文档内容
第2讲 三角恒等变换与解三角形（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................13
【考点一】三角恒等变换..............................................................................................................13
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用..................................................................................16
【考点三】解三角形的实际应用....................................................................................................25
【专题精练】...............................................................................................................................31
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，
将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
3-❑√5
A． B． C． D．
8
6．（2023·全国·高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，
则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于D，
则 ．
三、解答题
9．（2024·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
10．（2023·全国·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
11．（2023·全国·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
12．（2023·全国·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B B D C C
1．B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
2．C
【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，由正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
3．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
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学科网（北京）股份有限公司系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
4．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
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学科网（北京）股份有限公司且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
5．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
α 1+❑√5
【详解】因为cosα=1-2sin2 = ，而 为锐角，
2 4
√3-❑√5 √(❑√5-1) 2 ❑√5-1
解得： ❑ =❑ = ．
8 16 4
故选：D．
6．C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 的值，最后利用三角
形内角和定理可得 的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
7．C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 ， ，从而得到 ，
再在 中利用余弦定理求得 ，从而求得 ，由此在 中利用余弦定理与三角形面
积公式即可得解；
法二：先在 中利用余弦定理求得 ， ，从而求得 ，再利用空间向
量的数量积运算与余弦定理得到关于 的方程组，从而求得 ，由此在 中利用余弦
定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
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学科网（北京）股份有限公司因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，
故 ，则 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，
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学科网（北京）股份有限公司因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，则
，
不妨记 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，则
②，
两式相加得 ，故 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
8．
【分析】方法一：利用余弦定理求出 ，再根据等面积法求出 ；
方法二：利用余弦定理求出 ，再根据正弦定理求出 ，即可根据三角形的特征求出．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
9．(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
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学科网（北京）股份有限公司根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
10．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 ,再由正弦定理求出 ，根据等面积法
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学科网（北京）股份有限公司求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
❑√2 3❑√10 ❑√10 2❑√5
由 =sin AcosC+cosAsinC= ( + )= ，
2 10 10 5
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
12．(1) ；
(2) .
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角
三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
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学科网（北京）股份有限公司（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
考点突破
【考点一】三角恒等变换
一、单选题
1．（2023·江苏·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C． 是函数 图象的一条对称轴
D．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，则（ ）
A．y=f (x)的最大值为2
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学科网（北京）股份有限公司B．y=f (x)的图象关于点 对称
C．y=f (x)在 上单调递增
D．直线 是y=f (x)图象的一条对称轴
三、填空题
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在 中，角 的对边分别为 ，已知
．则角 .
6．（2024·吉林白山·一模）化简 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A ACD AC
1．A
【分析】利用和差角公式展开，得到 ，即可得到
，再利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司2．A
【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.
【详解】 ，
.
故选：A
3．ACD
【分析】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B由周期计算公式可得答案；
C将 代入由A选项所得化简式中可得答案；
D由函数图象平移知识可得答案．
【详解】Ａ选项， ，故A正确；
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为 ，故B错误；
C选项，将 代入 ， 在此时得最大值，故 是函数 图象的一条对称轴，故C正
确；
D选项， 的图象向右平移 个单位得 ，故D正确．
故选：ACD
4．AC
【分析】化简得 ，分析y=f (x)的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选项.
【详解】 ,
对A：y=f (x)的最大值为2，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对B：因为 ，所以 不是y=f (x)的对称中心，故B错误；
对C：当 时， ，而 在 上为增函数，故y=f (x)在 上单调递
增，故C正确；
对D： ，所以直线 不是y=f (x)图象的一条对称轴，故D错误；
故选：AC
5．
【分析】利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可.
【详解】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因为在 中， ，
，
即 ，
即 ，
因为在 中， ,
所以 ，所以 .
故答案为： .
6．2
【分析】运用降幂公式将 化成 ，整理后再用诱导公式将 化成 ，化简即得.
【详解】 ．
故答案为：2.
核心梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
18 / 53
学科网（北京）股份有限公司(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用
一、单选题
1．（2024·广东江门·一模）在 中， ， ，则角A的大小为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和
游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线
长为 m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为 的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·浙江·期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，
，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 是锐角三角形
D． 的最大内角是最小内角的 倍
4．（23-24高一下·江苏南京·期中）对于 有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．若 ，则 的面积为
C．在锐角 中，不等式 恒成立
D．若 且 有两解，则 的取值范围是
三、填空题
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆 ， 、 分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长
轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得 平分 ．过点D作 、 的垂线，垂足分别为A、
B．则 的最大值是 ．
6．（23-24高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为 ，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁
从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题
7．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
8．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
9．（2024·北京东城·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 为 边的中点，且 ，求 的值.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C AC ACD
1．D
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ，
由于 ，故 ，则 或 ，
故A的大小为 或 ，
故选：D
2．C
【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.
【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为 ，
因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为 ，面积为 的等腰三角形，
所以 ，解得 ，则 或 （舍去），
由 得 ， ，
则上半部分的体积为 ，下半部分体积为 ，
故蒙古包的体积为 .
故选：C.
3．AC
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选
项.
【详解】对于A，由正弦定理可得 ，A对；
对于B，由余弦定理可得 ， ，
，
所以， ，B错；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 ，则 为最大角，又因为 ，则 为锐角，故 为锐角三角形，C对；
对于D，由题意知， 为最小角，则 ，
因为 ，则 ，则 ，D错.
故选：AC.
4．ACD
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合
图象，根据边角的关系与解的数量判断D.
【详解】选项A： 中，若 ，
即 ，所以由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，所以 ， 为钝角三角形，A说法正确；
选项B： 中，若 ，则由正弦定理得 ，解得 ，
所以 或 ，所以 或 ， 的面积 或 ，B说法错
误；
选项C：因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
又因为 在 单调递增，所以 ，C说法正确；
选项D：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司若 有两解，则 ，解得 ，D说法正确；
故选：ACD
5． /0.1875
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得 ，再利用均值不等
式求解作答.
【详解】设 ，依题意， ， ，由 ，
得 ，即 ，
，
椭圆 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即有 ，
24 / 53
学科网（北京）股份有限公司则 ，
因此
，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值是 .
故答案为：
6．
【分析】将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，过P作AB的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的
直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故
MB为下坡路段，求出即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为 ，故圆心角∠APB＝ ，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝ ＝ ，
cos∠PBA＝ ＝ ；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， .
7．(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得 ，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由 可得： ，所以 ，
所以 ，
，
，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
26 / 53
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
所以
，又 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到 ，最后由正
弦定理将角化边；
（2）由余弦定理得到 ，利用面积公式求出 ，即可得到 、 ，从而得解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ；
（2）由题意得 ， ，
由余弦定理得 ，
解得 （负值舍去），
因为 边上的高为 ，
所以 ，
则 ，所以 ， ，
27 / 53
学科网（北京）股份有限公司故 的周长 ．
9．(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦定理可得 ，结合三角和为 及诱导公式可得 ，即
可得答案；
（2）在 中，由正弦定理可求得 ，从而可得 ，在 中，利用余弦定理求解
即可.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ， ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，又因为 ，
所以 ；
（2）解：因为 为 边的中点， ，
所以 ,
设 ,
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，
即 .
核心梳理：
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin
C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
【考点三】解三角形的实际应用
一、单选题
1．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2024·广东梅州·一模）已知 是锐角三角形，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为
的面积， ，则 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的三边 一定构成等差数列
B． 的三边 一定构成等比数列
C． 面积的最大值为
D． 周长的最大值为
4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形 置于平面直角坐标系中， ， 为 轴
上方一点，设 中 的对边分别为 且 ，则 的外心纵坐标可能落
在以下（ ）区间内.
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 通过路口 后转向西北方向 ，
围绕道路 打造了一个半径为 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道 ，则 的
最小值为 ．
6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： )进行测量，方案如下：如
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学科网（北京）股份有限公司图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 和 ( )，多次测量相关数
据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ；多次测量取平均值是
中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 近似满足 ，
为使误差 在 的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占 ，
则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D A BC BD
1．D
【分析】利用余弦定理将 化简为 ，从而可求解.
【详解】由 ，得 ，
化简得 ，
当 时，即 ，则 为直角三角形；
当 时，得 ，则 为等腰三角形；
综上： 为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
2．A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先求得 ，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简 ，利用三角函数值域的求
法求得正确答案.
【详解】依题意， ，
，
由 解得 .
，
由于三角形 是锐角三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
3．BC
【分析】根据三角恒等变换可得 ，即可结合中项的性质判断AB，结合余弦定理以及基本不等式即
可求解CD.
【详解】在 中，由 ，得 ．
所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．又 ，所以 ，
所以 ．由正弦定理得 ，即 成等比数列．
取 适合题意，但此时三边 不构成等差数列，A错误， 正确．
由 及余弦定理得 （ 时取等号）．
因为 ．所以 ．所以 ．
又 ，所以 ，
所以 的面积 ，C正确．
由 及 ，可得 ，
即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，D错误．
故选:BC．
4．BD
【分析】利用余弦定理求得 ，然后可得 ，利用二次函数性质求出 的范围，结合已
知可得 ，结合平方关系和正弦定理求出半径范围，即可求纵坐标范围.
【详解】由题知， ， ，由余弦定理得 ，
又 ，解得 ，同理： ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由二次函数性质可得 ，即 ，
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ，
即外接圆半径为 ，则 ，即 ，
由外心定义可知， 的外心在 轴上，
记 的外心纵坐标为 ，则 ，
因为 与 和 交集非空，与 和 交集为空间，
所以BD正确，AC错误.
故选：BD
5．
【分析】在 中，利用余弦定理结合基本不等式可得 ，利用正弦定理可得
，利用三角函数的有界性建立不等式，即可求解.
【详解】如图，设切点为 ，连接 ．由题意得 ，
设 ，
在 中，
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学科网（北京）股份有限公司,
当且仅当 时取等号．
设 ，则 ，
所以 ，
故
（当且仅当 时取等号），
所以 ，
解得 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： .
6． (也可以写成 ) 72
【分析】再 中由正弦定理可得 ，在 中求解即可；由正态分布的3 原则建立不等式
求解即可.
【详解】（1）在 中， ， ，
在 中， .
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学科网（北京）股份有限公司(结果还可以是 )
（2）由于 ，因此 ，
所以 ，
故至少要测量72次.
故答案为： (也可以写成 )；72
【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解 原则，学会利用 原则求解相关问题，属于
中档题.
核心梳理：
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的解．
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形实际问题的步骤
专题精练
一、单选题
1．（2023·江苏南通·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
3．（2023·河南·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位
长度后得到函数 的图象．若 是函数 的一个极值点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线AD的长为3，则 的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
6．（2023·青海·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若 的面积是
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三·湖南娄底·阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司8．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A
处测得 ，沿土坡向坡顶前进 后到达D处，测得 ．已知旗杆
，土坡对于地平面的坡角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·一模）已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ）
A．函数 的图像关于点 对称
B．函数 在 有且仅有2个极值点
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则
10．（2023·湖南·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 轴对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的所有零点为
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学科网（北京）股份有限公司D． 是以 为周期的函数
11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． 在 上有两个零点
B． 在 上单调递增
C． 在 的最大值是1
D． 的图像可由 向右移动 得到
三、填空题
12．（22-23高三下·福建南平·阶段练习）已知 为锐角， ，则 ．
13．（2023·江苏·三模）如图，在 ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形
△
BCHG．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知 ，且asinA＋csinC＝
4asinCsinB，则FH＝ ．
14．（2024·广东·一模） 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 ，D为边
AB上一点，CD平分 ， ，则 ．
四、解答题
15．（2021·天津·高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
16．（2024·河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
17．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)求 的取值范围.
18．（2023·广东广州·二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
19．（2023·江苏南通·一模）在 中， 的对边分别为 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的平分线 交 于点 ，求 长度的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D A A B D ABD AC
题号 11
答案 AB
1．B
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
所以 ，
所以
故选:B.
2．C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．A
【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到 ，利用平移变换得到
，再根据 是函数 的一个极值点，即当 时，函数 取得最值求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，化简得 ，
所以 ．
又 是函数 的一个极值点，
所以当 时，函数 取得最值，
所以 ，
解得 ．
因为 ，
所以 ．
故选：A．
4．D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
5．A
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得 ，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：A.
6．A
【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以 ，则 ．
故选：A
7．B
【分析】根据二倍角公式将 化简得到 ，利用余弦定理和正弦定理将
化简可得 ，进而求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 .
设 的外接圆的半径为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的外接圆的面积为 .
故选：B.
8．D
【分析】先在 中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出 ，化
简可得.
【详解】在 中，由正弦定理可得
在 中，易知 ，
则
整理可得
故选：D
9．ABD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用函数图象的对称性求出 ，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意， ，即 ，而 ，则 ， ，
对于A，因为 ，于是函数 的图像关于点 对称，A正确；
对于B，当 时， ，而正弦函数 在 上有且只有两个极值点，
所以函数 在 有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为 ，又 ，因此 中一个为函数 的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数 的周期为 ，所以 的最小值为 ，C错误；
对于D，依题意， ，
则
，因此 ，D正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角
公式运算求解；对于D：举例说明即可.
【详解】对于A：因为 ，
所以 的图象关于直线 轴对称，故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 的图象不关于点 中心对称，B错误.
对于C：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司注意到 ，
令 ，得 ，即 ，
故 的所有零点为 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 不是 的周期，故D错误；
故选：AC.
11．AB
【分析】利用降幂公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得 ，根据余弦型函
数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
，
A选项，令 ，
所以 在 上有两个零点 .故A正确；
B选项，令 ，
所以 的单调递增区间 ，
令k=0，可得一个递增区间为 ，且 ，所以B正确；
C选项，因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 ，即 时， ，所以C错误；
D选项， 向右移动 ，则
，所以D错误.
故选：AB
【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较强，属中档题.
12．
【分析】利用三角恒等变换求得 ，从而得到 ，由此结合角 的范围即可得
解.
【详解】因为
，
所以 ，
又因为 为锐角，
所以 .
故答案为：
13．
【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出 的长度.
【详解】由题意，
在 中， ， ，
由正弦定理， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司连接 如下图所示，
在 中，
由余弦定理， ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： .
14． /
【分析】由正弦定理化简已知式可得 ，即 ，再由CD平分 ，即
，将三角形的面积公式代入化简即可得出答案.
【详解】因为 ，由正弦定理可得：
，因为 ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，又CD平分 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，
所以 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司15．（I） ；（II） ；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得 ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，且 ，
所以 ；
（2）根据正弦定理， ，
所以 或 ，
当 时， ， ，此时 ，不成立，
当 时，此时 ，则 ，
的面积 .
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化边为角化简即得三角方程，解之即得；
（2）先用三角降幂公式降次，再通过（1）求得的 进行消元，化简得到余弦型函数，再利用锐角三
角形条件，求得角 的范围，最后利用余弦型函数的值域即得.
【详解】（1）因为 ，
由余弦定理， ，
整理得： ，
又由正弦定理， ，而A为三角形内角，故 ，
故 ，而C为锐角三角形内角，故
（2）由（1）知 ，
50 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
因为三角形为锐角三角形，故 ，解得： ，
则 ，故 ，所以 .
故 的取值范围是 .
18．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得出 ，可求出 的值，再结合角 的取值范围可求得
角 的值；
（2）求出 、 的值，设 ，则 ，分别在 和 中，利用正弦定理
结合等式的性质可得出 、 的等式，即可求得 的值，即为所求.
【详解】（1）解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
51 / 53
学科网（北京）股份有限公司（2）解：因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得出 ，再由余弦定理求得结果；
（2）设 ，把 表示成两个三角形的面积和，表示出 ，再求其取值范围；
【详解】（1）已知 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，
，
，
，
， 即 ，
.
（2）由（1）知 ，由 ，则 .
设 ， ，
， ，
.
53 / 53
学科网（北京）股份有限公司
