北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.2 三角恒等变换
一、选择题
1.(2022届山西模拟,5)已知sin α=3,且α为锐角,则cos( π)=( )
α+
5 4
7√2 √2
A.- B.-
10 10
√2 7√2
C. D.
10 10
答案 C 因为sin α=3,且α为锐角,所以cos α=4,所以cos( π)=
α+
5 5 4
π π 4 √2 3 √2 √2
cos αcos -sin αsin = × - × = .故选C.
4 4 5 2 5 2 10
1
2.(2022届安徽蚌埠测试,5)若tan α= ,则sin 2α=( )
2
4 3 4 3
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
1
2×
1 2sinαcosα 2tanα 2 4
答案 C ∵tan α= ,∴sin 2α= = = = .
2 sin2α+cos2α 1+tan2α (1) 2 5
1+
2
3.(2022届合肥联考,6)已知2sin x+cos x=0,则cos 2x+sin 2x=( )
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
1
答案 C ∵2sin x+cos x=0,显然cos x≠0,∴tan x=- ,
2
( 1) 2 ( 1)
1- - +2× -
∴cos 2x+sin 2x=cos2x-sin2x+2sinxcosx=1-tan2x+2tanx= 2 2 =-1.
sin2x+cos2x 1+tan2x ( 1) 2 5
1+ -
2
故选C.
4.(2021江西三校联考(一),8)若sin(π )=√2,则sin(π )=( )
+α -2α
6 4 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3 3 √7 √2
A.- B. C. D.
4 4 4 4
答案 B 由cos [ 2 (π +α )] =1-2sin2(π +α )=1-2×(√2) 2 = 3 ,得cos(π +2α )= 3 ,因为(π +2α )+
6 6 4 4 3 4 3
(π )=π,
-2α
6 2
所以sin(π -2α )=sin [π - (π +2α )] =cos(π +2α )= 3 .故选B.
6 2 3 3 4
5.(2022届昆明第一中学检测,4)√3sin 15°+sin 75°=( )
√2+√6
A.1 B.√2 C. D.2
4
答案 B √3sin 15°+sin 75°=√3sin 15°+cos 15°=2sin(15°+30°)=√2.故选B.
6.(2022届湘豫名校联盟11月联考,4)已知sin4α-cos4α=1,α∈( π),则cos( π)=( )
0, 2α+
3 2 4
4+√2 4-√2 -4+√2 -4-√2
A. B. C. D.
6 6 6 6
答案 D sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=-cos 2α=1,所以cos 2α=-1,因为α∈( π),所以
0,
3 3 2
2α∈(0,π),sin 2α= =2√2,所以cos( π)=√2·(cos 2α-
√1-cos22α 2α+
3 4 2
sin 2α)=√2×( 1 2√2)=-4-√2.故选D.
- -
2 3 3 6
2 1 tanα
7.(2021成都二诊,5)已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则 的值为( )
3 3 tanβ
1 1
A.- B. C.-3 D.3
3 3
2 2 1
答案 D 由sin(α+β)= 得sin αcos β+cos αsin β= ①,由sin(α-β)= 得sin αcos β-
3 3 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1 1 tanα sinα cosβ
cos αsin β= ②,由①+②得sin αcos β= ,由①-②得cos αsin β= .则 = · =
3 2 6 tanβ cosα sinβ
1
sinαcosβ 2
= =3,故选D.
cosαsinβ 1
6
4 5
8. (2021河南六市二模,7)将射线y= x(x≥0)按逆时针方向旋转角θ到射线y=- x(x≤0)的位置,
3 12
则cos θ=( )
16 16 56 56
A.- B.± C.- D.±
65 65 65 65
4 4 3 5
答案 A 设y= x(x≥0)的倾斜角为α,则sin α= ,cos α= ,设射线y=- x(x≤0)的倾斜角为β,
3 5 5 12
则sin β= 5 ,cos β=-12,∴cos θ=cos(β-α)=cos αcos β+sin αsin β=3×( 12)+4× 5 =-16.故选A.
-
13 13 5 13 5 13 65
9.(2022届广西柳州铁一中“韬智杯”大联考,7)已知sin( π)=1,则sin( π)的值为 ( )
α+ 2α+
3 3 6
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
9 3 3 9
答案 D 因为cos( 2π)=1-2sin2( π)=7,
2α+ α+
3 3 9
所以sin( π)=-cos( π π)=-7,故选D.
2α+ 2α+ +
6 6 2 9
10.(2022届湖南名校10月联考,8)若α∈(π ), cos 2α+sin(2 021π )=0,则tan 2α= ( )
,π √2 -α
2 4
3√7 √7 3√7 √7
A. B. C.± D.±
7 4 7 4
答案 A cos 2α+sin(2 021π )= cos 2α+sin(5π )= (cos2α-sin2α)-√2(cos α-
√2 -α √2 -α √2
4 4 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
sin α)= (cos α-sin α)·( 1)=0,∵α∈(π ),∴cos α-sin α<0,∴cos α+
√2 cosα+sinα- ,π
2 2
sin α=1>0,∴α∈(π 3π),则2α∈( 3π),∴(cos α+sin α)2=1+sin 2α=1,∴sin 2α=-3,
, π,
2 2 4 2 4 4
√7 3√7
cos 2α=-√1-sin22α=- ,∴tan 2α= .故选A.
4 7
二、填空题
11.(2022届河南焦作模拟,5)已知sin( π )=3,则cos( π)= .
α+ 2α+
12 5 6
7
答案
25
解析 因为sin( α+ π )= 3 ,所以cos( 2α+ π)=cos [ 2 ( α+ π )] =1-2sin2( α+ π )= 7 .
12 5 6 12 12 25
12. (2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ= ,tan( π)= .
θ-
4
3 1
答案 - ;
5 3
解析 因为tan θ=2,
π
tanθ-tan
cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 1-4 3 ( π) 4 2-1
所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ= = = =- ,tan θ- = =
cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 1+4 5 4 π 1+2
1+tanθtan
4
1
= .
3
13.(2022届四川绵阳月考,15)已知β∈(π ),sin β=1,若3sin(α+2β)=sin α,则tan(α+β)= .
,π
2 3
√2
答案
2
解析 由β∈(π ),sin β=1知cos β=- =-2√2,∴tan β=-√2.
,π √1-sin2β
2 3 3 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∵3sin(α+2β)=sin α,∴3sin[(α+β)+β]=sin[(α+β)-β],
即3sin(α+β)cos β+3cos(α+β)sin β=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β,
整理得2sin(α+β)cos β=-4cos(α+β)sin β,即tan(α+β)=-2tan β.
√2 √2
又∵tan β=- ,∴tan(α+β)= .
4 2
14.(2022届北京市东直门中学期中,14)若sin(π )=3,则sin 2α= .
-α
4 5
7
答案
25
解析 因为2α= π -2×(π -α ),所以sin 2α=sin [π -2× (π -α )] =cos [ 2× (π -α )] =cos2(π -α )-
2 4 2 4 4 4
sin2(π )=1-2sin2(π ),又因为sin(π )=3,所以sin 2α=1-2×(3) 2 = 7 .
-α -α -α
4 4 4 5 5 25
15.(2022届北大附中10月月考,11)若tan(π )=-1,则tan α的值为 .
+α
4 2
答案 -3
π
tan +tanα
(π ) 4 1+tanα 1
解析 tan +α = = =- ,即-1+tan α=2+2tan α,解得tan α=-3.
4 π 1-tanα 2
1-tan ·tanα
4
16.(2022届清华附中10月月考,12)若α∈( π),cos( π)=-4,则sin α= .
0, α+
2 3 5
3+4√3
答案
10
解析 因为α∈( 0, π),所以α+ π ∈(π , 5 π ),则sin( α+ π)=√ 1-cos2( α+ π)=√ 1- ( - 4) 2 = 3
2 3 3 6 3 3 5 5
,
所以sin α=sin [( α+ π) - π] =sin( α+ π)cos π -cos( α+ π)sin π = 3 × 1 + 4 ×√3=3+4√3.
3 3 3 3 3 3 5 2 5 2 10北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
√5 √10
17.(2022届北京三中期中,13)已知α,β都是锐角,若sin α= ,sin β= ,则α+β= .
5 10
π
答案
4
√5 √10
解析 ∵α,β为锐角,且sin α= ,sin β= ,
5 10
2√5 3√10
∴α+β∈(0,π),且cos α=√1-sin2α= ,cos β=√1-sin2β= ,∴cos(α+β)
5 10
2√5 3√10 √5 √10 √2 π
=cos αcos β-sin αsin β= × - × = ,∵α+β∈(0,π),∴α+β= .
5 10 5 10 2 4
三、解答题
18.(2022届哈尔滨期中,19)已知向量m=(2,sin α),n=(cos α,-1),其中α∈( π),且m⊥n.
0,
2
(1)求sin 2α和cos 2α的值;
(2)若sin(α-β)=√10,且β∈( π),求角β.
0,
10 2
解析 (1)∵m⊥n,∴m·n=0,即2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α.代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1.
又α∈( π),则cos α=√5,∴sin α=2√5.
0,
2 5 5
2√5 √5 4 1 3
则sin 2α=2sin αcos α=2× × = ,cos 2α=2cos2α-1=2× -1=- .
5 5 5 5 5
(2)∵α∈( π),β∈( π),∴α-β∈( π π).
0, 0, - ,
2 2 2 2
√10 3√10
又sin(α-β)= ,∴cos(α-β)= .
10 10
2√5 3√10 √5 √10 √2
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)= × - × = .
5 10 5 10 2
由β∈( π),得β=π.
0,
2 4
