解直角三角形...............................................86 题型二：网格中解直角三角形.......................................................99 题型三：坐标系中解直角三角形....................................................105 题型四：解直角三角形的相关计算..................................................112 题型五：构造直角三角形求不规则图形..............................................120 考点三：解直角三角形的应用....................................................................................................................134 题型一：仰角、俯角问题..........................................................134 题型二：方位角问题..............................................................155 题型三：坡度坡比问题............................................................169 题型四：坡度坡比与仰角俯角问题综合..............................................175 题型五：实际生活模型应用........................................................184专题 32 锐角三角函数 模块一：基础知识 考点一： 锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜ 90°） 2.正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 ∠A的对边 a A 正弦 sinA= sinA= 斜边 c ∠A的邻边 b c 余弦 cosA= cosA= b 斜边 c a ∠A的对边 a 正切 tanA= tanA= C B ∠A的邻边 b 3.锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： sin A （1）同角三角函数的关系：tan A= ，sin2A+cos2A=1 cosA （2）互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, tan A•tanB=1 4.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° √2 √3 2 2 √3 √2 1 cosα 2 2 2 √3 tanα 1 √3 3 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 5. 锐角三角函数的性质 sin A随∠A的增大而增大 性质 前提：0°＜∠A＜90° cos A随∠A的增大而减小 tan A随∠A的增大而增大 考点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直 角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B （2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理） A （3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° c b a C B（4）边角之间的关系： ∠A所对的边 a ∠B所对的边 b sin A= = ，sin B= = 斜边 c 斜边 c ∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a cos A= = ，cosB= = 斜边 c 斜边 c ∠A所对的边 a ∠B所对的边 b tan A= = ，tanB= = 邻边 b 邻边 a 3.解直角三角形常见类型及方法： 已知类型 已知条件 解法步骤 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A 两边 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 ③ 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 一边和一锐角 一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③ 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 考点三：解直角三角形实际应用 1.解直角三角形的相关的名词、术语： （1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． （2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． h （3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= . l 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 2.解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 3.测量物体的高度的常见模型： （1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形） 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次 求边，或通过公共边相等，列方程求解. （2）测量底部可以到达的物体高度 模型 需测量数据 数量关系 原理 测量仪高m， ℎ−m tanα= n h 水平距离n， α h= m+n•tanα 矩形的性质与直角三 m 倾斜角α n 角形的边角关系 水平距离n， h h tana= 1，tanβ= 2 h 1 仰角α， n n α β 俯角β h=h 1 +h 2 =n（ h tana+tanaβ） 2 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509 n （3）测量底部不可到达的物体的高度模块二：题型分类 考点一：锐角三角函数题型一：正弦余弦正切概念理解 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA” 求解． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴sinA=∠A的对边与斜边的比， ∵△ABC的三边都扩大5倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴sinA的值不变． 故选：D． 2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ） A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡 C．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而 减小，逐一判断即可． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意； cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； 陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键． 3.如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sin A的是（ ）．AD BD BD DC A． B． C． D． AB AD BC BC 【答案】D 【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠A=∠DBC， AD A． =cosA，不符合题意； AB BD B． =tanA，不符合题意； AD BD C． =cos∠DBC=cosA，不符合题意； BC DC D． =sin∠DBC=sinA，符合题意； BC 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． BC 3 4.在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ ） AB 5 3 3 4 4 A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 5 5 3 3 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， AC 4a 4 则cosA＝ ＝ = ，故A错误； AB 5a 5BC 4a 4 sinB＝ ＝ = ，故B错误； AB 5a 5 BC 3a 3 tanA＝ = = ，故C错误； AC 4a 4 AC 4k 4 tanB＝ = ＝ ，故D正确． BC 3k 3 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的 关键． 3 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，则cosA的值是（ ） 5 3 3 4 5√34 A． B． C． D． 5 4 5 34 【答案】C BC 3 【分析】根据三角函数的定义得到 = ，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到AC=4k，即可求 AB 5 出cosA的值． 3 【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ， 5 BC 3 ∴ = ， AB 5 设BC=3k，AB=5k， 由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=4k， AC 4k 4 ∴cosA= = = ， AB 5k 5 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 6.在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ） A．b△＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【答案】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作 sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边 a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角 ABC中，∠C＝90°，则 a △ sinA＝ ，则a=c·sin A，故A选项错误、C选项错误； c a a tanA＝ ，则b＝ ，故B选项错误； b tan A a cosB＝ ，则a＝ccosB，故D选项正确； c 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫 做∠A的正弦，记作sinA． △ 8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c b ∴sinB= ，即b=csinB，则A选项不成立，B选项成立 cb tanB= ，即b=atanB，则C、D选项均不成立 a 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 题型二：角的正弦值求解 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么sinα的值是（ ） 3 4 4 3 A． B． C． D． 4 3 5 5 【答案】D 【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解. 【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B， ∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3， 在Rt△AOB中，OA=√OB2+AB2=√42+32=5 AB 3 ∴sinα= = OA 5 故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键． 2．如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点， 则sinA= ． 4 【答案】 /0.8 5 【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求 解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E， 由题意得CE=4，AE=3， ∴AC=√AE2+CE2=5， CE 4 ∴sin A= = ， AC 5 4 故答案为： ． 5 【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关 键．3.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D， 则sin∠ADC的值为（ ） 2√13 3√13 2 3 A． B． C． D． 13 13 3 2 【答案】A 【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出 ∠ABC的正弦值． 【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是A´C， ∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC， ∴在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√22+32=√13 AC 2 2√13 根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ = = ， AB √13 13 2√13 ∴sin∠ADC= ， 13 故选A． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求 ∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题． 4.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8， 则sin∠ADB的值为（ ） 4 3 3 4 A． B． C． D． 5 5 4 3 【答案】A【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS）， 然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=√OA2+AP2=10，最后利 用三角函数定义计算即可． 【详解】解：连接OA ∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP， ∴∠APD=∠BPD， 在 APD和 BPD中， ¿，△ △ ∴ APD≌ BPD（SAS） ∴△∠ADP=∠△BDP， ∵OA=OD=6， ∴∠OAD=∠ADP=∠BDP， ∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 在Rt△AOP中，OP=√OA2+AP2=10， AP 8 4 ∴sin∠ADB= = = ． OP 10 5 故选A． 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性 质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 5.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点 上，那么sin∠ACB的值为（ ）．3√5 √17 3 4 A． B． C． D． 5 5 5 5 【答案】D 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函 数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°， ∴AC=√AD2+CD2=5， AD 4 ∴sin∠ACB= = ， AC 5 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 6.如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD． (1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB； (2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC． 【答案】(1)见解析 5 (2)sin∠DBC= 6 【分析】 （1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，求得∠BEC=90°，根据垂直的定义得到CE⊥BD； （2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据垂直的定义得到∠CED=90°，得到 ∠CED=∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠DCA=∠ECB，∠CAD=∠CBD， ∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠BEC=90°， ∴CE⊥BD； （2）解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵CE⊥BD， ∴∠CED=90°， ∴∠CED=∠ABC， ∵∠D=∠A， ∴△ABC∽△DEC， DE CE ∴ = ， AB BC ∵AB=6，DE=5， CE DE 5 ∴sin∠DBC= = = ． BC AB 6 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握 相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型三：角的余弦值求解 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么cosC= ．2 【答案】 /0.4 5 【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由BD⊥AC，得到∠ADB=90°，则 ∠A+∠ABD=90°，通过同角的余角相等得出∠ABD=∠C即可求解，掌握三角函数的定义是解题 的关键． 【详解】如图， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， ∵AB=5,BD=2， BD 2 ∴cosC=cos∠ABD= = ， AB 5 2 故答案为： ． 5 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为 （ ） 4 3 4 3 A． B． C． D． 5 5 3 4 【答案】A 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC 的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示， ∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6， ∴∠DAC=90°， ∴AD=√CD2−AC2=8， AD 8 4 ∴cos∠ADC= = = ， CD 10 5 ∵∠ABC=∠ADC， 4 ∴cos∠ABC的值为 ， 5 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出 cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答． 3.在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（ ） √3 A．0.5 B．0.6 C．0.8 D． 2 【答案】C 【分析】根据tanB的值，把AC、AB边长设为3t、4t，勾股定理求出BC边，再利用三角函数的定义求解 cosC． 【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°， AC 3 tanB= =0.75= ， AB 4 设AC=3t，AB=4t，则BC=5t， AC 4t 故，cosC= = =0.8. BC 5t 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4.如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则 cos∠BAC的值是（ ）√5 √10 2√5 4 A． B． C． D． 5 5 5 5 【答案】C 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴AC=√5,BC=√10,AB=5， 设AD=x，则BD=5−x， 在Rt△ACD中，DC2=AC2−AD2 , 在Rt△BCD中，DC2=BC2−BD2 , ∴10−(5−x) 2=5−x2， 解得x=2， AD 2 2√5 ∴cos∠BAC= = = ， AC √5 5 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（ ） √5−1 √5+1 √5−1 3−√5 A． B． C． D． 4 4 2 2 【答案】B【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和 ∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确 定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示 AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最 后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b． ∵AB=AC，∠A=36°， 180°−∠A ∴∠ABC=∠C= =72°． 2 ∵BD平分∠ABC， 1 ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°． 2 ∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°． ∴∠BDC=∠C，AD=BD． ∴AD=BD=BC=b． ∴DC=AC−AD=a−b． ∵DE⊥AB， 1 1 ∴AE= AB= a． 2 2 ∵∠ACB=∠BCD， ∴△ABC∽△BDC． AB BC ∴ = ． BD DC a b ∴ = ． b a−b √5−1 −1−√5 ∴用a表示b得b = a，b = a（舍）． 1 2 2 2√5−1 ∴b= a． 2 √5−1 ∴AD= a． 2 1 a AE 2 √5+1 ∴cosA= = = ． AD √5−1 4 a 2 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质， 等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题 关键． 6.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC的值为 ． √2 【答案】 2 【分析】根据AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，得到AC2+BC2=AB2，推出 AC √10 √2×5 √2 △ABC是直角三角形，∠ACB=90°，推出cos∠BAC= = = = ． AB √20 2√5 2 【详解】如图，∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， AC √10 √2×5 √2 ∴cos∠BAC= = = = AB √20 2√5 2 √2 故答案为： 2 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股 定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义． 7.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足 AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值． 【答案】(1)证明见解析 √10 (2) 10 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三 角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得 ∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答； （2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2， 然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠ADC， ∵EB＝DB， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠E+∠BCE＝90°， ∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3， ∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r， ∵BE＝6， ∴BD＝BE＝6， 在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2， ∴36+（r+3）2＝（2r）2， ∴r ＝5，r ＝﹣3（舍去）， 1 2 ∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2， 在Rt△EBC中，EC＝√EB 2+BC2＝√62+22＝2√10， BC 2 √10 ∴cos∠ECB＝ ＝ ＝ ， EC 2√10 10 √10 ∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝ ， 10 √10 ∴cos∠CDA的值为 ． 10 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函 数的定义是解题的关键． 题型四：角的正切值求解 1.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反 射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为 ． 4 【答案】 3 【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得∠A=α,∠B=β，从而可得∠A=∠B， 再根据相似三角形的判定证出△AOC∼△BOD，根据相似三角形的性质可得OC的长，然后根据正切 的定义即可得． 【详解】解：如图，由题意得：OP⊥CD， ∵AC⊥CD， ∴AC∥OP， ∴∠A=α，同理可得：∠B=β， ∵α=β， ∴∠A=∠B， 在△AOC和△BOD中，¿， ∴△AOC∼△BOD， OC AC ∴ = ， OD BD ∵AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD−OC， OC 3 ∴ = ， 12−OC 6 解得OC=4， 经检验，OC=4是所列分式方程的解， OC 4 则tanα=tan A= = ， AC 3 4 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点 D，则tan∠ADC＝（ ） 4 √3 3 A． B． C．1 D． 3 2 2 【答案】D 3 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC= ，从而得 2到tan∠ADC的值． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， AC 3 在Rt△ABC中，tan∠ABC= = ， BC 2 ∵∠ADC=∠ABC， 3 ∴tan∠ADC= ， 2 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角 三角形． 3.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正 六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ． √3 【答案】 3 【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则 1 ∠ABE＝ ∠ABC＝30°，即可得出结论． 2 【详解】连接BC、AC， ∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点， ∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BE⊥AC， 1 ∴∠ABE＝ ∠ABC＝30°， 2√3 ∴tan∠ABE＝tan30°＝ ， 3 √3 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握 正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键． 4.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交 BC于点E． (1)求证：CD是⊙O的切线． 4 (2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值． 5 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到 ∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论； （2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据 BF OB OF∥AC，得到 = =1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出tan∠CEO的值． CF OA 【详解】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO, ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠ACO， ∴∠BCD+∠OCB=90°， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：过点O作OF⊥BC于F， 4 ∵CE=OA,sin∠BAC= ， 5 ∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x， ∴BE=BC-CE=1.5x， ∵∠C=90°， ∴AC=√AB2−BC2=3x， ∵OA=OB，OF∥AC， BF OB ∴ = =1， CF OA ∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x， ∴OF为△ABC的中位线， 1 ∴OF= AC=1.5x， 2 OF 1.5x ∴tan∠CEO= = =3． EF 0.5x 【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质， 平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,1)，则tan∠OAP的值是（ ） √3 √2 1 A． B． C． D．3 3 2 3 【答案】C 【分析】由P(1,1)可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设 OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵OP∥AB， 则∠BAO=45°，△OAB为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=2OC=2x， 则OB=OA=3x， OC x 1 ∴tan∠OAP= = = ． OA 3x 3 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐 标推出特殊角是解题的关键． 6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中 点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值； (2)求CH的长． 1 【答案】(1) 2 (2)CH=√5 【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，证出 3 3 △ADK∼△FGK，得出比例式求出GK= DG= ，即可得出结果； 4 2 （2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出 AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出 1 CH= AF，根据勾股定理求出AF，即可得出结果． 2 【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°， ∴DG=CG-CD=2，AD∥GF， ∴△ADK∼△FGK， ∴DK：GK=AD：GF=1：3， 3 3 ∴GK= DG= ， 4 2 3 ∴ GK 2 1； tan∠GFK= = = FG 3 2 （2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3， ∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示： 则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF−AB=3−1=2，∠AMF=90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°， ∵H为AF的中点， 1 ∴CH= AF， 2 在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5， 1 ∴CH= AF=√5． 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边 上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性 质才能得出结果． 7.如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于 点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN的值为 ． 5 【答案】 8 【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三 角形，求出BM是解本题的关键． 根据正方形性质，证明△ABG≌△BCH，得出∠BAG=∠CBH，进而求出∠AOB =90°，再判 OA AB 5 断出△AOB∽△ABG，求出 = = ，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM=1，即可求 OB BG 2 出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=5,∠ABC=∠BCD=90° ∵BG=CH=2, ∴△ABG≌△BCH(SAS), ∴∠BAG=∠CBH, ∴∠BAG+∠ABO=∠CBH+∠ABO=∠ABG=90°, ∴∠AOB=90°，∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG, ∴△AOB∽△ABG, OA OB ∴ = , AB BG OA AB 5 ∴ = = , OB BG 2 ∵OM⊥ON, ∴∠MON=90°=∠AOB, ∴∠BOM=∠AON, ∵∠BAG+∠DAG=90°，∠ABO+∠CBH=90°，∠BAG=∠CBH, ∴∠OBM=∠OAN ∴△OBM∽△OAN, OB BM ∴ = , OA AN ∵点N是AD的中点， 1 5 ∴AN= AD= , 2 2 2 BM ∴ = , 5 5 2 ∴BM=1, ∴AM=AB−BM=4, 5 在Rt△MAN中， AN 2 5， tan∠AMN= = = AM 4 8 5 故答案为： ． 8 题型五：利用正弦值求边长 3 1.在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则AB的长是（ ） 5 500 503 A． B． C．60 D．80 3 5 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． BC 3 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100， AC 5∴BC=100×3÷5=60， ∴AB=√AC2−BC2=80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 2.如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x 轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ） A．(cosα,1) B．(1,sinα) C．(sinα,cosα) D．(cosα,sinα) 【答案】D 【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的 纵坐标，为sinα． 【详解】解：如图，作PA⊥x轴于点A， PA 则∠POA=α，则sinα= ， PO ∴PA=OPsinα， AO ∵cosα= ， PO∴OA=OPcosα． ∵OP=1， ∴PA=sinα，OA=cosα． ∴P点的坐标为(cosα,sinα)， 故选D. 【点睛】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系． 3.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°， AB=60，则点A到BC的距离为（ ） 60 A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° sin50° 【答案】A 【分析】先求出∠B=180°−88°−42°=50°，再用三角函数定义，求出 AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠A=88°，∠C=42°， ∴∠B=180°−88°−42°=50°， 在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是 熟练掌握三角函数的定义． 4 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA= ．若反比例函 5 k 数y= (k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ） xA．10 B．24 C．48 D．50 【答案】C 【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)， ∴OC=OA=10， 4 CE ∵sin∠COA= = ． 5 OC ∴CE=8， ∴OE=√CO2−CE2=6 ∴点C坐标(6,8) k ∵若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C， x ∴k=6×8=48 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数， 关键是求出点C坐标． 5.图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4， 3 sin∠CEF= ，则△AEF的面积为（ ） 5A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接BF，由已知CE=AE=BE得到∠A=∠FBA=∠ACE，再得出∠CEF与∠CBF的关 系，由三角函数关系求得CF、BF的值，通过BF=AF，用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线， 1 ∵CE=AE=BE= AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 2 ∴∠A=∠FBA=∠ACE， 又∵∠BCA=∠BEF=90°， 在△ABC中，∠CBF=180°−∠ACB−∠A−∠ABF=90°−2∠A， 在△AEC中，∠CEF=180°−∠AEF−∠A−∠ACE=90°−2∠A， ∴∠CEF=∠CBF， 3 ∴sin∠CBF=sin∠CEF= ， 5 ∵BC=4，设CF=3x,BF=5x， 则BC2+CF2=BF2，即42+(3x) 2=(5x) 2， 解得x=1（负值舍掉）， ∴CF=3,BF=5， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴BF=AF=5， 1 1 ∴S = AF·BC= ×5×4=10， △AFB 2 21 ∴S = S =5， △AEF 2 △ABF 故选：C． 【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等 相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键． 3 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB= ，则AC= 5 ． 234 【答案】6或 11 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作DE⊥BC于 3 DE 3 E，根据sin∠DCB= ，可得出 = ，设DE=3k,CD=5k，则CE=4k,BE=8−4k，在 5 CD 5 Rt△BDE中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE,BE，然后证△BDE和 △BAC相似，最后利用相似三角形的性质可求出AC的长． 【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示： 3 ∵sin∠DCB= ， 5 DE 在Rt△CDE中，sin∠DCB= ， CD DE 3 ∴ = ， CD 5 设DE=3k,CD=5k， 由勾股定理得：CE=√CD2−DE2=4k， ∵BC=8， ∴BE=BC−CE=8−4k， 在Rt△BDE中，BE=8−4k,DE=3k,BD=5， 由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即(8−4k) 2+(3k) 2=52， 整理得：25k2−64k+39=0， 39 解得：k=1，或k= ， 25 当k=1时，DE=3k=3，BE=8−4k=4， ∵∠ACB=90°,DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， DE BE 3 4 ∴ = ，即 = ， AC BC AC 8 ∴AC=6， 39 117 44 当k= 时，DE=3k= ,BE=8−4k= ， 25 25 25 117 44 DE BE 同理： = ，即 25 25， AC BC = AC 8 234 ∴AC= ． 11 234 综上所述：AC=6或 ， 11 234 故答案为：6或 ． 11 7.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交 AC的延长线于点F． (1)求证：DE是⊙O的切线； 3 (2)若EB=1，且sin∠CFD= ，求DF的长． 5 【答案】(1)见解析10 (2) 3 【分析】（1）连接OD，直接利用切线判定定理证明即可； OD 6 （2）根据sin∠CFD= ，则设OD=3x，OF=5x，可得EB= x=1，解出x，用勾股定理即可． OF 5 【详解】（1）(1)连接OD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠B=∠ODC， ∴OD//AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； 3 （2）∵ sin∠CFD= ， 5 设OD=3x，OF=5x， 则AB=AC=6x，AF=8x， 24 ∴AE=AFsin∠AFE= x， 5 6 ∴EB=AB−AE= x， 5 6 ∴ x=1， 5 5 ∴x= ， 6 5 25 ∴OD= ，OF= ， 2 6 10 ∴DF=√OF2−OD2= ． 3【点睛】本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第二问 关键在于能够用表示OD的字母表示出EB． 题型六：利用余弦值求边长 √3 1.如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，则AB长为（ ） 2 A．4 B．8 C．8√3 D．12 【答案】B 【分析】根据余弦的定义即可求解． √3 【详解】解：∵ ∠C=90°,cosA= ,AC=4√3， 2 AC 4√3 ∴AB= = =8 cosA √3 ， 2 故选B． 【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交 4 AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为 ． 5【答案】6.4 【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则 1 8 BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣ x2+ x，然 10 5 后利用二次函数的性质求CE的最大值. 【详解】解：作AG⊥BC于G，如图， ∵AB＝AC， ∴BG＝CG， ∵∠ADE＝∠B＝α， BG 4 ∴cosB＝cosα＝ ＝ ， AB 5 4 ∴BG＝ ×10＝8， 5 ∴BC＝2BG＝16， 设BD＝x，则CD＝16﹣x， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， 而∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE， AB BD 10 x ∴ = ，即 = ， CD CE 16−x CE 1 8 ∴CE＝﹣ x2+ x 10 5 1 ＝﹣ （x﹣8）2+6.4， 10 当x＝8时，CE最大，最大值为6.4. 故答案为：6.4. 【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二 次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键. 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E． (1)证明：点C是A´E的中点； 1 (2)若BD=4，cos∠ABD= ，求⊙O的半径． 3 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）连接OC,AE，根据题意证明AE⊥OC，根据垂径定理即可求解； 1 （2）先证明四边形CDEF是矩形，根据cos∠ABD= ，设BE=a，则AB=3a，根据矩形的性质以及 3 三角形中位线的性质求得DE，根据DB=4，求得a的值，进而即可求解． 【详解】（1）如图，连接OC,AE， ∵ AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°,即AE⊥BD ∵ CD是⊙O的切线， ∴CO⊥CD， ∵ BD⊥CD， ∴AE∥CD， ∴CO⊥AE， ∴A´C=C´E， ∴点C是A´E的中点； （2）如图，连接OC,AE，设AE,CO交于点F，由（1）可知OC⊥CD,CO⊥AD,AE⊥BD， ∴四边形CDEF是矩形， ∴CF=DE， 1 ∵ cos∠ABD= ， 3 设BE=a，则AB=3a， ∴AE=√AB2−BE2=2√2a， ∴AF=FE=CD=√2a， ∵AO=BO,AF=EF， 1 1 ∴OF= BE= a， 2 2 3 1 ∴DE=CF=CO−FO= a− a=a， 2 2 ∴DB=DE+EB=a+a=2a， ∵DB=4， ∴a=2， ∴AB=3a=6， 1 ∴⊙O的半径为 AB=3． 2 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质与判定，已知余弦求边长，勾 股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 5 4.如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα= ，点E为直线CD上 13 一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．（1）求平行四边形ABCD的面积； （2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长； （3）求线段CF的长度的最小值． 117 66√13 【答案】（1）300；（2） ；（3） 22 13 【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即 可求出平行四边形ABCD的面积； （2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF， BF BG DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出 = 即可求出BG； CF CE （3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、A A'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆， α 根据已知推出点F在与直线A A'夹角为 且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线 2 A A'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，当点F与H重合时， CF取得最小值，易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，然后证明ΔQCR为等腰三角形，求出CR=22，MD=5 A'Q A'M CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=4√13，根据RtΔA'MQ~RtΔCHQ得出 = 即可求出答 CQ CH 案． 【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K， ∵AB//CD， ∴∠ADK=∠DAB， 5 ∵cos∠DAB= ，AD=13， 13 ∴DK=AD⋅cos∠ADK=5，∴AK=√AD2−DK2=12， ∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300； （2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD， ∴∠ADP=∠P， ∵∠DAB=α，DC//AB， ∴∠ADP=∠DAB=α， ∴∠P=α， 又∠AEF=∠C=α，EA=EF， 由∠PEA+∠CEF=180°−α， ∠EFC+∠CEF=180°−α， ∴∠PEA=∠EFC， ∴ΔPEA≅ΔCFE， ∴CE=AP=13，PE=CF， ∴DE=CD−CE=25−13=12， 由（1）得AK=12， ∴在RtΔAKD中，KD=5， ∴PD=10， ∴PE=PD+DE=10+12=22=CF， ∴BF=CF−CB=22−13=9， ∵BG//CE， ∴ΔGBF~ΔECF， BF BG ∴ = ， CF CE 9 BG ∴ = ， 22 13 117 ∴BG= ； 22 （3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、A A'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，∵EA=EA'=EF， ∴点A'、F在⊙E上， ∵∠AEF=α， α ∴∠A A'F= ， 2 α ∴点F在与直线A A'夹角为 且经过点A'的直线上运动， 2 设直线A'F与CD交于点Q，直线A A'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作 CH⊥A'Q于H， 当点F与H重合时，CF取得最小值， 易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ， α ∴∠QCH=∠M A'Q= ， 2 又∠DCB=α， α ∴∠BCH= =∠QCH， 2 ∴ΔQCR为等腰三角形， ∴CQ=CR， 由（2）得CR=22，MD=5， ∴CQ=22， 又CM=CD+DM=25+5=30， ∴MQ=CM−CQ=30−22=8， ∴在RtΔA'MQ中，A'Q=√A'M2+MQ2=√122+82=4√13， 由RtΔA'MQ~RtΔCHQ， A'Q A'M ∴ = ， CQ CH 4√13 12 ∴ = ， 22 CH66√13 ∴CH= ， 13 66√13 即CF的长度的最小值是 ． 13 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相 似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质 是解题的关键． 题型七：利用正切值求边长 3 1.如图，直角△ABC中，∠C=90°，根据作图痕迹，若CA=3cm，tanB= ，则DE= cm． 4 15 【答案】 8 【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直 平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案． 3 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，tanB= ， 4 AC 3 ∴tanB= = ， BC 4 ∴BC=4cm， ∴AB=√AC2+BC2=5cm， 由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线， ∴DE⊥AB， AB 5 AE=BE= = cm， 2 2 DE 3 ∴tanB= = ， BE 4 3 15 ∴DE= BE= cm， 4 8 15 故答案为： ． 8【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作 图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键． 1 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ） 2 3 3 A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2 4 2 【答案】B 【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三 角形的三边关系即可求出CD长的最大值． 【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P， 1 ∵∠ABC=90°，tan∠BAC= ， 2 1 ∴tan∠DAP=tan∠BAC= ， 2 DP 1 ∴ = ， AD 2 ∵AD=2， ∴DP=1， ∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC， ∴△ADP∽△ABC， AP AD ∴ = ， AC AB∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC， AP AD ∴∠DAB=∠PAC， = ， AC AB ∴△ADB∽△APC， AD DB ∴ = ， AP PC ∵AP=√AD2+DP2=√22+12=√5， AP⋅DB √5×4 ∴PC= = =2√5， AD 2 ∴PD+PC=1+2√5，PC−PD=2√5−1， 在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD”）． 【答案】< 【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．【详解】∵cos35°=sin(90°−35°)=sin55°． 在锐角范围内，sinα随α的增大而增大， ∴sin54°tan45°=1，即可比较它们的大小关系． 【详解】∵sin81°<1，tan47°>tan45°=1 ∴sin81∘sin(90°−∠A)， ∴ sin⁡A>cos⁡A， ∴ sin⁡A−cos⁡A>0， 综上所述，sinA与cosA的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角 度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 5.在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70º、cos40º、cos50º的大 小关系 ． AC 【答案】 cosA= sin70º＞cos40 º＞cos50 º AB 【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cos20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的 增大而减小即可确定大小关系． 【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角 ∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边 AC ∴余弦的定义为cosA= ； AB ∵sin70°=cos20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小 ∴sin70º==cos20 º＞cos40º，cos40 º＞cos50 º ∴sin70º＞cos40 º＞cos50 º． AC 故答案为cosA= ，sin70º＞cos40 º＞cos50 º． AB 【点睛】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数 、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．6.化简√(sin28°−cos28°) 2等于（ ） A．sin28°−cos28° B．0 C．cos28°−sin28° D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出|sin28°−cos28°|，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性 化简即可求解． 【详解】解：√(sin28°−cos28°) 2 = |sin28°−cos28°|， ∵cos28°=sin52°，sin28°cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70° C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70° 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最 大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解 答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cos70°<1，tan70°>1． 又∵cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70°>sin20°=cos70°， ∴tan70°>sin70°>cos70°， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 题型十三：三角函数值判断锐角的取值范围 1.若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ） A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【答案】D 【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案. 【详解】解：∵tan60°=√360°， ∴60°<∠A<90°. 故选：D. √3 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°= ,tan45°=1,tan60°=√3是解题的 3 关键. 2.在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值． BC 例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器 AB 可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下： 如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA 为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在 0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ） A．30° B．50° C．40° D．70° 【答案】D 【分析】根据“锐角正弦值速查卡”读取相应锐角正弦的近似值的方法，找到以点O为圆心、0.95为半 径的半圆与⊙M的交点，最接近的角度即为正解. 【详解】解：由图可知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与⊙M的交点在70°角的射线上，所以正弦值 最接近0.94的是70°角. 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的新型定义问题，理解“锐角正弦值速查卡”的使用方法是解题的关键. 1 2.若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ） 3 A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】A 【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出. 1 1 【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝ ＜ ＝sin30°， 3 2 ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或 减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键． 3.若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ） A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【答案】D 【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案. 【详解】解：∵tan60°=√360°，∴60°<∠A<90°. 故选：D. √3 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°= ,tan45°=1,tan60°=√3是解题的 3 关键. 1 4.已知 ，则∠A应满足 ． 2【答案】0°<∠A<30° √3 【分析】首先明确cos30°= ，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 2 √3 【详解】解：∵cos30°= ，余弦函数随角增大而减小， 2 ∴0°<∠A<30°， 故答案为：0°<∠A<30°． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题 的关键． √2 7.若锐角α满足cosα＜ 且tanα＜√3，则α的范围是( ) 2 A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 【答案】B 【详解】∵α是锐角， ∴cosα>0， √2 ∵cosα< ， 2 √2 ∴00， ∵tanα<√3， ∴00， 3 ∵sinB= ， 5 √ 3 2 4 ∴sinA= 1−（ ）= . 5 5故选B. 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系. 4.如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③ sinB=cosC；④△sinα=cosβ.其中正确的结论有 . 【答案】①②③④ 【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判 断． 【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC， ∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°， ∴∠α=∠B，∠β=∠C， ∴sinα=sinB，故①正确； sinβ=sinC，故②正确； AC AC ∵在Rt ABC中sinB= ，cosC= ， BC BC △ ∴sinB=cosC，故③正确； ∵sinα=sinB，cos∠β=cosC， ∴sinα=cos∠β，故④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 5.已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题： 如图1：sin2 ∠A +sin2 ∠B = 1 1如图2：sin2 ∠A +sin2 ∠B = 2 2 如图3：sin2 ∠A +sin2 ∠B = 3 3 ①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2 ∠A+sin2 ∠B= ； ②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定 义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B． √51 【答案】1，1，1①1②见解析③sinB= 10 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2 ∠A+sin2 ∠B=1； a b ②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sin A= ，sinB= ，则 c c a2+b2 sin2A+sin2B= ，根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1； c2 ③利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sin∠A=0.7，进行求解． 【详解】由图可知：sin2 ∠A +sin2 ∠B = (1) 2 + (√3) 2 =1 1 1 2 2 2 2 sin2 ∠A +sin2 ∠B = (√2) + (√2) =1 2 2 2 2 sin2 ∠A +sin2 ∠B = (3) 2 + (4) 2 =1 3 3 5 5 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想：sin2 ∠A+sin2 ∠B=1 故答案为：1． ②在Rt△ABC中，∠C=90° a b ∵sin A= ，sinB= c c a2+b2 ∴sin2A+sin2B= c2 ∵∠C=90°∴a2+b2=c2 ∴sin2A+sin2B=1 ③∵sinA=0.7，sin2A+sin2B=1 √51 ∴sinB=√1−sin2A=√1−(0.7) 2= 10 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 6．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ， cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． √6−√2 例：sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°= ． 4 (1)试仿照例题，求出cos75°的值； 1 (2)若已知锐角α满足条件sinα= ，求sin2α的值． 3 √6−√2 【答案】(1) 4 4√2 (2) 9 【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ计算即可； （2）把2α化为α+α直接代入三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ计算即可． 【详解】（1）解：∵cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ， ∴cos75°=cos(30°+45°) =cos30°cos45°−sin30°sin45° √3 √2 1 √2 = × − × 2 2 2 2 √6−√2 = ； 4 1 （2）解：∵sinα= ，sin2α+cos2=1，α为锐角， 3 2√2 解得cosa= ， 3 ∴sin2α=sin(α+α) =sinαcosα+cosαsinα 1 2√2 =2× × 3 34√2 = ． 9 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息 结合特殊角的三角函数值来求解． 考点二 ：解直角三角形 题型一：构造直角三角形解直角三角形 1.如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（ ） A．3√2 B．3√5 C．3√7 D．6√2 【答案】D 【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵BD=2CD=6， ∴CD=3， ∵直角△ADC中，tan∠C=2， ∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6， ∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=√AD2+BD2=√62+62=6√2． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题 的关键． 3 2.如图，在△ABC中，∠A=45°，tanB= ，BC=10，则AB的长为 ． 4 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D，3 ∵∠A=45°，tanB= ＜1=tan45°， 4 ∴∠B＜45°， CD CD 3 ∵tan45°=tanA= =1，tanB= = ， AD BD 4 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴9x2+16x2=100， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角 三角形是解题的关键． 1 3.如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） 3 △ √5 A．√2 B． C．√5 D．2 2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在 Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： AH 1 由sin∠B= = ，且AB=3可知，AH=1， AB 3AH 1 由tan∠C= =2，且AH=1可知，CH= ， CH 2 √ 1 2 √5 ∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=√AH2+CH2= 12+( ) = ． 2 2 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构 造直角三角形进而求解． 4.如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE 的长为( ) A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2 【答案】B 【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得 BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结 果． 【详解】如图， 作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F， √2 在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sin B=√6× =√3， 2 √3 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30 °=√3× =1， 3 ∴BC=√3+1，在Rt△BEF中，设BF=EF=x， 在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°， CF=EF⋅tan60 °=√3x， 由CF+BF=BC得， √3x+x=√3+1， ∴x=1， ∴EC=2EF=2， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 5.在△ABC中，AC=4√2，BC=6，∠C为锐角且tanC=1． (1)求△ABC的面积； (2)求AB的值； (3)求cos∠ABC的值． √5 【答案】(1)12(2)2√5(3) 5 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关 系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积； （2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB； （3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值． 【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵∠C为锐角且tanC=1， ∴∠C=45°，∴∠DAC=90°-∠C=45°， ∴∠DAC=∠C=45°， ∴AD=DC， 在Rt△ACD， AD ∵sinC= ，AC=4√2， AC √2 ∴DC=AD=AC·sinC=4√2× =4， 2 ∵BC=6， 1 1 ∴S = BC·AD= ×6×4=12． △ABC 2 2 ∴△ABC的面积为12． （2）∵DC=AD=4，BC=6， ∴BD=BC-DC=6-4=2， 在Rt△ABD中， AB=√AD2+BD2=√42+22=2√5． ∴AB的值为2√5． （3）在Rt△ABD中，AB=2√5，BD=2， BD 2 √5 ∴cos∠ABC= = = ． AB 2√5 5 √5 ∴cos∠ABC的值为 ． 5 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的 面积公式及勾股定理是解题的关键． 6.公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点 离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号)． 【答案】(3√6−3√2)km 【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，易得△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 AD=CD的长，再由含30°角直角三角形的性质求得BC，再由勾股定理可求得BD，从而求得AB．【详解】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，如图， ∵∠B=30°，∠D=90°， ∴∠DCB=90°−30°=60°， ∵∠ACB=15°， ∴∠ACD=∠DCB−∠ACB=45°， ∴∠DCA=∠DAC=45°， ∴CD=AD， ∴△CDA是等腰直角三角形， √2 由勾股定理得AD=CD= AC=3√2(km)， 2 ∵∠B=30°，∠D=90°， ∴BC=2CD=6√2(km)， 由勾股定理得BD=√BC2−CD2=√72−18=3√6(km)， ∴AB=BD−AD=(3√6−3√2)km． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 2√2 7.在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB= ，则∠ABC的大小为 度． 3 【答案】30或150/150或30 【分析】作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，先求出CD的长，进而分两种情况求解∠ABC的大小即可，① 若点B在AD左侧，②若点B在AD右侧． 【详解】如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中， 2√2 ∵AC=3，cos∠ACB= ， 3 2√2 ∴CD=ACcos∠ACB=3× =2√2，则AD=√AC2−CD2=√32−(2√2) 2 =1， 3①若点B在AD左侧， ∵AB=2、AD=1， ∴∠ABC=30°； ②若点B在AD右侧，则∠AB′D=30°， ∴∠AB'C=150°， 故答案为30或150． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，理解题意，运用数形结合思想是解题的关键． 8.根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固 定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此 时∠ABO是45°，AB长为20cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√2≈1.4， 结果精确到1cm） （1）求固定点A到窗框OB的距离； （2）若测得∠AOB=37°，求OA的长度． 【答案】（1）14cm；（2）23cm． 【分析】（1）过A作AD⊥OB于D，解直角三角形ABD即可； （2）根据（1）中AD的长，解直角三角形ADO即可． 【详解】解：（1）过A作AD⊥OB于D， 则AD的长就是A到OB的距离， 在Rt△ABD中， AD ∵ =sin∠ABD， AB AB=20，∠ABD=45°， AD ∴ =sin45°， 20 AD √2 即 = ， 20 2∴AD=10√2≈14cm． （2）∵AD⊥OB， 在Rt△AOD中， AD ∵ =sin∠AOD， AO AD=14，∠AOD=37°， 14 ∴ =sin37°， AO 14 即 =0.6， AO 14 ∴AO= ≈23cm． 0.6 【点睛】本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵 活求解是解题的关键． 9.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角 形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应 相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”． （1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”． （2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线 段BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）√3或3√3-3 【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③ 与原三角形有两角对应相等即可． （2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可． （3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答． 【详解】解：（1）证明：如图1中， ∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， 1 ∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝40°， 2 ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD为等腰三角形， ∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴CD是△ABC的完美分割线． （2）①当AD＝CD时，如图2， ∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°， ∴∠BDC＝92°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝92°． ②当AD＝AC时，如图3，180°−46° ∠ACD＝∠ADC＝ ＝67°， 2 ∴∠BDC＝113°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝113°． ③当AC＝CD时，如图4， ∵∠ADC＝∠A＝46°， ∴∠BDC＝134°， ∵∠B＝∠B， ∴∠ACB＝∠BDC＝134°． ∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去． ∴∠ACB的度数是92°或113°． （3）①若AD＝CD时，如图5， 此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°． 在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3. 在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝√3． ②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°， 此时∠ACB＝105°，∠B＝45°， ∵∠A＝30°，AC＝6， ∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝3√3． ∵∠B＝45°， ∴EC=BE＝3， BA＝3+3√3， BD＝BA-DA =3+3√3-6=3√3-3，③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去． 【点睛】本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理 与判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型． 10.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连接AD，BE， √3 tan∠BAD= ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB=2∠CFD，AG=5， 5 CF=2√5，则线段AB的长为 ． 4√21 【答案】 3 【分析】过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，过 点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定 一点P，使得AG=GP，连接AK，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得 ∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°，根据等边三角形的判定和性质可得AC=AH=CH， 结合题意可得DC=AE，根据全等三角形的判定和性质可推得∠ADC=∠BEA，根据全等三角形的判 定和性质可得CN=AM，根据等边对等角可得∠GAP=∠GPA，根据三角形的外角性质可推得 ∠GPA=∠CFD，根据全等三角形的判定和性质可得AP=CF=2√5，根据三角形内角和定理可得 1 √3 ∠CKQ=30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得CQ= CK，根据勾股定理可得KQ= CK， 2 21 设MP=a，则GM=5−a，根据勾股定理列方程求解得到a=2，求得AM=4，设CK=b，则CQ= b， 2 √3 5 1 KQ= b，根据锐角三角函数和勾股定理可求得BQ= b，BK=√7b，BC=2b，推得CK= CH， 2 2 2 根据等边三角形三线合一的性质可得AK⊥CH，根据勾股定理求得AK=√3b，根据三角形的面积公式 2√21 4√21 列方程求解得到b= ，即可求得BC=AB=2CK= ． 3 3 【详解】解：过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC， 过点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确 定一点P，使得AG=GP，连接AK，如图： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，AB=BC， ∵AH∥BC，CH∥AB，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°， ∴∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°， ∴△ACH是等边三角形， ∴AC=AH=CH， ∵BD=CE， ∴DC=AE， ∵AB=BC，∠ABC=∠BCA，BD=CE， ∴△ABD≌△BCE(SAS)， ∴∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC， ∴∠ADC=∠BEA， ∵CN⊥AD，AM⊥BE， ∴∠CND=∠AME=90°， ∵∠CND=∠AME，∠ADC=∠BEA，DC=AE， ∴△CND≌△AME(AAS)， ∴CN=AM，∵AG=GP=5， ∴∠GAP=∠GPA，等边对等角 在Rt△AGP中，∠AGB=∠GAP+∠GPA=2∠GPA， ∵∠AGB=2∠CFD， ∴∠GPA=∠CFD， ∵∠GPA=∠CFD，∠CNF=∠AMP=90°，CN=AM， ∴△CFN≌△APM(AAS)， ∴AP=CF=2√5， ∵CH∥AB， ∴∠ABC=∠HCQ=60°， 又∵KQ⊥BC， ∴∠CKQ=180°−90°−60°=30°， 在Rt△CKQ中，CQ= 1 CK，KQ=√CK2−CQ2= √ CK2− (1 CK ) 2 = √3 CK， 2 2 2 设MP=a，则GM=GP−PM=5−a， 在Rt△AMP中，AM2=AP2−M P2=(2√5) 2 −a2， 在Rt△AMG中，AM2=AG2−GM2=52−(5−a) 2， ∴AP2−M P2=AG2−GM2， 即(2√5) 2 −a2=52−(5−a) 2， 解得：a=2， ∴MP=2， ∴AM=√(2√5) 2 −22=4， 1 √3 设CK=b，则CQ= b，KQ= b， 2 2 KQ √3 在Rt△BKQ中，tan∠CBE= = ， BQ 5 5 5 ∴BQ= KQ= b， √3 2 ∴BK=√BQ2+KQ2= √ (5 b ) 2 + (√3 b ) 2 =√7b， 2 25 1 ∴BC=BQ−CQ= b− b=2b， 2 2 即BC=AB=AC=CH=2b， 1 ∴CK= CH， 2 又∵△ACH是等边三角形， ∴AK⊥CH，即∠AKH=90°， 在Rt△ACK中，AK=√AC2−CK2=√(2b) 2−b2=√3b， ∵CH∥AB，∴∠AKH=∠KAB=90°， 1 1 在△ABK中，S = ×BK⋅AM= ×AB⋅AK， △ABK 2 2 1 1 即 ×√7b⋅4= ×2b⋅√3b 2 2 2√21 解得：b= ， 3 2√21 ∴CK= ， 3 4√21 即BC=AB=2CK= ， 3 4√21 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， 三角形的外角性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等 边三角形三线合一的性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据等边三角形的性质和锐角三角函数作 出辅助线构建直角三角形． 题型二：网格中解直角三角形 1.如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC= ． 3 【答案】 5 【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，由图可得，AB=√10，AC=√10，BC=2，AD=3， 1 1 ∵S = ⋅AD⋅BC= ⋅AC⋅BE， △ABC 2 2 1 1 ∴ ×3×2= ×√10BE， 2 2 3√10 ∴BE= ， 5 3√10 BE 5 3． ∴sin∠BAC= = = AB √10 5 3 故答案为： ． 5 【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易 错点在于学生误认为sin∠BAC=2sin∠BAD． 2.如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是 ． 【答案】1 【分析】利用等腰直角三角形的性质即可解问题即可． 【详解】解：如图，连接AB．∵AB=√12+32=√10，OA=√12+32=√10，OB=√22+42=2√5， ∴AB2+OA2=OB2，且AB=OA， ∴ OAB是等腰直角三角形， ∴△∠AOB=∠MON=45°， tan∠MON=tan45°=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思 想思考问题，属于中考常考题型． 640111198802093123 3.如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ． √2 【答案】 2 【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以 求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得△ABO是直角三角形，再根据三角函数的定义可以 求出答案. 【详解】连接AB如图所示： 设小正方形的边长为1， ∴OA2=32+1=10，BA2=32+1=10，OB2=42+22=20， ∴△ABO是直角三角形， BA √10 √2 ∴sin∠AOB= = = ， OB √20 2 √2 故答案为： . 2 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 4.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，∠ADC 则sin 的值是 ． 2 640111198802093123 √5 【答案】 5 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可 1 得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得∠B= ∠ADC，由此可得 2 ∠ADC sin =sinB． 2 【详解】解：根据题意由勾股定理得： AC=√22+12=√5,AB=√32+42=5,BC=√42+22=2√5, ∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥BC，∠C=90°， 结合网格可知D分别为AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠B=∠DCB， 又∵∠B+∠DCB=∠ADC， 1 ∴∠B= ∠ADC, 2 ∠ADC AC √5 ∴sin =sinB= = ， 2 AB 5 √5 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是 1 得出∠B= ∠ADC． 2 5.如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ．【答案】3 【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用 勾股定理的 逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN， 640111198802093123 由题意得：CM∥AB， ∴∠APD＝∠NCD， 由题意得：CN2=12+12=2，DN2=32+32=18，CD2=22+42=20， ∴CN2+DN2=CD2， ∴△CDN是直角三角形， DN 3√2 ∴tan∠DCN= = =3， CN √2 ∴∠APD的正切值为：3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6.已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则tan(α+β)= ． 2√3 2 【答案】 / √3 3 3【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出： ∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为 a，则AE=2a，DE=√3a，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接DE，如图所示： 在 ABC中，∠ABC=120°，BA=BC， ∴∠△α=30°， 同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α． 又∵∠AEC=60°， ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°． 设等边三角形的边长为a， 则AE=2a，DE=2×sin60°•a=√3a， AE 2a 2√3 ∴tan（α+β）= = = ． DE √3a 3 2√3 故答案为： ． 3 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于 ∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧 BD上一点．若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为（ ） 5 5 5 13 13 5 13 13 A． π+ √3 B． π+ √3 C． π+ √3 D． π+ √3 6 4 6 4 6 4 6 4 【答案】D【分析】取AD的中点O，连接OC，过点O作OE⊥AC于点E，分别求出扇形OCD和 OAC的面积，得到 阴影部分的面积． △ 【详解】解：取AD的中点O，连接OC，过点O作OE⊥AC于点E， 640111198802093123 ∵∠AFD=90°， ∴AD为直径， AD=√AF2+DF2=√36+16=2√13 , ∴OA=OC=OD=√13 , ∠COD=2∠DAC=60°， 60π⋅13 13 ∴S = = π ， 扇形OCD 360 6 在直角 OAE中， △ 1 √13 OE=OAsin∠A= OA= , 2 2 √3 √39 AE= OAcos∠A= OA= , 2 2 ∴AC=2AE=√39 , 1 1 √13 13√3 ∴S = AC⋅OE= ×√39× = , △AOC 2 2 2 4 13 13√3 ∴阴影部分的面积S= π+ ， 6 4 故选择D ． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为规则图形面积的和或差． 题型三：坐标系中解直角三角形 1.平面直角坐标系内有一点P(1,2)，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα= ． 【答案】2 【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论． 【详解】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：∵点PA⊥x， ∴PA=2，OA=1， PA 2 ∴tanα= = =2． OA 1 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 2．如图，含30°角的直角三角尺的斜边OA在y轴上，点O是坐标原点，点A的坐标为(0,8)， ∠OAB=30°，直角顶点B在第一象限，把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得到△OA'B'，则点B 的对应点B'的坐标为 ． 【答案】(2√2,−2√2) 【分析】先根据题意画出点B'的位置，然后过点B'作x轴的垂线，接下来依据旋转的定义和性质可得到 OB'的长和∠COB'的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可． 【详解】解：如图所示：过点B'作B'C⊥x轴，∵点A的坐标为(0,8)， ∴OA=8， ∵∠OAB=30°，∠AOB=60°， 1 ∴OB= OA=4，∠BOC=30°， 2 ∵把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得到△OA'B'， ∴∠BOB'=75°，OB'=OB． ∴∠COB'=75−30°=45°． √2 ∴OC=B'C=OB⋅sin45°=4× =2√2， 2 ∴B'的坐标为(2√2,−2√2)． 故答案为：(2√2,−2√2)． 【点睛】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠COB'=45°是解题 的关键． 3.如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内 圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ） 3 2 3 4 A． B． C． D． 5 5 4 5 【答案】A OC 【分析】首先连接BC，可得出点B，A，C共线，再根据勾股定理求出BC，即可求sin∠OBC= ，最 BC后根据∠CDO=∠OBC得出答案． 【详解】如图，连接BC， ∵∠BOC=90°， ∴BC是⊙A的直径， ∴点B，A，C三点共线． ∵B（-4，0），C（0，3）， ∴OB=4，OC=3， ∴BC=√OC2+OB2=√32+42=5， OC 3 ∴sin∠OBC= = ． BC 5 ∵∠CDO=∠OBC， 3 ∴sin∠CDO=sin∠OBC= ． 5 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数等，连接BC得出直角三角形是解题的关 键． 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=√5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC， 1 tanα= ，则点C的坐标为（ ） 2 ( 4 2) ( 2 4) A．(−2,4) B． − , C． − , D．(−1,2) 3 3 3 3【答案】C 【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥x轴，垂足为E，根据已知易证ΔCBO∽ΔCOA，从而 可得∠CAO=∠COB，然后在RtΔAOB中求出AO与BO的长，最后证明ΔBAO∽ΔCOE，利用相似 三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足为E， ∵OC2=BC⋅AC， OC BC ∴ = ， AC OC ∵∠ACO=∠BCO， ∴ΔCBO∽ΔCOA， ∴∠CAO=∠COB， 1 ∵tanα= ， 2 BO 1 ∴tan∠CAO= = ， AO 2 ∴AO=2BO， 在RtΔABO中，AO2+BO2=AB2， ∴4BO2+BO2=5， ∴BO=1， ∴AO=2BO=2， CD 1 在RtΔCDO中，tanα= = ， DO 2 1 1 ∴CD= DO= CE， 2 2 ∵∠CEO=∠BOA=90°，∠BAO=∠BAO， ∴ΔBAO∽ΔCOE， OB AO ∴ = ， CE OE 1 2 = ∴ CE 1 ， 2+ CE 24 ∴CE= ， 3 2 ∴CD= ， 3 2 4 ∴D(− ， )， 3 3 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键． 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴 的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x轴的距离等于（ ） A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx 【答案】A 【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题． 【详解】作CE⊥y轴于E． 在Rt△OAD中， ∵∠AOD=90°，AD=BC=b，∠OAD=x， ∴OD=ADsin∠OAD=bsinx， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=x， ∴在Rt△CDE中， ∵CD=AB=a，∠CDE=x， ∴DE=CDcos∠CDE=acosx， ∴点C到x轴的距离=EO=DE+OD=acosx+bsinx， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上 （如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则 图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ． (4√3−3 3√3+4) 【答案】 (2√3,2) , 2 2 【分析】根据旋转的性质求解． 【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上， ∴图1中B坐标为（4，0）， 在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2√3，BE=2， 在图2中B点的坐标为（2√3，2）； 易知图1中点C的坐标为（4，3），在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=√3，OM=3÷cos30°=2√3， 那么CM=4-√3，易知∠NCM=30°， 4−√3 4√3−3 ∴MN=CM•sin30°= ，CN=CM•cos30°= ， 2 2 3√3+4 则ON=OM+MN= ， 2 4√3−3 3√3+4 ∴图2中C点的坐标为（ ， ）． 2 2 【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构 造直角三角形求解． 7.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B在x轴上． (1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹， 不写作法； k 4 (2)若函数y= 的图象经过点M，且sin∠OAB= ，求k的值． x 5 【答案】(1)见详解 (2)k=3 【分析】整体分析： （1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等； 4 （2）根据OA=3，sin∠OAB= 求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标. 5 【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM， 点M为AB中点， ∴AM=BM， ∵△AOB为直角三角形，∴OM=AM=BM， ∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等， 4 （2）解：∵sin∠OAB= ， 5 ∴设OB=4x，AB=5x， 由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2， 解得：x=1， ∴OB=4，由B（4，0）， 3 由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2， ）． 2 ∴k=3 【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直 角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键． 题型四：解直角三角形的相关计算 1 1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝ ，则tan∠BOC＝ 3 ． √2 【答案】 2 【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝ ＝ √AC2−BC2＝2 x，于是得到结论． √(3x) 2−x2 √2 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， BC 1 ∵sin∠BAC＝ ＝ ， AC 3 ∴设BC＝x，AC＝3x， ∴AB＝√AC2−BC2＝√(3x) 2−x2＝2√2x， 1 ∴OB＝ AB＝√2x， 2 BC x √2 ∴tan∠BOC＝ = ＝ ， OB √2x 2 √2 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D， E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ． 2√3 【答案】 3 √3 【分析】先求解AB=√3,AD= , 再利用线段的和差可得答案． 3 【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15−12=3, ∵∠A=60°,∠ABC=90°, BC 3 ∴AB= = =√3, tan60° √3 DE 1 √3 同理：AD= = = , tan60° √3 3√3 2√3 ∴BD=AB−AD=√3− = , 3 3 2√3 故答案为： 3 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的 边长”是解本题的关键． 3.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如 tan∠DEC的值为 ． √3 【答案】 2 【分析】过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角 CDF，进而求出△AEB≌△CFD，设直角 △CDF最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可△求出答案． 【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点 ∵矩形ABCD, ∠ADB=30° ∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°, AB=CD ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°, ∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°, ∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30° 设DF=a,则CF=√3a，CD=2a，BD=4a， ∵AE⊥BD ∴∠AEB=∠CFD=90° ∴△AEB≌△CFD， ∴EB=DF=a ∴EF=4a-a-a=2a CF √3 ∴tan∠DEC= = EF 2√3 故答案是 ． 2 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识 是解题关键． 4.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O 是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示 方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． (1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm． (2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm． 60 【答案】 16 13 【分析】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得 AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可． （2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH， 12 OE AH 利用已知先求出CE= cm，在Rt 中利用勾股定理求出 的长，由sin∠ECO= = ， 5 CO AAC △OEF CO 求出 ，从而求出 的长． 【详解AH】（1）当E、AOB、=2FA三H点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm， ∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm． （2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，∴CH⊥AB，AH=BH， ∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3， 12 ∴CE= cm， 5 13 在Rt 中，CO=√OE2+CE2= ， 5 △OEF OE AH 30 sin∠ECO= = ，AH= ， CO AAC 13 ∵ 60 ． 13 ∴AB=2AH= 60 故答案为 ， ． 13 16 【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解 是解题的关键． 5.如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与 1 FE交于P点．若tan∠BCE= ，则PF的值为 ． 3 √10 【答案】 3 BE 1 【分析】先根据tan∠BCE= = 求出BE，即可求出AE，根据勾股定理求出CE，可知EF，然后在 BC 3Rt△AEP中，求出AP，EP，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°． BE 1 在Rt△BCE中，tan∠BCE= = ， BC 3 ∵BC=3， ∴BE=1， ∴AE=AB-BE=2． 在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=√32+12=√10， ∴EF=CE=√10. ∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°， ∴∠AEP=∠BCE， AP 1 ∴tan∠AEP=tan∠BCE= = ． AE 3 ∵AE=2， 2 ∴AP= ． 3 √ 2 2 2√10 在Rt△AEP中，PE=√AE2+AP2= 22+( ) = ， 3 3 2√10 √10 ∴PF=EF−PE=√10− = ． 3 3 √10 故答案为： ． 3 1 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等，求出tan∠AEP= 3 是解题的关键． 6.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正 六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是 ．19 【答案】 √3 15 √3 【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距= 2 a，然后再.求出BH、AH即可解答． 【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a， √3 边心距= a 2 观察图像可知： 7 19 BH=6a+7a⋅sin30∘=6a+ a= a 2 2 5√3 AH=5×a⋅cos30∘= a 219 a BH 2 19 所以tanβ＝ = = √3． AH 5√3 15 2 19 故答案为 √3． 15 【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构 造直角三角形求解． 1 7.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB= ，则tan∠DEC的 2 值是 ． 2 【答案】 3 【分析】过点C作CF⊥BD于点F，易证ΔABE≅ΔCDF(AAS)，从而可求出AE=CF，BE=FD，设 AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a， 在ΔABE与ΔCDF中， ¿， ∴ΔABE≅ΔCDF(AAS)， ∴AE=CF，BE=FD， AB 1 ∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ ＝ ， AD 2 设AB＝a，则AD＝2a， ∴BD＝√5a， 1 1 ∵S ABD＝ BD•AE＝ AB•AD， △ 2 2 2√5 ∴AE＝CF＝ a， 5 √5 ∴BE＝FD＝ a， 52√5 3√5 ∴EF＝BD﹣2BE＝√5a﹣ a＝ a， 5 5 CF 2 ∴tan∠DEC＝ ＝ ， EF 3 2 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知 识是解题的关键． 8.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为 mm． 20 【答案】 √3 3 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三 角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】解：如图， 设正六边形的中心是O，其一边是AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB=a，∠AOB=60°， AM ∴cos∠BAC= ， AB∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， 1 ∴AM=MC= AC， 2 ∵AC=20mm， AM 10 20 = = √3 ∴a=AB=cos30° √3 3 （mm）． 2 20 故答案为： √3． 3 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运 用锐角三角函数进行求解是关键． 题型五：构造直角三角形求不规则图形 1 1.如图，在▱ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=60°，过点D作DE//AC，DE= AC，连接AE， 2 则△ADE的周长为 ． 【答案】3+√7 【分析】通过添加辅助线构造出直角三角形，再根据等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及 平行线的性质求得DE=1，∠EDF=60°，然后利用勾股定理、锐角三角函数、线段的和差以及三角形 周长公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F，如图： ∴∠DFE=90° ∵AB=BC=2，∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=BC=2，∠ACB=∠ABC=60°∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC，AD=BC=2 ∴∠CAD=∠ACB=60° ∵DE//AC ∴∠EDF=∠CAD=60° 1 ∵DE= AC 2 ∴DE=1 ∴在Rt△≝¿中， EF EF √3 DF DF 1 sin∠EDF=sin60°= = = ，cos∠EDF=cos60°= = = DE 1 2 DE 1 2 √3 1 ∴EF= ，DF= 2 2 5 ∴AF=AD+DF= 2 ∴在Rt△AEF中，AE=√AF2+EF2=√7 ∴△ADE的周长为AD+DE+AE=3+√7． 故答案是：3+√7 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三 角函数、线段的和差、三角形的周长公式等，适当的添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 2.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ） √3 √3 A． B． C．√3 D．2√3 4 2 【答案】C √3 √3 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边 2 2 形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， √3 ∴DG= DO， 2 √3 同理可得：BH= BO， 2 1 1 S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH 四边形 2 2 1 √3 = ×AC× ×（DO+BO） 2 2 =√3， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和 不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 3.如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从A−B−C−D−A的四边形循环健身 步道．经测量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB长40米，步道CD长20米．（A， B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：√3≈1.7，√6≈2.4） (1)求步道BC的长； (2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每 平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？ 【答案】(1)步道BC的长为24米；(2)此次改建费用足够． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根 据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在 Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐 角三角函数的定义求出BC的长，即可解答； （2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边 形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答． 【详解】（1）过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥BE于点G． ∴∠1=∠2=∠3=90°， 在Rt△ABE中，∠A=60°， ∴∠4=30°， BE √3 ∴sin∠A=sin60°= = ， AB 2 √3 ∴BE= AB=20√3， 2 在Rt△CDF中，∠2=90°， CF √3 √3 ∴sin∠D=sin60°= = ，CF= CD=10√3 CD 2 2 在矩形CGEF中，¿=CF=10√3， ∴BG=BE−≥=10√3， 在Rt△CBG，∠3=90°，且∠5=∠ABC−∠4=45°， CG ∴tan∠5=tan45°= =1． BG ∴CG=BG=10√3， ∴BC=√BG2+CG2=10√6≈24． 答：步道BC的长为24米．（2）在Rt△ABE中1，∠1=90°， AE 1 ∴cos∠A=cos60°= = ， AB 2 1 ∴AE= AB=20， 2 在Rt△CDF中，∠2=90°， DF 1 ∴cos∠D=cos60°= = ， CD 2 1 ∴DF= CD=10． 2 ∴S =S +S +S +S 四边形ABCD △ABE △BGC 矩形CGEF △CDF 1 1 1 = ⋅BE⋅AE+ ⋅BG⋅CG+CG⋅CF+ ⋅CF⋅FD 2 2 2 1 1 1 = ×20√3×20+ ×10√3×10√3+10√3×10√3+ ×10√3×10≈875(m2)， 2 2 2 ∴总共花费：200×875=175000， ∵180000>175000， 答：此次改建费用足够． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的 关键． 4.图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现 测得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F时（如图3 所示）放置较平稳． （1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小； （2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不 超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：√3≈1.732， sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768，tan15.47°≈0.2768） 【答案】（1）夹角是60°；（2）最大值是106.07°1 【分析】（1）由题意得：DF= CD=7cm，EF⊥CD，根据三角函数的定义即可得到结论； 2 √3 （2）如图，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得EF=14× =7√3，根据 2 BH cos∠ABH= ≈0.2768，根据得到结论． AB 1 【详解】解：（1）由题意得：DF= CD=7cm，EF⊥CD， 2 DF 1 ∴cosD= = ， DE 2 ∴∠D=60°． 答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°． （2）如图，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H， ∴HF=30， √3 ∵EF=14× =7√3， 2 ∴BH=30−BE−EF=16−7√3≈3.876， BH ∴cos∠ABH= ≈0.2768， AB ∴∠ABH≈73.93°， ∴∠ABE=106.07°． 答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是106.07°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是 表示出线段的长后，理清线段之间的关系． 5.小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧 AD，BC和矩形ABCD组成，BC的圆心是倒锁按钮点M．其中A´D的弓高GH=2cm, AD=8cm,EP=11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与B´C所在圆相 切，且PQ//DN,tan∠NQP=2,则AB的长度约为 cm．(结果精确到0.1cm，参考数据: √3≈1.732,√5≈2.236)．【答案】29.8 【分析】作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K，求出BM＝5，MK＝3，然后 PQ∥DN,tan∠NQP=2，求出DE＝NG＝8，TQ＝12，NT＝9，TP＝6，PQ＝6√5，然后再根据平行线 分线段成比例定理和同角三角函数求出SN，SM即可解决问题． 【详解】解：如图，作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K． 由等弧AD，BC可知：B´C的弓高为2cm，BC=AD=8cm， 设BM＝rcm，在Rt BMK中，则有r2＝42＋（r−2）2， 解得r＝5， △ ∴BM＝5，MK＝3， ∵DN∥PQ， ∴∠DNE＝∠P， ∵NP＝NQ， ∴∠P＝∠NQP， ∴∠DNE＝∠NQP， DE ∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝ ， NE ∵NE＝DG＝4cm， ∴DE＝NG＝8cm， TQ 设PT＝xcm，则tan∠P＝tan∠NQP＝2＝ ， PT ∴TQ＝2x， 在Rt NTQ中，则有152＝（15−x）2＋（2x）2， 解得△x＝6， ∴TQ＝12cm，NT＝9cm，TP＝6cm，PQ＝6√5cm， ∵直线PQ与B´C所在的圆相切，作MF⊥PQ于F，则MF＝5， 延长PQ交NM的延长线于S， ∵TQ∥SN，TQ PT 12 6 ∴ = ，即 = ， SN PN SN 15 ∴SN＝30cm， MF PT ∵sin∠S＝ = ， SM PQ 5 6 ∴ = ， SM 6√5 ∴SM＝5√5cm， ∴MN＝SN−SM＝（30−5√5）cm， ∴AB＝GN＋MN＋MK＝8＋30−5√5＋3＝41−5√5≈29.8cm， 故答案为：29.8． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的性质，垂径定理 等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题． 6.我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示． 已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即 DH=1.2m． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO 与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点 3 4 O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cos53°≈ ，cos37°=sin53°≈ ， 5 5 3 3 15 2 tan37°≈ ，sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ） 4 8 16 5【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建Rt△ABE和Rt△BFC，在 Rt△ABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根 据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用CF+AE−AD=CH; （2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，构建Rt△ABM和Rt△BNO，在 Rt△ABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定 理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【详解】 （1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E， 则AE⊥BF，垂足为E． AE AE 由cos∠BAE= ，∴cos22°= ， AB 4.8 15 AE ∴ = ，即AE=4.5， 16 4.8 ∴DE=AE−AD=4.5−0.4=4.1， BE BE 由sin∠BAE= ，∴sin22°= ， AB 4.83 BE ∴ = ，即BE=1.8， 8 4.8 ∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3． BF 3 又tan∠BCF= ，∴tan37°= ， CF CF 3 3 ∴ = ，即CF=4， 4 CF ∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1， 即C到岸边的距离为8.1m． （2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M， 则AM⊥BN，垂足为M． AM AM 3 AM 由cos∠BAM= ，∴cos53°= ，∴ = ， AB 4.8 5 4.8 即AM=2.88，∴DM=AM−AD=2.88−0.4=2.48． BM BM 4 BM 由sin∠BAM= ，∴sin53°= ，∴ = ， AB 4.8 5 4.8 即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04． ∴ON=√OB2−BN2=√5.462−5.042=√4.41=2.1， ∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58， 即点O到岸边的距离为4.58m． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合 适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置 关系求线段长度． 7.翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘AB∥CD，且AB、CD之间的距离为30米，经测 量∠A=30°，∠C=45°，CD长度为42米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） (1)求空地边缘AB的长度；（结果精确到1米） (2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度 为2米的园林卵石步道EFGH，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？ 【答案】(1)空地边缘AB的长度为64米； (2)此次修建费用足够 【分析】（1）过D作DK⊥AB交AB于K，过C作CH⊥AB交AB的延长线于H，证得四边形DKHC 是矩形，从而CD=HK，分别在RtΔCBH和RtΔAKD中，利用正切三角函数求得AK、BH的值，即可 求解； （2）分别求出▱EFGH和梯形ABCD的面积，从而S =S −S ，再求出总费用， 塑胶地面 梯形ABCD 平行四边形EFGH 比较即可. 【详解】（1）解：（1）如图，过D作DK⊥AB交AB于K，过C作CH⊥AB交AB的延长线于H， ∵DK⊥AB，CH⊥AB， ∴∠AKD=∠DKH=∠CHK=90°， ∵AB∥CD， ∴∠CDK=∠DKH=90°，∠DCB=∠CBH=45°， ∴四边形DKHC是矩形， ∴CD=HK=42，DK=CH=30， 在RtΔCBH中，∠4=90°， CH ∴tan∠CBH=tan45°= =1， BH ∴CH=BH=30， ∴KB=KH−BH=42−30=12， DK √3 在RtΔAKD中，∠3=90°，∴tan∠A=tan30°= = ， AK 3 ∴AK=√3DK=30√3， ∴AB=AK+KB=30√3+12≈64（米） 答：空地边缘AB的长度为64米． （2）解：由题得，四边形EFGH为平行四边形， ∴S =EF⋅ℎ =2×30=60， 平行四边形EFGH (CD+AB)⋅ℎ (42+64)×30 ∴S = = =1590， 梯形ABCD 2 2∴S =S −S =1590−60=1530， 塑胶地面 梯形ABCD 平行四边形EFGH ∴总花费为：60×80+1530×45=73650（元）， ∵73650<75000 答：此次修建费用足够． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角 三角形，属于中考常考题型． 8.一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，ΔBCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图 2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄ΔBCD按压到底时，BD转动到BD'， 此时BD'//EF（如图3）． （1）求点D转动到点D'的路径长； （2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31， tan72°≈3.08） 6 【答案】（1） π；（2）点D到直线EF的距离约为7.3cm． 5 【分析】（1）根据题目中的条件，首先由∠DBE=∠BEF=108°，BD'//EF，求出∠D'BE，再 继续求出∠DBD'，点D转动到点D'的路径长，是以BD为半径，B为圆心的圆的周长的一部分，根据 ∠DBD'占360°的比例来求出路径； （2）求点D到直线EF的距离，实际上是过点D作EF的垂线交EF于某点，连接两点所确定的距离即为 所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中 锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求． 【详解】解：（1）如图，∵BD'//EF，∠BEF=108°， ∴∠D'BE=180°−∠BEF=72°． ∵∠DBE=108°， ∴∠DBD'=∠DBE−∠D'BE=108°−72°=36°． 又∵BD=6， 36×π×6 6 ∴点D转动到点D'的路径长= = π(cm)． 180 5 （2）如图， 过点D作DG⊥BD'于点G，过点E作EH⊥BD'于点H． DG 在Rt△DGC中，sin∠DBD'= BD ∴ DG=BD⋅sin36°≈3.54． EH 在Rt△BHE中，sin∠EBH= BE ∴ EH=BE⋅sin72°≈3.80． ∴DG+EH=3.54+3.80=7.34≈7.3． 又∵BD'//EF， ∴点D到直线EF的距离约为7.3cm． 【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是： 确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难 的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．9.如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为 7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为 31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线 最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据： sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√2≈1.414） 【答案】点B到桌面得距离为28.78cm 【分析】 点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三 角形求得AB，继而求得AO=12cm，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解． 【详解】 如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D， 由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，OM=7.5−2=5.5(cm)， ∵∠AOM=160°， ∴∠AOD=20°， ∵OD⊥AC， ∴∠ADO=90°， ∴∠OAD=70°， ∵∠OAB=115°， ∴∠BAC=45°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴AC=BC=10cm， 在Rt△ABC中， AC cos∠BAC= ， AB AC 10 ∴AB= = ≈14.14cm， cos∠BAC cos45° ∵AB+AO+OM=31.64cm， ∴AO=12cm，在Rt△AOD中， OD cos∠AOD= ， AO ∴OD=AO·cos∠AOD=12×cos20°≈11.28cm， ∴点B到桌面的距离为10+11.28+7.5=28.78(cm)． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义． 考点三：解直角三角形 的应用 题型一：仰角、俯角问题 题组一：水平距离测量物体高度 1.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人 机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为 米． 【答案】120√3 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度． BD BD √3 【详解】解：由题意可得：tan30°＝ = = ， AD 90 3 解得：BD＝30√3(米)， DC DC tan60°＝ = =√3， AD 90 解得：DC＝90√3(米)， 故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120√3(米) 故答案为120√3．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C 的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ） A．8(3−√3)m B．8(3+√3)m C．6(3−√3)m D．6(3+√3)m 【答案】A 【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函 数值即可求解． 【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°， ∴CD=AD=x， ∴BD=16-x， 在Rt△BCD中，∠B=60°， CD ∴tanB= ， BD x 即： =√3， 16−x 解得x=8(3−√3)， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 3.小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留 至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望 塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°、小港的身高忽略不计，请根据 题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：√3≈1.73，结果精确到0.1m）【答案】43.4m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设CD=xm，先解Rt△ADC得到AC=√3xm，再 √3 √3 解Rt△BDC得到BC= xm，进而建立方程√3x− x=50，解方程即可得到答案． 3 3 【详解】解：设CD=xm， 在Rt△ADC中，∠ACD=90°，∠A=30°， CD x ∴AC= = =√3xm， tan A tan30° 在Rt△BDC中，∠BCD=90°，∠CBD=60°， CD x √3 ∴BC= = = xm， tanCBD tan60° 3 ∵AB=50m， √3 ∴√3x− x=50， 3 解得x≈43.4， ∴CD≈43.4m， ∴小雁塔的高度CD约为43.4m． 4.如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D 的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32° 【答案】C 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的 正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠DEF=∠DEC−∠F=32°, ∴DE=EF=15, 由题可知，△DCE为直角三角形， CD 在Rt△DEC中，sin∠DEC= DE CD 即：sin64°= , 15 ∴CD=15·sin64°, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的 外角得出等腰三角形． 5.某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°， 另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB 的长度为 米．(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 【答案】438 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出AD，结合图形计算即可． 【详解】解：由题意得，∠CAD=50°,∠CBD=45°， 在Rt△CBD中，∠CBD=45°， ∴BD=CD=238（米）， CD 在Rt△CAD中，tan∠CAD= ， AD CD 则AD= ≈200（米）， tan50° 则AB=AD+BD≈438（米），故答案是：438． 【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形 求解． 6.胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂 直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间 的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73） 【答案】主塔AB的高度约为78m． 【分析】在Rt ABD中，利用正切的定义求出AB=√3BD，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出 BD，即可解决△问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt ABD中，AB=BD⋅tan60°=√3BD， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝△BC， ∴√3BD=BD+33， 33 33×(√3+1) ∴BD= = m， √3−1 2 33×(√3+1) ∴AB＝BC＝BD+33= +33≈78m， 2 答：主塔AB的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 7.某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为 45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米， AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）．【答案】13.6米 【分析】如图，连接EF，交BD于点M，用DM的长度分别表示EM和FM的长度，再根据EM和FM的和 等于AC的长度，求出DM的长，在用DM和BM的和求出BD的长度即可． 【详解】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米， 在Rt DEM中，∠DEM＝45°， ∴EM＝△DM， 设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米， DM 在Rt DFM中，tan37°＝ ， FM △ x 即 ≈0.75， 28−x 解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的根， 即DM＝12米， ∴DB＝12+1.6＝13.6（米）， 答：树BD的高度为13.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角和俯角问题．准确的构造出直角三角形是解题的关键，在 解题的过程中可以巧用公共边列方程进行计算． 题组二：测量底部可以到达的物体高度 1.如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A 的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．【答案】10√3+1/1+10√3 AE AE 【分析】在Rt△ADE中，利用tan∠ADE= = =√3，求出AE=10√3，再加上1m即为AC的 DE 10 长． 【详解】解：过点D作DE⊥AC交于点E，如图： 则四边形BCED是矩形， ∴BC=DE，BD=CE， 由题意可知：∠ADE=60°，DE=BC=10m， AE AE 在Rt△ADE中，tan∠ADE= = =√3， DE 10 ∴AE=10√3， ∴AE+EC=(10√3+1)m， 故答案为：10√3+1 【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直 角三角形并解直角三角形． 2.如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15√3米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的 仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）.【答案】(15+15√3) 【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明 AE ∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE= ，求出AE长，继而可得AC长. BE 【详解】过点B作BE⊥AC，垂足为E， 则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是正方形， ∴BE=CD=15√3， ∵∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE， ∴CE=BE=15√3， AE 在Rt△ABE中，tan∠ABE= ， BE √3 AE 即 = ， 3 15√3 ∴AE=15， ∴AC=AE+CE=15+15√3， 即教学楼AC的高度是(15+15√3)米， 故答案为(15+15√3). 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.3.周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上， 看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋 楼的高度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75） 【答案】这栋楼的高度为：52.5米 【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，在Rt AEB和Rt AEC中，根据正切的概念分别求出BE、EC，计算即 可． △ △ 【详解】解：过A作AE⊥BC于E， ∴∠AEB=∠AEC=90° 由依题意得：∠EAB=45°,∠CAE=37°,CD=AE=30， Rt△AEB和Rt△AEC中， BE CE ∵tan∠BAE= ，tan∠CAE= AE AE ∴BE=AE×tan45°=30×1=30， CE=AE×tan37°≈30×0.75=22.5 ∴BC=BE+CE=30+22.5=52.5 ∴这栋楼的高度为：52.5米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角 函数的定义是解题的关键． 4.如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端 A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米， 且AB垂直于桥面．（点A,B,C,M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米） （参考数据sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,√3≈1.73） 【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度AM为20√3米；（2）大桥主架在水面以上的高度AB约为50 米． 【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度． （2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可． 【详解】解：（1）∵AB垂直于桥面 ∴∠AMC=∠BMC=90° 在Rt△AMC中，CM=60,∠ACM=30° AM ∵tan∠ACM= CM √3 ∴AM=tan30° ⋅CM=60× =20√3（米） 3 答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20√3米． （2）在Rt△BMC中，CM=60,∠BCM=14° MB ∵tan∠BCM= CM ∴MB=tan14° ⋅CM=60×0.25≈15 ∵AB=AM+MB ∴AB≈15+20√3≈50（米） 答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提． 5.山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而 且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木 塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接 测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图 所示）： ①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像” 顶部C的仰角为45°； ②测得测角仪的高度EF为1.3米； ③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D． 求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：√3≈1.7） 【答案】121.2米 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，过点E作MN∥BD，交AB于 M，交CD于M，构造矩形MBFE，NDFE，MBDN，再利用三角函数解Rt△AME和Rt△CNE即可． 【详解】解：如图，过点E作MN∥BD，交AB于M，交CD于M， ∵ AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，MN∥BD， ∴ MN⊥AB，MN⊥CD， ∴四边形MBFE，NDFE，MBDN均为矩形， ∴ MB=DN=EF=1.3，BD=MN， ∴ AM=AB−MB=67.3−1.3=66，CN=CD−DN=10.3−1.3=9． 在Rt△AME中，∠AEM=30°，AM 66 ME= = =66×√3≈112.2 ∴ tan30° √3 ， 3 在Rt△CNE中，∠CEN=45°， CN 9 ∴ ME= = =9， tan45° 1 ∴ BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2， 即“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD约为121.2米． 6.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点 的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2 米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此 时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a， AE 在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； CE ED AB （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 = ，又根据 DF BF AB GC AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 = 联立得到二元一次方程组解 BH CH 之即可得； 【详解】（1）解：如图由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， AE 在Rt∆ACE中，tanα= ， CE 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， ED AB 此时 = DF BF 2 AB 即 = ①， 3 BC+1.8+3 ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， AB GC 此时 = ， BH CH 2 AB = ② 1 BC+1 联立①②得 ¿， 解得：¿ 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 题组三：测量底部不可到达的物体的高度 1.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角 ∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42°．求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上)． (参考数据：tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90 ) 【答案】75米 【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利 用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果． CD x 【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，tan∠CBD= ，即tan36.9°= ， BD BD x x 4 ∴BD= ≈ = x， tan36.9° 0.75 3 AD AD tan42°= 在Rt△ABD中，tan∠ABD= ，即 4 ， BD x 3 4 4 ∴AD= x⋅tan42°≈ x⋅0.9=1.2x， 3 3 ∵AD－CD=15， ∴1.2x－x=15，解得：x=75． ∴山高CD=75米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是 解题的关键． 2.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°， BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）． 【答案】16 【分析】过D点作DE⊥AB于点E，则BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中， ∠ADE=45°，设AE=x，则DE=x，BC=x，AB=AE+BE=x+6，在Rt△ABC中， AB x+6 tan∠ACB=tan58°= = ≈1.60，解得x≈10，进而可得出答案． BC x 【详解】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，设AE=x， 根据题意可得：AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距 离，乙建筑物的高度CD为6， ∴BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°， 在Rt△ADE中，∠ADE=45°， ∴∠EAD=90°−∠ADE=45°， ∴∠EAD=∠ADE， ∴DE=AE=x， ∴BC=DE=x， ∴AB=AE+BE=x+6， AB 在Rt△ABC中，tan∠ACB= BC x+6 即tan58°= ≈1.60， x AB x+6 ∴tan∠ACB=tan58°= = ≈1.60 BC x 解得x≈10， 经检验x≈10是原分式方程的解且符合题意， ∴AB=x+6≈16(m)． 故答案为：16．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等 腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题 的关键． 3.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告 牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）． 【答案】2.6m 【分析】分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用正切的定义即可分别求得AC、BC的长，从而可求得AB的 长． 【详解】在Rt△ACD中，AC=CD·tan37°≈15×0.75=11.25(m) √3 在Rt△BCD中，BC=CD·tan30°=15× ≈8.65(m) 3 ∴AB=AC-BC=11.25-8.65 2.6(m) 即广告牌AB的高度约为≈ 2.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，运用正切函数的定义即可解决． 4.某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪 CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45° （点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度． （结果精确到1m．参考数据：√3≈1.7）【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m 【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设 AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中， 利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解． 【详解】解：延长DF交AB于点G， 由题意得： DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°， 设AG＝xm， 在Rt△AFG中，∠AFG＝45°， AG ∴FG= =x（m）， tan45° ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝30°， AG x √3 ∴tan30°= = = ， DG x+8 3 ∴x＝4√3+4， 经检验：x＝4√3+4是原方程的根， ∴AB＝AG+BG≈12（m）， ∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的 辅助线是解题的关键． 5.如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰 角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90． 【答案】这座山AB的高度约为112m 【分析】在Rt△PAB中，AB=PA·tan∠APB，在Rt△PAC中，AC=PA·tan∠APC，利用 AC=AB+BC，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，BC=32，∠APC=42°，∠APB=35°． AC 在Rt△PAC中，tan∠APC= ， PA AC ∴PA= ． tan∠APC AB 在Rt△PAB中，tan∠APB= ， PA AB ∴PA= ． tan∠APB ∵AC=AB+BC， AB+BC AB ∴ = ． tan∠APC tan∠APB BC⋅tan∠APB 32×tan35° 32×0.70 ∴AB= = ≈ =112(m)． tan∠APC−tan∠APB tan42°−tan35° 0.90−0.70 答：这座山AB的高度约为112m． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 6.越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安 置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰 角∠MEC=45° （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米； 参考数据：sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65） 【答案】8米 【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设 MF x MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF= = ≈0.65，解得 x≈6.5米，可求 FB x+3.5 MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米． 【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米， ∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°， ∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形， ∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米， ∵∠MEF=45°，∠EFM=90°， ∴MF=EF=x, ∴FB=FE+EB=x+3.5， MF x ∴tan∠MBF= = ≈0.65， FB x+3.5 ∴解得 x≈6.5米， 经检验x≈6.5米符合题意， ∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数， 简单方程是解题关键． 7.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆 OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径 两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由． (2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角 ∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（ √3≈1.73，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定 先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间 的距离m，点O ,O 到地面的距离O E,O F均为1.5米；求PH（用α,β,m表示）． 1 2 1 2 【答案】(1)证明见解析 (2)10.2米 (mtanαtanβ ) (3) +1.5 米 tanα−tanβ 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果； （3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含α、β、m的式子表示出PH． 【详解】（1）证明：∵∠COG=90°,∠AON=90° ∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON ∴∠POC=∠GON （2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，∠OQP=90°,∠POQ=60°， 在Rt△POQ中 PQ PQ tan∠POQ= = =√3 OQ 5 ∴PQ=5√3 ∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2（米） 故答案为：10.2米． （3）由题意得：O O =EF=m,O E=O F=DH=1.5m， 1 2 1 2 PD PD 由图得：tanβ= ，tanα= O D O D 2 1 PD PD O D= ，O D= ， 2 tanβ 1 tanα ∴O O =O D−O D 1 2 2 1 PD PD ∴m= − tanβ tanα mtanαtanβ ∴PD= tanα−tanβ (mtanαtanβ ) ∴PH=PD+DH= +1.5 米 tanα−tanβ(mtanαtanβ ) 故答案为： +1.5 米 tanα−tanβ 【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 8.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动 小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线 上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像 BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77） 【答案】17.4m 【分析】先设出佛像BD的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程， 解分式方程并检验即可． 【详解】解：设佛像BD的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部BC为4m， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， CD x−4 ∴tan∠DAC= = ≈0.77， AD x 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴佛像BD的高度约为17.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容， 解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法 等． 题型二：方位角问题 1.小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处 发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得 桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82， cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73）． 【答案】273.7米 【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据三角函数求出BE、AE的长，四边形 BEFC是矩形，所以BE=CF，再在直角△DFC，利用三角函数求出DF的长，再根据 BC=EF=AD−AE+DF即可求出BC的长． 【详解】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F， 则四边形BEFC是矩形， ∴BE=CF，BC=EF， ∵∠BAD=60°，AB=100， ∴AE=50，BE=50√3， ∴CF=50√3， ∵∠DCF=55°， ∴DF=CF•tan55°≈123.695， ∴BC=EF=AD−AE+DF≈200−50+123.695=273.695≈273.7（米）， 答：桥BC的长度约为273.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义． 2.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据： 3 4 3 sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ） 5 5 4 【答案】50 【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形， 利用正弦函数求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30， ∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°， ∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形， AP ∴sin∠B= ， BP AP 30 = =50 ∴BP=sin37° 3 ， 5 故答案为：50．【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键． 3.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正 东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的 北偏东30°，点D在点E的北偏东45°． (1)求步道DE的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D． 请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） 【答案】(1)283米 (2)经过点B到达点D较近 【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到EH=AC=200米，再 证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：过E作BC的垂线，垂足为H， ∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°， ∴四边形ACHE是矩形， ∴EH=AC=200米， 根据题意得：∠D=45°， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∴DH=EH=200米， ∴DE=√2EH=200√2≈283（米）； （2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt△ABC中， ∴AB=2AC=400米， ∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米， ∴BC=√AB2−BC2=200√3（米）， ∴AE=CH=BC+BD−DH=200√3+100−200=200√3−100（米）， ∴经过点E到达点D，总路程为200√2+200√3−100≈529>500， ∴经过点B到达点D较近． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 4.如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方 向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 【答案】96米 【分析】根据题意可得ΔACD是直角三角形，解Rt ΔACD可求出AC的长，再证明ΔBCD是直角三角形， 求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论． 【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方， ∴ΔACD是直角三角形， ∴∠BCD=90°−37°=53°， ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°， CD 在Rt ACD中， =sin∠A，CD=90米， AC △ CD 90 ∴AC= ≈ =150米， sin∠A 0.60 ∵∠CDA=90°,∠BDA=53°， ∴∠BDC=90°−53°=37°, ∴∠BCD+∠BDC=37°+53°=90°，∴∠CBD=90°, 即ΔBCD是直角三角形， BC ∴ =sin∠BDC， CD ∴BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54米， ∴AB=AC−BC=150−54=96米， 答：A，B两点间的距离为96米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一 般可以转化为解直角三角形的问题． 5. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区 通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保 近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北 偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险． (1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距 离；（精确到1米） (2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断 该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影 响，请说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√7≈2.646） 【答案】(1)265米 (2)会影响，长度为100米，理由见解析 【分析】（1）过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据方位角求得∠BAC=60°，解 Rt△ABE,Rt△BCE，即可求解； （2）根据题意，设BF=150，勾股定理求得FD，即可求解． 【详解】（1）如图，过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据题意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°， ∴∠BAE=60°， Rt△ABE中，AB=200米， √3 1 ∴BE=AB⋅sin60°=200× =100√3米，AE=AB⋅cos60°=200× =100米， 2 2 ∵AC=300米， ∴EC=AC−AE=200米， Rt△BCE中，BC=√EB2+EC2=√2002+(100√3) 2=10√7≈265米； （2）会影响，长度为100米，理由如下， ∵AB=200米， √2 Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠ABC=200× ≈141米， 2 ∵141<150， ∴该条航道被这片浅滩区域影响， 根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩， 设BF=150米， Rt△BFD中，FD=√BF2−BD2=√1502−(100√2) 2=50米， 根据对称性，可得被影响的航道长度为100米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键． 6.如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇B的南偏东30°方向上，同时，在搜救 艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇C，此时游艇A在搜救艇C的东北方 向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求救信号，并在原地等待救援．（参考 数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号） (2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜救 艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通过 计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？ 【答案】(1)(40√3−40)海里； (2)搜救艇B先到达游艇A的所在地． 【分析】（1）利用两个特殊角作出垂直，得到边长关系，设元计算即可； （2）利用（1）中求得的线段长度和给出的速度，分别求出搜救艇B、C的到达时间，比较大小，时间小 的先到达． 【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=∠ADB=90°， ∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°， ∴AD=DC，AC=√CD2+AD2=√2AD ∵在Rt△ADB中，∠ABD=30°， ∴AB=2AD，BD=√AB2−AD2=√3AD， 设AD=x，则CD=x，AC=√2x，BD=√3x，AB=2x， ∵BC=40，由题意得(1+√3)x=40，解得x=20√3−20， ∴AB=40√3−40， 答：在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距(40√3−40)海里； （2）由（1）得AB=40√3−40，AC=20√6−20√2， AB 40(√3−1) 8 搜救艇B沿BA行驶，所用时间为t = = = (√3−1)≈1.168小时； 1 25 25 5AC 20(√6−√2) 5 搜救艇C沿CA行驶，所用时间t = = = (√6−√2)≈1.3小时； 2 16 16 4 ∴t 378.56， 答：公园管理部门采购的380米数据线够用． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 线是解题的关键． 10.如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站 点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车从B出发，沿BC行驶(1500√3−1500)米到达D 处，此时D在A的西南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求CD的距离；（结果保留根号） (2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路 正在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那 么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数） 【答案】(1)1500+500√3（米） (2)原计划所用时间较少，理由见解析 【分析】（1）过点A，作AE⊥BC于点E，根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°， 求得BD=(√3−1)AE，进而得出AE=1500，进而得出CD的长； （2）根据题意，求得AD+AC，然后根据路程除以速度，比较两段时间，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点A，作AE⊥BC于点E， 根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°， 在Rt△ABE中，BE=√3AE， 在Rt△ADE中，AE=DE， √3 在Rt△AEC中，EC= AE， 3 ∵BD=BE−DE=√3AE−AE=(√3−1)AE，(√3−1)AE=1500√3−1500， ∴AE=1500， √3 ( √3) ∴CD=DE+EC=AE+ AE= 1+ ×1500=1500+500√3（米）， 3 3 2 （2）解：DA+AC=√2AE+ √3AE， 3 2 =1500√2+ √3×1500=1500√2+1000√3， 3 1500+500√3 15 5 D→C行驶所需时间为： = + √3≈5.9分， 400 4 4 1500√2+1000√3 沿D→A→C绕道行驶所需时间为： =3√2+2√3≈7.7分， 500 ∵7.7>5.9， ∴原计划所用时间较少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，构造直角三角形是解题的关键． 题型三：坡度坡比问题 1.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:√3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m. 【答案】16 【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1:√3，坝高BC=8m， BC 8 1 ∴ = = ， AC AC √3 解得：AC=8√3， 则AB=√BC2+AC2=16（m）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题的关键． 2.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 米 （结果保留根号） 【答案】6√2 【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解. 【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA， ∵BC=6， √2 ∴CE=BCsin45°=6× =3√2， 2 ∴DF=CE=3√2， DF ∴AD= =6√2， sin30° 故答案为：6√2． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形 和矩形，注意理解坡度与坡角的定义． 3.小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测 得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1:0.75，点A，B，C，D在同一 平面内，则此山的垂直高度AB为 米．（结果精确到0.1） （参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40） 【答案】222.9 【分析】过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=(x−130)米，构 建方程求解即可．【详解】解：过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R， 设AB=x米，则AH=(x−130)米， ∵AB:BC=1:0.75， ∴BC=RH=0.75x米，BH=CR=130米， CR 130 在Rt△DCR中，DR= = =65米， tan63.5° 2 AH ∵tan∠ADH= DH x−130 ∴ =0.4 65+0.75x 解得x≈222.9， ∴AB=222.9米， 故答案为：222.9． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡 CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角 背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”） 【答案】大于 1 1 【分析】先根据迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，得出tan A= ，tanD= ， 2.5 3 1 1 根据 > ，即可得出∠A>∠D． 2.5 3 【详解】解：∵迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3， 1 1 ∴tan A= ，tanD= ， 2.5 3 1 1 ∵ > ， 2.5 3 ∴∠A>∠D， 即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角．故答案为：大于． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数正切值与角度的关系． 5.如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行． 某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面B点 时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1:√3且长为300米，无人机飞行距离CD为 60米，求无人机离地面的高度BD的长．（参考数据：√3≈1.7） 【答案】345米 √3 【分析】作CE⊥AF于E，根据坡度，得到tan∠ABM= ，推出∠BAF=∠ABM=30°，进而求 3 出BF,AF的长，利用AE=AF−EF，求出AE的长，再在直角三角形AEC中，求出CE的长，再根据 BD=BF+DF，即可得解． 【详解】解：如图，作CE⊥AF于E，由题意，可知：四边形CEFD为矩形， ∴EF=CD=60米，DF=CE， √3 ∵AB的坡度为1:√3，即：tan∠ABM= 3 ∴∠BAF=∠ABM=30°，1 又∵AB=300米，则BF= AB=150（米），AF=√3BF=150√3（米）， 2 ∴AE=AF−EF=150√3−60（米） 在Rt△AEC中，∠CAE=45°， 则CE=AE=150√3−60（米）， ∴DF=150√3−60（米）， ∴BD=DF+BF=150√3−60+150≈345（米） 答：无人机离地面的高度约为345米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构 造直角三角形． 6.国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥 会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪 如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大 跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距 BC=32米，大跳台坡角∠AUM=27°，标准台坡角∠BUM=26°．求大跳台与标准台出发点落差AC 是多少？（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.89，tan26°≈0.49；sin27°≈0.45，cos27°≈0.88， tan27°≈0.51，结果保留整数．） 【答案】大跳台与标准台出发点落差AC约为21米． 【分析】先求解AM=1771−1635=136，过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，可得四 边形BHMC是矩形，可得BC=MH=32，BH=CM，再分别求解UM，BH，从而可得答案． 【详解】解：∵大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米， ∴AM=1771−1635=136， 过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，∴四边形BHMC是矩形， ∴BC=MH=32，BH=CM， ∵∠AUM=27°，∠AMU=90°，AM=136， AM 136 ∴UM= ≈ ≈266.7， tan27° 0.51 ∴UH=MU−MH=266.7−32=234.7， ∵∠BUM=26°， ∴BH=HU⋅tan26°≈234.7×0.49≈115， ∴CM=BH=115， ∴AC=AM−CM=136−115=21； ∴大跳台与标准台出发点落差AC约为21米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是 解本题的关键． 7.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定 对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:√3；将斜坡AB 的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根 号） 【答案】斜坡CD的长是80√17米． 【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到 ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长． 【详解】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1:√3， 1 √3 ∴tan∠ABE= = ， √3 3 ∴∠ABE=30°， 1 ∴AE= AB=100， 2 ∵AC=20， ∴CE=80， ∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1:4，CE 1 ∴ = ， DE 4 80 1 即 = ， ED 4 解得，ED=320， ∴CD=√802+3202=80√17米， 答：斜坡CD的长是80√17米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函 数和数形结合的思想解答． 题型四：坡度坡比与仰角俯角问题综合 1.2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道 分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°． 若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． (1)求该滑雪场的高度h； (2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造 雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙 两种设备每小时的造雪量． 【答案】(1)235m (2)甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3 【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知 1 ∠ABF=∠DAB=30°，可得AF= AB=135(m)，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得 2 t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）； 150 500 （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得： = ，即方程并检验可得甲种设备每小时的造 x x+35 雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【详解】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：根据题知∠ABF=∠DAB=30°， 1 ∴AF= AB=135(m)， 2 ∵BC的坡度i=1：2.4， ∴BE：CE=1：2.4， 设BE=tm，则CE=2.4tm， ∵BE2+CE2=BC2， ∴t2+（2.4t）2=2602， 解得t=100（m），（负值已舍去）， ∴h=AF+BE=235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3， 150 500 根据题意得： = ， x x+35 解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解，也符合题意， ∴x+35=50， 答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程． 2.如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线 上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离 后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参 3 4 3 考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）． 5 5 4【答案】古树DE的高度为(40−10√3)m 【分析】延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，根据斜面AB的坡度为i=2:√3，设 BF=2x，则AF=√3x，根据勾股定理得出(2x) 2+(√3x) 2=(20√7) 2 ，求出BF=40(m)，证明四边形 40√3 BFDG为矩形，得出DG=BF=40m，根据三角函数求出CG= (m)，EG=10√3(m)，最后求出结 3 果即可． 【详解】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示： 则∠AFB=∠BFD=90°， ∵斜面AB的坡度为i=2:√3， ∴设BF=2x，则AF=√3x， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2， 即(2x) 2+(√3x) 2=(20√7) 2 ， 解得：x=20，负值舍去， 即BF=2×20=40(m)， ∵BC为水平方向，DE为竖直方向， ∴∠BGD=90°， ∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°， ∴四边形BFDG为矩形， ∴DG=BF=40m， ∵∠DCG=60°， BG 40 40 40√3 ∴在Rt△DCG中，CG= = = = (m)， tan∠DCG tan60° √3 3∵∠ECG=37°， 40√3 40√3 3 ∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG= ×tan37°= × =10√3(m)， 3 3 4 ∴DE=DG−EG=(40−10√3)m． 答：古树DE的高度为(40−10√3)m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函 数的定义． 3.如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑 物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64； tan50°≈1.19） A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米 【答案】D 【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE 的长度，从而得到DF=BE，再在Rt ADF中利用三角函数求解即可得出结论． 【详解】如图所示，作DF⊥AB于F△点，则四边形DEBF为矩形， ∴DE=BF=50, ∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4， 1 DE 5 ∴在Rt CED中，tan∠C= = = ， 2.4 CE 12 △ ∵DE=50， ∴CE=120， ∴BE=BC−CE=150−120=30， ∴DF=30， 在Rt ADF中，∠ADF=50°， △ AF ∴tan∠ADF=tan50°= =1.19， DF将DF=30代入解得：AF=35.7， ∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三 角函数是解题关键． 4.如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道AC的坡度i=1:2，斜道BD的坡度i=1:1，测得湖宽 AB=85米，AC=15√5米，BD=20√2米，已知弧CD所在圆的圆心O在AB上．（备注：坡度即坡角的 正切值，如AC的坡度i=tanA．） (1)分别求拱桥部分C、D到直线AB的距离； (2)求弧CD的长（结果保留π）． 【答案】(1)点C到直线AB的距离为15米，点D到直线AB的距离为20米 25π (2) 米 2 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，根据坡度的概念分别设出AC、AE、 DB、BF的长，再利用勾股定理即可求出结果； （2）连接OC，OD，根据勾股定理求OE、OF，根据全等三角形的性质求出∠DOC=90°，再利用弧 长公式计算即可． 【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F， 1 在Rt△ACE中， tanA= ， 2 ∵ 设CE=x（米），则AE=2x（米）， 由勾股定理得x2+(2x) 2=(15√5) 2 ， 解得：x =15，x =−15（舍去）， 1 2CE=15（米），AE=30（米）， ∴同理可证，在Rt△BDF中， BF=DF=20（米） 答：点C到直线AB的距离为15米，点D到直线AB的距离为20米． （2）解：连接OC，OD， AB=85（米），AE=30（米），BF=20（米）， ∵EF=85−30−20=35（米）． ∴设OE=z米，则OF=(35−z)米， 152+z2=202+(35−z) 2． ∴ 解得：z=20，即OE=20（米），OF=15（米）． 在Rt△CEO和Rt△OFD中， ¿ △CEO≌△OFD(HL)． ∴ ∠COD=90°，CO=OD=√202+152=25． ∴ 90°×2π⋅25 25π 弧CD的长= = （米）． 360° 2 ∴ 【点睛】本题考查解直角三角形的应用 坡度坡角问题、弧长的计算，掌握坡度坡角的概念并熟记锐角三 角函数的定义及弧长公式是解决问题的−关键． 5.如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜 4 坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处 5 测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差； (2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7） 【答案】(1)9m (2)24m 【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得 4 CE=CD⋅cosα=15× =12(m)，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案． 5 AF x √3 （2）过点D作DF⊥AB于F，设AF=xm，在Rt△ADF中，tan30°= = = ，解得 DF DF 3 AB x+9 DF=√3x，在Rt△ABC中，AB=(x+9)m，BC=(√3x−12)m，tan60°= = =√3，求 BC √3x−12 出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， 4 ∵在Rt△DCE中，cosα= ，CD=15m， 5 4 ∴CE=CD⋅cosα=15× =12(m)． 5 ∴DE=√CD2−CE2=√152−122=9(m)． 答：C，D两点的高度差为9m． （2）过点D作DF⊥AB于F， 由题意可得BF=DE，DF=BE，设AF=xm， AF x √3 在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan30°= = = ， DF DF 3 解得DF=√3x， 在Rt△ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m，BC=BE−CE=DF−CE=(√3x−12)m， AB x+9 tan60°= = =√3， BC √3x−12 9 解得x=6√3+ ， 2 9 ∴AB=6√3+ +9≈24(m)． 2 答：居民楼的高度AB约为24m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是 解答本题的关键． 6.如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得 楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D 在同一平面内，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） (1)求坡面BC的长度？（结果保留根号） (2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的 速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到 0.1） 【答案】(1)BC=200√3米 (2)不能；计算过程见解析 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CBE=30°，利用三角函数求出BC=200√3米即可； （2）过点B作BF⊥CD于点F，根据平行线的性质得出∠BCG=∠CBE=30°，求出BC 200√3 ∠BCF=15°+30°=45°，得出CF=BF= = =100√6（米），求出 √2 √2 BF 100√6 BD= = =200√6 ∠DBF=180°−30°−45°−45°=60°，解直角三角形得出 cos60° 1 （米）， 2 √2 200√3 200√3 求出AB=BD×cos45°=200√6× =200√3（米），求出到达山顶的时间为 + ≈20.8 2 50 25 （分），根据20.8>20，得出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： ∵B和C的水平距离为300米， ∴BE=300米， ∵∠CBE=30°， BE 300 BC= = =200√3 ∴ cos30° √3 （米）； 2 （2）解：如图，过点B作BF⊥CD于点F， ∵CG∥AB， ∴∠BCG=∠CBE=30°， ∵∠GCF=15°， ∴∠BCF=15°+30°=45°， ∵∠BFC=90°， ∴△BCF为等腰直角三角形， BC 200√3 ∴CF=BF= = =100√6（米），∠CBF=∠BCF=45°， √2 √2 ∴∠DBF=180°−30°−45°−45°=60°， ∵∠BFD=90°，BF 100√6 BD= = =200√6 ∴ cos60° 1 （米）， 2 ∵∠ABD=45°，∠BAD=90°， √2 ∴AB=BD×cos45°=200√6× =200√3（米）， 2 ∴小晴从A出发去山顶C所用时间为： 200√3 200√3 + ≈20.8（分）， 50 25 ∵20.8>20， ∴她在6:20前不能到达山顶C处． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合． 题型五：实际生活模型应用 1.图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点 F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB=BD=25 cm，CF=BF=10 cm，HG=16 cm，当 支点C与点A的距离为9 cm时，则点D到AB的距离为 cm，此时，再移动支点G，当点F 与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH= cm． 【答案】 15 3√5+2√19/2√19+3√5 【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN，勾股定理求得 FN=6，根据题意得出CN=8，根据sin∠DBM=sin∠FBN即可求解； FN 6 3 （2）由（1）可得tan∠ABD= = = ，过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F NB 8 4 作FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H，交DP于点S，则∠EDP=∠TFS，∠SDF=∠DBA 1 SF 3 依题意，tan∠EDP= ，tan∠SDF= = ，得出DS=12,FS=9，在Rt△TSF中，求得TF,在 2 DS 4 3√5 Rt△DQT中, 设TQ=a,DQ=2a，则DT=√5a，进而得出DQ=3√5，QT= ，在Rt△QFH中 2勾股定理求得QH，最后根据DH=DQ+QH，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN， ∵AB=BD=25，CF=BF=10，CA=9， 1 ∴CN=NB= (AB−AC)=8, 2 在Rt△FNB中，FN=√FB2−BN2=6 ∵∠DBM=∠FBN ∴sin∠DBM=sin∠FBN， DM FN ∴ = DB FB DB×FN 25×6 ∴DM= = =15， FB 10 故答案为：15． FN 6 3 （2）由（1）可得tan∠ABD= = = NB 8 4 如图所示， 过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F作FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H， 交DP于点S， ∵∠EDS+∠QTD=∠STF+∠TFS，∠QTD=∠STF ∴∠EDP=∠TFS，1 依题意，tan∠EDP= 2 ∵DP∥AB ∴∠SDF=∠DBA SF 3 ∴tan∠SDF= = ， DS 4 设SF=3k，则DS =4k， 在Rt△DSF中，DF=5k ∵DF=DB−FB=25−10=15， ∴k=3， ∴DS=12,FS=9， 1 ∵tan∠EDP= ，∠EDP=∠TFS 2 ST 1 ∴ = SF 2 1 9 ∴TS= FS= 2 2 9 15 ∴DT=DS−TS=12− = 2 2 9√5 在Rt△TSF中，TF=√T S2+SF2=√5TS= 2 1 DT 在Rt△DQT中，tan∠EDP=tan∠QDT= = 2 QD 设TQ=a,DQ=2a ∴DT=√5a 15 ∴ 2 3√5 a= = √5 2 3√5 ∴DQ=3√5，QT= 2 3√5 9√5 在Rt△QFH中，QF=QT+TF= + =6√5，FH=HG=16， 2 2 ∴ QH=√H F2−QF2=√162−(6√5) 2=√76=2√19 ∴DH=DQ+QH=3√5+2√19， 故答案为：3√5+2√19． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．2.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模 型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm， 且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水， 绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm． 4 200√3 【答案】 √2 9 3 【分析】过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG，利用勾股定理求出EH即可得出 2 sin∠FED= sin∠ADH= √2，再由当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作 9 FM⊥AD，垂足为M，构造Rt△FDM，Rt△ADQ，解三角形即可。 【详解】解：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG， ∵CD∥AB， ∴四边形BCDG是平行四边形， ∴BG=CD=40cm，DG=BC=120cm， ∴AG=AB−BG=80cm ∴AH2=AD2−DH2=AG2−HG2， ∴1202−(120−HG) 2=802−HG2， 80 解得：HG= (cm)（负值已舍去） 3160 280 ∴AH= √2(cm)，DH= (cm)， 3 3 160 280 √2 ∴ AH 3 4 ， 3 7 sin∠ADH= = = √2 cos∠ADH= = AD 120 9 120 9 ∵EF∥BC，DG∥BC， ∴EF∥DG， ∴∠ADH=∠FED 4 ∴sin∠FED=sin∠ADH= √2， 9 7 cos∠FED=cos∠ADH= 9 当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作FM⊥AD，垂足为M， 4 200 ∴FM=AFsin∠FED=150× √2= √2(cm)， 9 3 7 350 EM=AFcos∠FED=150× = (cm)， 9 3 ∵DE=3AE，AD=120cm， ∴DE=90(cm)， 350 80 ∴DM= −90= (cm)， 3 3 √ 200 2 80 2 ∴在Rt△FDM中，FD=√FM2+DM2= ( √2) +( ) =40√6， 3 3 ∵FD∥l， ∴∠QAD=∠MDF， ∴sin∠QAD=sin∠MDF， FM DQ ∴ = ， FD AD200 √2 ∴ 3 DQ， = 40√6 120 200√3 200√3 ∴DQ= (cm)，即则此时出水口F到桌面的距离为 cm． 3 3 4 200√3 故答案为① √2，② ． 9 3 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形 添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3.如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘 A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发 现当张角∠A'OB=108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面 的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32） 【答案】此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用平角定义 先求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A'O的 长，再利用平角定义求出∠A'OD的度数，最后在Rt△A'DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即 可解答． 【详解】解：∵∠AOB=150°， ∴∠AOC=180°−∠AOB=30°， 在Rt△ACO中，AC=11cm， ∴AO=2AC=22cm， 由题意得：AO=A'O=22cm， ∵∠A'OB=108°， ∴∠A'OD=180°−∠A'OB=72°， ∴∠OA'D=90°−∠A'OD=18°， 在Rt△A'DO中，A'D=A'O⋅cos∠OA'D=A'O⋅cos18°≈22×0.95=21cm， ∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm． 4.乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC与CD的长分别为42.0cm，42.0cm，且它们互相垂直，∠CAB=76°，AD∥BC，求车链横档AB的 长，（结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 【答案】35cm 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作 BE⊥AC于E，先证明∠CAD=∠CDA=45°，再由平行线的性质得到∠ACB=∠CAD=45°；设 AE=xcm，则CE=(42−x)cm，解Rt△ABE得到BE≈4xcm，解Rt△CBE得到BE=(42−x)cm，由 42 此建立方程得到4x=42−x，解方程得到AE= cm，再解Rt△ABE求出AB的长即可． 5 【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥AC于E， ∵AC=DC，AC⊥DC， ∴∠CAD=∠CDA=45°， ∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD=45°， 设AE=xcm，则CE=(42−x)cm， 在Rt△ABE中，BE=AE⋅tan∠BAE=AE⋅tan76°≈4xcm， 在Rt△CBE中，BE=AE⋅tan∠BCE=CE⋅tan45°=(42−x)cm， ∴4x=42−x， 42 解得x= ， 5 42 ∴AE= cm， 5 42 在Rt△ABE中， AE AE 5 ， AB= = ≈ =35cm cos∠BAE cos∠76° 0.24 ∴车链横档AB的长为35cm．