文档内容
第五章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）化简 cosx＋ sinx等于( )
A．2 cos B．2 cos
C．2 cos D．2 cos
【答案】B
【解析】 cosx＋ sinx＝2 ＝2
＝2 cos .故选B.
2．（2019·全国高一课时练习）若 ，则 的值等于（ ）
A． B． 或不存在 C．2 D．2或
【答案】B
【解析】由 得 ，即 ，
所以 或 ，所以 或 ，
所以 不存在或 ，故选：B.
3.（2019·甘肃高一课时练习）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．
4．（2019·全国高一课时练习）已知cos θ=－ ，θ∈（－π，0），则sin +cos =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵cos θ=－ ，θ∈（－π，0），
∴cos2 －sin2 =（cos +sin ）（cos －sin ）＜0， ∈（ ，0），
∴sin +cos ＜0，cos －sin ＞0，∵（sin +cos ）2=1+sin θ=1－ = ，∴sin
+cos = ．故选D．
5．（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝ sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在区间 上的值
域是 ，则常数ω所有可能的值的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】函数f(x)＝ sinωxcosωx＋cos2ωx，化简可得f(x)＝ sin2ωx＋ cos2ωx＋ ＝sin
＋ ，因为x∈ ，f(x)∈ ，所以－1≤sin ≤0，则 ≤ － ≤ ，又T＝ ＝ ，
所以 ≤ ≤ ，即 ≤ω≤3，sin ＝0的结果必然是x＝ 或 .当x＝ 时，解得ω＝ 满足题
意，当x＝ 时，解得ω＝ 满足题意．所以常数ω所有可能的值的个数为2.故选C.6．（2019·全国高一课时练习）已知函数f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）
对称，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1= =2（ ）
=2 ．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－ ）=0，
则2φ－ =kπ，φ= ．取k=0时，φ= ．∴φ的值可以是 ．
二、填空题
7．（2019·甘肃高一课时练习） ___________________________．
【答案】
【解析】根据辅助角公式，化简
8．（2019·全国高一课时练习）求值： ________．
【答案】4
【解析】9．（2019·全国高一课时练习）已知cos α+cos β= ，则cos cos 的值为 ．
【答案】
【解析】∵cos α+cos β= ，∴cos cos = [cos（ － ）+
cos（ + ）]= （cos α+ cos β）= × = ．
10．（2019·全国高一课时练习）已知 sin α+sin β= ，cos α+cos β= ，则 =
.
【答案】
【解析】由sin α+sin β= ，可得2sin cos = ，①
由cos α+cos β= ，可得2cos cos = ，②
由 可得 = ．
所以 = = = ．
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R).
（1）当x取什么值时,函数f(x)取得最大值,并求其最大值;π √2
（2）若θ为锐角，且f(θ+ )= ，求tanθ的值.
8 3
【答案】(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归
与转化的数学思想方法和运算求解能力)
【解析】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，
√2 √2 π
=√2( sin2x+ cos2x)=√2sin(2x+ )．
2 2 4
π π π
∴当2x+ =2kπ+ ，即x=kπ+ (k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为√2．
4 2 8
（2）∵ (θ π) √2，∴ π √2．
f + = √2sin(θ+ )=
2 8 3 2 3
1
∴cosθ= ．∵θ为锐角，
3
2√2 sinθ
∴sinθ=√1-cos2θ= ． ∴tanθ= =2√2．
3 cosθ
12．（2019·湖北高一课时练习）如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的
动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C．
(1)当θ= 时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;
(2)当θ= 时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.
【答案】（1）A点在 的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为 ；（2）当A是 的中点
时,平行四边形面积最大,最大面积为 .
【解析】 (1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.
∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S= sin 2α.由于0<α< ,∴当2α= ,即α= 时,S = .
最大
∴A点在 的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为 .
(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt AOH中,AH=sin α,OH=cos α.
△
在Rt ABH中, =tan 60°= ,∴BH= sin α.∴OB=OH-BH=cos α- sin α.
△
设平行四边形ABOC的面积为S,
则S=OB·AH= sin α=sin αcos α- sin2α= sin 2α- (1-cos 2α)
= sin 2α+ cos 2α- =
= sin .
由于0<α< ,∴当2α+ ,即α= 时,S = .
最大
∴当A是 的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为 .
