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专题 4.5 三角恒等变换-重难点题型精讲
1．两角差的余弦公式
对于任意角 ， 有 .
此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦与其差角 - 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记
作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用
“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用
“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
① =( + )- ；
② = -( - )；
③ = [( + )+( - )]；
④ = [( + )-( - )]；
⑤ =( - )-( - )；
⑥ - =( - )+( - ).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式 [或 将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
4 π 5
【例1】（2022春•巴宜区校级期末）已知sinα= ，α∈( ，π)，cosβ=− ，β是第三象限角，则
5 2 13
cos（ ﹣ ）＝（ ）
α33β 33 63 63
A．− B． C． D．−
65 65 65 65
π π
【变式1-1】（2022春•富平县期末）化简tan( +A)−tan( −A)=（ ）
4 4
A．2tanA B．﹣2tanA C．2tan2A D．﹣2tan2A
π
sin(α− )
π 12
【变式1-2】（2022•香坊区校级模拟）已知tanα=−3tan ，则 的值为（ ）
12 5
cos(α− π)
12
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
π π
【变式1-3】（2022春•汉中期末）已知sinθ+sin(θ+ )=1，则tan(θ+ )=（ ）
3 6
√6 √3 √2
A． B． C．±√2 D．±
3 3 2
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】
【方法点拨】
(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用.公式的逆
用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
(2)对 化简时，辅助角 的值如何求要清楚.
【例2】（2022春•富县校级期末）cos125°cos5°+cos35°sin5°＝（ ）
1 1 √3 √3
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
√3
【变式2-1】（2022春•成都期末）tan45°﹣tan15°− tan45°tan15°＝（ ）
3√3 √3
A．√3 B．√3−2 C．− D．
3 3
【变式2-2】（2022春•安徽期末）化简(sin5°+cos5°)(1+√3tan10°)=（ ）
√2
A． B．2√2 C．2 D．√2
2
π π
【 变 式 2-3 】 （ 2022 春 • 潍 坊 月 考 ） 已 知 ＜α＜β＜ ， 且
8 2
π 5 1 π π √3
sin2αsin −cos2αsin π= ，sin2βcos +cos2βsin = ， 则 cos （ 2 ﹣ 2 ） 的 值 为
4 4 3 4 4 3
β α
（ ）
5√3 √3 5√3 √3
A． B． C．− D．−
9 3 9 3
【题型3 二倍角公式及其应用】
【方法点拨】
对于与二倍角公式有关的化简、求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角
的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式化简、求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系等知
识对已知式进行转化.
π √3 π
【例3】（2022•贵阳开学）已知sin(α+ )= ，则sin(2α− )=（ ）
5 4 10
5 5 3 3
A． B．− C．− D．
8 8 8 8
π 3 6π
【变式3-1】（2022•成都开学）若sin（− − ）= ，则sin（ − ）的值为（ ）
7 4 7
θ θ
3 3 √7 √7
A．− B． C．− D．
4 4 4 4
π 1 π
【变式3-2】（2022春•湖南期末）若sin( −α)= ，则cos( −2α)=（ ）
6 2 3
1 1 √3 √3
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
π
【变式3-3】（2021秋•云南期末）已知sinα=2sin( +α)，则cos2 ＝（ ）
2
α
3 4 3 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
【题型4 三角函数式的化简】【方法点拨】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数
公式之间的共同点.
4sin24°cos24°
【例4】（2022春•南阳期末）化简 +tan12°=（ ）
cos12°
A．1 B．√2 C．√3 D．2
cos2α
=
【变式4-1】（2021秋•沙坪坝区校级月考）化简 π π （ ）
4sin2 ( +α)tan( −α)
4 4
1
A．cos B．sin C．1 D．
2
α α
【变式4-2】（2022春•南阳月考）下列化简结果正确的个数为（ ）
1
①cos22°sin52°−sin22°cos52°= ；
2
tan24°+tan36°
② =√3；
1−tan24°tan36°
√2
③cos15°−sin15°= ；
2
1
④sin15°sin30°sin75°= ．
4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（2022春•集宁区校级月考）下列化简正确的是（ ）
1
A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°=
2
1
B．sin15°sin30°cos75°=
4
tan48°+tan72°
C． =√3
1−tan48°tan72°
√3
D．cos215°﹣sin215°=
2
【题型5 三角函数求值问题】
【方法点拨】
(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出
相应角的三角函数值，代入即可.(2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之
间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而
得解.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
【例5】（2022春•江西期末）若 5π 3，则sin2α+cos2α 的值是 ．
tan( −α)=
4 5 sin2α−cos2α
π
√5 √2sin(α− )
【变式5-1】（2021秋•广东月考）已知 为第二象限角，且cosα=− ，则 4 ．
=
5
cos2α−sin2α
α
【变式5-2】（2022春•凭祥市校级月考）求下列各式的值：
2sin47°−√3sin17°
（1） = ．
2cos17°
（2）tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= ．
√5 √10 π π 3π
【变式5-3】（2021秋•涪陵区校级期中）若sin2 = ，sin（ ﹣ ）= ，且 [ ， ]， [ ，
5 10 4 2 2
α β α α∈ β∈ π
]，则 + ＝ ．
【题型6 α 三β角恒等变换的应用】
【方法点拨】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思
想
解决相关问题.
1
【例6】（2021春•金山区校级期中）已知函数f(x)=4sin3xcosx−2sinxcosx− cos4x．
2
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
π
（2）求f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值及相应的x值；
41
【变式6-1】（2021春•兴庆区校级期末）已知函数f(x)=√3sinxcosx+ (sin2x−cos2x)（x R）．
2
∈
（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
1
（2）求满足f(x)＞− 的x的集合．
2
√3−1 π π
【变式6-2】（2021•南通模拟）已知sin +cos = ， （− ， ）．
2 4 4
θ θ θ∈
（1）求 的值：
（2）设函θ数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+ ）x R，求函数f（x）的单调增区间．
θ ∈
π
【变式6-3】（2022春•射洪市期末）设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x− ）．
3
（1）求f（x）的周期和最大值；
3
（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（ ﹣A）= ，b+c＝2，求a的最小值．
2
π
