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2025新教材数学高考第一轮复习
5.2 三角恒等变换
五年高考
考点 三角恒等变换
π 5π
1.(2021全国乙文,6,5分,中)cos2 −cos2 = ( )
12 12
1 √3
A. B.
2 3
√2 √3
C. D.
2 2
1+√5 α
2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( )
4 2
3−√5 −1+√5
A. B.
8 8
3−√5 −1+√5
C. D.
4 4
1 1
3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( )
3 6
7 1
A. B.
9 9
1 7
C.- D.−
9 9
4.(2020课标Ⅲ文,5,5分,中)已知sin θ+sin( π)=1,则sin( π)= ( )
θ+ θ+
3 6
1 √3
A. B.
2 3
2 √2
C. D.
3 2
5.(2020课标Ⅰ理,9,5分,中)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
√5 2
A. B.
3 3
1 √5
C. D.
3 9
6.(2019课标Ⅱ,11,5分,中)已知α∈( π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
0,
21 √5
A. B.
5 5
√3 2√5
C. D.
3 5
7.(2021全国甲理,9,5分,中)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α=( )
0,
2 2−sinα
√15 √5
A. B.
15 5
√5 √15
C. D.
3 3
8.(2021浙江,8,4分,难)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α
1
三个值中,大于 的个数的最大值是 ( )
2
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2020江苏,8,5分,易)已知sin2(π ) 2,则sin 2α的值是 .
+α =
4 3
10.(2018课标Ⅱ理,15,5分,中)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
π
11.(2022 浙江,13,6 分,中)若 3sin α-sin β=√10,α+β= ,则 sin α= ,cos 2β=
2
.
tanα 2
=−
( π)
12.(2019江苏,13,5分,中)已知 ( π) 3,则sin 2α+ 的值是 .
tan α+ 4
4
三年模拟
综合基础练
√5+1
1.(2024届陕西西安阎良关山中学质量检测,9)已知sin 126°= ,则sin 18°= ( )
4
3−√5 3−√5 √5−1 √5−1
A. B. C. D.
4 8 8 4
√5 1
2.(2023广东佛山一模,3)已知sin α= ,α为钝角,tan(α-β)= ,则tan β=( )
5 3
A.1 B.-1 C.2 D.-2α
1−tan
4 2
3.(2023江西五市九校协作体联考,3)若cos α=- ,α是第三象限的角,则 = ( )
5 α
1+tan
2
1 1
A.2 B. C.−2D.−
2 2
( π)
1−tan α−
4.(2023湖南长沙适应性测试,6)若 4 1,则cos 2α的值为 ( )
=
( π) 2
1+tan α−
4
3 3 4 4
A.- B. C.− D.
5 5 5 5
5.(2024届湖南部分学校第三次联考,6)设α∈( π),β∈( π),且tan α+tan β= 1 ,则(
0, 0,
2 2 cosβ
)
π π
A.2α+β= B.2α−β=
2 2
π π
C.2β-α= D.2β+α=
2 2
6.(2024届浙江名校联盟模拟(一),8)已知α∈(0,π),若√3(sin α+sin 2α)+cos α-cos 2α=0,则sin
( π ) = ( )
α−
12
√2 √3 √6+√2 √6−√2
A. B. C. D.
2 2 4 4
7.(多选)(2024届浙江名校联盟模拟(一),10)下列化简正确的是( )
√3
A.sin275°-cos275°=-
2
1 √3
B. cos 50°+ sin 50°=sin 70°
2 2
1
C.sin 18°cos 36°=
4
D.tan 75°=2+√3
sinα cosα
+
8.(2024届福建师大附中月考,15)写出一个使等式 ( π) ( π)=2成立的α的值:
sin α+ cos α+
6 6.
9.(2024届河南TOP二十名校调研(三),19)已知π 3π,sin(π ) 1.
<α< −α =−
4 4 4 2
(1)求cos α的值;
(2)若0<β<π,cos(π
)
3,求cos(2α+β)的值.
+β =
4 4 5
5.2 三角恒等变换
五年高考
考点 三角恒等变换
π 5π
1.(2021全国乙文,6,5分,中)cos2 −cos2 = ( )
12 121 √3
A. B.
2 3
√2 √3
C. D.
2 2
答案 D
1+√5 α
2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( )
4 2
3−√5 −1+√5
A. B.
8 8
3−√5 −1+√5
C. D.
4 4
答案 D
1 1
3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( )
3 6
7 1
A. B.
9 9
1 7
C.- D.−
9 9
答案 B
4.(2020课标Ⅲ文,5,5分,中)已知sin θ+sin( π)=1,则sin( π)= ( )
θ+ θ+
3 6
1 √3
A. B.
2 3
2 √2
C. D.
3 2
答案 B
5.(2020课标Ⅰ理,9,5分,中)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
√5 2
A. B.
3 3
1 √5
C. D.
3 9
答案 A
6.(2019课标Ⅱ,11,5分,中)已知α∈( π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
0,
2
1 √5
A. B.
5 5√3 2√5
C. D.
3 5
答案 B
7.(2021全国甲理,9,5分,中)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α=( )
0,
2 2−sinα
√15 √5
A. B.
15 5
√5 √15
C. D.
3 3
答案 A
8.(2021浙江,8,4分,难)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α
1
三个值中,大于 的个数的最大值是 ( )
2
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
9.(2020江苏,8,5分,易)已知sin2(π ) 2,则sin 2α的值是 .
+α =
4 3
1
答案
3
10.(2018课标Ⅱ理,15,5分,中)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
1
答案 -
2
π
11.(2022 浙江,13,6 分,中)若 3sin α-sin β=√10,α+β= ,则 sin α= ,cos 2β=
2
.
3√10 4
答案 ;
10 5
tanα 2
=−
( π)
12.(2019江苏,13,5分,中)已知 ( π) 3,则sin 2α+ 的值是 .
tan α+ 4
4
√2
答案
10
三年模拟
综合基础练√5+1
1.(2024届陕西西安阎良关山中学质量检测,9)已知sin 126°= ,则sin 18°= ( )
4
3−√5 3−√5 √5−1 √5−1
A. B. C. D.
4 8 8 4
答案 D
√5 1
2.(2023广东佛山一模,3)已知sin α= ,α为钝角,tan(α-β)= ,则tan β=( )
5 3
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案 B
α
1−tan
4 2
3.(2023江西五市九校协作体联考,3)若cos α=- ,α是第三象限的角,则 = ( )
5 α
1+tan
2
1 1
A.2 B. C.−2D.−
2 2
答案 C
( π)
1−tan α−
4.(2023湖南长沙适应性测试,6)若 4 1,则cos 2α的值为 ( )
=
( π) 2
1+tan α−
4
3 3 4 4
A.- B. C.− D.
5 5 5 5
答案 A
5.(2024届湖南部分学校第三次联考,6)设α∈( π),β∈( π),且tan α+tan β= 1 ,则(
0, 0,
2 2 cosβ
)
π π
A.2α+β= B.2α−β=
2 2
π π
C.2β-α= D.2β+α=
2 2
答案 A
6.(2024届浙江名校联盟模拟(一),8)已知α∈(0,π),若√3(sin α+sin 2α)+cos α-cos 2α=0,则sin
( π ) = ( )
α−
12√2 √3 √6+√2 √6−√2
A. B. C. D.
2 2 4 4
答案 C
7.(多选)(2024届浙江名校联盟模拟(一),10)下列化简正确的是( )
√3
A.sin275°-cos275°=-
2
1 √3
B. cos 50°+ sin 50°=sin 70°
2 2
1
C.sin 18°cos 36°=
4
D.tan 75°=2+√3
答案 CD
sinα cosα
+
8.(2024届福建师大附中月考,15)写出一个使等式 ( π) ( π)=2成立的α的值:
sin α+ cos α+
6 6
.
π 2k+1 π
答案 答案不唯一,只需满足α= π− (k∈Z)即可
8 4 8
9.(2024届河南TOP二十名校调研(三),19)已知π 3π,sin(π ) 1.
<α< −α =−
4 4 4 2
(1)求cos α的值;
(2)若0<β<π,cos(π
)
3,求cos(2α+β)的值.
+β =
4 4 5
解析 (1)因为π 3π,所以π ( π ),
<α< −α∈ − ,0
4 4 4 2
又sin(π ) 1,所以cos(π ) √3.
−α =− −α =
4 2 4 2
所以cos α=cos[π (π )]
− −α
4 4
=cosπ (π ) π (π ) √6−√2.
cos −α +sin sin −α =
4 4 4 4 4(2)由(1),得sin α=
√1−cos2α=
√
1−
(√6−√2) 2
=
√6+√2,
4 4
cos 2α=2cos2α-1=2×(√6−√2) 2 √3,
−1=−
4 2
1
所以sin 2α=2sin αcos α= ,
2
因为0<β<π,所以π (π π),
+β∈ ,
4 4 4 2
又cos(π ) 3,所以sin(π ) 4,
+β = +β =
4 5 4 5
所 以 cos β=cos[(π ) π] (π ) π (π ) π 7√2,sin β=
+β − =cos +β cos +sin +β ·sin =
4 4 4 4 4 4 10
√ (7√2) 2 √2.
1− =
10 10
所以cos(2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β
=( √3) 7√2 1 √2 7√6+√2.
− × − × =−
2 10 2 10 20
