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专题4.6 三角恒等变换-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
π 3
1．（5分）（2022•靖远县开学）已知sin（ + ）= ，则cos2 ＝（ ）
2 4
α α
7 7 1 1
A． B．− C． D．−
16 16 8 8
【解题思路】由已知利用诱导公式求得cos ，再由二倍角的余弦求解．
π 3 α 3
【解答过程】解：∵sin（ + ）= ，∴cos = ，
2 4 4
α α
3 1
则cos2 =2cos2α−1=2×( ) 2−1= ．
4 8
α
故选：C．
3π √1+cosα √1−cosα
2．（5分）（2021秋•新乡期末）已知 ＜α＜2π，则 + =（ ）
2 1−cosα 1+cosα
1 1 2 2
A．− B． C．− D．
sinα sinα sinα sinα
【解题思路】利用二倍角公式进行化简即可．
3π α α α
【解答过程】解：因为 ＜ ＜π，所以sin ＞0，cos ＜0，
4 2 2 2
所 以
√ 1+2cos2 α −1 √ 1−1+2sin2 α √ cos2 α √ sin2 α cos α sin α
√1+cosα √1−cosα 2 2 2 2 2 2 2
+ = + = + =−( + )=−
1−cosα 1+cosα α α α α α α sinα
1−1+2sin2 1+2cos2 −1 sin2 cos2 sin cos
2 2 2 2 2 2
故选：C．
2sin2α
3．（5分）（2022秋•大理市校级月考）若tan ＝3，则 π 的值为（ ）
tan(α+ )
4
α
3 3
A．﹣3 B．﹣6 C．− D．−
10 5
【解题思路】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答过程】解：由于tan ＝3，
α 4tanα
2sin2α 2sin2α 1+tan2α 3
所以： = = =− ．
π 1+tanα 1+tanα 5
tan(α+ )
4 1−tanα 1−tanα
故选：D．
sinθcos2θ 3 π
4．（5分）（2022•常熟市校级开学）已知 为第二象限角，且满足 =− ，则tan(θ+ )=（
sinθ−cosθ 5 4
θ
）
1 1 1 1
A． B．− C． D．−
3 3 2 2
【解题思路】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可得2tan2 +5tan ﹣3＝0，由 为第二
θ θ θ
π
象限角，tan ＜0，解方程可得tan 的值，进而利用两角和的正切公式即可求解tan(θ+ )的值．
4
θ θ
sinθcos2θ 3
【解答过程】解：因为 =− ，
sinθ−cosθ 5
sinθ(cosθ+sinθ)(cosθ−sinθ) 3 3
所以 =− ，可得sin （cos +sin ）= ，
sinθ−cosθ 5 5
θ θ θ
所以sinθcosθ+sin2θ tanθ+tan2θ 3，整理可得2tan2 +5tan ﹣3＝0，
= =
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5
θ θ
因为 为第二象限角，tan ＜0，
θ 1θ
所以解得tan ＝﹣3，或 （舍去），
2
θ
π tanθ+1 −3+1 1
则tan(θ+ )= = =− ．
4 1−tanθ 1−(−3) 2
故选：D．
5．（5分）（2022•武陵区校级开学）已知角 ， 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角
α β
4 π
的终边过点（2，1），cos(α+β)= ，且β∈(0， )，则sin ＝（ ）
5 2
α β
√5 √5 2√5 2√5
A． B． C． D．
25 5 25 5
4
【解题思路】利用三角函数的定义求出sin 和cos 的值，再结合cos(α+β)= ，可得 + 为第一象限
5
α α α β3
角，sin（ + ）= ，sin ＝sin[（ + ）﹣ ]，利用两角差的正弦公式展开即可求解．
5
α β β α β α
【解答过程】解：因为角 的终边过点（2，1），所以 是第一象限角，
α α
所以sin 1 √5，cos 2 2√5，
= = = =
√22+12 5 √22+12 5
α α
π 4
因为 （0， ），cos(α+β)= ，所以 + 为第一象限角，，
2 5
β∈ α β
√ 4 3
所以sin（ + ）= 1−( ) 2= ，
5 5
α β
3 2√5 4 √5 2√5
所以sin ＝sin[（ + ）﹣ ]＝sin（ + ）cos ﹣cos（ + ）sin = × − × = ．
5 5 5 5 25
β α β α α β α α β α
故选：C．
6．（5分）（2022•宝山区校级开学）已知 、 都是锐角，且3sin2 +2sin2 ＝1，3sin2 ﹣2sin2 ＝0，那
么 、 之间的关系是（ ） α β α β α β
α β π π π π
A．α+β= B．α−β= C．α+2β= D．α+2β=
4 4 4 2
sin2β cosα
【解题思路】推导出 = ，可得出cos（ +2 ）＝0，求出 +2 的取值范围，即可得解．
cos2β sinα
α β α β
【解答过程】解：因为3sin2 +2sin2 ＝1，则3sin2 ＝1﹣2sin2 ＝cos2 ，
所以，2sin2 ＝3sin2 ＝6sinαcos ，β α β β
β α α α sin2β cosα
因为 、 都是锐角，由题意可得cos2 ＝3sin2 ＞0，所以， = ，
cos2β sinα
α β β α
所以，cos cos2 ﹣sin sin2 ＝cos（ +2 ）＝0，
α β α β π α β π
因为 、 都是锐角，则0＜ ＜ ，且0＜ ＜ ，则0＜2 ＜ ，
2 2
α β α β β π
3π
所以，0＜ +2 ＜ ，
2
α β
π
因此， +2 = ．
2
α β
故选：D．
π π
7．（5分）（2022•武陵区校级开学）已知函数f(x)=cos2 (x− )+sin2 (x+ )−1，则f（x）是（
12 12
）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
π πC．周期为2 的奇函数 D．周期为2 的偶函数
【解题思路】π由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式π ，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，得出
结论．
【 解 答 过 程 】 解 ： ∵ 函 数
π π
1+cos(2x− ) 1−cos(2x+ )
π π 6 6 1
f(x)=cos2 (x− )+sin2 (x+ )−1= + −
12 12 2 2
π π
cos(2x− ) cos(2x+ ) π 1
6 6 sin2xsin = sin2x，
= − = 6 2
2 2
∵f（x）是周期为 的奇函数，故A正确而B、C、D错误，
故选：A． π
8．（5分）（2022春•湖北月考）设a=
1
cos10°−
√3
sin10°，b=
2tan13°
，c=
√1−cos50°
，则
2 2 1+tan213° 2
a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解题思路】利用两角差的正弦化简a，再由倍角公式化简b，c，结合正弦函数的单调性得答案．
1 √3
【解答过程】解：a= cos10°− sin10°＝sin30°cos10°﹣cos30°sin10°＝sin（30°﹣10°）＝sin20°，
2 2
2tan13°
b= =sin26°，
1+tan213°
√1−cos50°
c= =√sin225°=sin25°，
2
∵y＝sinx在（0°，90°）上为增函数，
∴a＜c＜b．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•大连期末）下列各式正确的是（ ）
A．（1+tan1°）（1+tan44°）＝2
1 √3
B． − =2
sin10° cos10°
3−sin70°
C． =2
2−cos210°D．tan70°⋅cos10°(√3tan20°−1)=2
【解题思路】A：利用正切的和角公式化简即可判断；B：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即
可判断；C：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；D：利用诱导公式以及正弦的倍角公式
和辅助角公式化简即可判断求解．
【解答过程】解：选项A，（1+tan1°）（1+tan44°）＝1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°，
tan1°+tan44°
∵tan45°= ，即tan1°+tan44°+tan1°tan44°＝1，
1−tan1°tan44°
∴（1+tan1°）（1+tan44°）＝2，故选项A 正确；
1 √3 cos10°−√3sin10° 2sin(30°−10°)
− = = =
选项B：因为sin10° cos10° sin10°cos10° 1 4，故B错误，
sin20°
2
选项C：因为 3−sin70° 3−cos20° 2+2sin210° 2，故C正确，
= = =
2−cos210° 1+sin210° 1+sin210°
cos20° cos20°
选项D：原式=√3cos10°− •cos10°=√3cos10°−
sin20° 2sin10°
√3sin20°−cos20° 2sin(20°−30°)
= = =−2，故D错误，
2sin10° 2sin10°
故选：AC．
π
10 ． （ 5 分 ） （ 2022 春 • 钟 楼 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， 满 足 0＜α＜ ＜β＜π， 且
2
α β
2√5 3
sinα= ，cosβ=− ，则（ ）
5 5
π
A． + ＜ B．β−α＜
2
α β π
C． ﹣2 ＝0 D．tan2 +tan2 ＞0
【解β题思α路】根据平方关系求出cos ，sin ，再根据两α 角和β的正弦公式即可判断A；根据两角差的余弦
公式即可判断B；根据 ﹣2 ＝（ ﹣α ）﹣β 结合两角差的正弦公式即可判断C；根据二倍角的正切公
式即可判断D． β α β α α
π 2√5 3
【解答过程】解：因为0＜α＜ ＜β＜π，且sinα= ，cosβ=− ，
2 5 5
√5 4 π 3π
所以cosα= ，sinβ= ， ＜α+β＜ ，
5 5 2 22√5 3 √5 4 2√5
则sin(α+β)= ×(− )+ × =− ，
5 5 5 5 25
3π
所以π＜α+β＜ ，故A错误；
2
π 3 √5 4 2√5 √5
由0＜α＜ ＜β＜π，得0＜ ﹣ ＜ ，cos(β−α)=− × + × = ，
2 5 5 5 5 5
β α π
π π
所以0＜β−α＜ ，则β−α＜ ，故B正确；
2 2
π π
由0＜β−α＜ ，0＜α＜ ，
2 2
π π 2√5
得 − ＜β−2α＜ ， sin(β−α)= ，
2 2 5
2√5 √5 √5 2√5
sin(β−2α)=sin[(β−α)−α]= × − × =0，
5 5 5 5
所以 ﹣2 ＝0，故C正确；
β α sinα sinβ 4
因为tanα= =2，tanβ= =− ，
cosα cosβ 3
8
−
2tanα 4 4 2tanβ 3 24
所以tan2α= = =− ，tan2β= = = ，
1−tan2α 1−4 3 1−tan2β 16 7
1−
9
4 24 44
故tan2α+tan2β=− + = ＞0，故D正确．
3 7 21
故选：BCD．
ωx ωx ωx
11．（5分）（2021秋•葫芦岛期末）将函数f(x)=cos (2sin −2√3cos )+√3(ω＞0)的图象
2 2 2
π π
向左平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0， ]上为增函数，则 的值
3ω 4
ω
可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π
【解题思路】由函数f（x）＝2sin（ωx− ）平移得到函数g（x）＝2sin x，然后令 x＝t，根据x的
3
ω ω
范围以及正弦函数的性质建立不等式，由此即可求解．
ωx ωx ωx
【解答过程】解：因为f（x）＝cos (2sin −2√3cos )+√3
2 2 2π
＝sin x−√3（1+cos x）+√3=2sin（ωx− ），
3
ω ω
π π
则g（x）＝2sin[ω(x+ )− ]＝2sin x，
3ω 3
ω
π ωπ
令 x＝t，因为x∈[0， ]，则t∈[0， ]，
4 4
ω
ωπ
因为函数y＝2sint在[0， ]上为单调递增函数，
4
ωπ π
所以 −0≤ ，解得0＜ ≤2，
4 2
ω
故选：AB．
1
12．（5分）（2022春•章丘区校级月考）已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx− 的图象为C，以下说法中
2
不正确的是（ ）
π
A．图象C关于直线x= 对称
8
π
B．函数f（x）在区间(0， )内是增函数
8
√2 π
C．函数f（x）纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到y= sin(x− )
2 8
√2 3π
D．由y= cos2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C
2 8
√2 π
【解题思路】化简可得f（x）= sin（2x− ），根据正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则逐
2 4
一判断选项，即可．
1 1−cos2x 1 1 √2 π
【解答过程】解：f(x)=sin2x+sinxcosx− = + sin2x− = sin（2x− ），
2 2 2 2 2 4
π π 3π kπ
选项A，令2x− = +k ，k Z，则x= + ，k Z，
4 2 8 2
π ∈ ∈
3π kπ π
所以图象C的对称轴为x= + ，k Z，显然x≠ ，即A错误；
8 2 8
∈
π π π π 3π
选项B，令2x− [− +2k ， +2k ]，k Z，则x [k − ，k + ]，k Z，
4 2 2 8 8
∈ π π ∈ ∈ π π ∈
π π
因为区间(0， )是其子集，所以f（x）在区间(0， )内是增函数，即B正确；
8 8√2 π
选项C，函数f（x）纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到y= sin（x− ），即C错误；
2 4
√2 3π √2 3π √2
选项 D，y= cos2x的图象向右平移 个单位长度，得到 y= cos[2（x− ）]= cos（2x
2 8 2 8 2
3π √2 π π √2 π
− ）= cos（2x− − ）= sin（2x− ）＝f（x），即D正确．
4 2 4 2 2 4
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
π π 7π
13．（5分）（2022•黄浦区校级开学）若 （0， ），且cos2 ＝sin（ −α），则 的值为 或
4 4 12
α∈ π α α
．
√2
【解题思路】由已知利用二倍角公式以及两角差的正弦公式可得 cos ﹣sin ＝0，或cos +sin = ，结
2
α α α α
合范围 （0， ），分类讨论即可求解．
α∈ π π
【解答过程】解：因为cos2 ＝sin（ −α），
4
α
√2
所以（cos ﹣sin ）（cos +sin ）= （cos ﹣sin ），
2
α α α α α α
√2
所以cos ﹣sin ＝0，或cos +sin = ，
2
α α α α
又 （0， ），
α∈ π π
当cos ﹣sin ＝0时，可得 = ，
4
α α α
√2 1 1
当cos +sin = 时，两边平方，可得1+sin2 = ，可得sin2 =− ，
2 2 2
α α α α
7π 11π 7π 11π
由于2 （0，2 ），可得2 = ，或 ，即 = ，或 （经检验，舍去），
6 6 12 12
α∈ π α α
π 7π
综上，则 的值为 或 ．
4 12
α
π 7π
故答案为： 或 ．
4 12
→ π 1 → 3π
14．（5 分）（2022 春•南阳月考）已知向量OA=(sin(α+ )， )，OB=(sin(α+ )，1)，
4 3 4
2
→ →
，则cos2 ＝ − ．
OA⊥OB
3
α【解题思路】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法
则，利用三角恒等变换，计算求得cos2 的值．
→ α π 1 → 3π → →
【解答过程】解：因为向量OA=(sin(α+ )， )，OB=(sin(α+ )，1)，
OA⊥OB
，
4 3 4
所 以
→ → π 3π 1 π π 1 1 π 1 1 1
OA⋅OB=sin(α+ )⋅sin(α+ )+ =sin(α+ )cos(α+ )+ = sin(2α+ )+ = cos2α+ =0
4 4 3 4 4 3 2 2 3 2 3
2
所以cos2α=− ，
3
2
故答案为：− ．
3
15．（5分）（2022春•凭祥市校级月考）求下列各式的值：
2sin47°−√3sin17° 1
（1） = ．
2cos17° 2
（2）tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= √3 ．
1 √3
【解题思路】（1）利用两角和的正弦公式得出sin47°= cos17°+ sin17°，化简即可求解；
2 2
（2）利用两角和的正切公式得出tan25°+tan35°＝tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°），代入求解即可得
出答案
1 √3
【解答过程】解：（1）∵sin47°=sin(30°+17°)= cos17°+ sin17°，
2 2
∴2sin47°−√3sin17°=cos17°，
2sin47°−√3sin17° cos17°+√3sin17°−√3sin17° cos17° 1
∴ = = = ；
2cos17° 2cos17° 2cos17° 2
tan25°+tan25°
（2）∵tan60°＝tan（25°+35°）= =√3，
1−tan25°⋅tan35°
∴tan25°+tan35°=√3（1﹣tan25°tan35°）=√3−√3tan25°tan35°，
∴tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3．
1
故答案为： ；√3．
2
ωx ωx ωx
16．（5分）（2022春•河南月考）已知函数f(x)=2sin cos +2√3cos2 (ω＞0)的最小正周
2 2 2
π
期为 ，当x∈[0， ]时，函数g（x）＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是
4
π[2√3 ， 2+√3）． ．
π
【解题思路】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得 f（x）＝2sin（ x+ ）+√3，
3
ω
π π π 5π
利用周期公式可求 的值，可得函数解析式f（x）＝2sin（2x+ ）+√3，可求范围2x+ [ ， ]，
3 3 3 6
ω ∈
由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝k恰有两个不同的交点，根据正弦函数的性质即可求解．
ωx ωx ωx π
【解答过程】解：因为f(x)=2sin cos +2√3cos2 =sin x+√3cos x+√3=2sin（ x+ ）
2 2 2 3
ω ω ω
+√3，
2π
又T= = ，
ω
π
所以 ＝2，
ω π
可得f（x）＝2sin（2x+ ）+√3，
3
π
因为x∈[0， ]，
4
π π 5π
所以2x+ [ ， ]，
3 3 6
∈
由g（x）＝f（x）﹣k＝0，可得f（x）＝k，即y＝f（x）的图象与直线y＝k恰有两个不同的交点，
所以2√3≤k＜2+√3，可得实数k的取值范围是实数k的取值范围是[2√3，2+√3）．
故答案为：[2√3，2+√3）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
sin24°cos6°−sin66°sin6°
17．（10分）（2022春•榆阳区校级期末）（1）计算： ；
sin21°cos39°−cos21°sin39°
π
sin( +α)+3sin(π+α)
2
（2）已知tan ＝3．求 的值．
3π
cos( −α)−cos(5π+α)
α 2
【解题思路】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
（2）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
【 解 答 过 程 】 解 ： （ 1 ）
sin24°cos6°−sin66°sin6° sin24°cos6°−sin(90°−24°)sin6° sin24°cos6°−cos24°sin6° sin(24°−6°) sin18°
= = = = =−1
sin21°cos39°−cos21°sin39° sin(21°−39°) sin(21°−39°) sin(−18°) −sin18°
；（2）已知tan ＝3，
π α
sin( +α)+3sin(π+α)
2 cosα−3sinα 1−3tanα 1−3×3
则 = = = =4．
3π −sinα+cosα −tanα+1 −3+1
cos( −α)−cos(5π+α)
2
18．（12分）（2022春•顺义区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角 的终边在第二象限与单位圆
交于点P． α
4 π
（Ⅰ）若点P的横坐标为− ，求sin（ − ）的值；
5 4
α
π π
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若将角 的终边OP绕点O逆时针旋转 ，得到角 （即 ＝ + ），求
6 6
α β β α
cos2 的值．
β
【解题思路】（Ⅰ）由题意，利用三角函数的定义可求cos ，sin 的值，进而利用两角和与差的三角函
α α
π
数，计算求解sin（ − ）．
4
α
π
（Ⅱ）由题可得 ＝ + ，进而利用两角和的余弦函数公式，以及二倍角公式求解即可．
6
β α
4
【解答过程】解：（Ⅰ）∵P在单位圆上，且点P的横坐标为− ，
5
4 3
则cos =− ，sin = ，
5 5
α α
π √2 √2 7√2
∴sin（ − ）＝sin × − ×cos = ．
4 2 2 10
α α α
π π π π 4√3 3
（Ⅱ）由题知 ＝ + ，cos（ + ）＝cos cos −sinαsin =− − ，
6 6 6 6 10 10
β α α α
π 7+24√3
则cos2 ＝2cos2（ + ）﹣1= ．
6 50
β απ π 1
19．（12分）（2022春•泉州期末）已知0＜α＜ ，cos(α+ )= ．
2 4 3
（1）求sin 的值；
πα β π √3
（2）若− ＜β＜0，cos( − )= ，求 ﹣ 的值．
2 2 4 3
α β
【解题思路】（1）直击雷永三角函数的定义和三角函数关系式中角的恒等变换的应用求出结果；
（2）利用三角函数关系式的角的恒等变换的应用求出结果．
π π π 3π
【解答过程】解：（1）由于0＜α＜ ，所以 ＜α+ ＜ ；
2 4 4 4
π 1 π 2√2
且cos(α+ )= ，所以sin(α+ )= ；
4 3 4 3
π π π π π 2√2 √2 2 √2 4−√2
故sinα=sin[(α+ )− ]=sin(α+ )cos −cos(α+ )sinα= × − × = ．
4 4 4 4 4 3 2 3 2 6
π π β π 1
（2）对于− ＜β＜0，所以sin =cos(β− )=2cos2 ( − )−1=− ；
2 2 2 4 3
β
2√2
故cosβ= ；
3
π π 4+√2
由（1）得：cosα=cos[(α+ )− ]= ，
4 4 6
√2
故cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ，
2
π π
由于0＜α＜ ，− ＜β＜0，
2 2
所以0＜ ﹣ ＜ ，
απβ π
故α−β= ．
4
π π 3π
20．（12分）（2022•湖州开学）已知f(x)=cos(2x− )+2sin(x− )cos(x+ )．
3 4 4
π
（1）求f( )的值；
3
√3
（2）若锐角 满足f(α)= ，求sin2 的值．
3
α α
【解题思路】（1）根据条件，将函数的关系式变形成正弦型函数，再求出三角函数的值；
√3
（2）根据锐角 满足f(α)= ，结合同角三角函数的基本关系和三角恒等变换求解即可．
3
απ π π
【解答过程】解：（1）f(x)=cos(2x− )−2sin(x− )cos(x− )
3 4 4
π π 1 √3 π
=cos(2x− )−sin(2x− )= cos2x+ sin2x+cos2x=√3sin(2x+ )，
3 2 2 2 3
π
则f( )=√3sinπ=0；
3
π √3 π 1
（2）f(α)=√3sin(2α+ )= ，∴sin(2α+ )= ，
3 3 3 3
π π π 4π
因为0＜α＜ ，所以 ＜2α+ ＜ ，
2 3 3 3
π 1 √3 π 2√2
又 sin(2α+ )= ＜ ，所以cos(2α+ )=− ，
3 3 2 3 3
π π π 1 π √3 1+2√6
故sin2α=sin[(2α+ )− ]=sin(2α+ )⋅ −cos(2α+ )⋅ = ．
3 3 3 2 3 2 6
π
21．（12分）（2022•浙江开学）已知函数f(x)=(sin(x− )+cosx)cosx．
6
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间：
β π √5 1 α+β π 11
（Ⅱ）已知 ， 为锐角，f( + )= + ，f( − )= ，求cos 的值．
2 6 10 4 2 12 20
α β α
1 π 1
【解题思路】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）= sin（2x+ ）+ ，进
2 6 4
而利用正弦函数的单调性即可求解．
√5 3
（Ⅱ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求 cos = ，sin（ + ）= ，由 ， 为锐角，cos
5 5
β α β α β β
√5 1 π π 3 √2 3π
= ＜ ，可得 ＜ ＜ ，又sin（ + ）= ＜ ，可得 + ＞ ，利用同角三角函数基本关
5 2 3 2 5 2 4
β α β α β
4 2√5
系式可求cos（ + ）=− ，sin = ，进而利用两角差的余弦公式即可求解cos 的值．
5 5
α β β α
√3 1
【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝（ sinx− cosx+cosx）cosx
2 2
√3 1
= sinxcosx+ cos2x
2 2
√3 1
= sin2x+ （1+cos2x）
4 41 π 1
= sin（2x+ ）+ ，
2 6 4
π π 3π π 2π
令2k + ≤2x+ ≤2k + ，k Z，解得k + ≤x≤k + ，k Z，
2 6 2 6 3
π π ∈ π π ∈
π 2π
可得f（x）的单调递减区间为[k + ，k + ]，k Z．
6 3
π π ∈
β π 1 β π π 1 √5 1
（Ⅱ）f( + )= sin[2（ + ）+ ]+ = + ，
2 6 2 2 6 6 4 10 4
1 π √5
即 sin（ + ）= ，
2 2 10
β
√5
所以cos = ，
5
β
α+β π 1 α+β π π 1 11
又f( − )= sin[2（ − ）+ ]+ = ，
2 12 2 2 12 6 4 20
1 3 3
即 sin（ + ）= ，所以sin（ + ）= ，
2 10 5
α β α β
√5 1
因为 ， 为锐角，cos = ＜ ，
5 2
α β β
π π
所以 ＜ ＜ ，
3 2
β
3 √2
又sin（ + ）= ＜ ，
5 2
α β
3π
所以 + ＞ ，
4
α β
4 2√5
所以cos（ + ）=− ，sin = ，
5 5
α β β
4 √5 3 2√5 2√5
cos ＝cos[（ + ）﹣ ]＝cos（ + ）cos +sin（ + ）sin ＝（− ）× + × = ．
5 5 5 5 25
α α β β α β β α β β
π π 5
22．（12分）（2022春•潍坊期末）已知函数f(x)=sin(2x− )−2cos(x+ )sin(x+ π)．
6 4 4
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
π 11
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间[− ， π]上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
6 12
【解题思路】（1）由三角恒等变换化简f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出答案．
π 11 π
（2）函数y＝f（x）﹣k在区间[− ， π]上有且仅有两个零点转化为曲线y＝sin（2x+ ）与直线y
6 12 6π 11
＝k在区间[− ， π]上有且仅有两个交点，即可求实数的取值范围．
6 12
π π 5
【解答过程】解：（1）f(x)=sin(2x− )−2cos(x+ )sin(x+ π)
6 4 4
π π π π
＝sin2xcos −cos2xsin +2cos（x+ ）sin（x+ ）
6 6 4 4
√3 1 π
= sin2x− cos2x+sin（2x+ ）
2 2 2
√3 1
= sin2x− cos2x+cos2x
2 2
√3 1
= sin2x+ cos2x
2 2
π
＝sin（2x+ ），
6
π π π π π
令− +2k ≤2x+ ≤ +2k ，k Z，所以− +k ≤x≤ +k ，k Z，
2 6 2 3 6
π π ∈ π π ∈
π π
所以函数f（x）的单调递增区间为：[− +k ， +k ]，k Z．
3 6
π π ∈
π 11
（2）函数y＝f（x）﹣k在区间[− ， π]上有且仅有两个零点，
6 12
π π 11
即曲线y＝sin（2x+ ）与直线y＝k在区间[− ， π]上有且仅有两个交点，
6 6 12
π 11 π π
由x [− ， π]，可得2x+ [− ，2 ]，
6 12 6 6
∈ ∈ π
π 11 π
当x [− ， π]时，f（x）＝sin（2x+ ） [﹣1，1]，
6 12 6
∈ ∈
π π
设t＝2x+ ，则y＝sint，t [− ，2 ]，
6 6
∈ π
1 π
当k （﹣1，− ）∪（0，1）时，曲线y＝sint与直线y＝k区间t [− ，2 ]上有且仅有两个交点．
2 6
∈ ∈ π
