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第 2 课时 简单的三角恒等变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
微思考
1．思考三角恒等变换的基本技巧．
提示 (1)变换函数名称：使用诱导公式．
(2)升幂、降幂：使用倍角公式．
(3)常数代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．
2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？
提示 异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )
(2)∀α∈R,1＋sin α＝2.( √ )
(3)∀α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.( × )
(4)∃α∈R，tan 2α＝2tan α.( √ )
题组二 教材改编
2．sin 15°cos 15°等于( )
A．－ B. C．－ D.答案 B
解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
3．已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，则cos 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵sin α－cos α＝，sin2α＋cos2α＝1,0≤α≤π，
∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝－.
4．已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案
解析 方法一 cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
方法二 cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2
＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
题组三 易错自纠
5．计算：等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 原式＝－·＝－tan ＝－×＝－.
6．(2020·泸州模拟)若tan α＝，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 ∵tan α＝，
∴cos 2α＝＝＝＝.
题型一 三角函数式的化简
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
2．(2020·江苏改编)已知sin2＝，则sin 2α的值是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 ∵sin2＝，
∴＝，
即＝，
∴sin 2α＝.
3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为
α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.
4．2＋等于( )
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案 B
解析 2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值
例1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .
答案 －
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
(2)的值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 原式＝
＝
＝＝.
命题点2 给值求值
例2 (1)已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
答案
解析 由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
(2)若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为 ．
答案 0
解析 ∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝3或tan α＝(舍)，
则sin＋cos2α，
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋
＝0.
命题点3 给值求角
例3 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
答案
解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．
跟踪训练1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. B. C. D．1＋
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋＝.
(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝ .
答案
解析 ∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴＝
＝＝.
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
答案 －解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
题型三 三角恒等变换的综合应用
例4 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．
解 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为f ＝，
所以sin＝1.
又α∈(0，π)，
所以－<α－<，
所以α－＝，
故α＝，
因此tan＝＝＝2－.
思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换
把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构
等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．解 (1)由题意得f(x)＝·sin＋cos
＝×
＝－·sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f ＝－sin
＝－·sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)＝·＝.
求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
证明：(1)sin α＝＝＝.
(2)cos α＝＝＝.
(3)tan α＝＝＝.
注意：(1)上述三个公式统称为万能公式．
(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了．
例1 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值．
解 ∵＝－5，
∴cos θ≠0(否则2＝－5)
∴＝－5，
解得tan θ＝2.
∴原式＝＋＝＋＝.
例2 已知sin α－cos α＝，π<α<2π，求tan 和tan α的值．
解 ∵sin α－cos α＝，
∴－＝，
化简得tan2＋4tan －3＝0.
∴tan ＝＝－2±，
∵π<α<2π，
∴<<π，∴tan <0，即tan ＝－2－，
tan α＝＝＝＝＝.
课时精练
1．已知sin α－cos α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－2＝－.
2．已知α，β为锐角，tan α＝，则cos 2α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 ∵tan α＝，tan α＝，
∴sin α＝cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
3．计算：等于( )
A. B. C. D．－
答案 A
解析 ＝
＝＝.
4．若sin＝，则cos 等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.
5．(多选)已知函数f(x)＝sin x·sin－，则f(x)的值不可能是( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案 CD解析 方法一 f(x)＝sin xsin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝·＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝
＝sin，
∴f(x)∈.
方法二 f(x)＝sin xsin－
＝－－
＝－－
＝－cos＋－
＝－cos
∴f(x)∈.
6．(多选)下列说法不正确的是( )
A．存在x∈R，使得1－cos3x＝log
2
B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
C．函数y＝cos 2的一个对称中心为
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
答案 ABC
解析 在A中，因为cos x∈[－1,1]，
所以1－cos3x≥0，
因为log 1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 sin θ＋cos 2θ>1 sin θ>1－cos 2θ＝2sin2θ (2sin θ－)sin θ<0 01的充分不必要条件．故选A.
14．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边
交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是 ．
答案 －
解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b，cos α＝a.
又a＋b＝，∴sin α＋cos α＝，
两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
∴cos＝－sin 2α＝－.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄
金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 C解析 因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.
16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD开
辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的
半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，
最大值是多少？
解 连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，
且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，S ＝400(m2)．
max
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
