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5.2 三角恒等变换
考点清单
学生用书P34 知识结构化 考点清单化
考点 三角恒等变换 ４.常见公式的变形
两角和与差的正切公式的变形
１.两角和与差的三角函数公式 (１)
α β α β α β
α β α β α β ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ( ＋ )(１－ｔａｎ ｔａｎ )ꎻ
ｓｉｎ( ＋ )＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ꎻ(Ｓα ＋ β) α β α β α β .
α β α β α β ｔａｎ －ｔａｎ ＝ｔａｎ( － )(１＋ｔａｎ ｔａｎ )
ｓｉｎ( － )＝ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ꎻ(Ｓα － β) 升幂公式
α β α β α β (２)
ｃｏｓ( ＋ )＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ(Ｃα ＋ β) α α
α β α β α β α ２ α ２ .
ｃｏｓ( － )＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ(Ｃα － β) １＋ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ ꎻ１－ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ
α β ２ ２
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ 降幂公式
ｔａｎ( ＋ )＝ α βꎻ(Ｔα ＋ β) (３)
１－ｔａｎ ｔａｎ α α
α β ２α １－ｃｏｓ２ ２α １＋ｃｏｓ２ .
α β ｔａｎ －ｔａｎ . ｓｉｎ ＝ ꎻｃｏｓ ＝
ｔａｎ( － )＝ α β (Ｔα － β) ２ ２
１＋ｔａｎ ｔａｎ 其他常用变形
２.二倍角公式 (４)
α α α
α α α α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ꎻ(Ｓ２ α) ｓｉｎ２ ＝ ２α ２α＝ ２α ꎻ
ｃｏｓ２
α
α ＝ｃ
２
ｏ
ｔ
ｓ
ａ
２
ｎ
α －
α
ｓｉ
.
ｎ ２α ＝２ｃｏｓ ２α －１＝１－２ｓｉｎ ２α ꎻ(Ｃ２ α)
ｃｏｓ２ α ＝
ｓ
ｃ
ｉ
ｏ
ｎ
ｓ
２
２
α
α
＋
－
ｃ
ｓ
ｏ
ｉｎ
ｓ ２
２
α
α＝
ｔ
１
ａ
－
ｎ
ｔａｎ
＋
２
２ １
α
α
ꎻ
ｔａｎ２ ＝
１－ｔａｎ
２α(Ｔ２ α) ｃｏ
(
ｓ ＋
α
ｓｉｎ １
α
＋ｔ
)
ａｎ
２
３.辅助角公式
１±ｓｉｎ
α
＝ ｓｉｎ ±ｃｏｓ ꎻ
２ ２
ａ
ａ ｓｉｎ α ＋ ｂ ｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ｓｉｎ( α ＋ φ )ꎬ 其中 ｃｏｓ φ ＝ ａ２ ｂ２ ꎬｓｉｎ φ ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α α＝ １－ｃｏｓ α α .
＋ ２ １＋ｃｏｓ ｓｉｎ
ｂ
.
＝
ａ２ ｂ２
＋
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师 用
书
︶
８０
题型方法
学生用书P35 题型经典 方法实用
三角函数式的化简、求值 的某一三角函数值 再利用该三角函数值结合所求角的范围求
ꎬ
１.三角函数式的化简原则 得角.
例 ° °
(１)ｓｉｎ４０ (ｔａｎ１０ － ３)＝ ( )
１ ３ ３
Ａ.－ Ｂ.－１ Ｃ. Ｄ.－
２ ２ ３
已知α β都是锐角 α β ５ α β ３ 则 α
(２) 、 ꎬｃｏｓ( ＋ )＝ ꎬｓｉｎ( － )＝ ꎬ ｓｉｎ ＝
１３ ５
( )
９ １３０ ７ １３０ ７ ６５ ４ ６５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１３０ １３０ ６５ ６５
[ ]
若 α ５ β α １０ 且 α π β
２.三角函数式化简的方法 (３) ｓｉｎ ２ ＝ ꎬｓｉｎ( － )＝ ꎬ ∈ ꎬπ ꎬ ∈
５ １０ ４
化简三角函数式的常见方法有弦切互化 异名化同名 异角化 [ ]
ꎬ ꎬ ３π 则α β的值是
同角 降幂与升幂等. πꎬ ꎬ ＋ ( )
ꎬ ２
３.三角函数式求值的基本步骤
７π ９π ５π或７π ５π或９π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
先化简所求式子或所给条件 ４ ４ ４ ４ ４ ４ (１) ꎻ
观察已知条件与所求式子之间的联系 解析 ° °
(２) ꎻ (１)ｓｉｎ４０ (ｔａｎ１０ － ３)
将已知条件代入所求式子 然后求值. ° ° °
(３) ꎬ ｓｉｎ４０ (ｓｉｎ１０ － ３ｃｏｓ１０ )
４.三角函数式求值的基本类型 ＝ °
ｃｏｓ１０
° ° ° ° ° °
给角求值 化为特殊角的三角函数值 化为正 负相消 ｓｉｎ４０ ２ｓｉｎ(１０ －６０ ) －２ｓｉｎ４０ ｃｏｓ４０ ｓｉｎ８０
(１) :① ꎻ② 、 ＝ ° ＝ ° ＝ － ° ＝
的项 消去求值 化分子 分母 使其出现公约数 然后约分 ｃｏｓ１０ ｃｏｓ１０ ｃｏｓ１０
ꎬ ꎻ③ 、 ꎬ ꎬ °
求值. ｃｏｓ１０ .故选 .
－ °＝－１ Ｂ
给值求值 解题的关键在于 变角 如α α β β α ｃｏｓ１０
(２) : “ ”ꎬ ＝( ＋ )－ ꎬ２ ＝
( α ＋ β )＋( α － β ) 等 ꎬ 把待求三角函数值的角用含已知角的式子 (２)∵ α 、 β都是锐角 ꎬ∴０< α ＋ β <πꎬ－ π ２ < α － β < π ２ .又 ∵ ｃｏｓ( α ＋
表示出来 求解时要注意对角的范围的讨论.
ꎬ β ５ α β ３ α β １２ α β ４ 则
给值求角 实质上可转化为 给值求值 问题 先求所求角 )＝ ꎬｓｉｎ( － )＝ ꎬ∴ ｓｉｎ( ＋ )＝ ꎬｃｏｓ( － )＝ ꎬ
(３) : “ ” ꎬ １３ ５ １３ ５
α α β α β α β α β α β [ ] [ ]
ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ[( ＋ )＋( － )]＝ｃｏｓ( ＋ )ｃｏｓ( － )－ｓｉｎ( ＋ ) ３π β α π ５π 又 β α １０ β
πꎬ ꎬ∴ － ∈ ꎬ ꎬ ∵ ｓｉｎ( － )＝ ꎬ∴ ｃｏｓ( －
α β ５ ４ １２ ３ １６. α ２α １６ ２ ２ ４ １０
ｓｉｎ( － )＝ × － × ＝－ ∵ ｃｏｓ２ ＝１－２ｓｉｎ ＝－ ꎬ
１３ ５ １３ ５ ６５ ６５
α ３ １０ α β β α α β α α
)＝－ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝ｃｏｓ[( － )＋２ ]＝ｃｏｓ( － )ｃｏｓ ２
２α ８１ α α ９ １３０ 故选 . １０
∴ ｓｉｎ ＝ ꎬ∵ｓｉｎ >０ꎬ∴ｓｉｎ ＝ ꎬ Ａ
１３０ １３０ æ ö æ ö
[ ] [ ] －ｓｉｎ( β － α )ｓｉｎ２ α ＝è ç － ３ １０ ø ÷ ×è ç － ２ ５ ø ÷ － １０ × ５ ＝ ２ ꎬ 又α ＋
α π α π α ５ １０ ５ １０ ５ ２
(３) ∵ ∈ ꎬπ ꎬ∴ ２ ∈ ꎬ２π ꎬ∵ ｓｉｎ ２ ＝ ꎬ [ ]
４ ２ ５ β ５π 所以α β ７π.故选 .
[ ] [ ] ∈ ꎬ２π ꎬ ＋ ＝ Ａ
α π . α π π 且 α ２ ５ β ４ ４
∴２ ∈ ꎬπ ∴ ∈ ꎬ ｃｏｓ ２ ＝ － ꎬ∵ ∈ 答案 Ｂ Ａ Ａ
２ ４ ２ ５ (１) (２) (３)
第
五 章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
８１
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 三角恒等变换 的值是 .
学生用书P168
１.(２０２２
(
新高考
)
Ⅱ ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)若 ｓｉｎ( α ＋ β )＋ｃｏｓ( α ＋ β )＝ 答案 １
３
２ ２ｃｏｓ α ＋ π ｓｉｎ β ꎬ 则 ( ) ８.(２０２０浙江ꎬ１３ꎬ６分ꎬ基础性)已知 ｔａｎ θ ＝２ꎬ 则 ｃｏｓ２ θ ＝ ꎬ
４ ( )
Ａ.ｔａｎ( α － β )＝１ Ｂ.ｔａｎ( α ＋ β )＝１ ｔａｎ θ － π ＝ .
α β α β ４
Ｃ.ｔａｎ( － )＝－１ Ｄ.ｔａｎ( ＋ )＝－１
答案 Ｃ 答案 ３ ꎻ１
－
α ５ ３
２.(２０１１福建ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)若 α 则ｓｉｎ２ 的值等于 ９.(２０１８课标 理ꎬ１５ꎬ５分ꎬ基础性)已知 α β α
ｔａｎ ＝３ꎬ ２α Ⅱ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ꎬｃｏｓ ＋
ｃｏｓ β 则 α β .
ｓｉｎ ＝０ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝
( )
答案 １
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.６ －
答案 Ｄ ２
( )
( ) １０.(２０１７课标 文ꎬ１５ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知α π α
３.(２０２１ 全国甲ꎬ理 ９ꎬ文 １１ꎬ５ 分ꎬ综合性)若 α π Ⅰ ∈ ０ꎬ ꎬｔａｎ
∈ ０ꎬ ꎬ ２
２ ( )
α 则 α π .
α ｃｏｓ 则 α ＝２ꎬ ｃｏｓ － ＝
ｔａｎ２ ＝ αꎬ ｔａｎ ＝ ( ) ４
２－ｓｉｎ
答案 ３ １０
１５ ５ ５ １５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. １０
１５ ５ ３ ３ １１.(２０１８江苏ꎬ１６ꎬ１４ 分ꎬ综合性)已知 α β 为锐角 α
答案 Ａ ꎬ ꎬｔａｎ ＝
４.(２０２０课标 理ꎬ９ꎬ５分ꎬ基础性)已知α 且 α ４ α β ５.
Ⅰ ∈(０ꎬπ)ꎬ ３ｃｏｓ２ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝－
α 则 α ３ ５
－８ｃｏｓ ＝５ꎬ ｓｉｎ ＝ ( ) 求 α的值
(１) ｃｏｓ２ ꎻ
５ ２ １ ５ 求 α β 的值.
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. (２) ｔａｎ( － )
３ ３ ３ ９ α
答案 Ａ 解析 ( )因为 α ４ ꎬ α ｓｉｎ ꎬ所以 α ４ α.
１ ｔａｎ ＝ ｔａｎ ＝ α ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ
５.(２０２１ 新高考 ꎬ６ꎬ５ 分ꎬ综合性) 若 θ 则 ３ ｃｏｓ ３
Ⅰ ｔａｎ ＝ －２ꎬ
θ θ 因为 ２α ２α ꎬ所以 ２α ９ ꎬ
ｓｉｎ (１＋ｓｉｎ２ ) ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ ｃｏｓ ＝
θ θ ＝ ( ) ２５
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
所以 α ２α ７ .
６ ２ ２ ６ ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝－
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ. ２５
５ ５ ５ ５ ( )因为αꎬβ为锐角ꎬ所以α β ( ꎬ ).
答案 Ｃ ２ ＋ ∈ ０ π
( ) 又因为 (α β) ５ꎬ
６.(２０２０课标 文ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)已知 θ θ π ｃｏｓ ＋ ＝－
Ⅲ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ ＝１ꎬ ５
３
( )
则 ｓｉｎ θ ＋ π ＝ ( ) 所以 ｓｉｎ (α ＋ β) ＝ １－ｃｏｓ ２(α ＋ β) ＝ ２ ５ꎬ因此 ｔａｎ (α ＋ β) ＝－２ .
５
６
α
因为 α ４ ꎬ所以 α ２ｔａｎ ２４.因此 (α β)
Ａ.
１
Ｂ.
３
Ｃ.
２
Ｄ.
２ ｔａｎ ＝
３
ｔａｎ ２ ＝
１－ｔａｎ
２α＝－
７
ｔａｎ － ＝
２ ３ ３ ２ α (α β)
答案 Ｂ [ α (α β)] ｔａｎ２ －ｔａｎ ＋ ２ .
ｔａｎ ２ － ＋ ＝ α (α β)＝－
( ) １＋ｔａｎ２ ｔａｎ ＋ １１
７.(２０２０江苏ꎬ８ꎬ５分ꎬ基础性)已知 ２ π α ２ 则 α
ｓｉｎ ＋ ＝ ꎬ ｓｉｎ ２
４ ３
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P169
考点 三角恒等变换 答案 Ｃ
° °
１.(２０２２广东湛江、肇庆三模ꎬ３)已知 α ４ α π 则 ４.(２０２１江苏盐城二模ꎬ５)计算２ｃｏｓ１０ －ｓｉｎ２０ 所得的结果为
ｃｏｓ ＝ ꎬ０< < ꎬ °
ｃｏｓ２０
５ ２
( )
α π ( )
ｓｉｎ ＋ ＝ ( )
４ Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ.２
答案 Ｃ
２ ７ ２ ２ ７ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.－ ５.(２０２２重庆金太阳联考ꎬ１３)已知 α β β 则
１０ １０ １０ １０ ｔａｎ( ＋ )＝ ４ꎬｔａｎ ＝２ꎬ
答案 Ｂ α .
ｔａｎ２ ＝
( )
２.(２０２２济南一模ꎬ４)已知 α π ３ 则 α的值为 答案 ３６
ｓｉｎ ＋ ＝－ ꎬ ｓｉｎ２
４ ２ ７７
６.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１３)若 θ θ θ 为锐角 则
( ) ｔａｎ ＝３ｓｉｎ ２ ꎬ ꎬ
θ .
ｃｏｓ２ ＝
１ １ ３ ３
Ａ. Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－ 答案 ２
２ ２ ２ ２ －
答案 Ａ ３
( )
３.(２０２２山东潍坊期末ꎬ２)如图 已知角α的顶点与坐标原点 ７.(２０２２ 山东烟台、德州一模ꎬ１３)若 α α π 则
ꎬ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ ꎬ
重合 始边为ｘ轴的非负半轴 点Ｐ是角α终边上的一点 则 ６
ꎬ ꎬ ꎬ α的值为 .
α ｔａｎ２
ｃｏｓ２ ＝ ( ) 答案
３
( )
８.(２０２２ 石家庄一模ꎬ１４) 已知角 α π π
∈ ０ꎬ ꎬｔａｎ ＝
２ １２
α π
ｓｉｎ －ｓｉｎ
１２ 则α .
ꎬ ＝
α π
ｃｏｓ ＋ｃｏｓ
１２
５ ４ ３ ２ 答案 π
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.－
５ ５ ５ ５ ４
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
８２
B组 综合应用题组 学生用书P170
30分钟 45分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分)
° ５－１ 则阴影部分面积与五角星面积的比值为
１.(２０２２ 河北九师联盟 ３ 月质检联考(一模)ꎬ３) 已知 ｓｉｎ１８ ＝ ꎬ
４
( ) ( )
α π ４ α π π 则 α ( )
ｓｉｎ ＋ ＝ ꎬ ∈ ꎬ ꎬ ｃｏｓ ＝ ( )
４ ５ ４ ２
２ ３ ２ ２ ７ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１０ １０ ２ １０
答案 Ａ
( ) ( )
２.(２０２２ 广东汕头一模ꎬ７)已知 θ π θ π
∈ ０ꎬ ꎬｔａｎ ＋ ＝
２ ４
θ θ
２ θ 则ｓｉｎ ｃｏｓ２
－ ｔａｎ ꎬ θ θ＝ ( ) ５－１ ５ ５＋１ ３ ５
３ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
４ ５ ６ ２０
１ ３ ５ 答案 Ｂ
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.３ Ｄ.－
２ ５ ３ ４.(２０２２辽宁省实验中学模拟ꎬ６)平面直角坐标系中 角α的
答案 Ｂ ꎬ
( )
３.(２０２２华大新高考联盟３月教学质量测评ꎬ６) 黄金三角形 终边经过点Ｐ 则 α π
“ ” (－１ꎬ２)ꎬ ｃｏｓ ２ － ＝ ( )
是几何历史上的瑰宝 它有两种类型 其中一种是顶角为 ° ３
ꎬ ꎬ ３６
的等腰三角形 暂且称为 黄金三角形Ａ .如图所示 已知五角 ３－４ ３ ３＋４ ３
ꎬ “ ” ꎬ Ａ. Ｂ.
星是由 个 黄金三角形 Ａ 与 个正五边形组成的 其中 １０ １０
５ “ ” １ ꎬ
三、填空题(每小题５分ꎬ共１５分)
－３＋４ ３ －３－４ ３
Ｃ. Ｄ. ７.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ１３) . °
１０ １０ ｔａｎ ６７ ５ ×
答案 Ｄ ２ . ° .
(１－ｔａｎ ２２５ )＝
５.(２０２０湖南３ 月模拟ꎬ４)已知角α β α β 答案
ꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬｔａｎ( ＋ )＝ ２
( ) ( )
１ ꎬｃｏｓ β ＝ ７ ２ ꎬ 则 ２ α ＋ β ＝ ( ) ８.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ１３)已知 α ∈ πꎬ ３ ２ π ꎬｔａｎ α － π ４ ＝
２ １０
１ 则 α .
９π ３π ５π π ꎬ ｃｏｓ ＝
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ２
４ ４ ４ ４
答案 Ｄ
答案 １０
二、多项选择题(共５分) －
１０
６.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应性月考(八)ꎬ１０)已知 ｃｏｓ( α ＋ ９.(２０２２ 福州一模ꎬ１５) 写出一个使等式 ( ｓｉｎ α ) ＋
α π
β ５ α ４ 其中α β为锐角 则以下命题正确的是 ｓｉｎ ＋
)＝－ ꎬｃｏｓ２ ＝－ ꎬ ꎬ ꎬ ６
５ ５ α
ｃｏｓ 成立的α的值 .
( ) ( ) ＝２ :
α π
α ３ α β ２ ５ ｃｏｓ ＋
Ａ.ｓｉｎ２ ＝ ５ Ｂ.ｃｏｓ( － )＝ ５ ６ ( ｋ
答案 π 答案不唯一ꎬ只需满足α ２ ＋１ π(ｋ Ｚ)即
＝ π－ ∈
α β ５ α β １ ８ ４ ８
Ｃ.ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ Ｄ.ｔａｎ ｔａｎ ＝ )
１０ ３ 可
答案 ＡＢＣ
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
８３
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P171
( ) α
１.(２０２２ ５３ 原创题)已知 ｘ π ２ ｘ 则 ３.(２０２２ ５３原创题)设α 且 ｃｏｓ ２π 则α
ｓｉｎ ＋ ＝ ꎬ０≤ ≤πꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬ α＝ｔａｎ ꎬ ＝
４ １０ １－ｓｉｎ ５
ｓｉｎ２
ｘ
＋２ｓｉｎ
２ｘ
( )
ｘ ＝ ( )
１－ｔａｎ π π ３π ３π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２４ ２４ ８ ８ １０ ５ １０ ５
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ. 答案 Ｃ
１７５ １７５ １７５ １７５
答案 Ｂ
４.(多选)(２０２２ ５３原创题)在锐角 ＡＢＣ中 Ｃ π 则下列
△ ꎬ ＝ ꎬ
２.(２０２２ ５３ 原创题)在 ＡＢＣ 中 Ａ ８ Ｂ ４ 则 ３
△ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ ＝ ꎬ 结论正确的是
１７ ５ ( )
Ｃ Ａ Ｂ
ｃｏｓ ＝ ( ) Ａ.ｔａｎ ＋ｔａｎ ≥２ ３
Ａ Ｂ
３６ ８４ Ｂ.ｔａｎ ｔａｎ ≥３
Ａ. Ｂ.
８５ ８５ Ａ Ｂ
Ｃ.ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ≥ ３
３６或８４ ３６或 ８４ Ａ Ｂ
Ｃ. Ｄ.－ － Ｄ.ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ≤ ３
８５ ８５ ８５ ８５ 答案 ＡＢＤ
答案 Ａ
